山西省长治市2020届高三数学（理）3月在线测试题（PDF版带解析）

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'!Ï Î ê ' í î ; ! #!"-!:ùúê'3þÿ! .%! /%7 ! 0%' ! 1%( ! 页)共"页!第""#三"题试学数科理@"7 !TAB6"$"D" U$VW6#E6C)F6%G6'D%CH!"D%XYRSZ[V\IZ6]^_L `ab% #(!450-.. #!0-.. !W{!"Î'ñv$%ÐJ!ì/)+(0-.. #,!0-.. !!/2+#0-.. #,0-.. !!Ï"/)-/2#0/)! :#+ ! #)!"!-(%#' % 'D#$d%! '%#W !"#&'(# #'!)#áâ$%-($,$/-!$&#!#+/ % !:#'kÔ¯! ! #*!78( *ç'6#$"%#áâ$"%-##+-$"%,##!*ìV+Sð%+#.,)- %+""!#*.!$"%#+$%-(!Ï#à$)*%áâ)*+$"234!"*),*##"*+3, #)Ï*&'" .!-4*+)#,)!,+,)* /'k[¯.!*+ ! ;$cZ6#E6C*F6%CH7"D! #7!"0Ô1áÞ#!Þ# **&'+d!05 W='+ç'e0ìáâ'5,69:'++5,69:+!5++!'5 槡+!!! "##2&' &+'¯! "!#Ï &5+!!2*&'+ ',¬! #8!"0Ô1áÞ#!Þ# *!"#$\(]_'e34g#56789(#!:;'!=G1d' ñ:1n­HIñv;Wst'!e:1­JHIev;Wst'!Ke: 1L¡MN1O lPQ!R2SÔF' "##B*"Þ'Tÿ) "!#UBÞ# 6 'ÞVàmW¯! #$!"0Ô1áÞ#!Þ# ÉV!Xæ-e-YÊhãZ4-&'+5![hãZ'¨ ¬! 槡)! ( ! "##2Xæ'X\! "!#2+,4&5 z+,4'+ UÂ'f,;'G]¯! 页)共"页(第""#三"题试学数科理!"!"0Ô1áÞ#!Þ# 45^_+'%! )! ,/! 2! +#"),2,"#'3þÿ!槡! ! !, Wòóô0!0 &!' Þü!^ _+ 'û¥å0!$&'$ 槡+)!! "##2^_+ 'ó@£`! "!#Ï 7 W^_+ çað&!' 'e0!Îê8ï^_+ ð 9 !3 ñ0!&71,9! '71,3!:*,93 ',¬Wb!7¯/ ÏW!2S7¯!Ï¡W!RqFM ¿! !#!456#$"%#+)2:"#-%#")2"#!:"%#+%!-#! "##2$"%#*0""!$""##c'dê£`! "!#Ï;"%#+$"%#,:"%#ñve¯0%#!%!"%#%%!#!2f' %#,$"%##,%!,$"%!#; X3.I@!!$!(U6OdA26eZ%fghi%jkliL@26mD!cZ nX\o6p! !!!;g)-)'òó%z—#£` "0Ô1áÞ#"Þ# *Î;òó%%,/ d!úê8'—#£`! %+#,理科数学答案 理科数学答案 14.-1080【解析】  x x 532  的展开式中 2x 的系数即为 5)32( x 中 的展开式中 3x 的系数，故 3323 5 1080)3(2 xxC  . 15. 3 1【解析】 不等式 123  yx 表示的区域如图， 0 0   x y x yz 可以理 解为 ),( yx 与 )0,0( 的斜率， x yz  的最 小值为 3 1 . 16.26【解析】 )2()()1()1(  xfxfxfxf )()2()4( xfxfxf  ，故 )(xf 是以 4 为周期的函数. 39)(  xxf ])1,0(( x ， 039)2 1( 2 1 f . 由周期性和对称性可知，      2 13,6x 时， 0)( xf .      2 15,2 13x 时， 0)( xf . 0)2 15()2 13(  ff . 又 7128log114log)64(log6 222  n 而 2646464264log2 13)64(log6 22  nn 496.90264  ，所以 26n 时， 0na . 当 5027  n 时， 7114log)64(log2 13 22  n ， 0na . 26n 17. (1)解： B C CD BDCCDBBD sin sinsinsin  由正弦定理可知， 222,sin sin  BDDCAC AB B C  , .2 1 CD BD AC AB (2) ADCADB  coscos 2222 )22(2cos 222 22cos 222 222     ACADC ABADB 解得 2AB , 8 1 422 )23(24cos 222  BAC 8 73sin BAC ， 2 73sin2 1  BACACABS ABC . 18.（1）设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为 事件 A，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件 B，“有一道题不理解题意”选对为事件 C， ∴P(A)＝1 2 ，P(B)＝1 3 ，P(C)＝1 4 ， ∴得 60 分的概率为 P＝1 2 ×1 2 ×1 3 ×1 4 ＝ 1 48 . (2)X 可能的取值为 40，45，50，55，60. P(X＝40)＝1 2 ×1 2 ×2 3 ×3 4 ＝1 8 ； P(X＝45)＝ 1 2C ×1 2 ×1 2 ×2 3 ×3 4 ＋1 2 ×1 2 ×1 3 ×3 4 ＋1 2 ×1 2 ×2 3 ×1 4 ＝ 17 48 ； P(X＝50)＝1 2 ×1 2 ×2 3 ×3 4 ＋ 1 2C ×1 2 ×1 2 ×1 3 ×3 4 ＋ 1 2C ×1 2 ×1 2 ×2 3 ×1 4 ＋1 2 ×1 2 ×1 3 ×1 4 ＝17 48 ； P(X＝55)＝ 1 2C ×1 2 ×1 2 ×1 3 ×1 4 ＋1 2 ×1 2 ×2 3 ×1 4 ＋1 2 ×1 2 ×1 3 ×3 4 ＝ 7 48 ； P(X＝60)＝1 2 ×1 2 ×1 3 ×1 4 ＝ 1 48 . X 的分布列为 X 40 45 50 55 60 P(X) 1 8 17 48 17 48 7 48 1 48 E(X)＝40×1 8 ＋45×17 48 ＋50×17 48 ＋55× 7 48 ＋60× 1 48 ＝575 12 . 19. 解：(1)连接 BDAC, 交于点O ,连接 SO . ABCDS  为正四棱锥， ABCDSO 平面 ，设球的半径 为 r,则 22222 1 rrrS ABCD  23 24 3 223 1 32  rrrrV ABCDS 故半球的半径为 2 （2）由（1）可知，以O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OS 为 z 轴，建立空间直角坐标系.        0,2,00,0,20,2,00,0,2  DCBA  2.0,0S 则有      0,2,22,0,20,2,2  BCASAD  2,2,0 SB 设平面 SAD 的法向量 ),,( zyxm  则有      0 0 mAS mAD      022 022 zx yx 令        1 1 1 1 z y x x 所以 )1,1,1( m理科数学答案 理科数学答案 设平面 SBC 的法向量 ),,( cban  则有      0 0 nSB nBC      022 022 cb ba 令        1 1 1 1 c b a a 所以 )1,1,1(n 3 1.cos  nm nmnm 平面 SAD 与平面 SBC 所成的二面角的余弦值 3 1 . 20. 解：（1）由 2,222 2,242  caa ca 4222  cab 148 22  yx （2）    0,220,22 BA  ,设 P 的坐标 ),( 00 yxP 则有 82148 2 0 2 0 2 0 2 0  yxyx 2222 0 0 0 0     x yk x yk BPAP 2 1 82222 2 0 2 0 0 0 0 0      x y x y x ykk BPAP 2 1 OMONBPAP kkkk ①当直线l 的斜率存在时，设 mxl : 当 mx  时，代入 148 22  yx 解得 2 8 2my  由 2 1 OMON kk 得 22 12 8 2 2    mm m . 所以 222222 1 OMNS . ②当直线l 的斜率不存在时，设 ),(),(: 2211 yxNyxMnkxyl  联立方程      148 22 yx nkxy , 0824)12( 222  nkn              0 12 82 12 4 2 2 21 221 k nxx k knxx 2 2121 2 21 )( nnyy  242 1 22 21 21  knxx yykk OMON 3286412 11 22 2 2 21 2   nkk kMN 点 )0,0( 到直线l 的距离 12   k nd 222 1  MNdS OMN . OMN 的面积为定值，定值为 22 . 解：（1） 0)0( f ， afx axf   )0(1)( 切线方程： )0(0  xay 即 axy  . （2） )1(1)1ln()( 2  xxxaxh ， )1(1 2221)( 2    xx axxxx axh ， )1(1)1ln()( 2  xxxaxh 有两个极值点，所以方程 01 22 2   x axx 在 )1,( 上 有两个不同的实根，即 022 2  axx 在 )1,( 上有两个不 同的实根 21, xx .所以 2 10084  aa . 12 1002 1 21 21 21        xxaxx xx . 所以要证明 )()( 2211 xfxxfx  即证明 1 2 2 1 )()( x xf x xf  . )1()1ln(2)1)(1()1ln(21)1ln()( 111 2 11 2 121 2 2 11 2 1  xxxx xx x xxx x xxa x xf )1()1ln(2)1)(1()1ln(21)1ln()( 222 1 22 1 221 1 2 22 1 2  xxxx xx x xxx x xxa x xf ))1()1ln(2()1()1ln(2)()( 222111 1 2 2 1  xxxxxxx xf x xf )1ln(2ln)1(212)1ln(2)1ln(2)()( 22222221112 1 2 2 1 xxxxxxxxxxxx xf x xf  令 ))1,2 1(()1ln(2ln)1(212)(  xxxxxxxm ))1,2 1((]1)1[ln(2]1ln[22)(  xx xxx xxxm 化简得 上在 )1,2 1(01 22)]1(ln[2)(  xx x xxxxm 恒成立. 所以 )(xm 在区间 )1,2 1(x 上单调递增，所以 0)2 1()(  mxm .即 0)()( 1 2 2 1  x xf x xf .即 )()( 2211 xfxxfx  . 22.解：（1）当 2   时， ;1: xl 当 2   时， );1(tan:  xyl         sin cos y x  ，由  cos4sincos4sin 222  xy 42  所以 )1(tan:  xyl  和 xyC 4: 2 理科数学答案 理科数学答案 （2）        sin cos1 ty tx 代入 xy 42  得， 04)cos4(sin 22  tt            221 221 sin 4 sin cos4 tt tt 因为 4 3sin3 16 sin 4 2 221  ttAB )0(2 3sin   所以 3 2 3   或 . 23.解：（1） 2222|2||22|)(  xxxxxf )(xf 的最大值 2m . （2）由（1）可知， 2 ba . 4)(2 1 )1( 1 )1( )11)(11()11(4 222 22 22 2222      babaab baa bb b aa baa b b a a b b a 当且仅当 1 ba 时等号成立 1)11( min 22  a b b a