2020年中考数学考点解析：反比例函数

专题 13 反比例函数 1．反比例函数：形如 y＝ （k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其他形式 xy=k、 。 2．图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对 称轴：直线 y=x 和 y=-x。对称中心是：原点。它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无 限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3．性质:（1）当 k＞0 时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内 y 值随 x 值的增大而减小； （2）当 k＜0 时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内 y 值随 x 值的增大而增大。 4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 5．反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标， 即可求出 k 的值，从而确定其解析式。 【例题 1】（2019 山东枣庄）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A.B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x 轴，点 C 在函数 y＝ （x＞0）的图象上，若 AB＝1，则 k 的值为 （　　） x k 1−= kxy x ky = 专题知识回顾 专题典型题考法及解析 A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】根据题意可以求得 OA 和 AC 的长，从而可以求得点 C 的坐标，进而求得 k 的值，本题得以解 决． ∵等腰直角三角形 ABC 的顶点 A.B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x 轴，AB＝1， ∴∠BAC＝∠BAO＝45°， ∴OA＝OB＝ ，AC＝ ， ∴点 C 的坐标为（ ， ）， ∵点 C 在函数 y＝ （x＞0）的图象上， ∴k＝ ＝1 故选：A． 【例题 2】（2019 湖南郴州）如图，点 A，C 分别是正比例函数 y＝x 的图象与反比例函数 y = 4 푥的图象的交 点，过 A 点作 AD⊥x 轴于点 D，过 C 点作 CB⊥x 轴于点 B，则四边形 ABCD 的面积为　 　． 【答案】8 【解析】∵A、C 是两函数图象的交点， ∴A、C 关于原点对称， ∵CD⊥x 轴，AB⊥x 轴， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD， 又∵反比例函数 y = 4 푥的图象上， ∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD = 1 2 × 4＝2， ∴S 四边形 ABCD＝4S△AOB＝4×2＝8， 故答案为：8． 【例题 3】（2019 江苏镇江）如图，点 A(2，n)和点 D 是反比例函数 y＝ （m＞0，x＞0）图像上的两点， 一次函数 y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点 A，与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C，过点 D 作 DE⊥x 轴，垂 足为 E，连接 OA、OD．已知△OAB 与△ODE 的面积满足 S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4． （1）S△OAB＝________，m＝________； （2）已知点 P(6，0)在线段 OE 上，当∠PDE＝∠CBO 时，求点 D 的坐标． m x 【答案】见解析。 【解析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质等，解 题的关键是利用反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质．先求出 B 点纵坐标和 A 点的横 坐标，利用利用三角形面积公式可得△OBA 的面积，再根据面积的比较关系求出△ODE 的面积，最后根据 反比例函数的比例系数的几何意义求出 m 的值；先由点 A 在双曲线上，求出 A 点坐标；再先求出直线 AB 的解析式；连接 DP，通过条件∠PDE＝∠CBO，∠PED＝∠COB＝90°，得 PD∥AB，于是可令直线 PD 的解析式为 y＝ x＋t，则 0＝ ×6＋t，求出 PD 的解析式； 最后由 解得 ， ．从而锁定 D 点的坐标． （1）∵一次函数 y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点 A，与 y 轴交于点 B， ∴B(0，3)，OB＝3． ∵点 A(2，n)， ∴ ＝2． ∴S△AOB＝ •OB• ＝ ×3×2＝3． ∵S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4， ∴S△DOE＝4． 1 2 1 2 1 32 8 y x y x  = −  = 1 1 8 1 x y =  = 2 2 2 4 x y = −  = − Ay 1 2 Ay 1 2 ∵DE⊥x 轴，且点 D 在双曲线 y＝ 上， ∴ ＝4． ∵m＞0， ∴m＝8． （2）如答图，连接 PD， ∵点 A(2，n)在双曲线 y＝ 上， ∴2n＝8，n＝4，A(2，4)． ∵一次函数 y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点 A，与 y 轴交于点 B， ∴4＝2k＋3． ∴k＝ ，直线 AB 的解析式为 y＝ x＋3． ∵∠PDE＝∠CBO，∠PED＝∠COB＝90°， ∴∠DPE＝∠BCO． ∴PD∥AB． ∴令直线 PD 的解析式为 y＝ x＋t，则 0＝ ×6＋t． m x 1 2 m 8 x 1 2 1 2 1 2 1 2 ∴t＝－3，直线 PD 的解析式为 y＝ x－3． 由 解得 ， ． ∵点 D 在第一象限， ∴D(8，1)． 一、选择题 1. （2019 贵州省毕节市）若点 A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数 y＝﹣ 的图象上， 则 y1、y2、y3 的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 【答案】C． 1 2 1 32 8 y x y x  = −  = 1 1 8 1 x y =  = 2 2 2 4 x y = −  = − 1 x 专题典型训练题 【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出 y1、y2、y3 的值，比较后即可得出结论． ∵点 A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数 y＝﹣ 的图象上， ∴y1＝﹣ ＝ ，y2＝﹣ ＝ ，y3＝﹣ ，又∵﹣ ＜ ＜ ，∴y3＜y1＜y2．故选：C． 2.(2019 安徽)已知点 A（1，﹣3）关于 x 轴的对称点 A'在反比例函数 y＝ 的图象上，则实数 k 的值为（　　） A．3 B． C．﹣3 D．﹣ 【答案】A 【解析】先根据关于 x 轴对称的点的坐标特征确定 A'的坐标为（1，3），然后把 A′的坐标代入 y＝ 中即可 得到 k 的值． 点 A（1，﹣3）关于 x 轴的对称点 A'的坐标为（1，3）， 把 A′（1，3）代入 y＝ 得 k＝1×3＝3． 故选：A． 3.（2019 黑龙江哈尔滨）点(－1,4)在反比例函数 y＝ 的图象上,则下列各点在此函数图象上的是（ ）。 A．（4，-1） B．（- ，1） C．（-4，-1） D．（ ，2） 【答案】A 【解析】反比例函数的图象及性质 将点（﹣1，4）代入 y＝ ， ∴k＝﹣4，∴y＝ ， ∴点（4，﹣1）在函数图象上。 4. （2019 湖北十堰）如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数 y = 푘 푥 1 x 1 4− 1 4 1 2− 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 k x 1 4 1 4 k x 4 x − 的图象分别与线段 AB，BC 交于点 D，E，连接 DE．若点 B 关于 DE 的对称点恰好在 OA 上，则 k＝（　　） A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8 【答案】 【解析】根据点的坐标可得矩形的长和宽，易知点 D 的横坐标，E 的纵坐标，由反比例函数的关系式，可 用含有 k 的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可求出 AF 的长，然后把问题转化到三角形 ADF 中，由勾股定理建立方程求出 k 的值． 解：过点 E 作 EG⊥OA，垂足为 G，设点 B 关于 DE 的对称点为 F，连接 DF、EF、BF，如图所示： 则△BDE≌△FDE， ∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90° 易证△ADF∽△GFE ∴퐴퐹 퐸퐺 = 퐷퐹 퐹퐸， ∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4）， ∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8， ∵D、E 在反比例函数 y = 푘 푥的图象上， ∴E（푘 4，4）、D（﹣8， - 푘 8） ∴OG＝EC = - 푘 4，AD = - 푘 8， ∴BD＝4 + 푘 8，BE＝8 + 푘 4 ∴퐵퐷 퐵퐸 = 4 + 푘 8 8 + 푘 4 = 1 2 = 퐷퐹 퐹퐸 = 퐴퐹 퐸퐺， ∴AF = 1 2퐸퐺 = 2， 在 Rt△ADF 中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2 即：（ - 푘 8）2+22＝（4 + 푘 8）2 解得：k＝﹣12 5.（2019 湖北仙桃）反比例函数 y = - 3 푥，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点（1，﹣3） B．图象位于第二、四象限 C．图象关于直线 y＝x 对称 D．y 随 x 的增大而增大 【答案】D 【解析】由点（1，﹣3）的坐标满足反比例函数 y = - 3 푥，故 A 是正确的； 由 k＝﹣3＜0，双曲线位于二、四象限，故 B 也是正确的； 由反比例函数的对称性，可知反比例函数 y = - 3 푥关于 y＝x 对称是正确的，故 C 也是正确的， 由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故 D 是 不正确的。 6. （2019 黑龙江省龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，平行四边形 OABC 的顶点 A 在反比例函数 的图象上，顶点 B 在反比例函数 的图象上，点 C 在 x 轴的正半轴上，则平行四边 形 OABC 的面积是（ ） 1y x = 5y x = A． B． C．4 D．6 【答案】C 【解析】反比例函数的图象和性质；平行四边形的面积。 设 A(a,b)，B（a+m，b），依题意得 ， ， ∴ ，化简得 m=4a.∵ ，∴ab=1， ∴S 平行四边形 OABC=mb=4ab=4×1=4，故选 C. 7.（2019 广西贺州）已知 ，一次函数 与反比例函数 在同一直角坐标系中的图象 可能 　　 【答案】A 【解析】若反比例函数 经过第一、三象限，则 ．所以 ．则一次函数 的图象应该经 过第一、二、三象限； 若反比例函数 经过第二、四象限，则 ．所以 ．则一次函数 的图象应该经过第二、 x y C BA O 3 2 5 2 1b a = 5b a m = + 1 5 a a m = + 1b a = 0ab < y ax b= − ay x = ( ) ay x = 0a > 0b < y ax b= − ay x = 0a < 0b > y ax b= − 三、四象限．故选项 正确。 8.（2019•湖南衡阳）如图，一次函数 y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 y2＝ （m 为常数且 m≠0）的 图象都经过 A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式 kx+b＞ 的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x＜﹣1 或 0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0 或 x＞2 【答案】C． 【解析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的 x 的取值范围便是不等式 kx+b＞ 的解集． 由函数图象可知，当一次函数 y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数 y2＝ （m 为常数且 m≠0）的图象上 方时，x 的取值范围是：x＜﹣1 或 0＜x＜2， ∴不等式 kx+b＞ 的解集是 x＜﹣1 或 0＜x＜2 9.（2019▪湖北黄石）如图，在平面直角坐标系中，点 B 在第一象限，BA⊥x 轴于点 A，反比例函数 y＝ （x＞0）的图象与线段 AB 相交于点 C，且 C 是线段 AB 的中点，点 C 关于直线 y＝x 的对称点 C'的坐标为 （1，n）（n≠1），若△OAB 的面积为 3，则 k 的值为（　　） A A． B．1 C．2 D．3 【答案】D． 【解析】根据对称性求出 C 点坐标，进而得 OA 与 AB 的长度，再根据已知三角形的面积列出 n 的方程求得 n，进而用待定系数法求得 k． ∵点 C 关于直线 y＝x 的对称点 C'的坐标为（1，n）（n≠1）， ∴C（n，1）， ∴OA＝n，AC＝1， ∴AB＝2AC＝2， ∵△OAB 的面积为 3， ∴ ， 解得，n＝3， ∴C（3，1）， ∴k＝3×1＝3． 10.（2019 内蒙古赤峰）如图，点 P 是反比例函数 y = 푘 푥（k≠0）的图象上任意一点，过点 P 作 PM⊥x 轴， 垂足为 M．若△POM 的面积等于 2，则 k 的值等于（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【答案】A 【解析】∵△POM 的面积等于 2， ∴1 2|k|＝2， 而 k＜0， ∴k＝﹣4． 11.（2019 四川泸州）如图，一次函数 y1＝ax+b 和反比例函数 y2 = 푘 푥的图象相交于 A，B 两点，则使 y1＞y2 成立的 x 取值范围是（　　） A．﹣2＜x＜0 或 0＜x＜4 B．x＜﹣2 或 0＜x＜4 C．x＜﹣2 或 x＞4 D．﹣2＜x＜0 或 x＞4 【答案】B 【解析】观察函数图象可发现：当 x＜﹣2 或 0＜x＜4 时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴使 y1＞ y2 成立的 x 取值范围是 x＜﹣2 或 0＜x＜4．故选：B． 二、填空题 12.（2019 贵州省毕节市） 如图，在平面直角坐标中，一次函数 y＝﹣4x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点．正方形 ABCD 的顶点 C、D 在第一象限，顶点 D 在反比例函数 y＝ （k≠0）的图象上．若正 方形 ABCD 向左平移 n 个单位后，顶点 C 恰好落在反比例函数的图象上，则 n 的值是　 　． k x 【答案】3. 【解析】过点 D 作 DE⊥x 轴过点 C 作 CF⊥y 轴，可证△ABO≌△DAE（AAS），△CBF≌△BAO（AAS）， 则可求 D（5，1），C（4，5），确定函数解析式 y＝ ，C 向左移动 n 个单位后为（4﹣n，5），进而求 n 的 值； 过点 D 作 DE⊥x 轴，过点 C 作 CF⊥y 轴， ∵AB⊥AD， ∴∠BAO＝∠DAE， ∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA， ∴△ABO≌△DAE（AAS）， ∴AE＝BO，DE＝OA， 易求 A（1，0），B（0，4）， ∴D（5，1）， ∵顶点 D 在反比例函数 y＝ 上， ∴k＝5， ∴y＝ ， 易证△CBF≌△BAO（AAS）， 5 x k x 5 x ∴CF＝4，BF＝1， ∴C（4，5）， ∵C 向左移动 n 个单位后为（4﹣n，5）， ∴5（4﹣n）＝5， ∴n＝3， 故答案为 3； 13.（2019 湖北孝感）如图，双曲线 y = 9 푥（x＞0）经过矩形 OABC 的顶点 B，双曲线 y = 푘 푥（x＞0）交 AB， BC 于点 E、F，且与矩形的对角线 OB 交于点 D，连接 EF．若 OD：OB＝2：3，则△BEF 的面积 为　 　． 【答案】25 18 【解析】设 D（2m，2n）， ∵OD：OB＝2：3， ∴A（3m，0），C（0，3n）， ∴B（3m，3n）， ∵双曲线 y = 9 푥（x＞0）经过矩形 OABC 的顶点 B， ∴9＝3m•3n， ∴mn＝1， ∵双曲线 y = 푘 푥（x＞0）经过点 D， ∴k＝4mn ∴双曲线 y = 4푚푛 푥 （x＞0）， ∴E（3m，4 3n），F（4 3m，3n）， ∴BE＝3n - 4 3n = 5 3n，BF＝3m - 4 3m = 5 3m， ∴S△BEF = 1 2BE•BF = 25 18mn = 25 18 故答案为25 18． 14.（2019 北京市）在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上．点 关于 轴 的对称点 在双曲线 上，则 的值为_______. 【答案】0 【解析】关于 x 轴对称的点的坐标特点、双曲线 上点的坐标与 k 的关系. xOy A ( )a b， ( )0 0a b> >， 1ky x = A x B 2ky x = 1 2k k+ ky x = ∵A、B 两点关于 x 轴对称， ∴B 点的坐标为 . 又∵A 、B 两点分别在又曲线 和 上； ∴ . ∴ ；故填 0. 15.（2019 贵州省安顺市） 如图，直线 l⊥x 轴于点 P，且与反比例函数 y1＝k1/x（x＞0）及 y2＝k2/x（x＞ 0）的图象分别交于 A，B 两点，连接 OA，OB，已知△OAB 的面积为 4，则 k1﹣k2＝　 　． 【答案】8 【解析】∵反比例函数 y1＝ （x＞0）及 y2＝ （x＞0）的图象 均在第一象限内， ∴k1＞0，k2＞0． ∵AP⊥x 轴， ∴S△OAP＝ k1，S△OBP＝ k2． ∴S△OAB＝S△OAP﹣S△OBP＝ （k1﹣k2）＝4， 解得：k1﹣k2＝8． 故答案为：8． ( ),a b− ( )a b， ( ),a b− 1ky x = 2ky x = 1 2,ab k ab k= − = 1 2 0k k+ = 第 15 题图 x k1 x k2 2 1 2 1 2 1 16.（2019 辽宁本溪）如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB 和菱形 OCDE 的边 OA，OE 都在 x 轴上， 点 C 在 OB 边上，S△ABD= ，反比例函数 (x＞0)的图象经过点 B，则 k 的值为 【答案】 . 【解析】过点 D、B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、N，设 OE=2a，OA=2b，根据四边形 OCDE 是菱 形和△OAB 为等边三角形可得 DM= a 和 BN= b 进而得出 S△ABD=S 梯形 BDMN+S△ABN-S△ADM，进而求出 b2 的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 k 的值. 过点 D、B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、N. 设 OE=2a，OA=2b. ∵四边形 OCDE 是菱形， ∴DM= a. ∵△OAB 为等边三角形， ∴BN= b， ∴S△ABD=S 梯形 BDMN+S△ABN-S△ADM= ， 解得 b2=1. ∵点 B 的坐标为（b， b），且点 B 在反比例函数 的图象上， ∴k= b2= 3 ky x = 3 3 3 3 3 ( )( ) ( )23 3 3 23 32 2 2 a b a b a a bb+ + ++ − = 3 ky x = 3 3 17.（2019 广西桂林）如图，在平面直角坐标系中，反比例 的图象和 都在第一象限内， ， 轴，且 ，点 的坐标为 ．若将 向下平移 个单位长度， ， 两点同时落在反比例函数图象上，则 的值为　　　　． 【答案】 【解析】 ， ，点 ． ， ， 将 向下平移 个单位长度， ， ， ， 两点同时落在反比例函数图象上， ， 三、解答题 ( 0)ky tx = > ABC∆ 5 2AB AC= = / /BC x 4BC = A (3,5) ABC∆ m A C m 5 4 5 2AB AC= = 4BC = (3,5)A 7(1, )2B∴ 7(5, )2C ABC∆ m (3,5 )A m∴ − 7(5, )2C m− A C 73(5 ) 5( )2m m∴ − = − 5 4m∴ = 18.（2019 年广西柳州市）如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴交于点 B（0，2），将线段 AB 绕 点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AC，反比例函数 y＝ （k≠0，x＞0）的图象经过点 C． （1）求直线 AB 和反比例函数 y＝ （k≠0，x＞0）的解析式； （2）已知点 P 是反比例函数 y＝ （k≠0，x＞0）图象上的一个动点，求点 P 到直线 AB 距离最短时的坐 标． 【答案】见解析。 【解析】将点 A（1，0），点 B（0，2），代入 y＝mx+b，可求直线解析式；过点 C 作 CD⊥x 轴，根据三 角形全等可求 C（3，1），进而确定 k；设与 AB 平行的直线 y＝﹣2x+h，联立﹣2x+b＝ ，当△＝b2﹣24 ＝0 时，点 P 到直线 AB 距离最短； （1）将点 A（1，0），点 B（0，2），代入 y＝mx+b， ∴b＝2，m＝﹣2， ∴y＝﹣2x+2； ∵过点 C 作 CD⊥x 轴， ∵线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AC， ∴△ABO≌△CAD（AAS）， ∴AD＝AB＝2，CD＝OA＝1， ∴C（3，1）， ∴k＝3， ∴y＝ ； （2）设与 AB 平行的直线 y＝﹣2x+h， 联立﹣2x+b＝ ， ∴﹣2x2+bx﹣3＝0， 当△＝b2﹣24＝0 时，b＝ ，此时点 P 到直线 AB 距离最短； ∴P（ ， ）； 19. (2019 黑龙江大庆)如图,反比例函数 和一次函数 y＝kx－1 的图象相交于 A(m,2m),B 两点. (1)求一次函数的表达式; (2)求出点 B 的坐标,并根据图象直接写出满足不等式