四川省宜宾四中2020届高三数学（理）下学期第一次在线月考试题（Word版带答案）

2020 年春四川省宜宾四中高三第一学月考试 理科数学 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 的子集个数为 A． B． C． D． 2． 为虚数单位，复数 在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知 f(x)= ,则 f[f(3)]= A．1 B．2 C．3 D．5 4．下列函数中，任取函数定义域内 ，满足 ，且 在定义域内单调递减的函数是 A． B． C． D． 5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他 在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是 比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项 式值的一个实例.若输入 的值分别为 .则输出 的值为 A． B． C． D． 6．函数 的图象大致形状为 { }0,1A = { }0,1,2B = A B 4 3 2 1 i 2 1 iz = + 1, 0 0, 0 1, 0 x x x x x − >  =  + 0y > 2 1x y+ = 2 xy x y+ 1 4 1 5 1 9 1 12 x y+ =14．已知向量 =（sin2α，1）， =（cosα，1），若 ∥ ， ，则 ______． 15．已知公比为整数的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，若 ，则数列 的前 项和为______． 16．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线与椭圆交于 、 两点，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 __________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民 节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准： （单位：吨），用水量不超过 的部分按平价收费，超过 的部分按议价收费，为了了解全布 市民用用水量分布情况，通过袖样，获得了 100 位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据 按照 …… 分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 （1）求频率分布直方图中 的值； （2）若该市政府看望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 （吨），估计 的值，并说明理 a b a b π0 2 α< < α = { }na n nS 2 4a = 3 14S = 2logn nb a= 1 1 n nb b +       100 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F 2F 2F A B 1F AB A x x [0,0.5),[0.5,1) [4,4,5] a x x由。 18．（12 分） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， . （1）求 ； （2）求 中的最长边. 19．（12 分）如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点，以 为折痕 将 向上折起， 变为 ，且平面 平面 . （1）求证： ； （2）求二面角 的大小. 20．（12 分）已知椭圆 过点 ,直线 与椭圆 相交于 两点(异于点 ).当直线 经过原点时,直线 斜率之积为 . (1)求椭圆 的方程; (2)若直线 斜率之积为 ,求 的最小值. 21．（12 分）已知 . （1）求 的单调区间； ABC∆ A B C a b c 4tan 3A = 1tan 3B = 5a = tanC ABC∆ ABCD 4AB = 2AD = E CD AE DAE∆ D 'D 'D AE ⊥ ABCE 'AD BE⊥ 'A BD E− − 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > ( )2,0P − l C ,A B P l ,PA PB 3 4 − C ,PA PB 1 4 − AB 2( ) 2ln( 2) ( 1) ( ) ( 1)f x x x g x k x= + − + = +， ( )f x（2）当 时，求证：对于 ， 恒成立； （3）若存在 ，使得当 时，恒有 成立，试求 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 已知直线 的参数方程是 （ 是参数），以坐标原点为原点， 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）判断直线 与曲线 的位置关系； （2）过直线 上的点作曲线 的切线，求切线长的最小值. 23．（10 分）已知函数 . （1）解不等式 ； （2）若不等式 的解集为 ，且满足 ，求实数 的 取值范围. 2k = 1x∀ > − ( ) ( )f x g x< 0 1x > − 0( 1, )x x∈ − ( ) ( )f x g x> k l 2 2{ 2 4 22 x t y t = = + t x C 4cos 4 πρ θ = +   l C l C ( ) 2 4 1f x x x= − + + ( ) 9f x ≤ ( ) 2f x x a< + { }2, | 3 0A B x x x= − < B A⊆ a2020 年春四川省宜宾四中高三第一学月考试 理科数学参考答案 1．A 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．D 8．B 9．A 10．B 11．A 12．C 13．5 14． 15． 16． 17．（1）由直方图，可得 ， 解得 . （2）因为前 6 组频率之和为 而前 5 组的频率之和为 所以 . 由 解得 .因此，估计月用水量标准为 2.9 吨，85%的居民每月的用水量不超过标准. 18．（1）因为 . （2）由（1）知 为钝角，所以 为最大角， 因为 ，所以 ，又 ，所以 . 由正弦定理得： ，所以 为最大边. 19．（Ⅰ）证明：∵ ， ， ∴ ，∴ ， 取 的中点 ，连结 ，则 ， ∵ 平面 平面 ， ∴ 平面 ，∴ ， 从而 平面 ，∴ 6 π 100 101 6 3− (0.08 0.16 0.40 0.52 0.12 0.08 0.04) 0.5 1a a+ + + + + + + + × = 0.30a = 0.08 0.16 0.30 0.40 0.52 0.30 0.5 0.88 0.85.+ + + + + × = >（ ） 0.08 0.16 0.30 0.40 0.52 0.5 0.73 0.85.+ + + + × = −+ ( )' 0f x < 2 3 1 0x x+ + < 3 52 2x − +− < < ( )' 0f x > 3 5 2x − +> ( )f x 3 52, 2  − +−    3 5 ,2  − + +∞    ( ) ( ) ( )h x f x g x= − ( ) ( ) ( )22ln 2 1 1 ( 1)x x k x x= + − + − + > − 2k = ( )1,x∈ − +∞ ( ) 0h x < ( ) ( )22 3 1 ' 22 x x h x x − + + = −+ ( )( )2 3 1 2 x x x − + += + 1x > − ( )' 0h x < ( )h x ( )1 0h − = ( )1,x∈ − +∞ ( ) ( )1 0h x h< − = ( ) ( ) 0f x g x− < 1x∀ > − ( ) ( )f x g x< ( ) ( )22 3 1 ' 2 x x h x kx − + + = −+ ( )22 6 2 2 2 x k x k x + + + += − + 2k = ( ) ( )f x g x< 1x∀ > − ( ) ( ) ( )22ln 2 1 2 1x x x+ − + < +不存在满足条件的 ；当 时，对于 ， ， 此时 ．∴ ， 即 恒成立，不存在满足条件的 ； 当 时，令 ，可知 与 符号相同， 当 时， ， ， 单调递减．∴当 时， ，即 恒成立．综上， 的取值范围为 ． 22．（1）由直线 的参数方程消去参数 得 的方程为 . ， ， 曲线 的直角坐标方程为 ， 即 . 圆心 到直线 的距离为 ， 直线 与圆 的相离. （2）直线 上的点向圆 引切线，则切线长为 ． 即切线长的最小值为 . 23．（Ⅰ） 可化为 ， 即 或 或 解得 或 ，或 ； 不等式的解集为 ． （Ⅱ）易知 ； 0x 2k > 1x∀ > − 1 0x + > ( ) ( )2 1 1x k x+ < + ( ) ( ) ( ) ( )22ln 2 1 2 1 1x x x k x+ − + < + < + ( ) ( )f x g x< 0x 2k < ( ) ( ) ( )22 6 2 2t x x k x k= − − + − + ( )t x ( )'h x ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0t x < ( )' 0h x < ( )h x ( )01,x x∈ − ( ) ( )1 0h x h> − = ( ) ( ) 0f x g x− > k ( ),2−∞ l t l 4 2y x= + 4cos 2 2cos 2 2sin4 πρ θ θ θ = + = −   2 2 2 cos 2 2sinρ ρ θ θ∴ = − ∴ C 2 2 2 2 2 2 0x y x y+ − + = ( ) ( )2 2 2 2 4x y− + + =  ( )2, 2− l 2 2 4 2 6 2 2 d + + = = > ∴ l C l C 2 2 22 22 2 4 2 22 2t t    − + + + −          ( )22 8 48 4 32 4 2t s t= + + = + + ≥ 4 2 ( ) 9f x ≤ 2 4 1 9x x− + + ≤ >2, 3 3 9 x x   − ≤ 1 2, 5 9 x x − ≤ ≤  − ≤ < 1, 3 3 9, x x − − + ≤ 2< 4x ≤ 1 2x− ≤ ≤ 2 < 1x− ≤ − [ ]2,4− ( )0,3B =所以 ，又 在 恒成立； 在 恒成立； 在 恒成立； ． B A⊆ 2 4 1 3 5 0,3 5 a x x a aa x x a  − ∈ ≥ ⇒ ⇒ ≥ − + ∈ ≥  在 恒成立 在 恒成立