2020年中考数学考点解析：二元一次方程组及其应用

专题 07 二元一次方程组及其应用 1．二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是 1 的方程整式方程叫做二元一次。方程一般形 式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。 2．二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。 3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。 4．二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。 5．消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。 （1）代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而 求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 （2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就 能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 【例题 1】（2019 年福建省）解方程组 ． 【答案】方程组的解为 ． 【解析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方 专题知识回顾 专题典型题考法及解析 程组利用加减消元法求出解即可． ， ①+②得：3x＝9，即 x＝3， 把 x＝3 代入①得：y＝﹣2， 则方程组的解为 ． 【例题 2】（2019 年浙江省丽水市）解方程组 【答案】∴ 【解析】根据二元一次方程组的解法，先将式子①化简，再用加减消元法（或代入消元法）求解； ， 将①化简得：﹣x+8y＝5 ③， ②+③，得 y＝1， 将 y＝1 代入②，得 x＝3， ∴ 【例题 3】（2019 年湖南省怀化市）解二元一次方组： 【答案】见解析。 【解析】直接利用加减消元法进而解方程组即可． ， ①+②得： 2x＝8， 解得：x＝4， 则 4﹣3y＝1， 解得：y＝1， 故方程组的解为： ． 【例题 4】（2019 年山东省潍坊市）己知关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足 x＞y，求 k 的取 值范围． 【答案】k＜5． 【解析】先用加减法求得 x﹣y 的值（用含 k 的式子表示），然后再列不等式求解即可． ①﹣②得：x﹣y＝5﹣k， ∵x＞y， ∴x﹣y＞0． ∴5﹣k＞0． 解得：k＜5． 【例题 5】（2019 年海南省）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果， 若购买 2 千克“红土”百香果和 1 千克“黄金”百香果需付 80 元，若购买 1 千克“红土”百香果和 3 千克 “黄金”百香果需付 115 元．请问这两种百香果每千克各是多少元？ 【答案】“红土”百香果每千克 25 元，“黄金”百香果每千克 30 元． 【解析】设“红土”百香果每千克 x 元，“黄金”百香果每千克 y 元， 由题意得： 解得： 【例题 6】（2019 年湖南省益阳市）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种 植一季水稻的“虾•稻”轮作模式．某农户有农田 20 亩，去年开始实施“虾•稻”轮作，去年出售小龙虾每 千克获得的利润为 32 元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙 虾的养殖成本下降 25%，售价下降 10%，出售小龙虾每千克获得利润为 30 元．求去年每千克小龙虾的养殖 成本与售价。 【答案】去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为 8 元、40 元； 【解析】设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为 x 元、y 元， 由题意得： 解得： ； 所以去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为 8 元、40 元。 一、选择题 1.（2019 湖北孝感）已知二元一次方程组{x + y = 1 2x + 4y = 9，则x2 - 2xy + y2 x2 - y2 的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6 【答案】C 【解析】{x + y = 1① 2x + 4y = 9②， 专题典型训练题 ②﹣①×2 得，2y＝7，解得x = 7 2， 把x = 7 2代入①得，7 2 + y＝1，解得y = - 5 2， ∴x2 - 2xy + y2 x2 - y2 = (x - y)2 (x + y)(x - y) = x - y x + y = 7 2 + 5 2 1 = 6． 2.（2019 广西贺州）已知方程组 ，则 的值是 　　 A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】两式相减，得 ， ，即 ，故选：C． 3.（2019 湖南邵阳）某出租车起步价所包含的路程为 ，超过 的部分按每千米另收费．津津乘坐 这种出租车走了 ，付了 16 元；盼盼乘坐这种出租车走了 ，付了 28 元．设这种出租车的起步价为 元，超过 后每千米收费 元，则下列方程正确的是 　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设这种出租车的起步价为 元，超过 后每千米收费 元， 则所列方程组为 4.（2019 四川省雅安市）若 a︰b=3︰4，且 a+b=14，则 2a－b 的值是（ ） A．4 B．2 C．20 D．14 【答案】A 2 3 2 5 x y x y + =  − = 2 6x y+ ( ) 2− 4− 3 2x y+ = − 2( 3 ) 4x y∴ + = − 2 6 4x y+ = − 0 ~ 2km 2km 7km 13km x 2km y ( ) 7 16 13 28 x y x y + =  + = (7 2) 16 13 28 x y x y + − =  + = 7 16 (13 2) 28 x y x y + =  + − = (7 2) 16 (13 2) 28 x y x y + − =  + − = x 2km y (7 2) 16 (13 2) 28 x y x y + − =  + − = 【解析】由 a︰b=3︰4，设 a=3x，b =4x，∴3x+4x=14，∴x=2，∴a=6，b=8，则 2a-b=12-8=4，故选 A． 5.（2019山东东营）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在10场比 赛中得到16分．若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设该队胜的场数为 x，负的场数为 y，由“10 场比赛”可得方程 x+y=10，由“胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分”与“得到 16 分”列方程 2x+y=16，故方程组为 ．故选 A． 6.（2019 湖北仙桃）把一根 9m 长的钢管截成 1m 长和 2m 长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截 法中 1m 长的钢管有 a 根，则 a 的值可能有（　　） A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．9 种 【答案】B 【解析】解：设 2m 的钢管 b 根，根据题意得：a+2b＝9， ∵a、b 均为整数， ∴{a = 1 b = 4，{a = 3 b = 3，{a = 5 b = 2，{a = 7 b = 1． 7. （2019 黑龙江省龙东地区）某学校计划用 34 件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突 出的班级，一等奖奖励 6 件，二等奖奖励 4 件，则分配一、二等奖个数的方案有（ ） A．4 种 B．3 种 C．2 种 D．1 种 【答案】B 【解析】根据题意可列二元一次方程，再根据问题的实际意义，取正整数解即可. 设分配一等奖 x 个，二等奖 y 个，依题意得 6x+4y=34， 其正整数解有 ， ， ，故选 B. =10 2 =16 x y x y ，ì +ïïíï +ïî =10 2 =16 x y x y ， － ì +ïïíïïî =10 2 =16 x y x y ， － ì +ïïíïïî =10 2 =16 x y x y ，ì +ïïíï +ïî =10 2 =16 x y x y ，ì +ïïíï +ïî 1 7 x y =  = 3 4 x y =  = 5 1 x y =  = 8.（2019 吉林长春）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出 九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出 11 钱； 每人出 6 钱，又差 16 钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为 x，买鸡的钱数为 y，可列方程组为 A. B. C. D. 【答案】D. 【解析】设人数为 x，买鸡的钱数为 y， 可列方程组为： 二、填空题 9.（2019 贵州黔西南州）已知{x = a y = b是方程组{ 2x + y = 6 x + 2y = -3的解，则 a+b 的值为　 　． 【答案】1 【解析】解：把{x = a y = b代入方程组{ 2x + y = 6 x + 2y = -3得：{2a + b = 6① a + 2b = -3②， ①+②得：3a+3b＝3，a+b＝1 10.（2019 江苏常州）若 是关于 x、y 的二元一次方程 ax＋y＝3 的解，则 a＝______． 【答案】1 【解析】本题考查了二元一次方程的解的定义， 将 代入方程 ax＋y＝3，得 a＋2＝3，a＝1， 因此本题答案为 1． 11.（2019·湖南张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直 田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只    =+ =+ yx yx 166 119    =− =− yx yx 166 119    =− =+ yx yx 166 119    =+ = yx yx 166 11-9 9 -11 6 16 x y x y =  + = 1 2 x y =  = 1 2 x y =  = 知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步． 【答案】12． 【解析】二元方程组的应用；整体思想；完全平方公式。 设矩形的长为 x 步，宽为 y 步，根据题意，得 ， 从而(x＋y)2－4xy＝602－4×864＝3600－3456＝144， 即(x－y)2＝144，于是，x－y＝12． 12.（2019 湖北咸宁）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量 之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺；将绳子对折再 量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？”如果设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，可列方程组为　 　． 【答案】{x + 4.5 = y x - 1 = 1 2y ． 【解析】设木条长 x 尺，绳子长 y 尺， 依题意，得：{x + 4.5 = y x - 1 = 1 2y ． 13.（2018 云南）某活动小组购买了 4 个篮球和 5 个足球，一共花费了 435 元，其中篮球的单价比足球的单 价多 3 元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，依题意，可列方程组 为　 　． 【答案】 ． 【解析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关 系．根据题意可得等量关系：①4 个篮球的花费+5 个足球的花费=435 元，②篮球的单价﹣足球的单价=3 元， 根据等量关系列出方程组即可． 设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，由题意得： 864 60 xy x y =  + = ． 三、应用题 14.（2019 年山西省）解方程组： 【答案】见解析。 【解析】①+②得，4x＝﹣8，∴x＝﹣2， 把 x＝﹣2 代入①得，﹣6﹣2y＝﹣8， ∴y＝1， ∴ ． 15.（2019 年广东省广州市）解方程组： ． 【答案】见解析。 【解析】运用加减消元解答即可． ， ②﹣①得，4y＝2，解得 y＝2， 把 y＝2 代入①得，x﹣2＝1，解得 x＝3， 故原方程组的解为 ． 16.（2018 海南）解方程组： 【答案】见解析。 【解析】根据二元一次方程组代入消元解方程即可. , 由①得：x=-2y ③ 将③代入②得：3（-2y）+4y=6， 解得：y=-3, 将 y=-3 代入③得：x=6， ∴原方程组的解为： 17.（2019 年山东省烟台市）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划 组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配 36 座新能源客车若干辆，则有 2 人没有座位；若只调配 22 座新能源客车，则用车数量将增加 4 辆，并空出 2 个座位． （1）计划调配 36 座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？ （2）若同时调配 36 座和 22 座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【答案】见解析。 【解析】（1）设计划调配 36 座新能源客车 x 辆，该大学共有 y 名志愿者，则需调配 22 座新能源客车 （x+4）辆， 依题意，得： ， 解得： ． 答：计划调配 36 座新能源客车 6 辆，该大学共有 218 名志愿者． （2）设需调配 36 座客车 m 辆，22 座客车 n 辆， 依题意，得：36m+22n＝218， ∴n＝ ． 又∵m，n 均为正整数， ∴ ． 答：需调配 36 座客车 3 辆，22 座客车 5 辆． 18.（2018 四川乐山）某商场有 A，B 两种商品，若买 2 件 A 商品和 1 件 B 商品，共需 80 元；若买 3 件 A 商 品和 2 件 B 商品，共需 135 元． （1）设 A，B 两种商品每件售价分别为 a 元、b 元，求 a、b 的值； （2）B 商品每件的成本是 20 元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售 B 商品 100 件；若销售单价每上涨 1 元，B 商品每天的销售量就减少 5 件． ①求每天 B 商品的销售利润 y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？ ②求销售单价为多少元时，B 商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】见解析。 【解析】 此题主要考查了二次函数的应用以及用配方法求出最大值，准确分析题意，列出 y 与 x 之间的二 次函数关系式是解题关键． （1）根据题意得： ， 解得： ； （2）①由题意得：y=（x﹣20）[100﹣5（x﹣30）] ∴y=﹣5x2+350x﹣5000， ②∵y=﹣5x2+350x﹣5000=﹣5（x﹣35）2+1125， ∴当 x=35 时，y 最大=1125， ∴销售单价为 35 元时，B 商品每天的销售利润最大，最大利润是 1125 元． 19.（2019 年江苏省淮安市）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车皮数量（节） 所用汽车数量（辆） 运输物资总量（吨） 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？ 【答案】每节火车车皮装物资 50 吨，每辆汽车装物资 6 吨； 【解析】本题考查二元一次方程组的应用；能够根据题意列出准确的方程组，并用加减消元法解方程组是 关键． 设每节火车车皮装物资 x 吨，每辆汽车装物资 y 吨， 根据题意，得 ， ∴ ， ∴每节火车车皮装物资 50 吨，每辆汽车装物资 6 吨。 20.（2019 年山东省淄博市）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B 两种产品在 欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为 2060 万元，总利润为 1020 万元（利润＝售价﹣成 本）．其每件产品的成本和售价信息如下表： A B 成本（单位：万元/件） 2 4 售价（单位：万元/件） 5 7 问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？ 【答案】A，B 两种产品的销售件数分别为 160 件、180 件． 【解析】设 A，B 两种产品的销售件数分别为 x 件、y 件； 由题意得： ， 解得： ； 所以 A，B 两种产品的销售件数分别为 160 件、180 件． 21.（2019 湖北荆州）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全 体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队 14 名学生，则还剩 10 名学 生没老师带；若每位老师带队 15 名学生，就有一位老师少带 6 名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的 载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次研学活动的租金总费用不超过 3000 元，为安全起见，每辆客车上至少要有 2 名老师． （1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有 2 名老师，可知租车总辆数为　 　辆； （3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 【答案】见解析。 【解析】（1）设参加此次研学活动的老师有 x 人，学生有 y 人，根据“若每位老师带队 14 名学生，则还 剩 10 名学生没老师带；若每位老师带队 15 名学生，就有一位老师少带 6 名学生”，即可得出关于x，y 的 二元一次方程组，解之即可得出结论。 依题意，得：{14x + 10 = y 15x - 6 = y ， 解得：{x = 16 y = 234． 答：参加此次研学活动的老师有 16 人，学生有 234 人． （2）利用租车总辆数＝师生人数÷35 结合每辆客车上至少要有 2 名老师，即可得出租车总辆数为 8 辆。 ∵（234+16）÷35＝7（辆）……5（人），16÷2＝8（辆）， ∴租车总辆数为 8 辆． 故答案为：8． （3）设租 35 座客车 m 辆，则需租 30 座的客车（8﹣m）辆，根据 8 辆车的座位数不少于师生人数及租车总 费用不超过 3000 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得出 m 的取值范围，结合 m 为正整数 即可得出租车方案数，设租车总费用为 w 元，根据租车总费用＝400×租用 35 座客车的数量+320×租用 30 座客车的数量，即可得出 w 关于 m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 依题意，得：{35m + 30(8 - m) ≥ 234 + 16 400m + 320(8 - m) ≤ 3000 ， 解得：2≤m≤51 2． ∵m 为正整数， ∴m＝2，3，4，5， ∴共有 4 种租车方案． 设租车总费用为 w 元，则 w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560， ∵80＞0， ∴w 的值随 m 值的增大而增大， ∴当 m＝2 时，w 取得最小值，最小值为 2720． ∴学校共有 4 种租车方案，最少租车费用是 2720 元．