山西省芮城县2020届高三数学（文）3月月考试题（Word版含答案）

高三数学（文）3 月月考试题 2020.3 一．选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．） 1.集合 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2.已知复数 ( )是纯虚数，则 的值为( ) A. B. C. D. 3.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ( ) A. B. C. D. 4.已知函数 是定义在 上的偶函数，当 ， ，则 , ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5．函数 的大致图象为（ ） A． B． C． D． 6.已知点 是抛物线 （ 为坐标原点）的焦点，倾斜角为 的直线 过焦点 且与抛物线在第一象限交于点 ，当 时，抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 7.剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人 以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有 12 个树叶状图形（即图 { }2| 6 0A x x x= − − < { }2| log 1B x x= < A B = ( )2,3− ( ),3−∞ ( )2,2− ( )0,2 i 2 i az += + Ra∈ a 1 2 − 1 2 2− 2 { }na n nS 5 22 2a a− = 15S = 28 30 56 60 ( )f x R 0x ≥ 3( ) 3f x x x= + 3 2(2 )a f= 3 1(log )27b f= ( 2)c f= a b c> > a c b> > b a c> > b c a> > ( ) 21 ln 12f x x x= − − F 2 2 ( 0)y px p= > O 3 π l F A 2AF = 2y x= 2 2y x= 2 4y x= 2 8y x=中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的 概率是（　　） A. B. C. D. 8.已知函数 的部 分图象如图所示，且 ，则 的最小值 为（　　） A. B. C. D. 9.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三 分取一,后人四分取一,余米一斗五升(注:一斗为十升).问,米几何?”下图是解决该问题的程 序框图,执行该程序框图,若输出的 S=15(单位:升),则输入的 k 的值为 (　　) A. 45 B. 60 C. 75 D. 100 3 32 π − 6 34 π − 3 3 π 6 3 π ( ) ( )sinf x A xω ϕ= + π0, 0, 2( )A ω ϕ> > < ( ) ( ) 0f a x f a x+ + − = a π 12 π 6 π 3 5π 12 y x 2 11π 12 O -2 π 610．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2a－c b ＝cos C cos B，b＝4，则△ABC 的 面积的最大值为(　　) A．4 3　　　 B．2 3　　 C．3 3　　 　 D． 3 11.已知 、 是双曲线 ： 的左、右焦点，若直线 与 双曲线 在第一象限交于点 ，过 向 轴作垂线，垂足为 ，且 为 （ 为坐标原点） 的中点，则该双曲线离心率为（ ） A. B. C. D. 12.已知函数 ，若 ( )，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卡上.） 13.已知向量 的夹角为 ，且 ， ，则 __________． 14．某中学教学处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做学习 状况问卷调查．现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号，在 1 至 16 号中随机抽取一个数，如果 抽到的是 6，则从 41 至 56 号中应取的数是__________． 15．已知 ， ，则 的值为__________． 16.已知三棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，则该 三棱锥的内切球的体积为__________． 三、解答题：（本大题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分 12 分) 某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的 1200 名男生和 800 名女生中按分层抽 样的方法抽取 20 名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况 将学生分成三类： 类（不参加课外阅读）， 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读 的时间不超过 3 小时）， 类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过 3 小 时）．调查结果如下表： 1F 2F C 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0 0)a b> >， 3y x= C P P x D D 2OF O 2 3 2 1+ 3 1+ 22 , 0( ) e , 0x x xf x x  ( ) ( ) ( 1)g x f x a x= − + P A B C E F G21.(本小题满分 12 分) 已知动点 P 是△PMN 的顶点，M（﹣2，0），N（2，0），直线 PM，PN 的斜率之积为﹣ ． （1）求点 P 的轨迹 E 的方程； （2）设四边形 ABCD 的顶点都在曲线 E 上，且 AB∥CD，直线 AB，CD 分别过点 （﹣1，0），（1，0），求四边形 ABCD 的面积为 时，直线 AB 的方程． 选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选 修 4-4：坐标系与参数方程 22．在直角坐标系 中，直线 ，圆 ，以坐标原点为 极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求 、 的极坐标方程； （2）若直线 的极坐标方程为 ，设 ， 的交点为 ， ，求 的面 积． 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 （其中 ）. （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围. xOy 2:1 −=xC ( ) ( )2 2 2 : 1 2 1C x y− + − = x 1C 2C 3C π 4 θ = 2C 3C M N 2C MN∆ ( ) 2 2f x x a x= + + − a R∈ 1a = − ( ) 6f x ≥ x 2( ) 3 2f x a x≥ − − a高三文数模拟试题答案 一．1—6 DABCCB 7—12 BABADC 二．13. 14.54 15. 16 . 三、解答题：（本大题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 、【 解 答 】 ： （ 1 ） 设 抽 取 的 20 人 中 ， 男 ， 女 生 人 数 分 别 为 ， ， 则 ， ， 所以 ， ；………6 分 （2）列联表如下： 男生 女生 总计 不参加课外阅读 4 2 6 参加课外阅读 8 6 14 总计 12 8 20 的观测值 ， 所以没有 90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；………12 分 18. 解 :(1) 成 等 比 数 列 ， ， ， ， 解 得 或 (舍去)………2 分 ………4 分 ………6 分 (2)由(Ⅰ)得 ， ， ………8 分 ………10 分 ………12 分 19.解:(1)证明：在 中，由余弦定理得 10 4 3 3 10 − 32 81 π 1n 2n 1 20 1200 122000 ×= =n 2 20 800 82000 ×= =n 12 5 3 4= − − =x 8 3 3 2= − − =y 2K 220(4 6 2 8) 10 0.159 2.70612 8 14 6 63 × − ×= = ≈ ( )' ag x xx = + ( ) ( )( )11 x a xa x − −− + = 0 1a< < ( )' 0g x > 0 x a< < 1x > ( )' 0g x < 1a x< < ( )g x ( )0,a ( ),1a ( )1,+∞ ( ) 21ln 2g a a a a= + ( ) 11 ln 12a a a a a − + = − −   0< ( ) ( )2 2 ln 2 2 0g a a a+ = + > 0 1a< < ( )g x2.当 时， 恒成立， 在 上递增. 又 ， ， 所以当 时函数 恰有一个零点.………9 分 3.当 时， 由 得 或 ， 得 ， ∴ 在 上递增，在 上递减，在 上递增. 又 ， ， ∴当 时函数 恰有一个零点. 综上，当 时，函数 恰有一个零点.………12 分 21．解：（1）设点 P（x，y）， ∵直线 PM 与 PN 的斜率之积为﹣ ， 即 ＝ ＝﹣ ， 化简得 （x≠±2）， ∴动点 P 的轨迹 E 的方程为 （x≠±2）；………4 分 （2）设直线 AB 的方程为 x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0， 1a = ( )' 0g x ≥ ( )g x ( )0,+∞ ( ) 11 2 02g = − < ( )4 ln4 0g = > 1a = ( )g x 1a > ( )' 0g x > 0 1x< < x a> ( )' 0g x < 1 x a< < ( )g x ( )0,1 ( )1,a ( ),a +∞ ( ) 11 02g a= − − < ( ) ( )2 2 ln 2 2 0g a a a+ = + > 1a > ( )g x 0a > ( ) ( ) ( )1g x f x a x= − +则 , y1+y2＝ ， ，………6 分 |y1﹣y2|＝ ＝ ， ∴|AB|＝ ＝ ， 又原点 O 到直线 AB 的距离 d＝ ， ∴S△ABO＝ × ＝ ，………8 分 由图形的对称性可知，SABCD＝4S△ABO， ∴SABCD＝ ＝ ， 化简得 18m4﹣m2﹣17＝0，………10 分 解得 m2＝1，即 m＝±1， ∴直线 AB 的方程为 x＝±y﹣1，即 x±y+1＝0．………12 分 22．解：（1）因为 ， ∴ 的极坐标方程为 ………2 分 的极坐标方程为 ．………5 分 （2）将 代入 ， 得 ，解得 ， ， ，………8 分 因为 的半径为 1，则 的面积 ．………10 分 23.解：（1）方法一：当 时，函数 ， 则不等式为 ， ①当 时，原不等式为 ，解得： ； ②当 时，原不等式为 ，解得： .此时不等式无解； 0>∆ cosx ρ θ= siny ρ θ= 1C cos 2ρ θ = − 2C 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 4 πθ = 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2 3 2 4 0ρ − + = 1 2 2ρ = 2 2ρ = 1 2 2MN ρ ρ= − = 2C 2C MN∆ 1 12 1 sin 452 2 × × × ° = 1a = − ( ) 2 1 2f x x x= − + − 2 1 2 6x x− + − ≥ 2x ≥ 2 1 2 6x x− + − ≥ 3x ≥ 1 22 x≤ < 2 1 2 6x x− + − ≥ 5x ≥③当 时，原不等式为 ，解得： ， 原不等式的解集为 .………5 分 方法二：当 时，函数 ，画出函数 的 图象，如图： 结合图象可得原不等式的解集为 .………5 分 （2）不等式 即为 ， 即关于 的不等式 恒成立. 而 ， 所以 ， 解得 或 ， 解得 或 . 所以 的取值范围是 .………10 分 1 2x < 1 2 2 6x x− + − ≥ 1x ≤ − { | 1 3}x x x≤ − ≥或 1a = − ( ) 2 1 2f x x x= − + − 3 3, 2 11, 22 13 3, 2 x x x x x x   − ≥ = + ≤