抚顺十中 2018-2019 学年度（下）期中考试
高（二）数学试题（文科）
注意事项：
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，考试时间为 120 分钟，满分 150 分。
第 I 卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.设集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意 ，故选 A.
点睛:集合的基本运算的关注点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问
题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于
解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图．
2.计算 =
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：根据复数乘法法则求结果.
详解：
选 B.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
. 其次要熟悉复数相关基本概念，如
{1,2,3}, {2,3,4}A B= = A B =
{ }1 2 3,4，， { }1 2 3，， { }2 3 4，， { }13 4，，
{1,2,3,4}A B =
(1 ) (2 )i i+ ⋅ +
1 i− 1 3i+ 3 i+ 3 3i+
( )( )1 2 2 1 3 1 3 ,i i i i+ + = − + = +
( )( ) ( ) ( ) ,( , , . )+ + = − + + ∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为
3.下列函数中，与函数 有相同定义域的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析： 的定义域为 ， 的定义域为 选 A.
考点：函数的定义域.
4.若函数 ，则 f(f(10)=
A. lg101 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】
【详解】因为 ，所以 .
所以 ,故选 B.
【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数
的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量 的取值对应着哪一段区间，就使
用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的
分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.
( , )a bi a b R+ ∈ a b 2 2a b+ ( , )a b .−a bi
1y
x
=
( ) lnf x x= 1( )f x x
= ( )f x x=
( ) xf x e=
( ) 2 1 1
1
x xf x
lgx x
+ ≤= >
10 1> ( )10 lg10 1f = =
2( (10)) (1) 1 1 2f f f= = + =
x5.对长期吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉与患肾结石这两个分类变量的计算中，下列说法正确的
是
A. 若 的值大于 ，我们有 的把握认为长期吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉与患肾结
石有关系，那么在 个长期吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉中必有 人患有肾结石病
B. 从独立性检验可知有 的把握认为吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉与患肾结石有关系时，我
们说一个婴幼儿吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉，那么他有 的可能性患肾结石病
C. 若从统计量中求出有 把握认为吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉与患肾结石有关系，是指
有 的可能性使得判断出现错误
D. 以上三种说法都不正确
【答案】C
【解析】
【分析】
在独立性检验中, 的值与对应的百分值,是指犯错误的概率,不是具体某个患者或者某个具
体事件发生的可能.
【详解】根据独立性检验的原理,通过公式计算得到的 值,不能作为判断某个具体事件发生
的情况,所以 A、B 错误；有 的把握认为吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉与患肾结石有关系，
同时也会有 的可能性使得判断出现错误，所以 C 选项正确。
所以选 C
【点睛】本题考查了独立性检验方法概念和简单应用，注意概率与具体事件的关系，属于基
础题。
6.函数 的部分图像大致为（ ）
A. B. C. D.
的
2K 6.635 99%
100 99
99%
99%
95%
5%
2K
2K
95%
5%
( ) 2
2
1
xxf x x
•= −【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要采用排除法，当 时， ，可排除 B，C 选项；当 时， ，
可排除 D 选项，故可得结果.
详解】∵ ，
当 时， ， ，∴ ，则 B，C 不正确；
当 时， ， ，∴ ，则 D 不正确；
综上可得选项为 A.
【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象
是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、
单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括
等.
7.函数 的单调递减区间是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得函数的定义域，再根据单调性即可求得单调区间。
【详解】因为函数
【
1x > ( ) 0f x < 1x < − ( ) 0f x >
( ) 2
2
1
xxf x x
⋅= −
1x > 2 0xx⋅ > 21 0x− < ( ) 0f x <
1x < − 2 0xx⋅ < 21 0x− < ( ) 0f x >
, , 0 , 0x x x x+ −→ +∞ → −∞ → →
2( ) 2 3f x x x= − +
( , 2)−∞ − ( ,1)−∞ (1, )+∞ (4, )+∞
2( ) 2 3f x x x= − +所以定义域 ，即
所以定义域为 R
由二次函数对称轴可知，函数 的单调递减区间是
所以选 B
【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断，先求得函数的定义域，再根据函数单调性求得
单调区间即可，属于基础题。
8.设函数 的定义域 ，函数 y=ln(1-x)的定义域为 ,则
A. （1,2） B. （1,2] C. （-2,1） D. [-2,1)
【答案】D
【解析】
由 得 ，由 得 ，
故 ，选 D.
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图
进行处理.
9.设 ， ， 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先分析得到 ，再比较 b,c 的大小关系得解.
【详解】由题得 .
,
所以 .
2 2 3 0x x− + > ( )21 1 0x − + >
2( ) 2 3f x x x= − + ( ,1)−∞
24y x= − A B A B∩ =
24 0x− ≥ 2 2x− ≤ ≤ 1 0x− > 1x <
A B={ | 2 2} { | 1} { | 2 1}x x x x x x∩ − ≤ ≤ ∩ < = − ≤ <
1
2
log 3a = 0.21
3
b =
1
32c =
b a c< < c b a< < c a b< < a b c< <
a 0,b 0,c 0< > >
1 1
2 2
=log 3 log 1 0, 0, 0a b c< = > >
0.2 01 1( ) ( ) 1,3 3b = < =
1
032 2 1c = > =
a b c< ＋
0 1a＜ ＜ 1a＞ 0 1a＜ ＜ 0m＞ 1a＞ 0m＜
a m
(= 1 0)xy a m a− >＋
1a＞
1 1m − < − 0m <
a m 1a＞ 0m＜
( )f x ( , )−∞ +∞ (1 ) (1 )f x f x− = + (1) 2f =（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为 是定义域为 的奇函数，且 ，
所以 ,
因此 ，
因为 ，所以 ，
，从而 ，选
C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变
换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分。
13.已知复数 纯虚数，则 ________
【答案】
【解析】
【分析】
根据纯虚数的定义，可求得 的值。
【详解】因为 是纯虚数，
属于根据纯虚数定义可知 且
可解得 ，故答案为 3.
【点睛】本题考查了纯虚数的定义，注意实部为 0 且虚部不为 0，属于基础题。
14.函数 的零点为________
为
(1) (2) (3) (50)f f f f+ + + + =
50− 0 2 50
( )f x ( , )−∞ +∞ (1 ) (1 )f x f x− = +
(1 ) ( 1) (3 ) ( 1) ( 1) 4f x f x f x f x f x T+ = − − ∴ + = − + = − ∴ =
(1) (2) (3) (50) 12[ (1) (2) (3) (4)] (1) (2)f f f f f f f f f f+ + + + = + + + + +
(3) (1) (4) (2)f f f f= − = −， (1) (2) (3) (4) 0f f f f+ + + =
(2) ( 2) (2) (2) 0f f f f= − = − ∴ = (1) (2) (3) (50) (1) 2f f f f f+ + + + = =
2 3 ( )z m m mi m= − + ∈R m =
3
m
2 3 ( )z m m mi m= − + ∈R
2 3 0m m− = 0m ≠
3m =
2 1xy = −【答案】
【解析】
【分析】
根据零点定义，解指数方程即可求得零点。
【详解】因为函数
所以函数的零点即为 时方程的解
解方程可得
即函数的零点为
【点睛】本题考查了函数零点的定义和求法，属于基础题。
15.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ,则
__________.
【答案】12
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性可知 ，代入函数解析式即可求出结果.
【详解】函数 是定义在 上的奇函数， ，则 ，
.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型.
16.函数 是幂函数，且当 时， 是增函数，则
__________．
【答案】2
【解析】
由函数 是幂函数，且当 时， 是增函数可知，
,解得：
0
2 1xy = −
2 1 0x − =
0x =
0x =
( )f x R ( , 0)x ∈ −∞ 3 2( ) 2f x x x= + (2)f =
( ) ( )2 2f f= − −
( )f x ( ) ( )f x f x− = − ( ) ( )f x f x= − −
( ) ( ) ( ) ( )3 22 2 2 2 2 12f f = − − = − × − + − =
22 3( ) ( 1) m mf x m m x + −= − − (0, )x∈ +∞ ( )f x m =
( ) ( ) 22 31 m mf x m m x + −= − − ( )0,x∈ +∞ ( )f x
2
2
1 1
3 0
m m
m m
− − =
+ − > 2m =故答案为：
三、解答题：本题共 6 题，满分 70 分。
17.已知
（1）如果 ，求 的值；
（2）如果 ，求实数 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）本问考查共轭复数，复数的乘方，由 ， ，于是可以经过计算
求出 ；（2）本问考查复数除法运算及两个复数相等的充要条件， （ ），
（ ），则 的充要条件是 且 ，列方程组可以求解.
试题解析：（1）∵ ，
∴ .
（2）∵ ，
∴
.
∴ ，解得 .
18.已知函数 ， .
（1）当 时，求 的最值；
（2）使 在区间 上是单调函数，求实数 的取值范围.
.
2m =
1z i= +
2 3 4w z z= + − w
2
2 11
z az b iz z
+ + = −− + ,a b
1 i− − 1,{ 2.
a
b
= −
=
1z i= + 1z i= −
w 1z a bi= + ,a b∈R
2z c di= + ,c d R∈
1 2z z= a c= b d=
1z i= +
2 3 4w z z= + − ( ) ( )21 3 1 4i i= + + − − 2 3 3 4 1i i i= + − − = − −
1z i= +
( ) ( )
( ) ( )
22
22
1 1
1 1 1 1
i a i bz az b
z z i i
+ + + ++ + =− + + − + +
( ) ( ) ( )2 2
1
a b a i a b i a
i i
+ + + + − += = +
( ) ( )2 a a b= + − + 1i i= −
( )
2 1{ 1
a
a b
+ =
− + = −
1,{ 2.
a
b
= −
=
( ) 2 2 3f x x ax= + + [ ]4,6x∈ −
2a = − ( )f x
( )y f x= [ ]4,6− a【答案】（1）最小值 ，最大值 35；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用二次函数的单调性求函数的最值；（2）由题得函数 的图象开口向上，对称轴
是 ，所以 或 ，即得 a 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
由于 ，∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 的最小值是 ，
又 ， ，故 的最大值是 35.
（2）由于函数 的图象开口向上，对称轴是 ，
所以要使 在 上是单调函数，应有 或 ，
即 或 .故 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属
于基础题.
19.假设关于某设备的使用年限 和所支出的维修费用 （万元），有如下的统计资料：
使用年限 2 3 4 5 6
维修费用 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
试问（1）通过散点图来判断 与 间是否有线性相关关系？若有，求出线性回归方程；
（2）估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？
参考公式：线性回归方程中 ， 的最小二乘估计分别为 ,
1− ( ] [ ), 6 4,−∞ − +∞
( )f x
x a= − 4a− ≤ − 6a− ≥
2a = − ( ) ( )22 4 3 2 1f x x x x= − + = − −
[ ]4,6x∈ − ( )f x [ ]4,2− [ ]2,6
( )f x ( )2 1f = −
( )4 35f − = ( )6 15f = ( )f x
( )f x x a= −
( )f x [ ]4,6− 4a− ≤ − 6a− ≥
6a ≤ − 4a ≥ a ( ] [ ), 6 4,−∞ − +∞
x y
x
y
y x
b a 1
22
1
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
=
=
−
=
−
∑
∑
a y bx= − 参考数据： ， .
【答案】（1）散点图见解析，有线性相关关系，回归直线方程为 ；（2）
万元
【解析】
【分析】
（1）画出散点图，根据散点图判断呈线性相关。由线性回归方程公式，即可求得回归方程。
（2）根据回归方程公式，即可求得当 时 预测维修费用。
【详解】（1）作散点图如下所示：
由散点图可知， 与 呈线性相关关系
,
，
∴
∴
∴
（2）当 时
(万元)
【点睛】本题考查了线性回归方程的求法和简单应用，计算量较为复杂，属于基础题。
20. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的
列联表：
的
5
2
1
90i
i
x
=
=∑ 5
1
112.3i i
i
x y
=
=∑
1.23 0.08y x= + 12.38
10x =
y x
2 3 4 5 6 45x
+ + + += = 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 55y
+ + + += =
5
2
1
90i
i
x
=
=∑ 5
1
112.3i i
i
x y
=
=∑
2
112.3 5 4 5 12.3 1.2390 5 4 10b
− × ×= = =− ×
5 1.23 4 0.08a y bx= − = − × =
1.23 +0.08y x=
10x =
1.23 +0.08 12.3 0.08 12.38y x= = + =喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生 5
女生 10
合计 ５０
已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 ．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由.
下面的临界值表供参考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005] 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(参考公式： ，其中 )
【答案】（1）列联表补充如下:
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生 ２０ ５ ２５
女生 １０ １５ ２５
3
5
2( )p K k≥
k
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +合计 ３０ ２０ ５０
（2）犯错误的概率不超过 0.5%的前提下认为喜爱打篮球与性别有关
【解析】
【详解】试题分析：解：(1) 列联表补充如下：
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生 ２０ ５ ２５
女生 １０ １５ ２５
合计 ３０ ２０ ５０
（2）∵
在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下认为喜爱打篮球与性别有关
考点：独立性检验
点评：主要是考查了列联表和独立性检验思想的运用，属于基础题。
21.已知函数 且 ）.
（1）求 的定义域；
（2）讨论函数 的单调性.
2
2 50 (20 15 10 5) 8.333 7.87930 20 25 25K
× × − ×= ≈ >× × ×
( ) ( )log 1 ( 0x
af x a a= − > 1a ≠
( )f x
( )f x【答案】（1）当 时， 定义域是 ；当 时，定义域是 ；（2）当
时， 在（0，+∞）上是增函数，当 时， 在
（-∞，0）上也是增函数.
【解析】
试题分析：（1）要使函数 有意义，则有 ，讨论两种情况，分别根
据指数函数的性质求解不等式即可；（2）当 时， 是增函数， 是增
函数；当 时，. 是减函数， 是减函数，进而可得函数 的单
调性.
试题解析：（1）令 ，即 ，
当 时， 的解集是（0，+∞）；
当 时， 的解集是（-∞，0）；
所以，当 时， 的定义域是（0，+∞）；
当 时， 的定义域是（-∞，0）.
（2）当 时， 是增函数， 是增函数，从而函数
在（0，+∞）上是增函数，
同理可证：当 时，函数 在（-∞，0）上也是增函数.
【方法点睛】本题主要考查对数函数的定义域与单调性、指数函数的单调性以及复合函数的
单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命
题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二
是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增
减 减，减增 减）.
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程
为 （ 为参数）.
1a > ( )0, ∞+ 0 1a< < ( ),0−∞ 1a >
( ) ( )log 1x
af x a= − 0 1a< < ( ) ( )log 1x
af x a= −
( ) ( )log 1x
af x a= − 1xa >
1a > logay u= 1xu a= −
0 1a< < logay u= 1xu a= − ( )f x
1 0xa − > 1xa >
1a > 1xa >
0 1a< < 1xa >
1a > ( )f x
0 1a< < ( )f x
1a > logay u= 1xu a= − ( ) ( )log 1x
af x a= −
0 1a< < ( ) ( )log 1x
af x a= −
→ →
→ →
xOy C
2
4
x cos
y sin
θ
θ
=
=
θ l
1
2
x tcos
y tsin
α
α
= +
= + t（1）求 和 的直角坐标方程；
（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率．
【答案】（1） ，当 时， 的直角坐标方程为 ，当
时， 的直角坐标方程为 ；（2）
【解析】
【分析】
分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线 的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将
直线 的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 与 两种情况.(2)将直
线 参数方程代入曲线 的直角坐标方程，根据参数几何意义得 之间关系，求得
，即得 的斜率．
【详解】详解：（1）曲线 的直角坐标方程为 ．
当 时， 的直角坐标方程为 ，
当 时， 的直角坐标方程为 ．
（2）将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程
．①
因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以①有两个解，设为 ， ，则 ．
又由①得 ，故 ，于是直线 的斜率 ．
C l
C l ( )1,2 l
2 2
14 16
x y+ = cos 0α ≠ l tan 2 tany xα α= ⋅ + −
cos 0α = l 1x = 2−
C
l cos 0α ≠ cos 0α =
l C sin ,cosα α
tanα l
C
2 2
14 16
x y+ =
cos 0α ≠ l tan 2 tany xα α= ⋅ + −
cos 0α = l 1x =
l C t
( ) ( )2 21 3cos 4 2 8 0t cos sin tα α α+ + + − =
C l ( )1,2 C 1t 2t 1 2 0t t+ =
( )
1 2 2
4 2
1 3cos
cos sint t
α α
α
++ = − + 2cos sin 0α α+ = l tan 2k α= = −
微信/支付宝扫码支付