四川泸县四中2020届高三数学（文）下学期第一次在线月考试题（Word版带答案）

2020 年春四川省泸县四中高三第一学月考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．设全集 ，集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．已知 i 为虚数单位，在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．函数 的最小正周期为 A．2 B． C． D． 4．函数 的图像是 A． B． C． D． 5．已知数列 为等比数列，则“ ”是“数列 单调递增”的 A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条 件 6．已知 ， ，则 的值为 U = R { | 1 4}M x x= − < < { }2| log ( 2) 1N x x= − < ( )UM C N∩ = φ { | 4 2}x x− < ≤ { | 4< > b c a> > a b c> > c a b> > x y 1 0 2 0 0 x y x y x − + ≤  + − ≤  ≥ 2 7 ( 3)x y c x+ − ≥ − c ( 3]5,−∞ ( ,2]−∞ 5[ , )3 +∞ [2, )+∞ F C 2 2 13 2 x y+ = P C (1,2 2)A PA PF+ 4 2+ 4 2 4 3+ 4 3 ( ) 2sin(2 )6f x x π= + (1,2)a∈ x ( ) 0(0 )f x a x m− = ≤ < m 2,2 3 π π     ,3 2 π π     2,2 3 π π     ,6 3 π π     D ABC− O ABC∆ O 16π D ABC− 9 3 4 3 3 2 2 3 3 3 ( ) 4 31 20194f x ax x x= − + + ( )'f x ( )f x ( )'f x 0x ( )0 0,x ∈ +∞ a ( ), 2−∞ − ( ), 1−∞ − ( )1,+∞ ( )2,+∞ 3, 4, ( 2, 7)a b a b= = − =   a b+ = 14．计算： =__________． 15．甲乙丙丁四位同学一起到某地旅游，当地有 ， ， ， ， ， 六件手工纪念品， 他们打算每人买一件，甲说：只要不是 就行；乙说： ， ， ， 都行；丙说：我喜欢 ，但是只要不是 就行；丁说：除了 ， 之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可 以共同买的手工纪念品为__________． 16．在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，且 的面积 .则角 __________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）已知数列 的各项均为正数，前 项和为 ， ， ． （I）求数列 的项 ； （II）求数列 的前 项和 . 18．（12 分）某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从 9:00 到 21:00 这个时间段送的 50 单外卖.以 2 小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小 哥平均每单的收入情况如下表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如下图. 时间区间 每单收入（元） 6 5.5 6 6.4 5.5 6.5 （Ⅰ）求频率分布直方图中 的值，并求这个外卖小哥送这 50 单获得的收入； （Ⅱ）在这个外卖小哥送出的 50 单外卖中男性订了 25 单，且男性订的外卖中有 20 单带饮品， 女性订的外卖中有 10 单带饮品，请完成下面的 列联表，并回答是否有 的把握认为 3 2 82lg225lg −−+ A B C D E F A C D E F C D C E { }na n nS 1 1a = 1 2 1n n na a S+ = + { }na 2 1na − { }na 2n 2nS [9,11) [11,13) [13,15) [15,17) [17,19) [19,21] a 2 2× 99.5%“带饮品和男女性别有关”？ 19．（12 分）20.如图，在三棱柱 中， 、 分别是 、 的中点. （I）设棱 的中点为 ，证明： 平面 ； （II）若 ， ， ，且 平面 平面 ，求三棱锥 的体积. 20（12 分）已知椭圆 的方程为 ， 是椭圆上的一点，且 在第一象限内，过 且斜率等于-1 的直线与椭圆 交于另一点 ，点 关于原点的对称点为 ． （I）证明：直线 的斜率为定值； （II）求 面积的最大值． 21（12 分）设 ．（ ） （I）讨论 的单调区间； （II）当 时， 在 上的最小值为 ，求 在 上的最大值． C 2 2 14 2 x y+ = A A A C B A D BD ABD∆ axxxxf 22 1 3 1)( 23 ++−= Ra∈ )(xf 20 × × × 99.5% ( )1 1,D x y ( )2 2,B x y ( )1 1,A x y− − BD 2 1 2 1 y yk x x −= − 2 2 1 1 2 2 2 2 14 2 14 2 x y x y  + =  + = 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 y y x x x x y y − += − ×− +由直线 ，所以 ，直线 的斜率为定值 . （2）连结 ，∵ ， 关于原点对称，所以 ， 由（1）可知 的斜率 ，设 方程为 . ∵ 在第三象限，∴ 且 ， 到 的距离 ， 由 ，整理得： ， ∴ ， ， ∴ ， . ∴当 时， 取得最大值 . 21.（1）若 ，即 时， 恒成立， 在 上单调递减； （2）若 ，即 时，令 ，得两根 ， 当 或 时 ， 单调递减；当 时， ， 单调递增． 1 2 1 2 1AB y yk x x += = −+ 2 1 2 1 1 2 y yk x x −= =− BD 1 2 OB A D 2ABD OBDS S∆ ∆= BD 1 2k = BD 1 2y x t= + D 2 1t− < < 0t ≠ O BD 2 1 51 4 t td = = + 2 2 1 2 14 2 y x t x y  = +  + = 2 23 4 4 8 0x tx t+ + − = 1 2 4 3 tx x+ = − ( )2 1 2 4 2 3 t x x − ⋅ = 12 2 2ABD OBDS S BD d∆ ∆= = × × × ( )2 1 2 1 2 25 42 5 tx x x x= + − × ( )2 1 2 1 24t x x x x= × + − ( )2 2 296 32 4 2 3 2 23 3 tt t t −= ⋅ = ⋅ ⋅ − ≤ 6 2t = − ABDS∆ 2 2综上所述：当 时， 的单调递减区间为 ； 当 时， 的单调递减区间为 和 ， 单调递增区间为 ； （Ⅱ） 随 的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 当 时，有 ，所以 在 上的最大值为 又 ，即 ． 所以 在 上的最小值为 ． 得 ，从而 在 上的最大值为 ． 22．（1）将曲线 的极坐标方程，化为直角坐标方程为 ； （2）直线 的参数方程为： （ 为参数）， C 2 2 8 8 0x y x y+ − − = l 21 2 2 2 x t y t  = +  = t将其带入上述方程中得： ，则 ， 所以 . 23．解：（1） ， 其图象如下图： （2）若 ，由（1）知函数 的图象与 轴的交点的纵坐标为 3， 各部分所在直线的斜率的最小值为-3， 故当且仅当 且 时 时，不等式 恒成立， 所以 ，所以 ， 故 的最大值为-6. 2 7 2 7 0t t− − = 1 2 1 2 7 2 7 t t t t  + = = − 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 14 7 t t PA PB t t t t −+ = + = = ( ) 1 2 1f x x x= + + − 3 1, 1 3, 1 1 3 1, 1 x x x x x x − + < − = − + − ≤