八年级数学下册第一章三角形的证明检测卷（北师大版）

第一章检测卷 时间：120 分钟　　　　　满分：120 分 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(　　) A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， 2 D．1，2，2 2．若三角形三个内角的比为 1∶2∶3，则它的最长边与最短边的比为(　　) A．3∶1 B．2∶1 C．3∶2 D．4∶1 3．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E 是 AC 的中点，若 BE＝3，则 DE 的长为(　　) A．3 B．4 C．5 D．无法求出 第 3 题图 第 4 题图 4．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中 AB，CD 分别表示一楼、二楼地面 的水平线，∠ABC＝150°，BC 的长是 8m，则乘电梯从点 B 到点 C 上升的高度 h 是(　　) A. 8 3 3m B．4m C．4 3m D．8m 5．如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点 A，Q 是射线 OM 上的一个动点，若 PA＝3，则 PQ 的最 小值为(　　) A. 3 B．2 C．3 D．2 3 第 5 题图 第 6 题图 6．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB 的垂直平分线分别交 AB 和 AC 于点 D， E，AE＝2，则 CE 的长为(　　) A．1 B. 2 C. 3 D. 5 7．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，AM＝AC，BN＝BC，则 MN 的长为(　　) A．2 B．2.6 C．3 D．4 第 7 题图 第 8 题图 8．如图，AB∥CD，BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，AD 过点 P，且与 AB 垂直．若 AD＝8， 则点 P 到 BC 的距离是(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 9．设 a，b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为 6，斜边长为 2.5，则 ab 的值 是(　　) A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 10．如图，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AD＝CD＝7，若点 P 到 AC 的距离为 5，则点 P 在 四边形 ABCD 边上的个数为(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，斜边上的中线 CD＝3，则斜边 AB 的长是________． 12．已知，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，且 AD＝3，AC＝6，则 AB＝________． 13．如图，∠D＝∠C＝90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△ABC，你添加的条件是 ____________． 第 13 题图 第 14 题图 14．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么点 D 到直线 AB 的距离是________cm. 15．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝ 4 米，AB＝8 米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高 CD 为________米.(结果精确到 0.1 米，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73) 第 15 题图 第 16 题图 16．在底面直径长为 2cm，高为 3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从 A 至 C 按如图 的圈数缠绕，则丝带的最短长度为________cm(结果保留 π)． 17．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，BC 边上的高 AD＝6cm，腰 AB 上的高 CE＝8cm， 则△ABC 的周长等于________cm. 第 17 题图 第 18 题图 18．如图，AB＝6，O 是 AB 的中点，直线 l 经过点 O，∠1＝120°，P 是直线 l 上一点，当△APB 为直角三角形时，AP＝____________． 三、解答题(共 66 分) 19．(6 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的中线，将△ADC 沿 AC 边所 在的直线折叠，使点 D 落在点 E 处，得到四边形 ABCE.求证：EC∥AB. 20．(8 分)证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形， 并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了 不完整的已知和求证． 已 知 ： 如 图 ， ∠AOC ＝ ∠BOC ， 点 P 在 OC 上 ， ________________________________________． 求证：________． 请你补全已知和求证，并写出证明过程．21．(10 分)如图，∠A＝∠B＝90°，E 是 AB 上的一点，且 AE＝BC，∠1＝∠2. (1)Rt△ADE 与 Rt△BEC 全等吗？并说明理由； (2)△CDE 是不是直角三角形？并说明理由． 22．(10 分)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，BD＝DF.求证： (1)CF＝EB； (2)AB＝AF＋2EB.23．(10 分)如图，一根长 6 3的木棒(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，与地面的 倾斜角(∠ABO)为 60°.当木棒 A 端沿墙下滑到点 A′时，B 端沿地面向右滑行至点 B′. (1)求 OB 的长； (2)当 AA′＝1 时，求 BB′的长． 24．(10 分)如图，在 Rt△ABC 中，AB＝CB，ED⊥CB，垂足为 D，且∠CED＝60°，∠EAB＝ 30°，AE＝2，求 CB 的长． 25．(12 分)如图，南北方向 PQ 以东为我国领海，以西为公海，晚上 10 时 28 分，我国边防 反偷渡巡逻 101 号艇在 A 处发现其正西方向的 C 处有一艘可疑船只正向我国领海靠近，便立 即通知正在 PQ 上 B 处巡逻的 103 号艇注意其动向，经测量 AC＝10 海里，AB＝6 海里，BC＝ 8 海里，若该船只的速度为 12.8 海里/时，则可疑船只最早何时进入我国领海？参考答案 1．C　2.B　3.A　4.B　5.C　6.A　7.D　8.C　9.D　 10．A　【解析】如图，过点 D 作 DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为 E，F.在 Rt△ABC 中，AC＝ AB2＋BC2＝10，BF＝ 6 × 8 10 ＝4.8＜5；在△ACD 中，∵AD＝CD，∴AE＝CE＝5，DE＝ 72－52 ＝2 6＜5，则点 P 在四边形 ABCD 边上的个数为 0．故选 A. 11．6　 12.12　 13.AC＝AD(答案不唯一) 14．2　 15.2.9 16．3 π2＋1　【解析】如图，∵无弹性的丝带从 A 至 C，绕了 1.5 圈，∴展开后 AB＝1.5×2π ＝3π(cm)，BC＝3cm，由勾股定理，得 AC＝ AB2＋BC2＝ 9π2＋9＝3 π2＋1(cm)． 17．12 5　【解析】由 AB·CE＝BC·AD，得 8AB＝6BC.设 BC＝8xcm，则 AB＝6xcm，BD＝ 4xcm.在 Rt△ADB 中，AB2＝AD2＋BD2，∴(6x)2＝62＋(4x)2，解得 x＝ 3 5 5.∴△ABC 的周长为 2AB＋BC＝12x＋8x＝12 5(cm)． 18．3 或 3 3或 3 7　【解析】当∠APB＝90°时，分两种情况讨论．情况一：如图 1，∵AO ＝BO，∴PO＝BO.∵∠1＝120°，∴∠PBA＝∠OPB＝ 1 2×(180°－120°)＝30°，∴AP＝ 1 2AB＝3；情况二：如图 2．∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝BO.∵∠1＝120°，∴∠BOP＝ 60°，∴△BOP 为等边三角形，∴∠OBP＝60°，∴∠A＝30°，BP＝ 1 2AB＝3，∴由勾股定理， 得 AP＝ AB2－BP2＝3 3；当∠BAP＝90°时，如图 3，∵∠1＝120°，∴∠AOP＝60°，∴∠APO ＝30°.∵AO＝3，∴OP＝2AO＝6，由勾股定理得 AP＝ OP2－AO2＝3 3；当∠ABP＝90°时， 如图 4，∵∠1＝120°，∴∠BOP＝60°.∵OA＝OB＝3，∴OP＝2OB＝6，由勾股定理得 PB＝ OP2－AO2＝3 3，∴PA＝ PB2＋AB2＝3 7.综上所述，当△APB 为直角三角形时，AP 为 3 或 3 3或 3 7.19．【证明】∵CD 是 AB 边上的中线，且∠ACB＝90°， ∴CD＝AD，∴∠CAD＝∠ACD. 又∵△ACE 是由△ACD 沿 AC 边所在的直线折叠而成的， ∴∠ECA＝∠ACD，∴∠ECA＝∠CAD，∴EC∥AB. 20. 【解】PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.PD＝PE.证明如下： ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在△PDO 和△PEO 中，{∠PDO＝∠PEO， ∠AOC＝∠BOC， OP＝OP， ∴△PDO≌△PEO(AAS)， ∴PD＝PE. 21.【解】(1)全等．理由如下： ∵∠1＝∠2，∴DE＝CE. ∵∠A＝∠B＝90°，AE＝BC， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)． （2）△CDE 是直角三角形．理由如下： ∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠AED＝∠BCE. ∵∠BCE＋∠BEC＝90°，∴∠BEC＋∠AED＝90°， ∴∠DEC＝90°，∴△CDE 是直角三角形． 22.【证明】(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC. 在 Rt△DCF 和 Rt△DEB 中，{DF＝BD， DC＝DE， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)，∴CF＝EB. （2）在 Rt△ADC 与 Rt△ADE 中， ∵{DC＝DE， AD＝AD，∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，∴AC＝AE， ∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB. 23.【解】(1)∵OA⊥OB，∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°， ∴BO＝ 1 2AB＝ 1 2×6 3＝3 3. （2）在 Rt△ABO 中，AO＝ AB2－BO2＝9，∴A′O＝AO－AA′＝9－1＝8. 又由题意可知 A′B′＝AB＝6 3. 在 Rt△A′OB′中，B′O＝ A′B′2－A′O2＝2 11， ∴BB′＝B′O－BO＝2 11－3 3. 24. 【解】如图，过 E 点作 EF⊥AB，垂足为 F. ∵∠EAB＝30°，AE＝2，∴EF＝1，∴BD＝1. 又∵∠CED＝60°，ED⊥BC，∴∠ECD＝30°. 而 AB＝CB，AB⊥BC，∴∠EAC＝∠ECA＝45°－30°＝15°， ∴CE＝AE＝2. 在 Rt△CDE 中，∠ECD＝30°， ∴ED＝1，CD＝ 22－12＝ 3， ∴CB＝CD＋BD＝1＋ 3. 25.【解】∵AB＝6 海里，BC＝8 海里， ∴AB2＋BC2＝100＝BC2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ABC＝90°. 又∵S△ABC＝ 1 2AC·BD＝ 1 2AB·BC， ∴ 1 2×10×BD＝ 1 2×6×8，∴BD＝4.8 海里． 在 Rt△BCD 中，CD2＝BC2－BD2＝82－4.82， ∴CD＝6.4 海里， ∴可疑船只从被发现到进入我国领海的时间为 6.4÷12.8＝0.5(时)， ∴可疑船只最早 10 时 58 分进入我国领海．