2020 年春四川省泸县第四中学高二第一学月考试
理科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．命题“ ， （ 是自然对数的底数）”的否定是
A．不存在，使 B． ，使
C． ，使 D． ，使
2．下列命题为真命题的是
A．若 为真命题，则 为真命题
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
D．若命题 ： ，使 ，则 ： ，使
3．已知直线 3x−y+1=0 的倾斜角为 α，则
A． B． C．− D．
4．在 中， 是 为等腰三角形的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．圆 上的动点 到点 的距离的最小值为
A．2 B．1 C．3 D．4
1 sin22
α =
3
10
3
5
3
10
1
10
ABC∆ sin sinA B= ABC∆
( )22 3 1x y+ − = P ( )2,3Q6．圆 与圆 的位置关系是
A．相离 B．相交 C．相切 D．内含
7．设 ，已知 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过焦点 的直线 交抛物线于 ， 两点，
的中点为 ，若 ，则点 到 轴的距离为
A．3 B． C．1 D．
9．已知动点 P 在曲线 2y2-x=0 上移动,则点 A(-2,0)与点 P 连线的中点的轨迹方程是
A．y=2x2 B．y=8x2 C．x=4y2-1 D．y=4x2-
10．在正方体 中， 为线段 的中点，若三棱锥 的外接球的
体积为 ，则正方体的棱长为
A． B． C． D．
11．已知点 ， ,直线 l 的方程为 ，且与线段 相交，
则直线 l 的斜率 k 的取值范围为
A． B． C． D．
12．已知椭圆 （ ）， ， 为椭圆上的两点，线段 的垂直平分线交
轴于点 ，则椭圆的离心率 的取值范围是
A． B． C． D．
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．抛物线 的焦点和准线的距离是________.
14．已知关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为{x|2＜x＜3}，则关于 x 的不等式 cx2＋bx＋a
2 2
1 : 2 2 2 0C x y x y+ + − − = 2 2
2 : 6 8 0C x y x y+ − − =
( )0,2α π∈ sin 3 cos 0α α− > α
,3 2
π π
,3
π π
4,3 3
π π
3,3 2
π π
C 2 4y x= F F l M N MN
P 5MN = P y
3
2
1
2
1
2
( )2, 3A − ( )3 2B − −， 1 0kx y k− − + = AB
44
3 −≤≥ kk 或
4
1
4
3 −≤≥ kk 或
4
34- ≤≤ k 44
3- ≤≤ k
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > A B AB x
,05
aM
e
2 ,12
3 ,13
5 ,15
3 ,14
21
4y x=＜0 的
解集为__________．
15．已知两定点 ，点 在椭圆 上，且满足 ，则
=_____.
16．已知点 是双曲线 的左焦点，过 且平
行于双曲线渐近线的直线与圆 交于另一点 ，且点 在抛物线
上，则该双曲线的离心率的平方是________________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）设命题 p：实数 满足不等式 ；
命题 q：关于 不等式 对任意的 恒成立．
（I）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
（II）若“ ”为假命题，“ ”为真命题，求实数 的取值范围.
18．（12 分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的 2000 名学生中
随机抽取 50 名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于 65 分到 145 分之间（满分 150 分），
将统计结果按如下方式分成八组：第一组 ， ，第二组 ， ， 第八组 ，
，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
（I）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；
（II）用样本数据估计该校的 2000 名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区
间的中点值代表该组数据平均值）；
（III）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取 2 名，求他们的分差的绝对
值小于 10 分的概率．
( ) ( )2 0 2 0A B− ， 、 ， P
2 2
116 12
x y+ = 2PA PB− =
PA PB⋅
( )( ),0 0F c c− > ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > F
2 2 2x y c+ = P P 2 4y cx=
a 2 4a <
x 2 3(3 ) 9 0x a x+ − + ≥ x∈R
p a
p q∧ p q∨ a
[65 75) [75 85) …… [135
145]19．（12 分）在一段时间内，分 5 次测得某种商品的价格 （万元）和需求量 （吨）之间的
一组数据为：
价格 1.4 1.6 1.8 2 2.2
需求量
12 10 7 5 3
（Ⅰ）根据上表数据，求出回归直线方程 ；
（Ⅱ）试根据（Ⅰ）中求出的回归方程预估当价格为 1.9 万元时，需求量大约是多少吨？
（参考公式： ， ）
20．（12 分）已知点 P 到直线 y＝﹣4 的距离比点 P 到点 A（0，1）的距离多 3．
（I）求点 P 的轨迹方程；
（II）经过点 Q（0，2）的动直线 l 与点 P 的轨交于 M，N 两点，是否存在定点 R 使得∠MRQ
＝∠NRQ？若存在，求出点 R 的坐标：若不存在，请说明理由.
21．（12 分）已知如图几何体，正方形 和矩形 所在平面互相垂直,
为 的中点, ．
（Ⅰ）求证: 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的大小．
22．（12 分）设椭圆 ： （ ）,左、右焦点分别是 、 且 ,
以 为圆心,3 为半径的圆与以 为圆心,1 为半径的圆相交于椭圆 上的点
x y
x
y
y b x a
∧ ∧ ∧
= +
1
2
1
( )( )
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
∧
=
=
− −
= =
−
∑
∑
1
2 2
1
( )
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
x n x
=
=
−
−
∑
∑ a y b x
∧ ∧
= −
ABCD ABEF
2 2 ,AF AB AD M= = AF BN CE⊥
CF BDM
M BD N− −
C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > 1F 2F 1 2 2 3F F =
1F 2F C K（I）求椭圆 的方程；
（II）设椭圆 ： , 为椭圆 上任意一点,过点 的直线 交椭圆
于 两点,射线 交椭圆 于点
①求 的值；②令 ,求 的面积 的最大值.
C
E
2 2
2 2 14 4
x y
a b
+ = P C P y kx m= + E
,A B PO E Q
OQ
OP
2
21 4
m tk
=+ ABQ△ ( )f t2020 年春四川省泸县第四中学高二第一学月考试
理科数学试题参考答案
1．D 2．B 3．A 4．A 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D
11．A 12．C
13．2. 14． 15．9 16．
17．（1）若命题 为真命题，则 成立，即 ，即
（2）由（1）可知若命题 为真命题，则 ，
若命题 为真命题，则关于 不等式 对任意的 恒成立
则 ，解得 ，
因为“ ”为假命题，“ ”为真命题，所以 命题一真一假，
若 真 假，则 ，即
若 假 真，则 ，即 ，综上，实数 的取值范围为 或 .
18．解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：
．
完成频率分布直方图如下：
（2）用样本数据估计该校的 2000 名学生这次考试成绩的平均分为：
1 1, ,3 2
−∞ ∪ +∞
5 1
2
+
p 2 4a < 22 2a < 2a <
p 2a <
q x 2 3(3 ) 9 0x a x+ − + ≥ x∈R
( )29 3 36 0a∆ = − − ≤ 1 5a− ≤ ≤
p q∧ p q∨ ,p q
p q 2
5 1
a
a a
0∆ 2 24 16m k< +
1 2 2
8
1 4
kmx x k
+ = − +
2
1 2 2
4 16
1 4
mx x k
−= +
2 24
1 2 2
16 4
1 4
k mx x k
+ −− = +
y kx m= + y ( )0,m
AOB 1 2
1
2S m x x= ⋅ − = 2 24
2
1 16 4
2 1 4
k mm k
+ −⋅ +
2
21 4
m tk
=+ 2 (4 )S t t= −
y kx m= + C
( )2 21 4 8k x kmx+ + + 24 4 0m − =
0∆ ≥ 2 21 4m k≤ +
0 1t< ≤ ( )22 2 4S t= − − + ( ]0,1 1t =即有 ，即 ，取得最大值 ，
由①知， 的面积为 ，即 面积的最大值为 .
2 3S ≤ 2 21 4m k= + 2 3
ABQ△ 3S ABQ△ 6 3
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