2020年中考数学考点解析：全等三角形判定和性质问题

专题 16 全等三角形判定和性质问题 1．全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2．全等三角形的表示 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形 ABC 全等于三角形 DEF”。 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3．全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。 4．三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。 5．直角三角形全等的判定： HL 定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 【例题 1】（2019•贵州省安顺市）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列 一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF 的是（　　） 专题知识回顾 专题典型题考法及解析 A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC 【解答】选项 A、添加∠A＝∠D 不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确； 选项 B、添加 AC＝DF 可用 AAS 进行判定，故本选项错误； 选项 C、添加 AB＝DE 可用 AAS 进行判定，故本选项错误； 选项 D、添加 BF＝EC 可得出 BC＝EF，然后可用 ASA 进行判定，故本选项错误． 故选：A． 【例题 2】（2019•黑龙江省齐齐哈尔市）如图，已知在△ABC 和△DEF 中，∠B＝∠E，BF＝CE，点 B、F、 C、E 在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是　 　_________（只填一个即 可）． 【答案】AB＝DE． 【解析】添加 AB＝DE； ∵BF＝CE， ∴BC＝EF， 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS） 【例题 3】（2019•铜仁）如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE． 求证：BD＝CE． 【答案】见解析。 【解析】证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE， ∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD． 又 AB＝AC，∠ABD＝∠ACE， ∴△ABD≌△ACE（ASA）． ∴BD＝CE． 一、选择题 专题典型训练题 1. (2019•广东）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，延长 CB 至 E 使 EB=2，以 EB 为边在上方作正方形 EFGB，延长 FG 交 DC 于 M，连接 AM、AF，H 为 AD 的中点，连接 FH 分别与 AB.AM 交于点 N、K．则 下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN=∠HFG；③FN=2NK；④S△AFN : S△ADM =1 : 4．其中正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【解析】AH=GF=2，∠ANH=∠GNF，∠AHN=∠GFN，△ANH≌△GNF（AAS），①正确； 由①得 AN=GN=1，∵NG⊥FG，NA 不垂直于 AF，∴FN 不是∠AFG 的角平分线 ∴∠AFN≠∠HFG，②错误；由△AKH∽△MKF，且 AH:MF=1:3，∴KH:KF=1:3，又∵FN=HN， ∴K 为 NH 的中点，即 FN=2NK，③正确；S△AFN = AN·FG=1，S△ADM = DM·AD=4，∴S△AFN : S△ADM =1 : 4，④正确. 2.（2019▪广西池河）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，BE＝CF，则图中与∠AEB 相 等的角的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B． 【解析】根据正方形的性质，利用 SAS 即可证明△ABE≌△BCF，再根据全等三角形的性质可得∠BFC＝∠ 2 1 2 1 AEB，进一步得到∠BFC＝∠ABF，从而求解． 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB∥BC，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°， 在△ABE 和△BCF 中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BFC＝∠AEB， ∴∠BFC＝∠ABF， 故图中与∠AEB 相等的角的个数是 2． 3.（2019•湖北天门）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，弦 AD∥OC，直线 CD 交 BA 的延长线于 点 E，连接 BD．下列结论：①CD 是⊙O 的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其 中正确结论的个数有（　　） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】A． 【解析】连结 DO． ∵AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线， ∴∠CBO＝90°， ∵AD∥OC， ∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD． 又∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠COD＝∠COB． 在△COD 和△COB 中， ， ∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°． 又∵点 D 在⊙O 上， ∴CD 是⊙O 的切线；故①正确， ∵△COD≌△COB， ∴CD＝CB， ∵OD＝OB， ∴CO 垂直平分 DB， 即 CO⊥DB，故②正确； ∵AB 为⊙O 的直径，DC 为⊙O 的切线， ∴∠EDO＝∠ADB＝90°， ∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°， ∴∠ADE＝∠BDO， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠EDA＝∠DBE， ∵∠E＝∠E， ∴△EDA∽△EBD，故③正确； ∵∠EDO＝∠EBC＝90°， ∠E＝∠E， ∴△EOD∽△ECB， ∴ ， ∵OD＝OB， ∴ED•BC＝BO•BE，故④正确。 4.（2019•湖北孝感）如图，正方形 ABCD 中，点 E.F 分别在边 CD，AD 上，BE 与 CF 交于点 G．若 BC＝ 4，DE＝AF＝1，则 GF 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】证明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，所以∠CGE＝90°，根据等角的余弦可得 CG 的 长，可得结论． 正方形 ABCD 中，∵BC＝4， ∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°， ∵AF＝DE＝1， ∴DF＝CE＝3， ∴BE＝CF＝5， 在△BCE 和△CDF 中， ， ∴△BCE≌△CDF（SAS）， ∴∠CBE＝∠DCF， ∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE， cos∠CBE＝cos∠ECG＝ ， ∴ ，CG＝ ， ∴GF＝CF﹣CG＝5﹣ ＝ 5.（2019•山东省滨州市）如图，在△OAB 和△OCD 中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝ 40°，连接 AC，BD 交于点 M，连接 OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM 平分∠BOC； ④MO 平分∠BMC．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B． 【解析】由 SAS 证明△AOC≌△BOD 得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确； 由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得 出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确； 作 OG⊥MC 于 G，OH⊥MB 于 H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由 AAS 证明△OCG≌△ODH （AAS），得出 OG＝OH，由角平分线的判定方法得出 MO 平分∠BMC，④正确；即可得出结论． ∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC 和△BOD 中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确； 作 OG⊥MC 于 G，OH⊥MB 于 H，如图所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG 和△ODH 中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴MO 平分∠BMC，④正确； 正确的个数有 3 个。 6.（2019•河南）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点 A，C 为圆心， 大于 AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O．若点 O 是 AC 的中点， 则 CD 的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D． 故选：A． 【解析】连接 FC，根据基本作图，可得 OE 垂直平分 AC，由垂直平分线的性质得出 AF＝FC．再根据 ASA 证明△FOA≌△BOC，那么 AF＝BC＝3，等量代换得到 FC＝AF＝3，利用线段的和差关系求出 FD＝AD﹣AF ＝1．然后在直角△FDC 中利用勾股定理求出 CD 的长． 如图，连接 FC，则 AF＝FC． ∵AD∥BC， ∴∠FAO＝∠BCO． 在△FOA 与△BOC 中， ， ∴△FOA≌△BOC（ASA）， ∴AF＝BC＝3， ∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1． 在△FDC 中，∵∠D＝90°， ∴CD2+DF2＝FC2， ∴CD2+12＝32， ∴CD＝2 ． 故选：A． 7．（2019•山东临沂）如图，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE＝FE，FC∥AB，若 AB＝4，CF＝3，则 BD 的长是（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B． 【解析】根据平行线的性质，得出∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，根据全等三角形的判定，得出△ADE≌△CFE， 根据全等三角形的性质，得出 AD＝CF，根据 AB＝4，CF＝3，即可求线段 DB 的长． ∵CF∥AB， ∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F， 在△ADE 和△FCE 中 ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴AD＝CF＝3， ∵AB＝4， ∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1． 二、填空题 8.(2019 四川成都）如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D，E 都在边 BC 上，∠BAD=∠CAE，若 BD=9，则 CE 的长为 . 【答案】9 【 解 析 】 此 题 考 察 的 是 全 等 三 角 形 的 性 质 和 判 定 ， 因 为 △ABC 是 等 腰 三 角 形 ， 所 以 有 AB=AC ， ∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE，所以△ABD △ACE(ASA)，所以 BD=二次，EC=9.≅ 9.（2019•湖南邵阳）如图，已知 AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件 是　 　．（不添加任何字母和辅助线） 【答案】AB＝AC 或∠ADC＝∠AEB 或∠ABE＝∠ACD。 【解析】根据图形可知证明△ADC≌△AEB 已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用 ASA.SAS、 AAS 证明两三角形全等． ∵∠A＝∠A，AD＝AE， ∴可以添加 AB＝AC，此时满足 SAS； 添加条件∠ADC＝∠AEB，此时满足 ASA； 添加条件∠ABE＝∠ACD，此时满足 AAS， 故答案为 AB＝AC 或∠ADC＝∠AEB 或∠ABE＝∠ACD。 10.（2019•天津）如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 12，E 是边 CD 上一点，连接 AE，折叠该纸片，使点 A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为 . 【答案】 【解析】因为四边形ABCD是正方形，易得△AFB≌△DEA，∴AF=DE=5，则BF=13. 13 49 又易知△AFH∽△BFA，所以 ，即AH= ，∴AH=2AH= ，∴由勾股定理得AE=13， ∴GE=AE-AG= 11.（2019•广东省广州市）如图，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E 在边 AB 上运动（不与点 A，B 重合），∠DAM ＝45°，点 F 在射线 AM 上，且 AF＝ BE，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC，EF，EG，则下列结论： ①∠ECF＝45°；②△AEG 的周长为（1+ ）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF 的面积的最大值 a2． 其中正确的结论是　 　．（填写所有正确结论的序号） 故答案为①④． 【解析】如图 1 中，在 BC 上截取 BH＝BE，连接 EH． ∵BE＝BH，∠EBH＝90°， ∴EH＝ BE，∵AF＝ BE，∴AF＝EH， ∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠FAE＝∠EHC＝135°， ∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC， ∴△FAE≌△EHC（SAS）， ∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH， ∵∠ECH+∠CEB＝90°， ∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠FEC＝90°， AH AF BA BF = 13 60 13 120 13 49 ∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确， 如图 2 中，延长 AD 到 H，使得 DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS）， ∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°， ∵CG＝CG，CE＝CH， ∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG＝GH， ∵GH＝DG+DH，DH＝BE， ∴EG＝BE+DG，故③错误， ∴△AEG 的周长＝AE+EG+AG＝AG+GH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误， 设 BE＝x，则 AE＝a﹣x，AF＝ x， ∴S△AEF＝ •（a﹣x）×x＝﹣ x2+ ax＝﹣ （x2﹣ax+ a2﹣ a2）＝﹣ （x﹣ a）2+ a2， ∵﹣ ＜0， ∴x＝ a 时，△AEF 的面积的最大值为 a2．故④正确， 故答案为①④． 12．（2019•山东临沂）如图，在△ABC 中，∠ACB＝120°，BC＝4，D 为 AB 的中点，DC⊥BC，则△ABC 的面 积是　　． 【答案】8 ． 【解析】根据垂直的定义得到∠BCD＝90°，得到长 CD 到 H 使 DH＝CD，由线段中点的定义得到 AD＝BD， 根据全等三角形的性质得到 AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，求得 CD＝2 ，于是得到结论． ∵DC⊥BC， ∴∠BCD＝90°， ∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°， 延长 CD 到 H 使 DH＝CD， ∵D 为 AB 的中点， ∴AD＝BD， 在△ADH 与△BCD 中， ， ∴△ADH≌△BCD（SAS）， ∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°， ∵∠ACH＝30°， ∴CH＝ AH＝4 ， ∴CD＝2 ， ∴△ABC 的面积＝2S△BCD＝2× ×4×2 ＝8 ， 故答案为：8 ． 三、解答题 13.（2019•湖南长沙）如图，正方形 ABCD，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且 DE＝CF，AF 与 BE 相交于点 G． （1）求证：BE＝AF； （2）若 AB＝4，DE＝1，求 AG 的长． 【答案】见解析。 【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握 正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD， ∵DE＝CF， ∴AE＝DF， 在△BAE 和△ADF 中， ， ∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴BE＝AF； （2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF， ∴∠EBA＝∠FAD， ∴∠GAE+∠AEG＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∵AB＝4，DE＝1， ∴AE＝3， ∴BE＝ ＝ ＝5， 在 Rt△ABE 中， AB×AE＝ BE×AG， ∴AG＝ ＝ ． 14.（2019•湖南怀化）已知：如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F 分别为垂足． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形 AECF 是矩形． 【答案】见解析。 【解析】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC， ∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°， 在△ABE 和△CDF 中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）； （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB＝90°， ∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴四边形 AECF 是矩形． 15.（2019•湖南岳阳）如图所示，在菱形 ABCD 中，点 E.F 分别为 AD.CD 边上的点，DE＝DF， 求证：∠1＝∠2． 【答案】见解析。 【解析】由菱形的性质得出 AD＝CD，由 SAS 证明△ADF≌△CDE，即可得出结论． 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD＝CD， 在△ADF 和△CDE 中， ， ∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴∠1＝∠2． 16.（2019•甘肃）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，连接 DE，过点 A 作 AG⊥ED 交 DE 于点 F，交 CD 于点 G． （1）证明：△ADG≌△DCE； （2）连接 BF，证明：AB＝FB． 【解析】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注 意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． （1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC， 又∵AG⊥DE， ∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF， ∴∠DAG＝∠CDE， ∴△ADG≌△DCE（ASA）； （2）如图所示，延长 DE 交 AB 的延长线于 H， ∵E 是 BC 的中点， ∴BE＝CE， 又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB， ∴△DCE≌△HBE（ASA）， ∴BH＝DC＝AB， 即 B 是 AH 的中点， 又∵∠AFH＝90°， ∴Rt△AFH 中，BF＝ AH＝AB． 17.（2019 山东枣庄）在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D． （1）如图 1，点 M，N 分别在 AD，AB 上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2 时，求线段 AM 的 长； （2）如图 2，点 E，F 分别在 AB，AC 上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF； （3）如图 3，点 M 在 AD 的延长线上，点 N 在 AC 上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN＝ AM． 【答案】见解析。 【解析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 AD＝BD＝DC＝ ，求出∠MBD＝30°，根 据勾股定理计算即可； ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°， ∵AB＝2， ∴AD＝BD＝DC＝ ， ∵∠AMN＝30°， ∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠MBD＝30°， ∴BM＝2DM， 由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM2＝（ ）2， 解得，DM＝ ， ∴AM＝AD﹣DM＝ ﹣ ； （2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF， 在△BDE 和△ADF 中， ， ∴△BDE≌△ADF（ASA） ∴BE＝AF； （3）证明：过点 M 作 ME∥BC 交 AB 的延长线于 E， ∴∠AME＝90°， 则 AE＝ AM，∠E＝45°， ∴ME＝MA， ∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°， ∴∠BME＝∠AMN， 在△BME 和△AMN 中， ， ∴△BME≌△AMN（ASA）， ∴BE＝AN， ∴AB+AN＝AB+BE＝AE＝ AM． 18.（2019•河北）如图，△ABC 和△ADE 中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边 AD 与边 BC 交于点 P（不与点 B，C 重合），点 B，E 在 AD 异侧，I 为△APC 的内心． （1）求证：∠BAD＝∠CAE； （2）设 AP＝x，请用含 x 的式子表示 PD，并求 PD 的最大值； （ 3 ） 当 AB⊥AC 时 ， ∠AIC 的 取 值 范 围 为 m° ＜ ∠AIC ＜ n° ， 分 别 直 接 写 出 m ， n 的 值． 【答案】见解析。 【解析】（1）在△ABC 和△ADE 中，（如图 1） ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠BAC＝∠DAE 即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE ∴∠BAD＝∠CAE． （2）∵AD＝6，AP＝x， ∴PD＝6﹣x 当 AD⊥BC 时，AP＝ AB＝3 最小，即 PD＝6﹣3＝3 为 PD 的最大值． （3）如图 2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°， ∵AB⊥AC ∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α， ∵I 为△APC 的内心 ∴AI、CI 分别平分∠PAC，∠PCA， ∴∠IAC＝ ∠PAC，∠ICA＝ ∠PCA ∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA） ＝180°﹣ （∠PAC+∠PCA） ＝180°﹣ （90°﹣α+60°）＝ α+105° ∵0＜α＜90°， ∴105°＜ α+105°＜150°，即 105°＜∠AIC＜150°， ∴m＝105，n＝150． 19.（2019•江苏无锡）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D、E 分别在 AB、AC 上，BD＝CE，BE、CD 相交 于点 O． （1）求证：△DBC≌△ECB； （2）求证：OB＝OC． 【答案】见解析。 【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ECB＝∠DBC 根据全等三角形的判定定理即可得到结论； 证明：∵AB＝AC， ∴∠ECB＝∠DBC， 在△DBC 与△ECB 中 ， ∴△DBC≌△ECB（SAS）； （2）根据全等三角形的性质得到∠DCB＝∠EBC 根据等腰三角形的判定定理即可得到 OB＝OC 证明：由（1）知△DBC≌△ECB， ∴∠DCB＝∠EBC， ∴OB＝OC．