2020 年春四川省泸县四中高三第一学月考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．设全集 ，集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．已知 i 为虚数单位，在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．我市高三年级第二次质量检测的数学成绩近似服从正态分布，且.已知我市某校有 800 人参
加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于 90 分的人数为
A．64 B．81 C．100 D．121
4．函数的图像是
A． B． C． D．
5．已知数列 为等比数列，则“ ”是“数列 单调递增”的
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
6．已知 ， ，则 的值为
U = R { | 1 4}M x x= − < < { }2| log ( 2) 1N x x= − < ( )UM C N∩ =
φ { | 4 2}x x− < ≤ { | 4< > b c a> > a b c> > c a b> >
x y
1 0
2 0
0
x y
x y
x
− + ≤
+ − ≤
≥
2 7 ( 3)x y c x+ − ≥ − c
( 3]5,−∞ ( ,2]−∞ 5[ , )3
+∞ [2, )+∞
F C
2 2
13 2
x y+ = P C (1,2 2)A PA PF+
4 2+ 4 2 4 3+ 4 3
( ) 2sin(2 )6f x x
π= + (1,2)a∈ x
( ) 0(0 )f x a x m− = ≤ < m
2,2 3
π π
,3 2
π π
2,2 3
π π
,6 3
π π
D ABC− O ABC∆ O
16π D ABC−
9 3
4
3 3
2 2 3 3 3
( ) 4 31 20194f x ax x x= − + + ( )'f x ( )f x ( )'f x
0x ( )0 0,x ∈ +∞ a
( ), 2−∞ − ( ), 1−∞ − ( )1,+∞ ( )2,+∞
3, 4, ( 2, 7)a b a b= = − = a b+ = 个没有重复数字的 5 位数，则这样的 5 位数的个数为________（用数字作答）.
15．甲乙丙丁四位同学一起到某地旅游，当地有 ， ， ， ， ， 六件手工纪念品，
他们打算每人买一件，甲说：只要不是 就行；乙说： ， ， ， 都行；丙说：我喜欢
，但是只要不是 就行；丁说：除了 ， 之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可
以共同买的手工纪念品为__________．
16．在中，角所对的边分别为，若，且的面积.则角__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）已知数列 的各项均为正数，前 项和为 ， ， ．
（I）求数列 的项 ；
（II）求数列 的前 项和 .
18．（12 分）某鲜花店每天制作 、 两种鲜花共 束，每束鲜花的成本为 元，售
价 元，如果当天卖不完，剩下的鲜花作废品处理.该鲜花店发现这两种鲜花每天都有剩余，
为此整理了过往 100 天这两种鲜花的日销量（单位：束），得到如下统计数据：
种鲜花日销量 48 49 50 51
天数 25 35 20 20
两种鲜花日销
量
48 49 50 51
天数 40 35 15 10
以这 100 天记录的各销量的频率作为各销量的概率，假设这两种鲜花的日销量相互独立.
（1）记该店这两种鲜花每日的总销量为 束，求 的分布列.
（2）鲜花店为了减少浪费，提升利润，决定调查每天制作鲜花的量 束.以销售这两种鲜花的
日总利润的期望值为决策依据，在每天所制鲜花能全部卖完与 之中选其一，应选哪个？
A B C D E F
A C D E F
C D C E
{ }na n nS 1 1a = 1 2 1n n na a S+ = +
{ }na 2 1na −
{ }na 2n 2nS
A B *( )n n N∈ a
2a
A
B
X X
n
99n =19．（12 分）如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为 2，是圆所在平面内
一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接，.
（I）求证：平面平面；
（II）若是的中点，连接，，当二面角的大小为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20（12 分）已知椭圆 的方程为 ， 是椭圆上的一点，且 在第一象限内，过
且斜率等于-1 的直线与椭圆 交于另一点 ，点 关于原点的对称点为 ．
（I）证明：直线 的斜率为定值；
（II）求 面积的最大值．
21（12 分）设 ．（ ）
（I）讨论 的单调区间；
C
2 2
14 2
x y+ = A A A
C B A D
BD
ABD∆
axxxxf 22
1
3
1)( 23 ++−= Ra∈
)(xf（II）当 时， 在 上的最小值为 ，求 在 上的最大值．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，以原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴，曲线 的极坐标方程为
.
（I）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（II）过点 作倾斜角为 的直线 与圆 交于 ， 两点，试求 的值．
23．已知函数 .（10 分）
（I）在平面直角坐标系中作出函数 的图象；
（II）若当 时，不等式 恒成立，求 的最大值.
20 99n =故平面的一个法向量为，∴.
∴ 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
20．（1）设 ， ，则 ，直线 的斜率 ，
由 ，两式相减， ，
由直线 ，所以 ，直线 的斜率为定值 .
（2）连结 ，∵ ， 关于原点对称，所以 ，
由（1）可知 的斜率 ，设 方程为 .
∵ 在第三象限，∴ 且 ， 到 的距离 ，
由 ，整理得： ，∴ ， ，
∴
，
.∴当 时， 取得最大值 .
21.（1）若，即时，恒成立，在上单调递减；
（2）若，即时，令，得两根
，
当或时，单调递减；当时，，单调递增．
( )1 1,D x y ( )2 2,B x y ( )1 1,A x y− − BD 2 1
2 1
y yk x x
−= −
2 2
1 1
2 2
2 2
14 2
14 2
x y
x y
+ =
+ =
2 1 1 2
2 1 1 2
1
2
y y x x
x x y y
− += − ×− +
1 2
1 2
1AB
y yk x x
+= = −+
2 1
2 1
1
2
y yk x x
−= =− BD 1
2
OB A D 2ABD OBDS S∆ ∆=
BD 1
2k = BD 1
2y x t= +
D 2 1t− < < 0t ≠ O BD
2
1 51 4
t td = =
+
2 2
1
2
14 2
y x t
x y
= +
+ =
2 23 4 4 8 0x tx t+ + − = 1 2
4
3
tx x+ = − ( )2
1 2
4 2
3
t
x x
−
⋅ =
12 2 2ABD OBDS S BD d∆ ∆= = × × × ( )2
1 2 1 2
25 42 5
tx x x x= + − ×
( )2
1 2 1 24t x x x x= × + −
( )2
2 296 32 4 2 3 2 23 3
tt t t
−= ⋅ = ⋅ ⋅ − ≤ 6
2t = − ABDS∆ 2 2综上所述：当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为和，
单调递增区间为；
（Ⅱ）随的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
当时，有，所以在上的最大值为
又，即．
所以在上的最小值为．
得，从而在上的最大值为．
22．（1）将曲线 的极坐标方程，化为直角坐标方程为： ；
（2）直线 的参数方程为： （ 为参数），将其带入上述方程中得：
，
则 ，所以 .
C 2 2 8 8 0x y x y+ − − =
l
21 2
2
2
x t
y t
= +
=
t
2 7 2 7 0t t− − =
1 2
1 2
7 2
7
t t
t t
+ = = −
1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 3 14
7
t t
PA PB t t t t
−+ = + = =23．解：（1） ，
其图象如下图：
（2）若 ，由（1）知函数 的图象与 轴的交点的纵坐标为 3，
各部分所在直线的斜率的最小值为-3，
故当且仅当 且 时 时，不等式 恒成立，
所以 ，所以 ，
故 的最大值为-6.
( ) 1 2 1f x x x= + + −
3 1, 1
3, 1 1
3 1, 1
x x
x x
x x
− + < −
= − + − ≤
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