2020年中考数学考点解析：二次函数

专题 12 二次函数 1．二次函数的概念：一般地，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c 为常 数)，则称 y 为 x 的二次函数。抛物线 叫做二次函数的一般式。 2.二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像与性质 （1）对称轴： （2）顶点坐标： （3）与 y 轴交点坐标（0，c） （4）增减性： 当 a>0 时，对称轴左边，y 随 x 增大而减小；对称轴右边，y 随 x 增大而增大； 当 a0 时，抛物线的开口向上；当 a0 时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与 x 轴有两个交点； =0 时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与 x 轴有一个交点； 0a < 0c > 12 bx a = − = 专题典型题考法及解析 ， ， ， ，故①正确； 把 代入函数关系式 中得： ， 由抛物线的对称轴是直线 ，且过点 ，可得当 时， ， ，故②错误； ， ， 即： ，故③正确； 由图形可以直接看出④正确． 故答案为：①③④． 【例题 3】（2019 贵州省毕节市）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康， 某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本 10 元．试销阶段每袋 的销售价 x（元）与该士特产的日销售量 y（袋）之间的关系如表： x（元） 15 20 30 … y（袋） 25 20 10 … 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，试求： （1）日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为 多少元？每日销售的最大利润是多少元 【答案】见解析。 2b a∴ = − 0a 0abc∴ < 1x = − 2y ax bx c= + + y a b c= − + 1x = (3,0) 1x = − 0y = 0a b c∴ − + = 2b a= − ( 2 ) 0a a c∴ − − + = 3 0a c+ = 【解析】根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式即可； 利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可． （1）依题意，根据表格的数据，设日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式为 y＝kx+b 得 ，解得 故日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40 （2）依题意，设利润为 w 元，得 w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x+400 整理得 w＝﹣（x﹣25）2+225 ∵﹣1＜0 ∴当 x＝2 时，w 取得最大值，最大值为 225 故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为 25 元，每日销售的最大利润是 225 元． 一、选择题 1.（2019 广西河池）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，则下列结论中，错误的是 　　 A． B． C． D． 【答案】 ． 25 15 20 20 k b k b = +  = + 1 40 k b = − = 2y ax bx c= + + 1x = ( ) 0ac < 2 4 0b ac− > 2 0a b− = 0a b c− + = C 专题典型训练题 【解析】由抛物线的开口方向判断 与 0 的关系，由抛物线与 轴的交点判断 与 0 的关系，然后根据对称 轴及抛物线与 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． .由抛物线的开口向下知 ，与 轴的交点在 轴的正半轴上，可得 ，因此 ，故本选项正确， 不符合题意； .由抛物线与 轴有两个交点，可得 ，故本选项正确，不符合题意； .由对称轴为 ，得 ，即 ，故本选项错误，符合题意； .由对称轴为 及抛物线过 ，可得抛物线与 轴的另外一个交点是 ，所以 ，故本 选项正确，不符合题意．故选： ． 2.（2019 哈尔滨）将抛物线 向上平移 3 个单位长度,再向右平移 2 个单位长度,所得到的抛物线为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将抛物线 y＝2x2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y＝ 2（x﹣2）2+3，故选 B． 3.（2019 湖北咸宁）已知点 A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个 函数可能是（　　） A．y＝x B．y = - 2 푥 C．y＝x2 D．y＝﹣x2 【答案】D 【解析】∵A（﹣1，m），B（1，m）， ∴点 A 与点 B 关于 y 轴对称； a y c x A 0a < y y 0c > 0ac < B x 2 4 0b ac− > C 12 bx a = − = 2a b= − 2 0a b+ = D 1x = (3,0) x ( 1,0)− 0a b c− + = C 22xy = 3)2(2 2 ++= xy 3)2(2 2 +−= xy 3)2(2 2 −−= xy 3)2(2 2 −+= xy 由于 y＝x，y = - 2 푥的图象关于原点对称，因此选项 A、B 错误； ∵n＞0， ∴m﹣n＜m； 由 B（1，m），C（2，m﹣n）可知，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小， 对于二次函数只有 a＜0 时，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小， ∴D 选项正确。 4.（2019 年陕西省）已知抛物线 ，当 时， ，且当 时， y 的值随 x 值的增大而减小，则 m 的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据“当 时， ”，得到一个关于 m 不等式，在根据抛物线 ，可知 抛物线开口向上，再在根据“当 时， y 的值随 x 值的增大而减小”，可知抛物线的对称轴在直线 的右侧或者是直线 ，从而列出第二个关于 m 的不等式，两个不等式联立，即可解得答案． 因为抛物线 ， 所以抛物线开口向上． 因为当 时， ， 所以 ①， 因为当 时， y 的值随 x 值的增大而减小， 所以可知抛物线的对称轴在直线 的右侧或者是直线 ， 所以 ②， 联立不等式①，②，解得 ． 2 ( 1)y x m x m= + + + 1x = 0y > 2x < − 1m > − 3m < 1 3m− < ≤ 3 4m< ≤ 1x = 0y > 2 ( 1)y x m x m= + + + 2x < − 2x = − 2x = − 2 ( 1)y x m x m= + + + 1x = 0y > 21 ( 1) 1 0m m+ + × + > 2x < − 2x = − 2x = − 1 22 1 m +− ≥× 1 3m− < ≤ 5.（2019 广西梧州）已知 ，关于 的一元二次方程 的解为 ， ，则下列 结论正确的是 　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】关于 的一元二次方程 的解为 ， ，可以看作二次函数 与 轴交点的横坐标， 二次函数 与 轴交点坐标为 ， ，如图： 当 时，就是抛物线位于 轴上方的部分，此时 ，或 ； 又 ， ； ， 故选：A． 6.（2019 四川泸州）已知二次函数 y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中 x 是自变量）的图象与 x 轴没有 公共点，且当 x＜﹣1 时，y 随 x 的增大而减小，则实数 a 的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a＞﹣1 C．﹣1＜a≤2 D．﹣1≤a＜2 【答案】D 【解析】y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6， ∵抛物线与 x 轴没有公共点， ∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得 a＜2， 0m > x ( 1)( 2) 0x x m+ − − = 1x 2 1 2( )x x x< ( ) 1 21 2x x< − < < 1 21 2x x− < < < 1 21 2x x− < < < 1 21 2x x< − < < x ( 1)( 2) 0x x m+ − − = 1x 2x ( 1)( 2)m x x= + − x  ( 1)( 2)m x x= + − x ( 1,0)− (2,0) 0m > x 1x < − 2x > 1 2x x 1 0a − < 0a < 1 0a − > 1 2a − ≤ 1 2a ≤ − 1 2a ≤ − 1 2 当 0＜x≤20 且 x 为整数时，y=40， ∴w=(40-16)×20=480 元， 当 0＜x≤20 且 x 为整数时，y=40， ∴当 20＜x≤60 且 x 为整数时，y=- x+50， ∴w=(y-16)x=(- x+50-16)x， ∴w=- x2+34x， ∴w=- （x-34）2+578， ∵- ＜0， ∴当 x=34 时，w 最大，最大值为 578 元． 答：一次批发 34 件时所获利润最大，最大利润是 578 元． 15．（2019•湘潭）湘潭政府工作报告中强调，2019 年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品 品牌．小亮调查了一家湘潭特产店 A、B 两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种湘莲礼盒进价 72 元/盒，售 价 120 元/盒，B 种湘莲礼盒进价 40 元/盒，售价 80 元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为 2800 元，平均每天的总利润为 1280 元． （1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？ （2）小亮调査发现，A 种湘莲礼盒售价每降 3 元可多卖 1 盒．若 B 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当 A 种 湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？ 【答案】见解析。 【解析】根据题意，可设平均每天销售 A 礼盒 x 盒，B 种礼盒为 y 盒，列二元一次方程组即可解题；根据题 意，可设 A 种礼盒降价 m 元/盒，则 A 种礼盒的销售量为：（10+ ）盒，再列出关系式即可． （1）根据题意，可设平均每天销售 A 礼盒 x 盒，B 种礼盒为 y 盒， 则有 ，解得 故该店平均每天销售 A 礼盒 10 盒，B 种礼盒为 20 盒． 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 （2）设 A 种湘莲礼盒降价 m 元/盒，利润为 W 元，依题意 总利润 W＝（120﹣m﹣72）（10+ ）+800 化简得 W＝ m2+6m+1280＝﹣ （m﹣9）2+1307 ∵a＝ ＜0 ∴当 m＝9 时，取得最大值为 1307， 故当 A 种湘莲礼盒降价 9 元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是 1307 元． 16. （2019 广西省贵港市）如图，已知抛物线 的顶点为 ，与 轴相交于点 ， 对称轴为直线 ，点 是线段 的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）写出点 的坐标并求直线 的表达式； （3）设动点 ， 分别在抛物线和对称轴 上，当以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形时，求 ， 两点的坐标． 【答案】见解析。 【解析】函数表达式为： ，将点 坐标代入上式，即可求解； 、 ，则点 ， 设直线 的表达式为： ，将点 坐标代入上式，即可求解；分当 是平行四边形的一条边、 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 2y ax bx c= + + (4,3)A y (0, 5)B − l M AB M AB P Q l A P Q M P Q 2( 4) 3y a x= = + B (4,3)A (0, 5)B − (2, 1)M − AB 5y kx= − A AM AM （1）函数表达式为： ， 将点 坐标代入上式并解得： ， 故抛物线的表达式为： ； （2） 、 ，则点 ， 设直线 的表达式为： ， 将点 坐标代入上式得： ，解得： ， 故直线 的表达式为： ； （3）设点 、点 ， ①当 是平行四边形的一条边时， 点 向左平移 2 个单位、向下平移 4 个单位得到 ， 同样点 向左平移 2 个单位、向下平移 4 个单位得到 ， 即： ， ， 解得： ， ， 故点 、 的坐标分别为 、 ； ②当 是平行四边形的对角线时， 由中点定理得： ， ， 解得： ， ， 故点 、 的坐标分别为 、 ； 故点 、 的坐标分别为 或 、 或 ． 2( 4) 3y a x= = + B 1 2a = − 21 4 52y x x= − + − (4,3)A (0, 5)B − (2, 1)M − AB 5y kx= − A 3 4 5k= − 2k = AB 2 5y x= − (4, )Q s 21( , 4 5)2P m m m− + − AM A M 21( , 4 5)2P m m m− + − (4, )Q s 2 4m − = 21 4 5 42 m m s− + − − = 6m = 3s = − P Q (6,1) (4, 3)− AM 4 2 4m+ = + 213 1 4 52 m m s− = − + − + 2m = 1s = P Q (2,1) (4,1) P Q (6,1) (2,1) (4, 3)− (4,1)