四川2020届高三数学（理）下学期第一次在线月考试题（Word版带答案）

2020 年春四川省高三第一学月考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知集合 A={x|x=  ≤ ( ) ( )h x f x x a= + − a [1, )+∞ (1, )+∞ ( ,1)−∞ ( ,1]−∞ ( )8 3 1 π+ + ( )8 3 1 2π+ + ( )8 3 1 π+ − ( )8 3 1+ ( )2( ) sin ln 1 4f x x ax x= ⋅ + + y a 2± 4± C 2 2 1( 0)8 x y mm − = > 1F 2F 1F C M N M N 2 2FMN FNM∠ =∠ MN = 8 2 4 212．已知函数 ， ，若对 ， 且 ，使得 ，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．设向量 ， ，若 ，则 ______. 14．在 中任取一实数作为 ，则使得不等式 成立的概率为______. 15．已知抛物线 经过点 ，直线 与抛物线交于相异两点 ， ，若 的内切圆圆心为 ，则直线 的斜率为______. 16．已知四面体 ABCD 的四个顶点均在球 O 的表面上，AB 为球 O 的直径，AB=4，AD=2，BC= ，则四面体 ABCD 体积的最大值为_______。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）如图，已知 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ，点 是 的中点， ，交 于点 ，且 ， . （I）求 ； （II）求 的面积. 18（12 分）如图，平面 ABCD⊥平面 CDEF，且四边形 ABCD 是梯形，四边形 CDEF 是矩形， ，M 是线段 DE 上的点，满足 DM=2ME． (I)证明：BE//平面 MAC； 2( ) 3 5f x x x= − + ( ) lng x ax x= − (0, )x e∀ ∈ 1 2, (0, )x x e∃ ∈ 1 2x x≠ ( ) ( )( 1,2)if x g x i= = a 1 6,e e      7 41 ,ee      7 41 60, ,ee e         7 46 ,ee      (2,4)m = ( 3, )( )n Rλ λ= − ∈ m n⊥  λ = [0,20] x 1 2 log ( 1) 4x − > − 2 2 ( 0)y px p= > (1,2)M l A B MAB∆ (1, )t l 2 2 ABC△ A B C a b c sin ( )sin sina A c a C b B+ − = D AC DE AC⊥ AB E 2BC = 6 2DE = B ABC△ 90 ,BAD CDA AB AD∠ = ∠ = = = 1 2DE CD=(II)求直线 BF 与平面 MAC 所成角的正弦值． 19（12 分）随着科技的发展，网络已逐逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买 到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当 天就能送到，或着第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式，某公司组织统计了近 五年来该公司网购的人数 （单位：人）与时间 （单位：年）的数据，列表如下： 1 2 3 4 5 24 27 41 64 79 （I）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合 与 的关系，请计算相关系数 并 加以说明（计算结果精确到 0.01）．（若 ，则线性相关程度很高，可用线性线性回归 模型拟合） 附：相关系数公式 ，参考数据 . （II）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案． 方案一：毎满 600 元可减 100 元； 方案二：金额超过 600 元可抽奖三次，每次中奖的概率都为都为 ，且毎次抽奖互不影响， 中奖 1 次打 9 折，中奖 2 次打 8 折，中奖 3 次打 7 折． ①两位顾客都购买了 1050 元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概 率． ②如果你打算购买 1000 元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分折应该选择哪种优 iy it it iy y x r | | 0.75r > 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n i i i n n i i i i t t y y r t t y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ 1 2 2 1 1 ( ) ( ) n i i i n n i i i i t y nt y t t y y = = = − = − − ∑ ∑ ∑ 5695 75.47≈ 1 2惠方案． 20．（12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， 是其左右 顶点，点 是椭圆 上任一点，且 的周长为 6，若 面积的最大值为 . （I）求椭圆 的方程； （II）若过点 且斜率不为 0 的直线交椭圆 于 两个不同点，证明：直线 于 的交点在一条定直线上. 21．（12 分）已知函数 ． （I）当 时，证明 的图象与 轴相切； （II）当 时，证明 存在两个零点． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在极坐标系中，直线 l： ，P 为直线 l 上一点，且点 P 在极轴上方 以 OP 为一边作 正三角形 逆时针方向 ，且 面积为 ． （I）求 Q 点的极坐标； （II）求 外接圆的极坐标方程，并判断直线 l 与 外接圆的位置关系． 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 2F F， ,A B P C 1 2PF F∆ 1 2PF F∆ 3 C 2F C ,M N AM BN ( ) ( )2 ln 1f x x x ax= − + − 1a = ( )f x x 1a < ( )f x ρcosθ 3= . OPQ( ) OPQ 3 OPQ OPQ23．（10 分）已知函数 ， （I）当 时，解不等式 ； （II）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.2020 年春四川省高三第一学月考试 理科数学参考答案 1．A 2．B 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．A 10．C 11．A 12．D 13． 14． 15．-1 16． 17．解（1） ，由 得 ， 由余弦定理得 ， ， : （2）连接 ，如下图： 是 的中点， ， ， ， 在 中，由正弦定理得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 18.（1）连接 ，交 于 ，连接 ，由于 ，所以 .所以 .由于 平面 ， 平面 ，所以 平面 3 2 4 5P = 4 3 3 ( )sin sin sina A c a C b B+ − = sin sin sin a b c A B C = = 2 2 2a c ac b+ − = 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac + −= = 0 B π< y t A ( ) 3 0 3 1 1 2 8P A C  = =   ( ) ( ) 631 64P P A P A= − = 1000 100 900− = X X ( ) 3 3 3 1 1700 2 8P X C  = = =   ( ) 2 2 3 1 1 3800 2 2 8P X C  = = × =   ( ) 2 1 3 1 1 3900 2 2 8P X C  = = × × =   ( ) 3 0 3 1 11000 2 8P X C  = = =   ( ) 1 3 3 1700 800 900 1000 8508 8 8 8E X = × + × + × + × = 850 900< 2 2 2 2 2 6, 1 2 3,2 , a c bc a b c + =  × =  = + 1, 3, 2, c b a = ∴ =  = ∴ C 2 2 14 3 x y+ = ( )2,0A − ( )2,0B ( )2 1,0F MN 1x my= +， ，由 ，得 ， ， ， ， 直线 的方程为 ，直线 的方程为 ， ， ， ， 直线 与 的交点在直线 上. 21．证明：（1）当 a＝1 时，f（x）＝（x﹣2）lnx+x﹣1． ∴f′（x）＝lnx+ +1， 若 f（x）与 x 轴相切，切点为（x0，0）， ∴f（x0）＝（x0﹣2）lnx0+x0﹣1＝0 f′（x0）＝lnx0+ +1＝0，解得 x0＝1 或 x0＝4（舍去） ∴x0＝1，∴切点为（1，0）， 故 f（x）的图象与 x 轴相切 （2）∵f（x）＝（x﹣2）lnx+ax﹣1＝0， ∴a＝ ﹣ ＝ ﹣lnx+ ， 设 g（x）＝ ﹣lnx+ ， ∴g′（x）＝﹣ ﹣ + ＝ ， 令 h（x）＝1﹣2x﹣2lnx 易知 h（x）在（0，+∞）为减函数， ∵h（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0， ∴当 x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数 g（x）单调递增， 当 x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数 g（x）单调递减， ∴g（x）max＝g（1）＝1， 当 x→0 时，g（x）→﹣∞，当 x→+∞时，g（x）→﹣∞， ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 2 1 14 3 x mx x y = + + = ( )2 24 3 6 9 0m y my+ + − = 1 2 2 6 4 3 my y m ∴ + = − + 1 2 2 9 4 3y y m = − + ( )1 2 1 2 3 2my y y y∴ = +  AM ( )1 1 22 yy xx = ++ BN ( )2 2 22 yy xx = −− ( ) ( )1 2 1 2 2 22 2 y yx xx x ∴ + = −+ − ( ) ( )2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 32 32 2 y x my y yx x y x my y y + ++∴ = = =− − − 4x∴ = ∴ AM BN 4x =∴当 a＜1 时，y＝g（x）与 y＝a 有两个交点， 即当 a＜1 时，证明 f（x）存在两个零点 22． 由题意，直线 l： ，以 OP 为一边作正三角形 逆时针方向 ， 设 ，由且 面积为 ，则： ，得 ，所以 . 由于 为正三角形，所以：OQ 的极角为 ，且 ，所以 由于 为正三角形，得到其外接圆的直径 ， 设 为 外接圆上任意一点． 在 中， ，所以 满足 ． 故 的外接圆方程 ， 又由直线 l： 和 的外接圆直角坐标方程为 ． 可得圆心到直线的距离 ，即为半径，故直线与圆相外切． 23．（1）当 时， ，所以 ， 即求不同区间对应 解集，所以 的解集为. （2）由题意， 对任意的 恒成立，即 对任意的 ( )1 ρcosθ 3= OPQ( ) 3P ,θcosθ       OPQ 3 23 3( ) 34 cosθ = 3cosθ 2 = πθ 6 = OPQ π 2 PO OQ 2= = πQ 2, .2      ( )2 OPQ 4 3OR 3 = ( )M ρ,θ OPQ Rt OMR π ρcos θ3 OR  − =   ( )M ρ,θ 4 3 πρ cos θ3 3  = −   OPQ 4 3 πρ cos θ3 3  = −   x 3= OPQ 2 2 2 3x y x 2y 03 + − − = 2 3d 3 =恒成立，令 ， 所以函数 的图象应该恒在 的下方，数形结合可得.