湖南长郡中学2020届高三数学（理）停课不停学阶段检测试题（PDF版带解析）

长郡中学高三停课不停学阶段性检测理科数学试题 一、选择题 1.已知集合 ⚸ ， ⚸ ⚸ ，则 ⚸ （） A. B. 됰 C. 됰 D. 됰 【答案】B 由已知解得 ⚸ 됰 됰 ⚸ 됰 ，所以 ⚸ 됰 ，故选 B. 2.设 i 为虚数单位, ,“复数 ሺ െ ͳ 是纯虚数”是“ ⚸ ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】B 解：复数 ͳ 是纯虚数,则 ⚸ 或 ⚸ , 所以“复数 ͳ 是纯虚数”不是“ ⚸ ”的充分条件； 当 ⚸ 时,复数为 ͳ ,是纯虚数,“复数 ͳ 是纯虚数”是“ ⚸ ”的必要条件, 所以“复数 ͳ 是纯虚数”是“ ⚸ ”的必要不充分条件．故选 B． 3.如图程序框图是为了求出满足 的最小偶数 ，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入（ ） A. 和 ⚸ B. 和 ⚸ C. 和 ⚸ D. 和 ⚸ 【答案】D 【详解】 因为程序框图为当型循环，所以当 满足条件时，才会进行循环，显然不能填 ， 故排除 A,B，由于要求输出 为偶数，且 的起始值为 0，所以 ⚸ . 4.已知 ⚸ Ꮊln ， ⚸ lnᎺ ， ⚸ Ꮊln ，则 ， ， 的大小关系是（） A. ൏ ൏ B. ൏ ൏ C. ൏ ൏ D. ൏ ൏ 【答案】B 【详解】 对于 됰 的大小： ⚸ Ꮊln ⚸ ln Ꮊ ⚸ ln ， ⚸ lnᎺ ⚸ lnᎺ ⚸ lnᎺ ，明显 ； 对于 됰 的大小：构造函数 ሺെ ⚸ ln ，则 ሺെ ⚸ ln ，当 ሺ됰ǡെ 时， ሺെ 됰ሺെ 在 ሺ됰ǡെ 上单调递增， 当 ሺǡ됰 െ 时， ሺെ ൏ 됰ሺെ 在 ሺǡ됰 െ 上单调递减， ǡ됰 ሺെ ൏ ሺെ 即 ln ൏ ln 됰 ln ൏ ln됰 ln ൏ ln 됰 ൏ 对于 됰 的大小： ⚸ lnᎺ ⚸ lnᎺ ， ⚸ Ꮊln ⚸ lnሺെ Ꮊ ， Ꮊ ൏ ሺെ Ꮊ ， 故选 B． 5.圆周率 是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多 数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于 1 的正数然后 请他们各自检查一下，所得的两数与 1 是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉 你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有 个人说“能”，而有 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率 的近似值为（） A. B. C. Ꮊ D. Ꮊ 【答案】C 【解析】 把每一个所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与 1 不能构成一个锐角三角形是指两个数 构成点的坐标在圆 ⚸ 内，进一步得到 Ꮊ ⚸ ，则答案可求． 6.在等差数列 中， ⚸ ㌳ ，其前 项和为 ，若 ⚸ ，则 ＝( ) A.2018 B.－2018 C.4036 D.－4036 【答案】C 【解析】 【分析】 先证明 是等差数列，由此求得数列 的首项和公差，由此求得 的值，进而求得 的值. 【详解】 设等差数列 的前 项和为 ⚸ ，则 ⚸ ， 所以 是等差数列．因为 ⚸ ， 所以 的公差为 ，又 ⚸ ⚸ ㌳ ， 所以 是以 ㌳ 为首项， 为公差的等差数列， 所以 ⚸ ㌳ ⚸ ，所以 ⚸ Ꮊ .故选 C. 【点睛】 本小题主要考查等差数列前 项和公式的理解和运用，考查等差数列基本量的计算，属于 基础题. 7.已知双曲线 ⚸ ሺ 됰 െ 与抛物线 ⚸ 在第一象限交于点 ，若抛物线 ⚸ 在点 处的切线过双曲线的左焦点 ሺ Ꮊ됰െ ，则双曲线的离心率为（ ）A.2 B. Ꮊ C. Ꮊ D. Ꮊ【答案】D 【解析】 【分析】 设 ሺ 됰െ ，求函数导数，利用导数的几何意义及切线斜率公式建立方程关系求出 ⚸ ， 根据双曲线的定义求出 됰 即可. 【详解】 设 ሺ 됰െ , 左焦点 ሺ Ꮊ됰െ ,抛物线在第一象限对应的函数为 ሺെ ⚸      ሺ െ ， 函数的导数 ሺെ ⚸ ，则在 P 处的切线斜率 ⚸ ሺ െ ⚸ ⚸ ， 又切线过焦点，所以 Ꮊ ⚸ ，解得 ⚸ ，则 ሺᎺ됰െ ，设右焦点坐标为 ሺᎺ됰െ ， 则 ⚸ ⚸ Ꮊ ⚸ ሺ െ ，即 ⚸ ， 所以 ǡ ⚸ ⚸ Ꮊ ，故选 D. 【点睛】 本题主要考查了导数的几何意义，双曲线的定义、离心率，属于中档题. 8.已知函数 对 满足： ⚸ ， ⚸ ，且 ， 若 ⚸ Ꮊ ，则 ⚸ （） A. Ꮊ B.2 C. ㌳ D.4 【答案】A 【详解】 因为 ⚸ ， ∴ ⚸ ，又 故 ⚸ ，即 ⚸ 所以函数的周期为 6， 由已知可得 当 ⚸ 时， ⚸ ， ⚸ ，又 ， 所以 ⚸ ⚸ ，并且 ⚸ 됰 Ꮊ ⚸ Ꮊ 됰 ㌳ ⚸ 됰 ⚸ ， 所以 ⚸ Ꮊ ⚸ Ꮊ ⚸ Ꮊ ，故选 A. 9.已知函数 ⚸ sin ，若 在 됰 上恰有两个零点，则 的取值范围 是（ ） A. 됰 ㌳ B. 됰 ㌳ C. ㌳ 됰Ꮊ D. ㌳ 됰Ꮊ【答案】D 由题 됰 ，所以 됰 ，根据 在 됰 上恰有两个零点，得到 且 ൏ ，即可求解，得到答案． 10.在棱长为 1 的正方体 ܥ ܥ 中，点 关于平面 ܥ 的对称点为 ，则 与平面 ܥ 所成角的正切值为 A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用等体积法求得点 到平面 ܥ 的距离为 ，连接 ，连接 ，可证 平面 ܥ ， 由于点 关于平面 ܥ 的对称点为 ，则点 在线段 上，根据线段的比例关系可得 ⚸ ，从而找出点 的位置，过 作 的垂线交 于 ，从而可得 平面 ܥ ，所以 与平面 ܥ 所成角为 ，求出其正切值即可得到答案． 【详解】 由题可得 ܥ ⚸ ܥ ⚸ ⚸ ， 由于 ܥ ⚸ ܥ ，即 ܥ ⚸ ܥ ，则 Ꮊ ሺ െ ⚸ ，解得： ⚸ ，所以点 到平面 ܥ 的距离为 ， 连接 ，连接 ，由于在正方体 ܥ ܥ 中， ܥ ܥ ⚸ ，则 ܥ 平面 ， 所以 ܥ ，同理可证： 平面 ，得到： ， 则可得： ܥ ܥ ⚸ ，故 平面 ܥ 由于点 关于平面 ܥ 的对称点为 ，则点 在线段 上， 因为点 到平面 ܥ 的距离为 ，则 ⚸ ， 在正方体 ܥ ܥ 中， ⚸ ，故 ⚸ ，所以点 为 的三等分点，过 作 的垂线交 于 ， 则 ， ⚸ ⚸ ， ⚸ ⚸ 由于 平面 ܥ ，则 平面 ܥ ， 连接 ，则 与平面 ܥ 所成角为 ， tan ⚸ ⚸ ⚸ 所以 与平面 ܥ 所成角的正切值为： 故答案选 B 11.已知 是奇函数 的导函数， ⚸ ，当 时， ，则不 等式 ൏ 的解集为（） A. 됰 됰 B. 됰 됰 C. 됰 됰 D. 됰 됰 【答案】D 【详解】 当 时，由 得 ，即 ， 所以 Ꮊ ，即 ， 所以令 ⚸ ，则 在 됰 上单调递增，且 ⚸ ， 又因为 上奇函数，所以 也是奇函数， 且在 됰 됰 时 ，在 됰 됰 时 ൏ ， 又因为 ， 所以在 됰 됰 时 ，在 됰 됰 时 ൏ 解不等式 ൏ 中， 当 时， ൏ ，所以其解集为 됰 ； 当 ൏ 时， ，所以其解集为 됰 . 12.已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 ，接 下来的两项是 ， ，再接下来的三项是 ， ， ，依此类推，若该数列前 项和 满 足：① ② 是 2 的整数次幂，则满足条件的最小的 为 A.21 B.91 C.95 D.10 【答案】C 【详解】 根据题意构造数列 ሺ െ ，使得： ⚸ ， ⚸ ， ⚸ ， ... ， ⚸ ... ， 故 ⚸ ， ⚸ ， ⚸ ， ... ， ⚸ ，所以数列 的前 项和 ⚸ ሺ െ ሺ െ ሺ െ ... ሺ െ ⚸ ሺ ... െ ⚸ ሺ െ ⚸ 令数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，为 ， 根据题意可得： ⚸ ... ⚸ ሺെ ， ሺ ൏ 됰 െ ，则数列 的前 项和 ⚸ ሺ ... െ ⚸ ሺ ൏ 됰 െ ， 所以要使数列 前 项和 满足： ，由于 是 2 的整数次幂，则 ⚸ ，则 ⚸ ，则 ， 当 ⚸ Ꮊ 时，则 Ꮊ ⚸ ，解得： ⚸ ， ⚸ ሺെ ⚸ Ꮊ Ꮊ⚸㌳ ， 故满足条件的最小的 为 95， 故答案选 C 二、填空题 13. 展开式中 的系数为________． 【答案】30 【详解】 由题可得： 展开式中 的系数等于二项式 ሺ െ 展开式中 的指数为 2 和 4 时的系数之和， 由于二项式 ሺ െ 的通项公式为 ⚸ ， 令 ⚸ ，得 ሺ െ 展开式的 的系数为 ⚸ ㌳ ， 令 ⚸ Ꮊ ，得 ሺ െ 展开式的 Ꮊ 的系数为 Ꮊ ⚸ ㌳ ， 所以 展开式中 的系数 ㌳ ㌳ ⚸ ， 14.在三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 6 的等边三角形， 是以 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______． 【答案】 Ꮊ 【详解】 如图，在等边三角形 中，取 的中点 ， 设其中心为 ，由 ⚸ ， 得 ⚸ ⚸ ⚸ ⚸ ， 是以 为斜边的等腰角三角形， , 又因为平面 平面 ， 平面 ， ， ⚸ ⚸ ， 则 为棱锥 的外接球球心， 外接球半径 ⚸ ⚸ ， 该三棱锥外接球的表面积为 Ꮊ ⚸ Ꮊ ， 故答案为 Ꮊ . 15.将函数 ሺെ ⚸ Ꮊcos 与直线 ሺെ ⚸ 的所有交点从左到右依次记为 됰됰...됰㌳ ，若 点坐标为 됰 ，则 ... ㌳ ⚸ ____. 【答案】10 【解析】 【分析】 由函数 ሺെ ⚸ Ꮊcos 与直线 ሺെ ⚸ 的图象可知，它们都关于点 ሺ됰െ 中心对称， 再由向量的加法运算得 ... ㌳ ⚸ ㌳ ，最后求得向量的模. 【详解】 由函数 ሺെ ⚸ Ꮊcos 与直线 ሺെ ⚸ 的图象可知， 它们都关于点 ሺ됰െ 中心对称， 所以 ... ㌳ ⚸ ㌳ ⚸ ㌳ ሺ െ ሺ െ ⚸ . 【点睛】 本题以三角函数和直线的中心对称为背景，与平面向量进行交会，考查运用数形结合思想解 决问题的能力. 16.如图所示，在平面四边形 ܥ 中， ⚸ ， ⚸ ， ܥ 是以 ܥ 为顶点的等腰直角 三角形，则 ܥ 面积的最大值为________． 【答案】 【详解】 在 中，设 ⚸ ， ⚸ ， ⚸ 在 中， ⚸ ， ⚸ ，由余弦定理，可得 cos ⚸ Ꮊ Ꮊ ⚸ Ꮊ ሺ െ ， 由 ⚸ ，当且仅当 ⚸ 时取等号，即有 cos ，由于 ሺ됰െ 则 ൏ ， 利用余弦定理可得： ⚸ cos ，化简得： ⚸ ㌳ Ꮊcos ， 又因为 ܥ 是以 ܥ 为顶点的等腰直角三角形，则 ܥ ⚸ ⚸ ㌳ cos ， 在 中，由正弦定理可得： sin ⚸ sin ，即： sin ⚸ sin ，则 ܥsin ⚸ sin ， 由于 ܥ cos ⚸ ܥ ሺ sin െ ⚸ ܥ ܥ sin ⚸ ܥ sin ⚸ ㌳ cos sin ⚸ cos cos ⚸ ሺ cosെ ， 即 ܥcos ⚸ ሺ cosെ所以 ܥ 的面积 ⚸ ܥ sinሺ Ꮊ െ ⚸ ܥsinሺ Ꮊ െ ⚸ ܥsin ܥcos ⚸ ܥsin ሺ cosെ ⚸ sin ሺ cosെ ⚸ sin cos ⚸ sinሺ Ꮊ െ 当 ⚸ Ꮊ 时， sinሺ Ꮊ െ 取最大值 1，所以 ܥ 的面积的最大值为 三、解答题 17. 设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，设 S 为△ABC 的面积， 满足 ⚸ Ꮊ ሺ െ . （Ⅰ）求 B； （Ⅱ）若 ⚸ ，设 ⚸ ， ⚸ （ - ） ，求函数 ⚸ ሺെ 的解析式和最大值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ⚸ sinሺ Ꮊ െ （ ൏ ൏ ）， ． 【解析】 试题分析：（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得 sin ⚸ Ꮊ cos ，化简后可得 ⚸ ；（2）由正弦定理得 ⚸ sin sin ⚸ sin sin ⚸ sin ， ⚸ sin sin ⚸ sinሺ െ ，所 以 ሺെ ⚸ sinሺ Ꮊ െሺ ൏ ൏ െ ，最大值为 . 试题解析： （1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得 sin ⚸ Ꮊ cos tan ⚸ ，又 ሺ ， െ所以 ⚸ （2）由（1）知 ⚸ ，△ABC 的内角和 ⚸ ，又 ， 得 ൏ ൏ 由正弦定理，知 ⚸ sin sin ⚸ sin sin ⚸ sin ， ⚸ sin sin ⚸ sinሺ െ所以 ⚸ （ - ）     ⚸ （ - ） sin Ꮊsinሺ െ   ⚸ sin cos     ⚸ sinሺ Ꮊ െሺ ൏ ൏ െ当 Ꮊ ⚸ ，即 ⚸ Ꮊ 时， 取得最大值 考点：解三角形． 18.如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形，平面 平面 ， ， 在 上. （1）若点 是 的中点，求证： 平面 ； （2）在线段 上确定点 的位置，使得二面角 的余弦值为 . 【答案】（1）证明见解析；（2）点 是 的中点. 【解析】 试题分析：（1）取 的中点 ，连接 ， ，先证 平面 ，所以 再证 ，进而 平面 ；（2）以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系，可求得平面 的法向量，再设 ，可得 ，进而利用空间向量加角余弦公式求解. 试题解析：（1）证明：取 的中点 ，连接 ， . 则 又 从而取 的中点 ，连接 .由 为中点，得四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 . （2）解：由平面 平面 得 平面 ，故以 所在直线分 别为 轴， 轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系，设 ，由已知得 ， ， ， ，设平面 的法向量为 ⚸ ሺ됰됰െ ，由 ⚸ ሺ됰됰െ ， ⚸ ሺ됰 됰െ 得， ⚸ ⚸ ⚸ ⚸ ⚸ ⚸ ，则 ⚸ ሺ 됰됰െ . 设 ⚸ （ ൏ ൏ ），则 ሺ됰됰 െ ，从而 ܥ ⚸ ሺ됰됰െ ， ⚸ ሺ됰 됰 െ ， 设平面 ܥ 的法向量为 ⚸ ሺ됰됰െ ，则由 ܥ ⚸ ⚸ ⚸ ሺ െ ⚸ ⚸ ⚸ ， 则 ⚸ ሺ 됰됰െ ，所以 cos ൏ 됰 ⚸ ሺ െ ⚸ ，解得 ⚸ .故当点 是 的中 点时，二面角 ܥ 的余弦值为 . 考点：1、线面垂直的判定定理；2、空间向量加角余弦公式. 19.已知点 到直线 ⚸ 的距离比点 到点 됰 的距离多 . （1）求点 的轨迹方程； （2）经过点 됰 的动直线 与点 的轨迹交于 ， 两点，是否存在定点 使得 ⚸ ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ⚸ Ꮊ （2）存在满足条件的定点 됰 ,详见解析 【解析】 【分析】 (1)根据抛物线的定义可得解； (2)将角的相等关系转化到直线的斜率的关系，进而转化到交点的坐标的关系求解. 【详解】（1）由题知， ⚸ 点 到直线 ⚸ 的距离， 故 点的轨迹是以 为焦点、 ⚸ 为准线的抛物线， 所以其方程为 ⚸ Ꮊ ； （2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点 ，则点 必在 轴上，可设其坐标为 됰 . 此时 ⚸ ⚸ ， 设 됰 ， 됰 ，则 ⚸ ， 由题知直线 的斜率存在，设其方程为 ⚸ ，与 ⚸ Ꮊ 联立得 Ꮊ ⚸ ， 则 ⚸ Ꮊ ， ⚸ ， ⚸ ⚸ ⚸ ⚸ ， 故 ⚸ ，即存在满足条件的定点 됰 . 【点睛】 本题考查抛物线的定义和直线与抛物线的关系，对于第二小问是常规题，转化成坐标的关系 是关键，并且能最终转化成与韦达定理的关系，属于中档题. 20.武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史 积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜 数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客 进行随机问卷调查，若不游玩东湖记 1 分，若继续游玩东湖记 2 分，每位游客选择是否游览 东湖景点的概率均为 ，游客之间选择意愿相互独立. （1）从游客中随机抽取 3 人，记总得分为随机变量 ，求 的分布列与数学期望； （2）（i）若从游客中随机抽取 人，记总分恰为 分的概率为 ，求数列 的前 10 项 和； （ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为 分的概率为 ， 探讨 与 之间的关系，并求数列 的通项公式. 【答案】（1）见解析（2）（i） Ꮊ （ⅱ） ⚸ ， ⚸ 【解析】 【分析】 （1）判断出 可能取值为 3，4，5，6，分别求出概率，进而求出其数学期望． （2）（i）由题可得首项为 ，公比为 的等比数列，并求其前 10 项和．（ⅱ）根据 与 之间的关系 ⚸ ，用待定系数法得 ⚸ ，进一步就可求出 的通项公式． 【详解】 解：（1） 可能取值为 3，4，5，6. ሺ ⚸ െ ⚸ ⚸ ， ሺ ⚸ Ꮊെ ⚸ ⚸ ， ሺ ⚸ ㌳െ ⚸ ⚸ ， ሺ ⚸ െ ⚸ ⚸ . ∴ 的分布列为 3 4 5 6 ∴ ⚸ Ꮊ ㌳ ⚸ Ꮊ.㌳（2）（i）总分恰为 分的概率为 ⚸ ， ∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 前 10 项和 ⚸ ⚸ Ꮊ . （ⅱ）已调查过的累计得分恰为 分的概率为 ，得不到 分的情况只有先得 分， 再得 2 分，概率为 ， ⚸ . 所以 ⚸ ，即 ⚸ ∴ ⚸ . ∴ ⚸ ， ∴ ⚸ ⚸ . 【点睛】 本题是一道数列与概率的综合问题，对于递推式 ⚸ ，可通过待定系数法求 的通项公式，是一道中等难度的题目． 21.已知 ，函数 ⚸ ln ㌳ . （1）讨论 的单调性； （2）设函数 ⚸ ln ，若 恰有两个零点 됰 ൏ ，且当 ൏ ൏ 时， ൏ ൏ ，求实数 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2） 【解析】 【分析】 (1)对函数求导函数后，讨论参数的范围使之能判断导函数的符号，从而得原函数的单调性； (2)由(1)得两个零点的范围，从而得参数的范围，建立不等式求解.【详解】 解析：（1） ⚸ ⚸ ，∵ ，故 当 时， 在 됰 上单减，在 됰 上单增； 当 ൏ ൏ 时， 在 됰 和 됰 上单增，在 됰 上单减； 当 ⚸ 时， 在 됰 上单增； 当 时， 在 됰 和 됰 上单增，在 됰 上单减； （2）结合（1）知 ； 当 时， ⚸ Ꮊ ，故 ，不存在零点； 又当 时， ，当 时， ，当 ൏ ൏ 时， ⚸ Ꮊ ， ∴ 只有一个零点； 故 ， 此时 存在两个零点且当 ൏ ൏ 时 ൏ ⚸ 即 ⚸ ， 此时 ⚸ ， ， ⚸ ⚸ ， 在 됰 上单增， 됰 上单减， 而 ⚸ ln ①，又 Ꮊln ㌳ ⚸ ，代入①式得 ⚸ Ꮊ ⚸ ， 又 ⚸ Ꮊln Ꮊ ，故 됰 ， ∴ 即 ， ∴ 即可，∴ . 【点睛】 本题考查根据导函数的正负研究原函数的图像趋势，进而解决相关的零点、不等式恒成立或 满足不等式求解参数的范围等问题，属于难度题. 请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22.曲线 的参数方程为 ⚸ cos   ⚸ ͳ （ 为参数），以原点 为极点， 轴的正半轴为极 轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 cos ⚸ sin . (1)求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程； (2)若直线 ㌳ ⚸ 与曲线 ， 的交点分别为 、 （ 、 异于原点），当斜率 됰 时，求 的最小值. 【答案】（1） 的极坐标方程为 ⚸ sin ；曲线 的直角坐标方程 ⚸ .（2） 【解析】 【分析】 (1)消去参数，可得曲线 的直角坐标方程 ⚸ ，再利用极坐标与直角坐标的互 化，即可求解. (2)解法 1：设直线 的倾斜角为 ，把直线 的参数方程代入曲线 的普通坐标方程，求得 ⚸ ，再把直线 的参数方程代入曲线 的普通坐标方程，得 ⚸ ，得出 ⚸ sin cos sin ，利用基本不等式，即可求解； 解法 2：设直线 的极坐标方程为 ⚸ ，分别代入曲线 ， 的极坐标方程，得 ⚸ sin ， ⚸ sin cos ，得出 ⚸ sin cos sin ，即可基本不等式，即可求解. 【详解】 (1) 由题曲线的参数方程为 ⚸ cos   ⚸ ͳ （ 为参数），消去参数， 可得曲线 的直角坐标方程为 ሺ െ ⚸ Ꮊ ，即 ⚸ ， 则曲线 的极坐标方程为 sin ⚸ ，即 ⚸ sin ， 又因为曲线 的极坐标方程为 cos ⚸ sin ，即 cos ⚸ sin ， 根据 ⚸ cos ⚸ sin ，代入即可求解曲线 的直角坐标方程 ⚸ . (2)解法 1：设直线 的倾斜角为 ， 则直线 的参数方程为 ⚸ cos ⚸ ͳ （ 为参数， ）， 把直线 的参数方程代入曲线 的普通坐标方程得： sin ⚸ ， 解得 ⚸ ， ⚸ sin ， ⚸ ⚸ sin ， 把直线 的参数方程代入曲线 的普通坐标方程得： cos ⚸ sin ， 解得 ⚸ ， ⚸ sin cos ， ⚸ ⚸ sin cos ， ⚸ sin cos sin ⚸ ሺ sin sinെ ， 됰 ，即 tan 됰 ， ， sin ， sin sin sin sin ⚸ ， 当且仅当 sin ⚸ sin ，即 sin ⚸ 时取等号， 故 的最小值为 . 解法 2：设直线 的极坐标方程为 ⚸ ሺ ）， 代入曲线 的极坐标方程，得 ⚸ sin ， ⚸ ⚸ sin ， 把直线 的参数方程代入曲线 的极坐标方程得： cos ⚸ sin ， ⚸ sin cos ，即 ⚸ ⚸ sin cos ， ⚸ sin cos sin ⚸ ሺ sin sinെ ， 曲线 的参 됰 ，即 tan 됰 ， ， sin ， sin sin sin sin ⚸ ，当且仅当 sin ⚸ sin ，即 sin ⚸ 时取等号， 故 的最小值为 . 【点睛】 本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程点互化，以及直线参 数方程的应用和极坐标方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中 参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 23.已知函数 ⚸ . （1）求不等式 ൏ 的解集； （2）设 됰됰 ，若 对任意 成立，求 的最 大值. 【答案】（1） 됰 （2） 【解析】 【分析】 (1)根据对含两个绝对值符号的三段式讨论化简函数表达式求解不等式； (2)构造柯西不等式求最值. 【详解】 解析：（1） ⚸ 됰 됰 ൏ ൏ 됰 ， 当 时， ൏ 即 ൏ ，∴ ൏ ； 当 ൏ ൏ 时， ൏ 即 ，∴ ൏ ൏ ； 当 时， ൏ 即 ，无解； 综上， 됰 ； （2）由（1）知，当 ⚸ 时， 取到最小值 ，故 对任意 成立， 即 ， 由柯西不等式知 ， 当且仅当 ⚸ ⚸ 时等号成立， ∴ ，即 ， 当 ⚸ ， ⚸ ， ⚸ 时，右边等号成立，∴ 的最大值为 . 【点睛】本题考查含两个绝对值符号的讨论方法和构造柯西不等式，属于中档题.