2020年中考数学考点解析：分式方程及其应用

专题 08 分式方程及其应用 1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2．解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。 （1）去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程); （2）按解整式方程的步骤求出未知数的值; （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，原分式方程无解；若不等于零，就是原方 程的根。 【例题 1】（2019•湖北孝感）方程 ＝ 的解为　 　． 【答案】x＝1． 【解析】解一个分式方程时，可按照“一去（去分母）、二解（解整式方程）、三检验（检查求出的根是否是 增根）”的步骤求出方程的解即可．注意：解分式方程时，最后一步的验根很关键．观察可得方程最简公分 母为 2x（x+3）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．两边同时乘 2x（x+3），得 x+3＝4x， 解得 x＝1． 经检验 x＝1 是原分式方程的根． 专题知识回顾 专题典型题考法及解析 【例题 2】（2019 黑龙东地区）已知关于 x 的分式方程 的解是非正数，则 m 的取值范围是（ ） A．m≤3 B．m＜3 C．m＞－3 D．m≥－3 【答案】A 【解析】知识点是分式方程的增根。 由 得 x=m-3， ∵方程的解是非正数， ∴m-3≤0，∴m≤3. 当 x-3=0 即 x=3 时，3=m-3，m=6， ∵m=6 不在 m≤3 内，∴m≤3.故选 A. 【例题 3】（2019•广东省广州市）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做 8 个，甲做 120 个所 用的时间与乙做 150 个所用的时间相等，设甲每小时做 x 个零件，下列方程正确的是（　　） A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝ 【答案】 【解析】设甲每小时做 x 个零件，根据甲做 120 个所用的时间与乙做 150 个所用的时间相等得出方程解答 即可． 设甲每小时做 x 个零件，可得： 【例题 4】（2019•四川自贡）解方程： ﹣ ＝1． 【答案】x＝2． 2 13 x m x − =− 2 13 x m x − =− 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x， 解得：x＝2， 检验：当 x＝2 时，方程左右两边相等， 所以 x＝2 是原方程的解． 【例题 5】（2019•江苏扬州）“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，甲乙两工程队承担河道 整治任务，甲、乙两个工程队每天共整治河道 1500 米，甲工程队整治 3600 米所用的时间与乙工程队整治 2400 米所用时间相等。甲工程队每天整治河道多少米？ 【答案】甲工程队每天整治河道 900 米. 【解析】解设甲工程队每天整治河道 xm，则乙工程队每天整治（1500-x）m 由题意得： ＝ ， 解得：x=900 经检验的 x=900 是该方程的解。 一、选择题 1.（2019▪黑龙江哈尔滨）方程 ＝ 的解为（　　） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 【答案】C 【解析】本题考查解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键． 专题典型训练题 将分式方程化为 ，即可求解 x＝ ；同时要进行验根即可求解。 ＝ ， ， ∴2x＝9x﹣3， ∴x＝ ； 将检验 x＝ 是方程的根， ∴方程的解为 x＝ 2.（2019 山东淄博）解分式方程 ＝ ﹣2 时，去分母变形正确的是（　　） A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2） C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2） 【答案】D 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果． 去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2） 3.（2019•广西贵港）若分式 的值等于 0，则 x 的值为（　　） A．±1 B．0 C．﹣1 D．1 【答案】D 【解析】化简分式 ＝ ＝x﹣1＝0 即可求解。 ＝ ＝x﹣1＝0， ∴x＝1； 经检验：x＝1 是原分式方程的解。 4.（2019 辽宁本溪）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃 圾分类.用 360 万元购买甲型机器人和用 480 万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为 140 万元.若设甲型机器人每台 x 万元，根据题意，所列方程正确的是 A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】本题考查了分式方程的应用，设甲种型号机器人每台的价格是 x 万元，根据“用 360 万元购买甲型 机器人和用 480 万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于 x 的分式方程． 设甲型机器人每台 x 万元，根据题意，可得： 5. （2019•湖北十堰）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有 6000 米的钢轨需要铺设， 为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设 20 米，就能提前 15 天完成任务．设原计划每天铺 设钢轨 x 米，则根据题意所列的方程是（　　） A． ﹣ ＝15 B． ﹣ ＝15 C． ﹣ ＝20 D． ﹣ ＝20 【答案】A 【解析】考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程． 设原计划每天铺设钢轨 x 米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设 20 米，就能提前 15 天完成任务可 列方程． 设原计划每天铺设钢轨 x 米，可得： 6. （2019•山东省济宁市 ）世界文化遗产“三孔”景区已经完成 5G 基站布设，“孔夫子家”自此有了 5G 网 络．5G 网络峰值速率为 4G 网络峰值速率的 10 倍，在峰值速率下传输 500 兆数据，5G 网络比 4G 网络快 45 360 480 140x x = − 360 480 140 x x =− 360 480 140x x + = 360 480140x x − = 360 480 140x x = − 秒，求这两种网络的峰值速率．设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 兆数据，依题意，可列方程是（　　） A． ﹣ ＝45 B． ﹣ ＝45 C． ﹣ ＝45 D． ﹣ ＝45 【答案】A 【解析】由实际问题抽象出分式方程直接利用 5G 网络比 4G 网络快 45 秒得出等式进而得出答案． 设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 兆数据，依题意，可列方程是： ﹣ ＝45． 7.（2019•江苏苏州）小明 5 元买售价相同的软面笔记本，小丽用 24 元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱 恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵 3 元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记 本每本售价为 元，根据题意可列出的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】考察分式方程的应用，简单题型。找到等量关系为两人买的笔记本数量 二、填空题 8.（2019•甘肃）分式方程 ＝ 的解为　 　． 【答案】x＝ 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的 解． 去分母得：3x+6＝5x+5， x 15 24 3x x = + 15 24 3x x = − 15 24 3x x =+ 15 24 3x x =− 15 24 3x x ∴ = + 解得：x＝ ， 经检验 x＝ 是分式方程的解． 9.（2019•山东省滨州市）方程 +1＝ 的解是　 　． 【答案】x＝1． 【解析】本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求 解，（2）解分式方程一定注意要验根． 去分母，得 x﹣3+x﹣2＝﹣3， 移项、合并，得 2x＝2， 解得 x＝1， 检验：当 x＝1 时，x﹣2≠0， 所以，原方程的解为 x＝1 10.（2019•山东省德州市）方程 ﹣ ＝1 的解为　 　． 【答案】x＝﹣4 【解析】根据分式方程的解法，先将式子通分化简为 ＝1，最后验证根的情况，进而求解。 ﹣ ＝1， ＝1， ＝1， ＝1， x+1＝﹣3， x＝﹣4， 经检验 x＝﹣4 是原方程的根。 11.（2019▪湖北黄石）分式方程： ﹣ ＝1 的解为　 　． 【答案】x＝﹣1 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的 解． 去分母得：4﹣x＝x2﹣4x，即 x2﹣3x﹣4＝0， 解得：x＝4 或 x＝﹣1， 经检验 x＝4 是增根，分式方程的解为 x＝﹣1 12.（2019 四川巴中）若关于 x 的分式方程 + ＝2m 有增根，则 m 的值为　 　． 【答案】1 【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母 x﹣2＝0，得到 x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出 m 的值． 方程两边都乘 x﹣2，得 x﹣2m＝2m（x﹣2） ∵原方程有增根， ∴最简公分母 x﹣2＝0， 解得 x＝2， 当 x＝2 时，m＝1 故 m 的值是 1 13.（2019•江苏宿迁）关于 x 的分式方程 + ＝1 的解为正数，则 a 的取值范围是　　． 【答案】a＜5 且 a≠3． 【解析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出 a 的取值范围，进而结合分式方程有意义的 条件分析得出答案． 去分母得：1﹣a+2＝x﹣2， 解得：x＝5﹣a， 5﹣a＞0， 解得：a＜5， 当 x＝5﹣a＝2 时，a＝3 不合题意， 故 a＜5 且 a≠3． 14.（2019•贵州省安顺市）某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达 36 万千克，为了满足市场 需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的 1.5 倍，总产量比原计划增加了 9 万千克， 种植亩数减少了 20 亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为 x 万千克， 则改良后平均每亩产量为 1.5x 万千克，根据题意列方程为　 　． 【答案】 ﹣ ＝20． 【解析】设原计划平均亩产量为 x 万千克，则改良后平均每亩产量为 1.5x 万千克， 依题意，得： ﹣ ＝20． 故答案为： ﹣ ＝20． 15. (2019 黑龙江绥化)甲乙两辆汽车同时从 A 地出发,开往相距 200km 的 B 地,甲,乙两车的速度之比是 4:5,结 果乙车比甲车早 30 分钟到达 B 地,则甲车速度为______km/h. 【答案】80 【解析】分式方程的应用。 设甲车速度为 4x,乙车速度为 5x,根据题意得: , 解之,得 x＝20,∴甲车速度为 4x＝80. 200 200 1 4 5 2x x − = 三、解答题 16.（2019 广西梧州）解方程： ． 【答案】 是分式方程的解． 【解析】直接利用分式方程的解法解方程得出答案．正确去分母、检验是解题关键． 方程两边同乘以 得： ， 则 ， ， 解得： ， ， 检验：当 时， ，故 不是方程的根， 是分式方程的解． 17.（2019•湖北天门）解分式方程： ＝ ． 【答案】见解析。 【解析】去分母化分式方程为整式方程，解之求得 x 的值，再检验即可得． 两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：2（x+1）＝5， 解得：x＝ ， 检验：当 x＝ 时，（x+1）（x﹣1）＝ ≠0， ∴原分式方程的解为 x＝ ． 18.（2019 贵州省毕节市）解方程：1－ ＝ ． 【答案】见解析。 2 2 612 2 x x x + + =− − 3x = − ( 2)x − 2 2 2 6x x+ + − = 2 6 0x x+ − = ( 2)( 3) 0x x− + = 1 2x = 2 3x = − 2x = 2 0x − = 2x = 3x = − 3 2 2 x x − + 3 1 x x + 【解析】观察可得最简公分母是 2（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 去分母得， 2x+2﹣（x﹣3）＝6x， ∴x+5＝6x， 解得，x＝1 经检验：x＝1 是原方程的解． 19.（2019 年陕西省）解分式方程： ． 【答案】 ． 【解析】去分母，解整式方程，检验根的情况，回答问题． 方程两边同乘 ，得 解得 检验：当 时， ，所以 是原分式方程的解 所以原分式方程的解为 ． 20.(2019 黑龙江大庆)某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器,现在生产 600 台机器所需时间与原计划 生产 450 台机器所需时间相同,求该工厂原来平均每天生产多少台机器? 【答案】见解析。 2 221 1 x x x − + =− − 2 3x = 2 221 1 x x x − + =− − 2 221 1 x x x − + = −− − ( 1)x − 2 2( 1) 2x x− + − = − 2 3x = 2 3x = ( 1) 0x − ≠ 2 3x = 2 3x = 【解析】由已知列出分式方程,解之可得. 设原来每天生产 x 台机器,则现在每天生产(x+50)台, 根据题意得: , 解之,得 x＝150, 经检验,x＝150 是原分式方程的解.答:该工厂原来平均每天生产 150 台机器. 21.（2019 吉林长春）为建国 70 周年献礼，某灯具厂计划加工 9000 套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加 工彩灯的数量是原计划的 1.2 倍，结果提前 5 天完成任务。求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量. 【答案】300 套． 【解析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为 x 套，则实际每天加工彩灯的数量为 1.2x 套， 由题意得： ， 解得：x=300， 经检验，x=300 是原方程的解，且符合题意。 22.（2019•湖南衡阳）某商店购进 A、B 两种商品，购买 1 个 A 商品比购买 1 个 B 商品多花 10 元，并且花 费 300 元购买 A 商品和花费 100 元购买 B 商品的数量相等． （1）求购买一个 A 商品和一个 B 商品各需要多少元； （2）商店准备购买 A、B 两种商品共 80 个，若 A 商品的数量不少于 B 商品数量的 4 倍，并且购买 A、B 商 品的总费用不低于 1000 元且不高于 1050 元，那么商店有哪几种购买方案？ 【答案】见解析。 【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正 确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设购买一个 B 商品需要 x 元，则购买一个 A 商品需要（x+10）元， 依题意，得： ＝ ， 解得：x＝5， 450 600 50x x = + 9000 9000 51.2x x − = 经检验，x＝5 是原方程的解，且符合题意， ∴x+10＝15． 答：购买一个 A 商品需要 15 元，购买一个 B 商品需要 5 元． （2）设购买 B 商品 m 个，则购买 A 商品（80﹣m）个， 依题意，得： ， 解得：15≤m≤16． ∵m 为整数，∴m＝15 或 16． ∴商店有 2 种购买方案，方案①：购进 A 商品 65 个、B 商品 15 个； 方案②：购进 A 商品 64 个、B 商品 16 个． 23.（2019 湖南湘西）列方程解应用题： 某列车平均提速 80km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶 300km，提速后比提速前多行驶 200km，求该 列车提速前的平均速度． 【答案】该列车提速前的平均速度为 120km/h． 【解析】设该列车提速前的平均速度为 xkm/h，则提速后的平均速度为（x+80）km/h，根据时间＝路程÷速 度结合提速前行驶 300km 和提速后行驶 500km（300+200）所用时间相等，即可得出关于 x 的分式方程，解 之经检验后即可得出结论． 设该列车提速前的平均速度为 xkm/h，则提速后的平均速度为（x+80）km/h， 依题意，得：300 푥 = 300 + 200 푥 + 80 ， 解得：x＝120， 经检验，x＝120 是原方程的解，且符合题意．