南京师范大学附属中学2020届高三数学下学期期初试题（Word版带答案）

高三数学试卷 第 1 页 共 19 页 南师附中 2020 届高三年级第二学期期初检测试卷 数学试题 第Ⅰ卷（必做题，160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上） 1．已知 ， ，则 __________． 2．复数 （ 是虚数单位）在复平面内所对应点的在第__________象限． 3．某班有男生 30 人，女生 20 人，现采用分层抽样的方法在班上抽取 15 人参加座谈会， 则抽到的女生人数为__________． 4．按照程序框图（如图）执行，第 3 个输出的数是__________． 5．抛物线 的焦点坐标为__________． { }23 1,xA x x R+= ≥ ∈ 2 1 1,3 xB x x Rx  −= ≤ ∈ +  A B = (1 )z i i= + i 2 8y x= （第 4 题） （第 13 题）高三数学试卷 第 2 页 共 19 页 6．若 是从 0，1，2，3 四个数中任取的一个数， 是从 1，2 两个数中任取的一个数，则 关于 的一元二次方程 有实根的概率是__________． 7．已知某圆锥底面圆的半径 ，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 __________． 8．已知等差数列 中， ， ，则 的前 10 项和是__________． 9．已知函数 ，则 的值为__________． 10．已知点 A（0，3），直线 l：y＝2x－4，设圆 C 的半径为 1，且圆心 C 在直线 l 上．若圆 C 上存在点 M，使得|MA|＝2|MO|，则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为__________． 11．已知不等式 的解集为 A，不等式 的解集为 B，若 “ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围是__________． 12．已知 ， ，且 ，则 的最大值为__________． 13．如图，已知 ， ， ，圆 是以 为圆心半径为 1 的圆，圆 是以 为圆心的圆．设点 ， 分别为圆 ，圆 上的动点，且 ，则 的取值范围是__________． 14．若 ， 是函数 ， 的两个极值点，且 ，则 的取值范围为__________． 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分 14 分） 已知 a，b，c 分别是△ABC 三个角 A，B，C 所对的边，且满足 acos B＋bcos A＝ a b x 2 22 0x ax b+ + = 1r = { }na 3 42 1a a− = − 3 0a = { }na 2 , 4( ) ( 1), 4 x xf x f x x  ≤=  − > 2(5 log 6)f + 2 12 1 x x − >− ( )2 2 1 0 0x x m m+ + − ≤ > x A∈ x B∈ 0a > 0b > 3 112 6a b a b + + ≤ + 3 ab a b+ AB AC⊥ 3AB = 3AC = A A B B P Q A B 1 2AP BQ=  CP CQ⋅  1x 2x ( ) 2 ln 2f x x m x x= + − m R∈ 1 2x x< ( )1 2 f x x高三数学试卷 第 3 页 共 19 页 c cos A cos C ． （1）求证：A＝C； （2）若 b＝2，BA→ · BC→ ＝1，求 sin B 的值． 16．（本小题满分 14 分） 如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AD∥平面 BCC1B1，AD⊥DB．求证： （1）BC∥平面 ADD1A1； （2）平面 BCC1B1⊥平面 BDD1B1． 17．（本小题满分 14 分） 如图，圆 是一半径为 米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划 在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中 两点在 上， 恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在 四点处安装四 盏 照 明 设 备 ， 从 圆 心 点 出 发 ， 在 地 下 铺 设 条 到 四 点 线 路 ． （1）若正方形边长为 米，求广场的面积； （2）求铺设的 条线路 总长度的最小值． （第 16 题） B A CD D1 B1 A1 C1 O 10 ,A B O , , ,A B C D , ,A B ,C D O 4 , , ,A B C D , , ,OA OB OC OD 10 4 , , ,OA OB OC OD高三数学试卷 第 4 页 共 19 页 18．（本小题满分 16 分） 如图，已知椭圆 C： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a＞b＞0）的离心率为 1 2 ，右准线方程为 x＝4，A，B 分 别是椭圆 C 的左，右顶点，过右焦点 F 且斜率为 k（k＞0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点（其中，M 在 x 轴上方）． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设线段 MN 的中点为 D，若直线 OD 的斜率为－ 1 2 ，求 k 的值； （3）记△AFM，△BFN 的面积分别为 S1，S2，若 S1 S2 ＝ 3 2 ，求 M 的坐标． l x y F A B O M N x＝4 （第 18 题） D C O A B （第 17 题）高三数学试卷 第 5 页 共 19 页 19．（本小题满分 16 分） 已知函数 f(x)＝lnx＋a x＋1，a∈R． （1）若函数 f(x)在 x＝1 处的切线为 y＝2x＋b，求 a，b 的值； （2）记 g(x)＝f(x)＋ax，若函数 g(x)在区间(0，1 2)上有最小值，求实数 a 的取值范围； （3）若当 a＝0 时，关于 x 的方程 f(x)＝bx2 有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值 范围． 20．（本小题满分 16 分） 设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，已知 ，且 对一切 都成立． （1）当 ＝1 时， ①求数列 的通项公式； ②若 求数列 的前 项的和 Tn； （2）是否存在实数 ，使数列 是等差数列．如果存在，求出 的值；若不存在， 说明理由． { }na n nS 1 1a = 1 1 1 λ+ + +− = −n n n n n na S a S a a *n∈N λ { }na ,)1( nn anb += { }nb n λ { }na λ高三数学试卷 第 6 页 共 19 页 南师附中 2020 届高三年级第二学期期初检测试卷 数学试题 第Ⅱ卷（选做题，40 分） 21．【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答卷 卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修 4—2：矩阵与变换 已知矩阵 M＝[ 2 1 1 2 ]． （1）求 M2 ； （2）求矩阵 M 的特征值和特征向量．高三数学试卷 第 7 页 共 19 页 B．选修 4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系 中，求曲线 与 的交点 的极坐标． 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答卷卡指定区域内作答．解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y2＝2px(p＞0)及点 M(2，0)，动直线 l 过点 M 交抛物线于 A，B 两点，当 l 垂直于 x 轴时，AB＝4． （1）求 p 的值； （2）若 l 与 x 轴不垂直，设线段 AB 中点为 C，直线 l1 经过点 C 且垂直于 y 轴，直线 l2 经过点 M 且垂直于直线 l，记 l1，l2 相交于点 P，求证：点 P 在定直线上． ( ) (0 2π)ρ θ θ 0nS > 1 11 1 n n n n S a S a + ++ =+ 3 1 3 12 2 1 2 1 2 1 11 1 1 1 n n n n S S a aS a S S S a a a + ++ ++ ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅+ + + 1 11 2n nS a+ ++ = 2n ≥ 1 2n nS a+ = 1 2n na a+ = ( )1 2 2n n a na + = ≥ 1n = 2 2a = 1n = { }na 12n na -= ( )1n nb n a= + ( ) 11 2n nb n −= + ⋅ 0 1 2 2 12 2 3 2 4 2 2 ( 1) 2n n nT n n− −= × + × + × + + × + + × 1 2 3 12 2 2 3 2 4 2 2 ( 1) 2n n nT n n−= × + × + × + + × + + ×高三数学试卷 第 16 页 共 19 页 所以 ， 所以 ．…………8 分 （2）令 ，得 ．令 ，得 ． 要使数列 是等差数列，必须有 ，解得 ． 当 时， ，且 ．…………10 分 当 时， ， 整理，得 ， ， 从而 ， 化简，得 ，所以 ．…………14 分 综上所述， ， 所以 时，数列 是等差数列．…………16 分 第Ⅱ卷（选做题，40 分） 21．【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答卷 卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修 4—2：矩阵与变换 解：（1） M2 ＝[ 2 1 1 2 ] [ 2 1 1 2 ] ＝[ 5 4 4 5 ] ．…………4 分 1 2 12 2 2 2 ( 1) 2n n nT n−− = + + + + − + × 12(1 2 )2 ( 1) 2 21 2 n n nn n −−= + − + × = − ×− 2n nT n= ⋅ 1n = 2 1a λ= + 2n = ( )2 3 1a λ= + { }na 2 1 32a a a= + 0λ = 0λ = ( )1 11n n n nS a S a+ += + 2 1 1a a= = 2n ≥ ( ) ( )( )1 1 11n n n n n nS S S S S S+ − +− = + − 2 1 1 1n n n n nS S S S S+ − ++ = + 1 1 1 1 n n n n S S S S + − + =+ 3 3 12 4 1 2 1 2 3 1 11 1 1 1 n n n n S S S SS S S S S S S S + − + ++ ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅+ + + 11n nS S ++ = 1 1na + = ( )*1 Nna n= ∈ 0λ = { }na高三数学试卷 第 17 页 共 19 页 （2）矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝| λ－2 －1 －1 λ－2 |＝(λ－1)(λ－3)． 令 f(λ)＝0，解得 M 的特征值为 λ1＝1，λ2＝3．…………6 分 ①当 λ＝1 时，[ 2 1 1 2 ] [ x y ] ＝[ x y ]，得{x＋y＝0， x＋y＝0． 令 x＝1，则 y＝－1，于是矩阵 M 的一个特征向量为[ 1 －1 ]．…………8 分 ②当 λ＝3 时，[ 2 1 1 2 ] [ x y ] ＝3[ x y ]，得{x－y＝0， x－y＝0． 令 x＝1，则 y＝1，于是矩阵 M 的一个特征向量为[ 1 1 ]． 因 此 ， 矩 阵 M 的 特 征 值 为 1 ， 3 ， 分 别 对 应 一 个 特 征 向 量 为 [ 1 －1 ]， [ 1 1 ]．…………10 分 B．选修 4—4：坐标系与参数方程 解：分别化为普通方程得直线 与圆 ，…………4 分 易得直线 与圆 切于点 Q ，…………6 分 所以交点 Q 的极坐标是 ．…………10 分 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答卷卡指定区域内作答．解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 解：（1）因为 l 过 M(2，0)，且当 l 垂直于 x 轴时，AB＝4， 所以抛物线经过点(2，2)， 代入抛物线方程，得 4＝2p×2，解得 p＝1．…………2 分 （2）设直线 l 方程为：y＝k(x－2)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 1x = 2 2( 1) 1x y+ − = 1x = 2 2( 1) 1x y+ − = ( )1 1， ( )π2 4，高三数学试卷 第 18 页 共 19 页 联立{y2＝2x， y＝k(x－2)，消去 x，得 ky2－2y－4k＝0， 则 y1＋y2＝2 k，y1y2＝－4．…………4 分 因为 C 为 AB 中点，所以 yC＝y1＋y2 2 ＝1 k， 则直线 l1 方程为：y＝1 k．…………6 分 因为直线 l2 过点 M 且与 l 垂直，则 l2 方程为：y＝－1 k(x－2)， 联立{y＝， y＝－(x－2)，…………8 分 解得{x＝1， y＝， 即 P(1，1 k)， 所以，点 P 在定直线 x＝1 上．…………10 分 23．（本小题满分 10 分） 解：（1） ； ； ； ．…………4 分 （2）由二项式定理得， ， 因为 01 1 1 111 10 1 =−=+= aaS 2 3 1 1 2 1 1 1111 210 2 =+−=++= aaaS 01 1 3 1 3 1 1 11111 3210 3 =−+−=+++= aaaaS 3 5 1 1 4 1 6 1 4 1 1 111111 43210 4 =+−+−=++++= aaaaaS ( 1) , ,k k k na k n k= − ∈C N≤ !( )!1 !Ck n k n k n −= )!1( ])!(!)][1()1[( 2 1 + −+++−⋅+ += n knkkkn n n )!1( )!()!1()!1(! 2 1 + −+++−⋅+ += n knkknk n n     + −+++ +−⋅+ += )!1( )!()!1( )!1( )!1(! 2 1 n knk n knk n n高三数学试卷 第 19 页 共 19 页 ，…………8 分 所以 ．…………10 分     +⋅+ += + ++ 1 11 C 1 C 1 2 1 k n k nn n ∑ = = n k k n aS 0 1 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1)2 C C C C C C n n n n n n n n n n n + + + + + + +       += ⋅ + − + + + − +      +         0 1 1 1 1 1 1( 1)2 C C n n n n n n + + +  += ⋅ + − +   ( )n n n )1(12 1 −+⋅+ +=