福建省厦门市2020届高三数学（文）3月线上检测试题（一）（PDF版带答案）

数学（文科）参考答案第 1 页， 共 7页 厦门市 2020 届高中毕业班线上质量检查（一） 数学（文科）参考答案 一、选择题． DBCCD BBDAD CA 11．提示：如图，过 P 作抛物线 E 的准线的垂线 PQ ，则 2 1 5 7PF PQ PF  ， 又 1 2 2PF PF a  ， 1 27 , 5PF a PF a  在 1 2PF F 中，由余弦定理得 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2+ 2 cosPF PF F F PF F F PF F    即 2 2 225 49 4 20a a c ac   ， 2 26 5 0a ac c    (3 )(2 ) 0a c a c   ， 3 2e e 或 又 2b a ， 2 2 2 24 5b a c a ，即 ， 5e  ．故选 C 12．研究函数 ( ) sin( 1) 1f x x x    的性质 可得 ( )y f x 是增函数，且过 ( 1,0) 故要使得不等式 ( ) ( ) 0f x ax b   恒成立 则 y ax b  必过 ( 1,0) 且 0a  ，可得到 0a b  ，故选 A 二、填空题． 13． 2 14． 4 15． ,02      ； 3 16． 3 4 16．提示 1： 1 2 1 2 2 2 2 2 ( 1) 2( 1) n n n n a a n n a a n n              ，得 2 2 2 4 6 0( 4 3)( 2 )n n na a n n n n       数列{ }na 的奇数项和偶数项分别为递减数列， 由 2 3 3 1 4 1 2 a a a       ，得 2 3 4a  ，由 1 2 2 2 3 3 4 a a a      ，得 1 1 12a   ， max 2 3( ) 4na a  提示 2： 1 1 1 1 1 2 1 1n na a n n n n       ，得 1 1 1 1 1 1 1 2n na an n n n                    数学（文科）参考答案第 2 页， 共 7页 数列   1 1na n n       是公比为 1 的等比数列， 又 3 1 1 7 3 4 12a        ，     7 1112 1 n na n n      数列{ }na 的奇数项和偶数项分别为递减数列， 又 1 7 1 1 12 2 12a      ， 2 7 1 3 12 6 4a    ，    2max 3 4na a  三、解答题． 17．本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式等基础知识；考查推理论证、运算求解等能力； 考查函数与方程、化归与转化、数形结合等思想．满分 12 分． 解：（1） 7 cos cos5c A a C     ， 7 sin sin cos sin cos5 C C A A C   ------------ 1 分 7 sin sin cos sin cos5 C A C C A   ，  7 sin sin + sin5 C A C B   -------------------3 分 7 5 c b  ， 5c  -------------------------------------------------------------------------------------- 5 分 法二： 7 cos cos5c A a C     ， 2 2 2 2 2 27 5 2 2 b c a a b cc abc ab           ---------- 2 分  2 2 2 2 2 214 5 bc b c a a b c       ， 214 25 bc b  ， 5c  --------------------------5 分 （2） 3B  2 2 2 22 cos 25+ 2 5 cos 3b a c ac B a a         ------------------------------------------- 6 分 2 5 24 0a a    ， 0a  ， 8a  ------------------------------------------------------------8 分 在 ABD 中， 3B  ， AD AB ， ABD 是等边三角形----------------------------9 分 5BD AB   ， 3ADB   ， 2 3ADC   ， 3DC  -------------------------------11 分 1 1 2 15 3cos 3 5 sin2 2 3 4ADCS DC AD ADC            -----------------------12 分 18．本题考查直线与平面的位置关系；考查空间想象、推理论证、运算求解等能力；考查数 形结合、化归与转化等思想．满分 12 分． 解：（1）法一 AD BC  ， AD BCF 面 ， BC BCF 面数学（文科）参考答案第 3 页， 共 7页 AD BCF 面 ------------------------------------------------------------------------------------------ 1 分 , ,ED BABCD AB DF C  平面 平面 ED BF  --------------------------------------- 2 分 又 ED BCF 面 ， BF BCF 面 ， ED BCF 面 ---------------------------------------- 3 分 =AD ED D  ， AED BCF面 面 ------------------------------------------------------------ 4 分 又 AE AED 面 ， AE BCF 面 ---------------------------------------------------------------- 5 分 法二： 取CG 中点 H ，连接 ,BH EH , ,ED CABCD AB DG C  平面 平面 // =ED CH ， EHCD四边形 为平行四边形--------------------------------------------------- 1 分 // // = =EH CD BA ， EHBA四边形 为平行四边形 AE BH  ----------------------------------------------------------------------------------------------- 3 分 , ,HC BABCD AB DF C  平面 平面 HC BF  ， , , ,B C H F 四点共面 BH BCF  面 ----------------------------------------------------------------------------------------- 4 分 又 AE BCF 面 ， AE BCF 面 ---------------------------------------------------------------- 5 分 （2）法一：连接 AC ， BD 交于点 M DED ABC 面 ， AC ABCD 面 ， ED AC  ------------------------------------------6 分 又 AC BD ， BD ED D AC BDF  面 ------------------------------------------------------------------------------------------8 分 在等边 ABD 中， 2BD  ， 3 32AM AB  ---------------------------------------------9 分 DED ABC 面 ， BF ABCD 面 ED BF  ，又 ED BF ， ED BD 四边形 EDBF 为矩形------------------------------------------------------------------------------- 10 分  1 12DEFS DE EF    ------------------------------------------------------------------------- 11 分 1 3 3 3D AEF A DEF DEFV V S AM       -----------------------------------------------------12 分数学（文科）参考答案第 4 页， 共 7页 法二： DED ABC 面 ， BF ABCD 面 ， ED BF  ， 又 ED ADE 面 ， BF ADE 面 BF ADE 面 ------------------------------------------------------------------------------------------ 7 分 取 AD 中点 M ，连接 BM DED ABC 面 ， BM ABCD 面 ， ED BM  ---------------------------------------- 8 分 在等边 ABD 中， BM AD 又 AD ED D ， BM ADE  面 ---------------------------------------------------------------9 分 F 到面 ADE 的距离即为 = 3BM -------------------------------------------------------------- 10 分 又 1 1 2 12ADES     -------------------------------------------------------------------------------- 11 分 1 3 3 3D AEF F ADE ADEV V S BM      ------------------------------------------------------- 12 分 19、本小题主要考查频数分布表、分层抽样等基础知识；考查数据处理能力，运算求解能力； 考查统计概率思想．满分 12 分． 解：（1）依题意得 1 29 7 100 7 4 29 2 m n n        ------------------------------------------------------ 2 分 解得 12 51 m n    ----------------------------------------------------------------------------------------------- 4 分 所抽取的 100 个龙眼干中特级品的频率为 51 7 0.58100   用样本频率估计总体分布得，这批龙眼干中特级品的比例为58% ----------------------- 6 分 （2）农场选择方案 A 获得的收入为 1 60 500 30000y    （元）------------------------- 7 分 设农场选择方案 B 获得的收入为 2y 元，则 依题意得500 千克龙眼干共可以分装1000袋，用样本频率估计总体分布得 特级品有 581000 580100   袋，一级品有 291000 290100   袋， 二级品有 121000 120100   袋，三级品有 11000 10100   袋．------------------------------ 9 分  2 40 580 30 290 20 120 10 10 34400y          （元）--------------------------- 11 分  2 1y y ，农场应选择方案 B ．---------------------------------------------------------------- 12 分数学（文科）参考答案第 5 页， 共 7页 (注：用加权平均的计算方法得出正确答案同样给分) 20．命题意图：本题考查曲线与方程，直线与圆锥曲线的位置关系等知识；考查数形结合， 化归与转化思想；考查学生逻辑推理，数学运算等核心素养．满分 12 分 解：（1）设点 P 的坐标为 ( , )x y ， 1 2 1 3PA PAk k   ， 1 3+2 3 2 3 y y x x      --------------------------------------------------- 2 分 化简得： 2 23 12x y  ，又 2 3x   故动点 P 的轨迹  的方程为 2 2 1( 2 3)12 4 x y x    --------------------------------------------4 分 （2）设直线 : 1l y kx  与曲线  的交点为 1 1 2 2( , ), ( , )C x y D x y 由 2 23 12 1 x y y kx       得 2 2(1 3 ) 6 9 0k x kx    ，--------------------------------------------------6 分 又 0  ， 1 2 1 22 2 6 9,1 3 1 3 kx x x xk k       ---------------------------------------------------8 分 法一：要证 2CD BE ，即证 BC BD ，即证 0BC BD   ①，----------------------- 9 分 1 1( , 1)BC x y   ， 2 2( , 1)BD x y  BC BD   1 2 1 2( 3) ( 3)x x kx kx     ---------------------------------------------------------- 10 分 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 9(1 ) 18 9 27(1 ) 3 ( ) 9 01 3 1 3 1 3 k k kk x x k x x k k k              故①式成立，则命题得证．---------------------------------------------------------------------------12 分 法二：点 E 坐标为 2 2 3 1( , )1 3 1 3 k k k    ----------------------------------------------------------------9 分 则 2 2 2 2 2 2 2 2 9 (6 3) (1 3 ) (1 3 ) k kBE k k    4 2 2 2 2 2 2 2 9(4 5 1) 9(4 1)( 1) (1 3 ) (1 3 ) k k k k k k       ---------------------------------------------------------- 10 分 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 36 36(1 3 ) 36(1 )(1 4 )(1 ) (1 3 ) (1 3 ) k k k kCD k k k         ----------------------------------11 分 故 2 24CD BE ，则命题得证．------------------------------------------------------------------ 12 分数学（文科）参考答案第 6 页， 共 7页 21．本题考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等知识；考查推理论证、运算求解等能 力；考查函数与方程、化归与转化、分类与整合等思想．满分 12 分 解：（1）依题意得   2 1 0x xf x e ae     在 R 上恒成立---------------------------------- 2 分 得 1x xa e e   ， 1 2x xe e   （当 0x  时等号成立）  a 的取值范围为 ,2 ------------------------------------------------------------------------------4 分 （2）令   2 1 0x xf x e ae     ，设 ( 0)xt e t  ，则 2 1 0t at   （*） 当 2a  时， 2 4 0a    ，设方程（*）的两个实根为  1 2 1 2,t t t t 则 1 2 2t t a   ， 1 2 1t t  ， 1 20 1t t    ------------------------------------------------------ 6 分     2 1 21=x x x xf x e ae e t e t      当  1,lnx t  时，   0f x  ，  f x 单调递增 当  1 2ln ,lnx t t 时，   0f x  ，  f x 单调递减 当  2ln ,x t  时，   0f x  ，  f x 单调递增  f x 有两个极值点  1 1 2 2 1 2= ln , ln 0x t x t x x   ----------------------------------------- 8 分   2 2 2 2 2 2 13 4ln2f x x t at t        2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 14ln 4ln 1 12 2t t t t t t t t         -------------------------------------10 分 令   21 4ln 1( 1)2h x x x x     ，   24 4 xh x x x x      当  1,2x 时，   0h x  ，  h x 单调递增； 当  2,x  时，   0h x  ，  h x 单调递减．---------------------------------------------- 11 分    max 2 3 4ln 2 0h x h      ，  2 2+3 0f x x  ，即  2 2 3f x x   ．---------- 12 分 22．本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数 形结合、函数与方程思想．满分 10 分． （1） 2 2cos , 2sin x y       （ 为参数） 曲线 1C 的普通方程为 2 22 4x y   ，即 2 2 4 0x y x   ----------------------------- 2 分  cosx   ， siny   ， 2 4 cos 0    曲线 1C 的极坐标方程为 4cos  -------------------------------------------------------------- 5 分 新浪微博@高考直通车 整理数学（文科）参考答案第 7 页， 共 7页 （2）依题意设 1( , )A   ， 2( , )B   ， 由 4cos        得 1 4cos  ．由 4sin        得 2 4sin  ．  0 4   ， 1 2  ．  1 2 4cos 4sinAB OA OB          ．------------------------------------------- 7 分  OM 是圆 1C 的直径，∴ 2OAM   ． 在直角 OAM 中， 4sinAM  --------------------------------------------------------------8 分 在直角 BAM 中， 4AMB    AB AM ，即 4cos 4sin 4sin    ---------------------------------------------------9 分  4cos 8sin  ，即 1tan 2   ．-------------------------------------------------------------- 10 分 23．本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求 解能力；考查化归与转化，分类与整合思想．满分 10 分． 解：（1） ( ) 62f   ， 2 3 1 6a a      ，即 3 1 4a a    -------------------------- 1 分 当 3a  时，不等式化为 3 1 4 3 a a a       ， 4a  ----------------------------------------------- 2 分 当1 3a  时，不等式化为    3 1 4 1 3 a a a        ，此时 a 无解----------------------------------3 分 当 1a  时，不等式化为    3 1 4 1 a a a       ， 0a  ------------------------------------------- 4 分 综上，原不等式的解集为{ | 0a a  或 4}a  -------------------------------------------------------- 5 分 （2）要证 Rx  ， 1( ) 3 +1f x a a    恒成立 即证 Rx  ， 12sin 1 +1x a a     恒成立-------------------------------------------------------6 分 2sin x 的最小值为 2 ，只需证 12 1 +1a a      ，即证 11 +1 2a a    ------------ 8 分 又 1 1 1 1 11 +1 1 1 2 2a a a a aa a a a a              11 +1 2a a     成立，原题得证--------------------------------------------------------------- 10 分