2020 年春四川省宜宾四中高二第一学月考试
理科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．若直线 的倾斜角为 ，则 等于
A． B． C． D．不存在
2．某砖厂为了检测生产出砖块的质量，从砖块流转均匀的生产线上每间隔 5 分钟抽取一块砖
进行检测，这种抽样方法是
A．系统抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法
3．从甲、乙两种树苗中各抽测了 株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描
述正确的是
A．甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐
B．甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐
C．乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐
D．乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐
4．圆 与圆 的位置关系为
A．相离 B．内切 C．外切 D．相交
5．已知方程 表示圆，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
3y = α α
0° 45° 90°
10
2 2( 3) ( 4) 16x y+ + + = 2 2 4x y+ =
2 2 2 0x y x y m+ + − + = m
5
4m > 5
4m > − 5
4m < 5
4m < −6．已知平面 α，β 和直线 m，直线 m 不在平面 α，β 内，若 α⊥β，则“m∥β”是“m⊥α”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知四棱锥 的三视图如图所示，则四棱锥 的体积为
A．1 B．
C． D．
8．直线 ： 与直线 ： 垂直，则直线 在 x 轴上的
截距是
A． B．2 C． D．4
9．若两条平行线 ，与 之间的距离为 ，则
等于
A． B． C． D．
10．记双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 2，点 M 在 C 上，
点 N 满足 ，若 ，O 为坐标原点，则
A．8 B．9 C．8 或 2 D．9 或 1
11．已知抛物线 的焦点为 ，点 为 上一动点， ，
,且 的最小值为 ，则 等于
A．4 B． C．5 D．
12．在三棱锥 中，底面 是边长为 2 的正三角形，顶点 在底面 上的
射影为 的中心，若 为 的中点，且直线 与底面 所成角的正切值为 ，
则三棱锥 外接球的表面积为
A． B． C． D．
第 II 卷 非选择题（90 分）
P ABCD− P ABCD−
2
3
1
2
3
2
1l ( )3 4 0a x y+ + + = 2l ( )1 4 0x a y+ − + = 1l
4− 2−
1 : 1 0L x y− + = ( )2 :3 0 0L x ay c c+ − = > 2
3a
c
−
2− 6− 2 0
2 2
: 116
x yC m
− = ( 0)m > 1,F 2F
1 1
1
2F N F M=
1 10MF = | |ON =
2: 2 (0 4)C y px p= < < F P C (4,0)A
( , 2 )B p p | |PA 15 | BF|
9
2
11
2
A BCD− BCD A BCD
BCD∆ E BC AE BCD 2 2
A BCD−
3π 4π 5π 6π二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知命题 ，则 为_____
14．若实数 满足不等式组 ，则 的取值范围为__________．
15．一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 轴上，则该圆的方程为
_________．
16．过抛物线 C： 的焦点 F 作互相垂直的弦 AB，CD，则四边形 ACBD 面积的最小值
为____．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）设命题 ，命题 关于 x 的方程
有实根．
（I）若 为真命题，求 的取值范围；
（II）若“ ”为假命题，且“ ”为真命题，求 的取值范围．
18．（12 分）已知 的顶点坐标分别为 ， ， ， 是 的中
点
（I）求 边所在直线的方程
（II）求以线段 为直径的圆的方程．
19．（12 分）某高校进行社会实践，对 岁的人群随机抽取 1000 人进行了一次是否开
2: (1, ),log 0p x x∀ ∈ +∞ > p¬
,x y 2 3
2 6
y x
x y
x y
≤
+ ≥
+ ≥
1 yz x
+=
2 2
19 3
x y+ = x
2 4y x=
ABC∆ ( 1,5)A − ( 2, 1)B − − (4,3)C M BC
AB
AM
[ ]25 55，通“微博”的调查，开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”.通过调查得到到各年龄段人
数的频率分布直方图如图所示，其中在 岁， 岁年龄段人数中，“时尚族”人数
分别占本组人数的 、 .
（I）求 岁与 岁年龄段“时尚族”的人数；
（II）从 岁和 岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取 6 人参加网络时
尚达人大赛，其中两人作为领队．求领队的两人年龄都在 岁内的概率。
20．（12 分）如图，已知四棱锥 ， 是梯形， ， ，
， ， ．
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
( ]30 35， [ )35 40，
80% 60%
[ )30 35， [ )35 40，
[ )30 45， [ )45 50，
[ )30 45，
P ABCD− ABCD AB CD∥ AB BC⊥
1PA PD BC CD= = = = 2AB = 3PC =
PAD ⊥ ABCD
PAD PBC21．（12 分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行
分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种
子中的发芽数，得到如下资料：
日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日
温差 x/℃ 10 11 13 12 8
发芽数 y
/颗
23 25 30 26 16
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方
程，再对被选取的 2 组数据进行检验．
（I）求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率；
（II）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，
求出 y 关于 x 的线性回归方程 ＝bx＋a；
(III)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到
的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
22．（12 分）椭圆 经过 为坐标原点，线段 的
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > ( ,0), (0,1),A a B O AB中点在圆 上.
（I）求 的方程；
（II）直线 不过曲线 的右焦点 ，与 交于 两点，且 与圆 相切，切
点在第一象限， 的周长是否为定值？并说明理由.
2020 年春四川省宜宾四中高二第一学月考试
理科数学试题参考答案
1．A 2．A 3．D 4．D 5．C 6．B 7．B 8．C 9．A 10．B
11．B 12．D
13． 14． 15． 16．32．
17．（1）由题意得， ，
故 为真命题时 的取值范围为 ．
（2）故 为真命题时 的取值范围为 ，由题意得， 与 一真一假，从而
当 真 假时有 无解；
当 假 真时有 ．∴实数 的取值范围是
．
18．解：（1）因为 ， ，所以由两点式得 的方程为 ，
整理得 ．
（2）因为 是 的中点，所以 ，即 ，
所以 ，所以圆的半径为 ．
所以 的中点为 ，即中点为 ，
2 2: 1O x y+ =
C
:l y kx m= + C F C ,P Q l O
FPQ∆
2(1, ),log 0x x∃ ∈ +∞ ≤ 1 3,2 2
−
2 2( 1) 4x y± + =
( 1,5)A − ( 2, 1)B − − AB 5 ( 1)
1 5 2 ( 1)
y x− − −=− − − − −
6 11y x= +
M BC 2 4 1 3( , )2 2M
− + − + (1,1)M
2 2| | ( 1 1) (5 1) 2 5AM = − − + − = 5
AM 1 1 5 1,2 2
− + +
(0,3)所以以线段 为直径的圆的方程为 ．
19：（1）根据频率直方图，求出 岁与 岁年龄段的人数，根据“时尚族”人数分
别占本组人数的 、 ，从而求出 岁与 岁年龄段“时尚族”的人数；
（2）先由分层抽样方法可得各个年龄段的人数，设 、 、 、 为 岁中抽得的 4
人， 、 为 岁中抽得的 2 人，进而用列举法可得抽出 2 人的全部情况，由古典概型
公式计算可得答案．
试题解析：（1） 岁的人数为 .
岁的人数为 .
（2）由（1）知 岁中抽 4 人，记为 、 、 、 ，
岁中抽 2 人，记为 、 ，
则领队两人是 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
共 l5 种可能，其中两人都在 岁内的有 6 种，所以所求概率为 .
20．（Ⅰ）证明：取 AD 的中点 O，连接 PO，则 ，连接 OC，
在直角梯形 ABCD 中，易知 ， ， ，
所以 ，
由 ， ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ABCD，
又 PO 在平面 PAD 内，故平面 平面 ABCD；
（Ⅱ）如图，分别延长 ， 交于 ，过 作 与点 ，连接 , ，
AM 2 2( 3) 5x y+ − =
[ )30 35， [ )35 40，
80% 60% [ )30 35， [ )35 40，
a b c d [ )30 35，
x y [ )35 40，
[ )30 35， 1000 0.06 5 80% 240× × × =
[ )35 40， 1000 0.04 5 60%=120× × ×
[ )30 35， a b c d
[ )35 40， x y
ab ac ad ax ay bc bd bx by cd cx cy dx dy
xy [ )30 35， 6 2
15 5
=
PO AD⊥
45DAB∠ = ° 135ADC∠ = ° 2AD =
2 2 1 2 2 52 135 1 2 12 2 2 2
OC DO DC DO DCcos
= + − ⋅ ° = + − × × × − =
2
2OP = 3PC = 2 2 2PO CO PC+ = PO OC⊥
0AD OC∩ = PO ⊥
PAD ⊥
AD BC E D DH PE⊥ H BH HD， ， ，所以 ，由 平面 平面 ABCD，
所以 平面 ，
结合（Ⅰ），则 为所求的二面角的平面角， ，
由 ，
在三角形 PDE 中，由 ， ，
所以 ，则 ，
故平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ．
21．（1）设抽到不相邻两组数据为事件 ，因此从 组数据中选取 组数据共有 种情况，
每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有 种 ，
所以 ，故选取的 组数据恰好是不相邻 天数据的概率是 ．
（2）由数据，求得 ，
，
由公式求得 ，
所以 关于 的线性回归方程为 ．
（3）当 时， ，同样地，当 时，
2AD = 2BD = 2AB = BD AD⊥ AD = PAD ∩
BD ⊥ PAD
DHB∠ 2DE =
1 8 2 2 2 1 45 5PE cos= + − × × × ° =
1 11 2 45 52 2sin DH× × ° = × × 1
5
DH =
10BDtan DHB DH
∠ = = 11
11cos DHB∠ =
PAD PBC 11
11，
所以该研究所得到的线性回归方程式可靠的．
22．（1）由题意得 ，由题意得， 的中点 在圆 上，
所以 ，得 ，所以椭圆方程为 .
（2）依题意可设直线 ，
因为直线 与圆 相切，且切点的第一象限，
所以 ，且有 ，
设 ，将直线 与椭圆方程联立
可得， ， ，且
，
因为 ，故 ，
另一方面
，
化简得 ，同理 ，可得 ，
由此可得 的周长 ，
故 的周长为定值 .
1b = AB 1,2 2
a
O
2 21 12 2
a + = 3a =
2
2 13
x y+ =
:PQ y kx m= +
PQ O
0, 0k m 2 2
2
1, 1
1
m m k
k
= = +
+
( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y PQ
( ) ( )2 2 23 1 6 3 1 0k x kmx m+ + + − = 224 0k∆ = >
( )2
1 2 1 22 2
3 16 ,3 1 3 1
mkmx x x xk k
−−+ = =+ +
( ) 2
22 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2
12 11 1 4 3 13 1
kPQ k x x k x x x x k mk
+= + − = + + − = + −+
2 21m k= +
2
2
2 2
12 2 623 1 3 1
m mkPQ kk k
= = −+ +
( ) 222 2 2 2 2 1
1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 1 3
xPF x y x x y x x
= − + = − + + = − + + −
2
1 1
2 2 2 33 x x= − +
1
63 3PF x= − 2
63 3QF x= − ( )1 2
63 3PF QF x x+ = − +
FPQ∆
2 2
2 6 6 62 3 2 33 1 3 3 1
mk km
k k
−= + − ⋅ =+ +
FPQ∆ 2 3
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