1.旋转—线段
1.在 中， ， ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ．
（1）如图 1，直接写出 的大小（用含 的式子表示）；
（2）如图 2， ， ，判断 的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连接 ，若 ，求 的值．
解析：（1） 又
（2） 是等边三角形
证明：连接 、
∵ ，
∴ 是等边三角形， ，
又∵ ， ，∴
∴ ，∴
∵ ，∴
ABC AB AC= 0 60BAC α α∠ = ° °（ ＜ ＜ ） BC B 60° BD
ABD∠ α
150BCE∠ = ° 60ABE∠ = ° ABE
DE 45DEC∠ = ° α
60ABD ABC∠ = ∠ − °
180 1902 2ABC
α α°−∠ = = °−
1 190 60 302 2ABD α α∴∠ = °− − ° = °−
ABE
AD CD
60DBC∠ = ° DB BC=
BCD 60BDC∠ = ° BD DC=
AB AC= AD AD= ABD ACD ≌
ADB ADC∠ = ∠ 150ADB∠ = °
60ABE DBC∠ = ∠ = ° ABD EBC∠ = ∠又∵ ，
∴ ，∴
∴ 是等边三角形
（3）解：∵ 是等边三角形，∴
∴
又∵ ，∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ .
2.在 中， ， ， 是 的中点， 是线段 上的动点，将线段 绕点
顺时针旋转 得到线段 ．
（1）若 且点 与点 重合（如图 1），线段 的延长线交射线 于点 ,请补全图形，并写出
的度数；
（2）在图 2 中，点 不与点 ， 重合，线段 的延长线与射线 交于点 ，猜想 的大小（用
含 的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的 ，当点 在线段 上运动到某一位置（不与点 ， 重合）时，能使得线段 的
延长线与射线 交于点 ，且 ，请直接写出 的范围．
BD BC= 150ADB ECB∠ = ∠ = °
ABD EBC ≌ AB EB=
ABE
BDC 60BCD∠ = °
90DCE BCE BCD∠ = ∠ − ∠ = °
45DEC∠ = ° EC DC BC= =
180 180 150 152 2
BCEEBC CEB
° − ∠ ° − °∠ = ∠ = = = °
30 2EBC ABD a∠ = ∠ = ° −
30α = °
ABC BA BC= BAC α∠ = M AC P BM PA P
2α PQ
60α = ° P M CQ BM D
CDB∠
P B M CQ BM D CDB∠
α
α P BM B M CQ
BM D PQ QD= α解析：
（1）
补全图形，见图 1；
（2）猜想：
证明：如图 2 ，连结 ，
∵ ， 是 的中点，∴
∵点 ， 在直线 上，∴ ，
又∵ 为公共边，∴
∴ ，
又∵ ，∴
∴ ，
∵ ，∴
∴在四边形 中，
∴ ，∴
∴
30CDB∠ = °
90CDB α∠ = ° −
AD PC
BA BC= M AC BM AC⊥
D P BM PA PC= DA DC=
DP ADP CDP ≌
DAP DCP∠ = ∠ ADP CDP∠ = ∠
PA PQ= PQ PC=
DCP PQC∠ = ∠ DAP PQC∠ = ∠
180PQC DQP∠ + ∠ = ° 180DAP DQP∠ + ∠ = °
APQD 180ADQ APQ∠ + ∠ = °
2APQ α∠ = 180 2ADQ α∠ = ° −
901
2CDB ADQ α∠ = ∠ = ° −（3）
提示：由（2）知 ，且
∴
∵点 不与点 ， 重合，∴
∴ ，∴
3.如图 1，边长为 4 的正方形 中，点 在 边上（不与点 ， 重合），点 在 边上（不与点 ，
重合）．
第一次操作：将线段 绕点 顺时针旋转，当点 落在正方形上时，记为点 ；
第二次操作：将线段 绕点 顺时针旋转，当点 落在正方形上时，记为点 ；
依此操作下去…
（1）图2 中的 是经过两次操作后得到的，其形状为____________，求此时线段 的长；
（2）若经过三次操作可得到四边形 ．
①请判断四边形 的形状为____________，此时 与 的数量关系是_________；
②以①中的结论为前提，设 的长为 ，四边形 的面积为 ，求 与 的函数关系式及 的取值范
围．
（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接
写出其边长；如果不是，请说明理由．
解析：
（1）由旋转可得： 为等边三角形
45 60α° °＜ ＜
90CDB α∠ = ° − PQ QD=
QPD CDB∴∠ = ∠
2 180 2PQC QPD CDB CDB PAD PCQα∠ = ∠ + ∠ = ∠ = ° − = ∠ = ∠
P B M MAD PAD BAD∠ ∠ ∠＜ ＜
180 2 2α α α° −＜ ＜ 45 60α° °＜ ＜
ABCD E AB A B F BC B
C
EF F E G
FG G F H
EFD EF
EFGH
EFGH AE BF
AE x EFGH y y x y
EF FD DE= = DEF∴∵四边形 是正方形，∴ ，
∵ ，∴
∴ ，
∴三角形 是等腰直角三角形
设 的长为 ，则 ，
在 中，
∴
解得 ， （舍去）
∴
（2）①四边形 的形状为正方形，此时 ．理由如下：
依题意画出图形，如答图 1 所示：
由旋转性质可知， ，
四边形 的形状为正方形．
，
．
，
ABCD AD CD BC AB= = = 90A B C∠ = ∠ = ∠ = °
ED FD= ADE CDF ≌
AE CF= BE BF=
BEF
BE x 2DE EF x= = 4AE x= −
Rt ADE 2 2 2DE AD AE= +
2 2 2( 4) 42 ( )x x= + −
1 4 34x = − + 2 4 34x = − −
4 2 42 6EF x= = − +
EFGH AE BF=
EF FG GH HE= = =
∴ EFGH
1 2 90 2 3 90∠ + ∠ = ° ∠ + ∠ = ° ，
1 3∴∠ = ∠
3 4 90 2 3 90∠ + ∠ = ° ∠ + ∠ = ° ， ．
在 与 中，
．
②利用①中结论，易证 均为全等三角形，
， ．
在 中，
∴ [来源:学,科,网 Z,X,X,K]
∵
∴当 时， 取得最小值 ；当 时，
∴ 的取值范围是
（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是 ，它可能为正多边形，边长为 ．
如答图 2 所示，粗线部分是由线段 经 过 次操作所形成的正八边形．
设边长 ，则 ，
，解得： ．
2 4∴∠ = ∠
AEH BFE
1 3
2 4
EH EF
∠ = ∠
=
∠ = ∠
AEH BFE ASA∴ ≌ （ ）
AE BF∴ =
AEH BFE CGF DHG 、 、 、
BF CG DH AE x∴ = = = = 4AH BE CF DG x= = = = −
Rt BEF 2 2 2EF BE BF= +
2 2 24 2 8 1( 6 0) 4y x x x x x= − + = − + （ ＜ ＜ ）
2 22 8 16 (2 2 8)y x x x= − + = − +
2x = y 8 0x = 16y =
y 8 16y≤ ＜
8 4 2 4−
EF 7
EF FG x= = 2
2BF CG x= =
2 2 42 2BC BF FG CG x x x= + + = + + = 4 2 4x = −4.已知，四边形 是正方形，点 在直线 上，点 在直线 上（ 、 不与正方形顶点重合，且在
的同侧）， ， 于点 ，交直线 于点 ，将线段 绕点 逆时 针旋转 得
到线段 ，连结 ．
（1）如图 1，当点 与点 分别在线段 与线段 上时．
①求证： ；
②求证：四边形 是菱形；
（2）如图 2，当点 与点 分别在线段 与线段 的延长线上时，猜想四边形 是怎样的特殊四边形，
并证明你的猜想．
解析：
（1）
①作 于点
∵ ，∴
又∵ ，∴
②∵ 于 ，∴
又∵
∴
ABCD P BC G AD P G
CD PD PG= DF PG⊥ H AB F PG P 90°
PE EF
P G BC AD
2DG PC=
PEFD
P G BC AD PEFD
PM AD⊥ M
PD PG= MG MD=
MD PC= 2DG PC=
PG FD⊥ H 90DGH ADF∠ + ∠ = °
90ADF AFD∠ + ∠ = °
DGP AFD∠ = ∠∵四边形 是正方形， 于点
∴ ，
∴ ，∴
∵ ，∴
∵ ， ，∴
∴四边形 是平行四边形
又∵ ，∴ 是菱形
（2）四边形 是菱形
证明：∵四边形 是正方形， 于
∴
∴
∴ ，
∵ ，∴
∴
∴
又∵ ，
∴ ，∴
∵ ，∴
又∵ ， ，∴
∴四边形 是平行四边形
又∵ ，∴平行四边形 是菱形
ABCD PM AD⊥ M
90A PMD∠ = ∠ = ° PM AD=
PMG DAF ≌ DF PG=
PG PE= DF PE=
DF PG⊥ PE PG⊥ DF PE
PEFD
PE PD= PEFD
PEFD
ABCD DH PG⊥ H
90ADC DHG∠ = ∠ = °
90CDG DHG∠ = ∠ = °
90CDP PDG∠ + ∠ = ° 90GDH G∠ + ∠ = °
PD PG= PDG G∠ = ∠
CDP GDH∠ = ∠
CDP ADF∠ = ∠
AD DC= 90FAD PCD∠ = ∠ = °
PCD FAD ≌ DF PD=
PD PG PE= = DF PE=
FD PG⊥ PE PG⊥ DF PE
PEFD
DF PD= PEFD5.如图 1，在正方形 中，点 、 分别在边 、 上，且 平分 ．
（1）求证： ；（本小问不予评分，自行查看解析）
（2）当 平分 时（如图 2），将线段 绕点 逆时针旋转 ，旋转后的线段分别交 、 于
点 、 ，若正方形 的边长为 4，求 的面积．
解析：
（1）证明：
将 绕点 顺时针旋转 到
则 ， ，
∵ ，∴
∴
∵ ，∴
∴
∴ ，∴
∵ ，∴
（2）
ABCD E F AB BC DE ADF∠
AE CF DF+ =
FE BFD∠ DF F 45° AD ED
P Q ABCD PEQ
ADE D 90° CDG
AE CG= ADE CDG∠ = ∠ AED G∠ = ∠
AB DC AED EDC∠ = ∠
G EDC∠ = ∠
ADE EDF∠ = ∠ CDG EDF∠ = ∠
FDG FDC CDG FDC EDF EDC∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠
G FDG∠ = ∠ DF FG=
CF CG FG+ = AE CF DF+ =过 作 于
则 ，
∴ ，∴
∵ ，∴
∵ 平分 ， 平分
∴
∴ ，∴
∴ ，∴ ，
∴ ，
过 作 于 ，设
又
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴
过 作 交 于 ，则 是梯形 的中位线
设 ，
E EG DF⊥ G
ADE GDE ≌ BEF GEF ≌
2AE GE BE= = = 52DE =
AD BC 180ADF BFD∠ + ∠ = °
DE ADF∠ FE BFD∠
180ADF BFD∠ + ∠ = °
90EDF DFE∠ + ∠ = ° 90DEF∠ = °
EDF ADE ∽ 5EF = 5DF =
3CF = 1BF =
Q QH DF⊥ H QH x=
45 ,DFP FH QH x∠ = ° ∴ = =
2 1, tan tan4 2
AEADE EDH ADE EDHAD
∠ = ∠ ∴ ∠ = = = = ∠
2DH x∴ =
2 5x x+ = 5
3x = 5 53DQ = 5 23QF =
5
3EQ DE DQ= − = 1
5
EQ
DQ
=
E EI BF PF I EI ABFP
EI t=，
∴ ， ，∴
过 作 于 ，则
∴
6.在 中 ， ， ， 点 是 的 中 点 ， ， 垂 足 为 点 ， 连 接
．
（1）如图 1， 与 的数量关系是___________；
（2）如图 2，若 是线段 上一动点（点 不与点 、 重合），连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转
，得到线段 ，连接 ，请猜想 、 、 三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点 是线段 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图 3 中补全图形，并直接写出 、 、
三者之间的数量关系_____________．
解析：（1） ，
，
点 是 的中点，
1 1,5 5
EQ DP EQ
DQ EI DQ
= ∴ = =
5DP t∴ = 4 5AP t= −
4 5 11( )2t t= − + 5
7t = 25
7DP =
P PK DE⊥ K 525 2sin 7 2 5
57PK PD ADE= ⋅ ∠ = × =
1 1 5 5 2552 2 3 7 42PEQ EQ PKS ⋅ = × × ==
Rt ABC 90ACB∠ = ° 30A∠ = ° D AB DE BC⊥ E
CD
DE BC
P CB P B C DP DP D
60° DF BF DE BF BP
P CB DE BF BP
90 30ACB A∠ = ° ∠ = ° ，
60B∴∠ = °
D AB ，
为等边三角形，
，
；
故答案为 （或 ）
（2） （或 ）
证明：∵在 中， ，
∴
∵ 是 的中点，∴
∴ 是等边三角形，∴
∴
即
又∵ ，∴
∴
∵ ，∴ ，∵
DB DC∴ =
DCB∴
DE BC⊥
3
2DE BC∴ =
3
2DE BC= 2 33BC DE=
2 33BF BP DE+ = 3 ( )2 BF BP DE+ =
Rt ABC 90ACB∠ = ° 30A∠ = °
60ABC∠ = °
D AB 1
2CD AB BD= =
DCB 60CDB PDF∠ = ∠ = °
CDP BDP BDF BDP∠ + ∠ = ∠ + ∠
CDP BDF∠ = ∠
DP DF= CDP BDF ≌
CP BF=
BC BP CP= + BC BP BF= + 2 3sin60 3
DEBC CD DE= = =°∴
（3）如图，
与（2）一样可证明 ，
，
而 ，
，
（或 ）
7.在 中， ， ， 是 的中点， 为射线 上任意一点，将线段
绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，过点 作 ，交直线 于点 ．
（1）如图 1，当点 在线段 上时，判断 与 的数量关系并加以证明；
（2）如图 2，当点 在线段 的延长线上时，其它条件不变，你在（1）中得到的结论是否成立，请说明理由；
（3）当点 从 的中点 移动到 点时，直接写出线段 的中点 所经过的路径长．
2 33BP BF DE+ =
DCP DBF ≌
CP BF∴ =
CP BC BP= +
BF BP BC∴ − =
2 33BF BP DE∴ − = 3 ( )2 BF BP DE− =
ABC 4AC BC= = 90ACB∠ = ° D AC E DC DE
D 90° DF FC F FG FC⊥ AB G
E DC FG FC
E DC
E DC M C FG N解析：（1）
证明：
连接 ，延长 交 于
∵ ，∴
∵ 是 的中点，∴ 为 的中点，
∴ 是 的中位线，∴
∵ ，∴
∵ ，∴
∵ ，
∴ ，
∴
∵ 和 都是等腰直角三角形
∴ ，∴
∴ ，∴
（2）成立
FG FC=
EF DF AB H
90EDF ACB∠ = ∠ = ° DH BC
D AC H AB 1
2DC AC=
DH ABC
1
2DH BC=
AC BC= DC DH=
DE DF= CE FH=
90EDF∠ = ° FG FC⊥
90ECF DFC∠ + ∠ = ° 90HFG DFC∠ + ∠ = °
ECF HFG∠ = ∠
DEF ADH
45DEF AHD∠ = ∠ = ° 135CEF FHG∠ = ∠ = °
CEF FHG ≌ FG FC=证明：连接 ，设 交 于
同理可证 ，
，
∵ ，∴
∴ ，∴
∴
（3）线段 的中点 所经过的路径长为
提示：延长 交 于 ，取 中点 ，连接 、 、
则 ，
∴ ，∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴
∴ [来源:Z.xx.k.Com]
∴ ，是定值
∴线段 的中点 所经过的路径是一条线段
当点 与点 重合时， 是 的中点
连接 、 ，则 是 的中位线
EF DF AB H
CE FH= 45CEF FHG∠ = ∠ = °
90ECF FCB∠ = ° + ∠ 90HFG DFC∠ = ° + ∠
DF BC DFC FCB∠ = ∠
ECF HFG∠ = ∠ CEF FHG ≌
FG FC=
FG N 5
2
DF AB H DH P PC PN CN
2CD DP= 2CF FN=
CDP CFN ∽ DCP FCN∠ = ∠
DCF PCN∠ = ∠
2CD DP= 2CF FN=
5
2CP CD= 5
2CN CF=
CP CD
CN CF
= CDF CPN ∽
90CPN CDF∠ = ∠ = °
90FPN DPC∠ = ° − ∠
FG N
E M F DH
MF CG MF DCH由（1）知，
∴
当点 与点 重合时，点 与点 重合，此时 为 的中点
∴点 所经过的路径长即为图中 的长
∵ ，∴ ， ，
∴
8.已知 ， ， 是过点 的直线， 于点 ．
（1）如图 1，求： ；
（2）当 绕点 旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，猜想 、 、 满足的关系式，并给予证明；
（ 3 ） 在 在 绕 点 旋 转 过 程 中 ， 当 ， 时 ， 则 _________ ，
_________．
解析：
（1）
CMF FHG ≌
1 1
2 2HG MF CH BH= = =
E C G B N BH
N NG
4AC BC= = 2CD = 1DF = 5FG FC= =
5
2NG =
90ACD∠ = ° AC DC= MN A DB MN⊥ B
3BD AB CB+ =
MN A BD AB CB
MN A 30BCD∠ = ° 2BD = CD = CB =证明：如图 1，过点 作 ，交 于点
∵ ，
∴
∵四边形 内角和为
∴
∵ ，∴
又 ，∴
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形
∴
又 ，∴
∴
（2）图 2 中， ；图 3 中，
证明：如图 2，过点 作 ，交 于 点
∵ ，
C CE CB⊥ MN E
90ACB ACE∠ + ∠ = ° 90ACB BCD∠ + ∠ = °
ACE BCD∠ = ∠
ACDB 360°
180D CAB∠ + ∠ = °
180EAC CAB∠ + ∠ = ° EAC D∠ = ∠
AC DC= ACE DCB ≌
AE DB= CE CB=
ECB
2BE CB=
BE AE AB= + BE BD AB= +
2BD AB CB+ =
2AB BD CB− = 2BD AB CB− =
C CE CB⊥ MN E
90ACB ACE∠ − ∠ = ° 90ACB BCD∠ − ∠ = °∴
∵ ，∴
又 ，∴
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形
∴
又 ，∴
∴
如图 3，过点 作 ，交 于点
∵ ，
∴
∵ ，∴
又 ，∴
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形
∴
又 ，∴
∴
（3） ， 或
ACE BCD∠ = ∠
90ACD ABD∠ = ∠ = ° EAC D∠ = ∠
AC DC= ACE DCB ≌
AE DB= CE CB=
ECB
2BE CB=
BE AB AE= − BE AB BD= −
2AB BD CB− =
C CE CB⊥ MN E
90ACE ACB∠ = ° + ∠ 90BCD ACB∠ = ° + ∠
ACE BCD∠ = ∠
90ABD ACD∠ = ∠ = ° EAC D∠ = ∠
AC DC= ACE DCB ≌
AE DB= CE CB=
ECB
2BE CB=
BE AE AB= − BE BD AB= −
2BD AB CB− =
2CD = 3 1CB = − 3 1+提示：过点 作 ，交 于点 ，连接 ,
和 都是等腰直角三角形
∴
∵ ，∴
当 、 两点在直线 异侧时
则 ，∴
∵ ，∴ ， ，
∴
∵ ；∴
∴
当 、 两点在直线 同侧时
，∴
∵ ，∴ ， ，
∴
∵ ；∴
C CE CB⊥ MN E AD
ACD ECB
45CAD CEB∠ = ∠ = °
ACE DCB ≌ 30ACE BCD∠ = ∠ = °
C D MN
15EAC∠ = ° 30BAD∠ = °
2BD = 2AE BD= = 22AD = 6AB =
2CD =
2AB BD CB− = 6 2 2CB− =
3 1CB = −
C D MN
45ABC ADC∠ = ∠ = ° 30BAD BCD∠ = ∠ = °
2BD = 2AE BD= = 22AD = 6AB =
2CD =
2BD AB CB+ = 2 6 2CB+ =∴
9.在 中，过点 作 交 于点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 （如图
1）．
（1）在图 1 中画图探究：
①当 为射线 上任意一点（ 不与 点重合）时，连结 ，将线段 绕点 逆 时针旋转 得到线段 ，
判断直线 与直线 的位置关系并加以证明；
②当 为线段 的延长线上任意一点时 ，连结 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，判断
直线 与直线 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．
（2）若 ， ， ，在①的条件下，设 ， ，求 与 之间的函数关
系式，并写出自变量 的取值范围．
解析：（1）①直线 与直线 的位置关系为互相垂直．
证明：如图，设直线 与直 线 的交点为 ．
3 1CB = +
ABCD C CE CD⊥ AD E EC E 90° EF
1P CD 1P C 1EP 1EP E 90° 1EG
1FG CD
2P DC 2EP 2EP E 90° 2EG
1 2G G CD
6AD = 4
3tanB = 1AE = 1CP x=
1 1PFGS y=
y x
x
1FG CD
1FG CD H∵线段 、 分别绕点 逆时针旋转 依次得到线段 、 ．
∴ ， ， ．
∵ ， ．
∴ ，∴ ．
∴ ，∴ ，∴ ．
∴ ．
②[来源:Z.Com]
按题目要求所画图形见图 1，直线 与直线 的位置关系为互相垂直．
（2）∵四边形 是平行四边形，∴ ．
∵ ， ， ．
EC 1EP E 90° EF 1EG
1 1 90PEG CEF∠ = ∠ = ° 1 1EG EP= EF EC=
1 190G EF PEF∠ = ° − ∠ 1 190PEC PEF∠ = ° − ∠
1 1G EF PEC∠ = ∠ 1 1G EF PEC ≌
1 1 90G FE PCE∠ = ∠ = ° 90EFH∠ = ° 90FHC∠ = °
1FG CD⊥
1 2G G CD
ABCD B ADC∠ = ∠
6AD = 1AE = 4
3tanB =∴ ， ．
可得
由（1）可得四边形 为正方形
∴
①
如图 2，当 点在线段 的延长线上时
（已证）
四边形 为平行四边形
又
四边形 中 且
四边形 为正方形
5DE = 4
3tan EDC tanB∠ = =
4CE =
FECH
4CH CE= =
1P CH
1 1G EF PEC ≌
1 1FG CP x∴ = =
ABCD
B D∴∠ = ∠
1, 6,AE AD= =
5ED∴ =
4tan 3B∠ =
4EC∴ =
EFHC 90 , 90 , 90CEF EOD FDH∠ = ° ∠ = ° ∠ = ° EF EC=
∴ EFHC
4CH EC∴ = =．
∴
即
②
如图 3，当 点在线段 上（不与 、 两点重合）时
∵ ， ．
∴
即
③当 点与 点重合时，即 时， 不存在．
综上所述， 与 之间的函数关系式及自变量 的取值范围是
或 ．
10.在 中， ， 为 中点， 为 边的高，点 在 边上，点 在线段 上，且
．
1 1 4PH CP CH x∴ = − = −
1 1 1
2
1
1 1 ( )2 22
14 2PFG FG PS x xH x x⋅ == − = −
2 2 41
2y x x x= − （ ＞ ）
1P CH C H
1 1FG CP x= = 1 4PH x= −
1 1
2
1 1 (1 1· 4 22 2)1
2PFGS FG PH x x x x= = − = − +
2 2 41
2 0y x x x= − + （ ＜ ＜ ）
1P H 4x = 1 1PFG
y x x 21 2 ( 4)2 x xy x− >=
2 2 41
2 0y x x x= − + （ ＜ ＜ ）
ABC AB AC= D BC CE AB M AB N CE
DM DN⊥（1）如图 l，当 时，线段 与 的数量关系为___________；
（2）如图 2，当 时，求证： ；
（3）如图 3，在（2）的条件下，将射线 绕点 顺时针旋转 ，交 边于点 ，连接 、 ，
若 ， ，求线段 的长．
解析：
（1）
提示：连接 ，
∵ ， ，∴ ， ，
∵ 为 边上的中点，∴ ，且 ，
∴
∵ ，∴ ，且 ，
∴ ，
在 与 中，
N
M
D CB
A(E)
45B∠ = ° AM CN
30B∠ = ° 3 1
3 2ME CN AB− =
DM D 30° AC F MF MN
: 5: 3BM CN = 4 7MN = MF
AM CN=
AD
AB AC= 45B∠ = ° 90BAC∠ = ° 45C∠ = °
D BC AD BD DC= = AD BC⊥
45DAB B C∠ = ∠ = ° = ∠
MD DN⊥ 90MDA AND∠ + ∠ = ° 90AND NDC∠ + ∠ = °
MDA NDC∠ = ∠
ADM CDN
DAB C
AD CD
MDA NDC
∠ = ∠
=
∠ = ∠
∴
（2）
连接
∵ ， 为 中点，
∴ ， ，
∵ 为 边的高，∴
∵ ，∴
∴
∴ ，∴
∵
∴
（3）由 ，可设 ，则
由（2）知 ，∴
∴ ， ， ， ，
在 中，
∴ ，解得 （舍去负值）
∴ ， ， ， ，
ADM CDN ≌
AD
AB AC= D BC 30B∠ = °
AD BC⊥ 30C B∠ = ∠ = ° 60BAD CAD∠ = ∠ = °
CE AB 60DCN∠ = °
DM DN⊥ ADM CDN∠ = ∠
ADM CDN ∽
3tan30 3
AM AD
CN CD
= = ° = 3
3AM CN=
1 1
2 2ME AM AE AC AB− = = =
3 1
3 2ME CN AB− =
: 5: 3BM CN = 3CN k= 5BM k=
3
3AM CN= AM k=
6AB k AC= = 1 32AE AC k= = 4ME k= 3 3CE k= 2 3NE k=
Rt MEN
2 2 2ME NE MN+ =
2 2 24 (2 3 ) 7( ) (4 )k k+ = 2k =
12AB = 10BM = 6AE = 2AM = 6 3CE =，
连接 ， ,由（2）知
∴ ，∴
∴
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴
∵ ，∴
∴ ，∴
∴ ，∴
12 3BC = 6 3BD CD= =
AD 2 2 2 212 (6 3) 6AD AB BD= − = − = ADM CDN ∽
3
3
DM AD AD
DN CD BD
= = = 30MND B MDF∠ = ° = ∠ = ∠
1 2 72DM MN= =
30MDF B∠ = ∠ = ° 150BMD BDM∠ + ∠ = ° 150CDF BDM∠ + ∠ = °
BMD CDF∠ = ∠ BMD CDF ∽ BM MD
CD DF
=
BD CD= BM MD
BD DF
=
BMD DMF ∽ MF MD
MD BM
=
2 7
102 7
MF = 14 2.85MF = =
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