2020 年春四川省叙州区二中高三第一学月考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．设集合 ,则
A． B． C． D．
2．定义运算 ，若 ，则复数 对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2015 年 1 月至 2017
年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列
结论错误的是
A．年接待游客量逐年增加
B．各年的月接待游客量高峰期在 8 月
C．2015 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30 万人
D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
{ } { }| 2 , 1,0,1,2,3A x x B= < = − A B =
{ }0,1 { }0,1,2 { }-1 0,1， { }-1 0,1,2，
,
,
a b ad bcc d
= − 2
1, 2
,z i i
= z4．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该
程序框图，若输入 分别为 14,18，则输出的
A．0 B．2 C．4 D．14
5．已知 均为单位向量，若 ，则 与 的夹角为
A． B． C． D．
6．函数 在 的图像大致为
A． B． C．
D．
7． 的展开式中 的系数为
A．320 B．300 C．280 D．260
8．5 人并排站成一行，如果甲乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A．12 B．36 C．72 D．120
9．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何
体最长的棱长为
A． B．
C．6 D．
10．将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，再向右平移 个
单位，得到函数 的图象，则 的图象的一条对称轴是
,a b a =
,a b -2 3a b =
a b
6
π
3
π
2
π 2
3
π
3
( ) x x
xf x e e−= + [ 6,6]−
( )( )62 2 2a b a b+ − 4 4a b
4 3 4 2
2 5
( ) 3sin 4 6f x x
π = + 6
π
( )y g x= ( )y g x=A． B． C． D．
11．设 ， ，则
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
12．过双曲线 的右支上一点 分别向圆 ： 和圆 ：
作切线，切点分别为 ，则 的最小值为
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知 ， ， ，则向量 在 方向上的投影为__________．
14． 的内角 的对边分别为 .若 ，则 的面积为
__________.
15．在直三棱柱 中， 且 , ，设其外接球的球心为
，且球 的表面积为 ，则 的面积为__________.
16．以抛物线 ： 的顶点为圆心的圆交 于 两点，交 的准线于
两点.已知 ， ，则 等于__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）设 为等差数列 的前 项和， ， .
（I）求 的通项公式；
（II）若 成等比数列，求 .
18．（12 分）每年七月份，我国 J 地区有 25 天左右的降雨时间，如图是 J 地区 S 镇 2000-2018
年降雨量（单位：mm）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：
12x
π=
6x
π=
3x
π= 2
3x
π=
3a log 0.4= 2b log 3=
ab 0> a b 0+ > ab 0< a b 0+ >
ab 0> a b 0+ < ab 0< a b 0+ <
2
2 13
yx − = P 1C 2 2( 2) 4x y+ + = 2C
2 2( 2) 1x y− + = ,M N 2 2| | | |PM PN−
| | 4a = 1b| |= 2a b⋅ = 2a b− b
ABC△ , ,A B C , ,a b c π6, 2 , 3b a c B= = = ABC△
1 1 1ABC A B C− 90BAC °∠ = 3AB = 1 4BB =
O O 28π ABC∆
C 2 2 ( 0)y px p= > C ,A B C ,D E
| | 2 6AB = | | 2 10DE = p
nS { }na n 2 3 8a a+ = 9 81S =
{ }na
3 14, , mS a S 2mS（I）假设每年的降雨天气相互独立，求 S 镇未来三年里至少有两年的降雨量不超过 350mm 的
概率；
（II）在 S 镇承包了 20 亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总利润为
31.1 万元．而乙品种水果的亩产量 m（kg/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知
乙品种水果的单位利润为 32-0.01×m（元/kg），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品
种的水果可以使利润 ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）；
降雨量 [100，200） [200，300） [300，400） [400，500）
亩产量 500 700 600 400
19．（12 分）如图，梯形 中， ， ， ，将
沿 折到 的位置，使得平面 平面 .
（I）求证： ；
（II）求二面角 的余弦值.
20．已知点 ，直线 为平面内的动点，过点 作直线 的垂线，垂足为
ABCD / /AB DC 4AB = 2AD DC CB= = = BCD∆
BD 'BC D∆ 'BC D ⊥ ABCD
'AD BC⊥
'B AC D− −
( )1,0F − 4l x P= −： ， P l点 ，且 .
（I）求动点 的轨迹 的方程；
（II）过点 作两条互相垂直的直线 与 分别交轨迹 于 四点.求
的取值范围.
21．已知函数 在区间 上为增函数， .
（I）求实数 的取值范围；
（II）当 取最大值时，若直线 ： 是函数 的图像的切线，且
，求 的最小值.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 的极坐标方程为 .
（I）求曲线 的普通方程，曲线 的参数方程；
（II）若 分别为曲线 ， 上的动点，求 的最小值，并求 取得最小值时，
点的直角坐标.
H
1 1 02 2PF PH PF PH − ⋅ + =
P C
F AB MN C A B M N， ， ，
AB MN +
1( ) lnf x x mxx
= − − (0,1) m R∈
m
m l y ax b= + ( ) ( ) 2F x f x x= +
,a b∈R +a b
xoy 1C
3 22
5 22
x t
y t
= +
= −
t x
2C 2
3
1 2sin
ρ
θ
=
+
1C 2C
P Q， 1C 2C PQ PQ Q23．选修 4-5：不等式选讲
（I）如果关于 的不等式 无解，求实数 的取值范围；
（II）若 为不相等的正数，求证： .
x 1 5x x m+ + − ≤ m
,a b 0a b b aa b a b− >2020 年春四川省叙州区二中高三第一学月考试
理科数学参考答案
1．C 2．B 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C 9．C 10．C
11．B 12．A
13．3 14． 15． 16． .
17．（1） ， ，
故 .
（2）由（1）知， .
， ， 成等比数列， ，
即 ，解得 ，故 .
18．（1）频率分布直方图中第四组的频率为
该地区在梅雨季节的降雨量超过 的概率为
所以该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过 的概率为
（或 .）
（2）据题意，总利润为 元，其中 .
所以随机变量 （万元）的分布列如下表：
27 35 31.2 22.4
0.2 0.4 0.3 0.1
故总利润 （万元）的期望
（万元）
6 3 3 3
2 2
( )9 5 1
2 3 2
9 9 4 81
2 3 8
S a a d
a a a d
= = + =
+ = + =
1 1
2
a
d
=∴ =
( )1 1 2 2 1na n n= + + × = −
( ) 21 2 1
2n
n nS n
+ −= =
3S 14a mS 2
3 14· mS S a∴ =
2 29 27m = 9m = 2
2 18 324mS = =
( )1 100 0.002 0.004 0.003 0.1− × + + =
350mm 50 0.003 0.1 0.25× + =
350mm
2 3
2 3
3 3
1 1 1 9 1 514 4 4 64 64 32C C × × − + = + = 0.15625
( )20 32 0.01n n− 500,700,600,400n =
ξ
ξ
P
ξ
27 0.2 35 0.4 31.2 0.3 22.4 0.1Eξ = × + × + × + × 5.4 14.0 9.36 2.24 31= + + + =因为 ，所以老李应该种植乙品种杨梅可使总利润 （万元）的期望更大.
19．（1）在梯形 中，过 作 于 ，
则 ，又 ，所以 ，
， ，故 ，即 .
又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
（2）以 为原点，建立空间直角坐标系 如图所示，则
， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，
即 ，解得 ，
令 ，得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
即 ，解得 ，
令 ，得 ，
所以 ，
结合图形可知，二面角 为钝角，它的余弦值为 .
31 28> ξ
ABCD D DH AB⊥ H
1AH = 2AD = 3DH =
60DAH∠ = ° 30ABD∠ = ° 90ADB∠ = ° AD BD⊥
'BC D ⊥ ABCD 'BC D ABCD BD=
AD ⊂ ABCD AD ⊥ 'BC D
'BC ⊂ 'BC D 'AD BC⊥
D D xyz−
( )2,0,0A ( )0,2 3,0B ( )' 0, 3,1C
( )2,0,0DA = ( )' 2, 3,1AC = − ( )2,2 3,0AB = −
'ADC ( )1 1 1 1, ,n x y z= 1
1
0
' 0
n DA
n AC
⋅ = ⋅ =
1
1 1 1
2 0
2 3 0
x
x y z
=− + + =
1
1 1
0
3
x
z y
= = −
1 1y = ( )1 0,1, 3n = −
'ABC ( )2 2 2 2, ,n x y z= 2
2
0
' 0
n AB
n AC
⋅ = ⋅ =
2 2
2 2 2
2 2 3 0
2 3 0
x y
x y z
− + =
− + + =
2 2
2 2
3
3
x y
z y
=
=
2 1y = ( )2 3,1, 3n =
1 2
1 2
1 2
2 7cos , 72 7
n nn n
n n
⋅ −< >= = = −
×
'B AC D− − 7
7
−20．（1）设动点 ，则 ，
由 ，则 ，
所以 ，化简得 .
故点 的轨迹 的方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时， 轴，
可设 ，
，
当直线 的斜率为 0 时， 轴，同理得 ，
当直线 的斜率存在且不为 0 时，设为 ，则直线 的方程为： ，
设 ，由 得:
，
则
所以
，
( )P x y， ( )4H y− ，
1 1 02 2PF PH PF PH − + =
2 21
4PF PH=
( )2 22 11 44x y x+ + = + 2 2
14 3
x y+ =
P C
2 2
14 3
x y+ =
AB AB x⊥
( ) ( )3 31, 1, 2,0 2,02 2A B M N − − − − ， ， ，
3 4 7AB MN AB MN， ，= = ∴ + =
AB AB y⊥ 7AB MN+ =
AB k AB ( )1y k x= +
( ) ( )1 1 2 2A x y B x y， ， ，
( )
2 2
1
14 3
y k x
x y
= + + =
( )2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k+ + + − =
2 2
2
1 2 1 22 2
8 4 12144 144 0 3 4 3 4
k kk x x x xk k
−∆ = + > + = − =+ +， ，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
224 2
2 2 22 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 222 2
144 164 16 481 4 1 3 43 4 3 4
kk kAB x x y y k x x x x k kk k
+− = − + − = + + − = + − = ++ + 则 ，
直线 的方程为： ，
同理可得： ，
所以
令 ，则
， ，
由 ，得 ； ，得 ； 在 上单调递减，在 上
单调递增
，又 ，故 .
综上所述， 的取值范围是 .
21．（1）∵ ，∴ ．
又函数 在区间 上为增函数，
∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上恒成立．
令 ，
则当 时， 取得最小值，且 ，∴ ，
∴实数 的取值范围为 ．
( )2
2
12 1
3 4
k
AB k
+
= +
MN ( )1 1y xk
= +
( )
2
2
2 2
112 1 12 1
3 413 4
kk
MN k
k
− + + = = + + −
( ) ( )2 2
2 2
12 1 12 1
3 4 3 4
k k
AB MN k k
+ +
+ = ++ +
2 1t k= + ( )1,t ∈ +∞
( ) 12 12
3 1 4 1
t tg t t t
∴ = ++ −
( ) ( )
( ) ( )2 2
84 2
3 1 4 1
t tg t
t t
−∴ =
+ −
′
( ) 0g t′ > 2t > ( ) 0g t′ < 1 2t< < ( )g t∴ ( )1,2 ( )2,+∞
( ) ( ) 482 7g t g∴ ≥ = ( ) ( )
2
7 112 12 7 73 1 4 1 12 1
tt tg t t t t t
−= + = +
( ) ( )( )2
3 2 3 3
2 11 2 1 2 x xx xh x x x x x x
′ + −+ −= − + = =
( )0,1x∈ ( ) ( )0,h x h x′ < ( )1,x∈ +∞ ( ) ( )0,h x h x′ >
1x = ( )h x ( ) ( )1 1minh x h= = − a b+ 1−
1C
3 22
5 22
x t
y t
= +
= −
t
t 4 0x y+ − =
2
3
1 2sin
ρ
θ
=
+
( )2 21 2sin 3ρ θ∴ + =
2 2 22 sin 3ρ ρ θ+ = 2 2 22 3x y y∴ + + =
2
2 13
x y+ =
2C∴ 3x cos
y sin
ϕ
ϕ
= =
ϕ
2C ( )3 ,cos sinϕ ϕ Q 1C
2sin 42cos sin 4 3
2 2
πϕϕ ϕ
+ − + − =当 时，即 时， 取得最小值 ，即 的最小值为 ，
， .
23．（1）令 ，
则当 时， ；当 时， ；当 时， ，
综上可得 ，即 ．
故要使不等式 的解集是空集，则有 ，所以实数 的取值范围为
．
（2）证明：由 为不相等的正数，
要证 ，即证 ，只需证 ，整理得 ，
①当 时， ，可得 ，
②当 时， ，可得 ，
综上可得当 均为正数时 ，从而 成立．
∴ sin 13
πϕ + = 6
πϕ = d 2 PQ 2
33 6 2
1
6 2
x cos
y sin
π
π
= =∴
= =
3 1,2 2Q ∴
1 5y x x= + + − =
2 4, 1
6, 1 5
2 4, 5
x x
x
x x
− + ≤ −
− < a b b aa b a b> 1a b b aa b− − > 1
a ba
b
− >
a b> 0, 1aa b b
− > > 1
a ba
b
− >
a b< 0,0 1aa b b
− < < < 1
a ba
b
− >
,a b 1
a ba
b
− > 0a b b aa b a b− >
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