抚顺十中 2018-2019 年学度高（二）（下）期中数学考试
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知复数 为纯虚数，则
A. B. C. 或 D.
【答案】B
【解析】
因为复数 为纯虚数， ，且 ，所以 ，故选
B.
2.下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数求导公式对选项进行一一验证.
【详解】因为 ，故 A 错；因为 ，故 B 正确；
因为 ，故 C 错；因为 ，故 D 错．
【点睛】本题考查导数公式的简单运用,考查计算能力，属于基础题.
3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时，反设正确的是（）。
A. 假设三内角都不大于 60 度；
B. 假设三内角至多有两个大于 60 度；
C. 假设三内角至多有一个大于 60 度；
D. 假设三内角都大于 60 度。
2 3 ( )z m m mi m= − + ∈R m =
0 3 0 3 4
( )2 3z m m mi m R= − + ∈ 2 3 0m m− = 0m ≠ 3m =
2
1 11x x x
′ + = + 2
1(log ) ln 2x x
′ =
3(3 ) 3 log ex x′ = 2( cos ) 2 sinx x x x′ = −
2
1 11x x x
′ + = − 2
1(log ) ln 2x x
′ =
(3 ) 3 ln3x x′ = 2 2( cos ) 2 cos sinx x x x x x′ = −【答案】D
【解析】
【分析】
根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，即可求得，得到答案.
【详解】根据反证法的步骤可知，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定为“一
个也没有”即“三角形三个内角都大于 60 度”，故选 D.
【点睛】本题主要考查了反证法的概念，以及命题的否定的应用，着重考查了逻辑推理能力，
属于基础题.
4.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线:已知直线 平
面 ,直线 平面 ,直线 平面 ,则直线 直线 ”的结论显然是错误的,这是因为
( )
A. 大前提错误 B. 小前提错误
C. 推理形式错误 D. 非以上错误
【答案】A
【解析】
【分析】
分析该演绎推理的三段论，即可得到错误的原因，得到答案．
【详解】该演绎推理的大前提是：若直线平行与平面，则该直线平行平面内所有直线，
小前提是：已知直线 平面 ，直线 平面 ，
结论是：直线 平面 ；
该结论是错误的，因为大前提是错误的，
正确叙述是“若直线平行于平面，过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行”，、
故选 A．
【点睛】本题主要考查了演绎推理的三段论退，同时考查了空间中直线与平面平行的判定与
性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5.设函数 的导函数为 ，且 ，则 ＝( )
A. 0 B. －4 C. －2 D. 2
b ⊄
α a ⊂ α / /b α / /b a
/ /b α a ⊂ α
/ /b α
( )f x ( )f x′ ( ) ( )2 2 1f x x xf ′= + ( )2f ′【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先求得 的值，然后利用导函数的解析式可得 的值.
【详解】由函数的解析式可得： ，
令 可得： ，解得： ，
即 ，故 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查导数的运算法则及其应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的
转化能力和计算求解能力.
6.我校在模块考试中约有 1000 人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a2)(a>0,试卷满分 150
分)，统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的 ，则此次数学
考试成绩不低于 110 分的学生人数约为( )
A. 600 B. 400 C. 300 D. 200
【答案】D
【解析】
【详解】
因为成绩 ，所以其正态曲线关于直线 对称，又因为成绩在 70 分到 110
分之间的人数约为总人数的 ，由对称性知：成绩在 110 分以上的人数约为总人数的
，所以此次数学考试成绩不低于 110 分的学生约有： ,
故选 D.
( )' 1f ( )' 2f
( ) ( )' 2 2 ' 1f x x f= +
1x = ( ) ( )' 1 2 2 ' 1f f= + ( )' 1 2f = −
( )' 2 4f x x= − ( )' 2 2 2 4 0f = × − =
( )2~ 90,N aξ 90x =
1 3 112 5 5
− =
1 1000 2005
× =考点：正态分布
本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
7.教育部选派 3 名中文教师到外国任教中文，有 4 个国家可供选择，每名教师随机选择一个
国家，则恰有 2 名教师选择同一个国家的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出 3 名教师去 4 个国家的总的可能性，再求 2 名教师选择同一国家的可能性，代入公式，
即可求解。
【 详 解 】 3 名 教 师 每 人 有 4 种 选 择 ， 共 有 种 可 能 。 恰 有 2 人 选 择 同 一 国 家 共 有
种可能，则所求概率 ，故选 C
【点睛】本题考查计数原理及组合问题，考查学生分析推理，计算化简的能力，属基础题。
8.若随机变量 ，且 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据随机变量符合二项分布，根据期望值求出 n 的值，写出对应的自变
量的概率的计算公式，代入自变量等于 1 时的值．
解：∵E（X）=3，
∴0.6n=3，
∴n=5
∴P（X=1）=C51（0.6）1（0.4）4=3×0.44
故选 C．
考点：二项分布与 n 次独立重复试验的模型．
3
8
4
9
9
16
9
32
34
2 1 1
3 4 3 36C C C =
2 1 1
3 4 3
3
3 4 3 9
4 4 4 4 16
C C CP
× ×= = =× ×
~ ( 0.6)X B n， ( ) 3E X = ( 1)P X =
42 0.4× 52 0.4× 43 0.4× 43 0.6×9. 将 5 名大学生分配到 3 个乡镇去任职，每个乡镇至少一名，不同的分配方案种数为（ ）
A. 150 B. 240 C. 60 D. 120
【答案】A
【解析】
试题分析：分两种情况：一是按照 2,2,1 分配，有 种结果；二是按照 3,1,1 分
配，有 种结果，根据分类加法得到共 种结果，故选 A．
考点：计数原理．
10.给出下面类比推理命题（其中 为有理数集， 为实数集， 为复数集）：
①“若 ，则 ”类比推出“若 ，则 ”；
②“若 ，则复数 ”类比推出“若 ，则
”；
③“若 ，则 ”类比推出“若 ，则 ”.
其中类比结论正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为复数不能比较大小，所以命题③是不正确的；命题①，②都是正确的，应选答案 C。
11. ，则
（ ）
A. 0 B. -1 C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
2 2 3
5 3 3
1 902 C C A =
1 1 3
5 4 3
1 602 C C A = 90 60 150+ =
Q R C
,a b∈R 0a b a b− = ⇒ = ,a b C∈ 0a b a b− = ⇒ =
, , ,a b c d R∈ ,a bi c di a c b d+ = + ⇒ = = , , ,a b c d Q∈
2 2 ,a b c d a c b d+ = + ⇒ = =
,a b∈R 0a b a b− > ⇒ > ,a b C∈ 0a b a b− > ⇒ >
0 1 2 3
10 2 10
0 1 2 10( 2 )x a a x a x a x+ = + + + +
( ) ( )2 3
2 2
0 10 1 9a a a a a a+ + ⋅⋅⋅ + − + + ⋅⋅⋅ + =
( )10
2 1−由赋值法令 ，解得 ，
令 ，解得
再由平方差公式计算可得解.
【详解】解：令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
又
=（ ）（ ）
= = ，
故选 C.
【点睛】本题考查了二项式定理及赋值法求展开式系数的和差，属基础题.
12.已知函数 的定义域为 ，且满足 ，其导函数 ，当
时， ，且 ，则不等式 的解集为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
构 造 函 数 , , 当 时 ,
, 所 以 当 时 , , 则 在
上递增. 由于 所以函数 关于点 中心对称.所以函
数 关于原点中心对称,为奇函数.令 ,则 是 上的
偶函数,且在 上递增,在 上递减. ,故原不等式
等价于 ,等价于 ,解得 或 .故选 .
【点睛】本小题主要考查函数单调性与奇偶性,考查函数图像的对称性的表示形式,考查构造
1x = ( )10
0 1 2 10... 2 1a a a a+ + + + = +
1x = − ( )10
0 1 2 3 9 10... 2 1a a a a a a− + − + − + = −
1x = ( )10
0 1 2 10... 2 1a a a a+ + + + = +
1x = − ( )10
0 1 2 3 9 10... 2 1a a a a a a− + − + − + = −
( ) ( )2 3
2 2
0 10 1 9a a a a a a+ + ⋅⋅⋅ + − + + ⋅⋅⋅ +
0 1 2 10...a a a a+ + + + 0 1 2 3 9 10...a a a a a a− + − + − +
( )10
2 1+ ( )10
2 1− 1
( )f x R ( ) ( )2f x f x− = − − ( )f x′ 1x < −
( ) ( ) ( ) ( )1 1 0x f x x f x′+ + + 2x < − 2x > D函数法判断函数的单调性与奇偶性.首先构造函数 ,利用上题目所给含有
导数的不等式可以得到函数 的单调性.对于题目所给条件 由于
,所以函数图象是关于 中心对称的.
二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分.
13.已知 ，则 展开式中 的系数为______.
【答案】32
【解析】
分析】
由定积分求出实数 的值，再利用二项式展开式的通项公式求解即可.
【详解】解：因为 = =2,
由 展开式的通项为 = ,
即 展开式中 的系数为 + =32，
故答案为 32.
【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式，属基础题.
14.已知凸 边形有 条对角线，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
结合数学归纳法的应用即可得解.
【详解】解：第 个点与不相邻的 个点有 条对角线，再加上与第 个点相邻
的两点有 1 条对角线，所以共增加了 条对角线，
故答案为 .
点睛】本题考查了合情推理，属基础题.
15.如图是函数 y＝f（x）的导函数 y＝f′（x）的图象，给出下列命题：
【
【
( ) ( ) ( )1g x x f x= +
( )g x ( ) ( )2f x f x− = − −
( )2 2x x− + − = − ( )1,0−
1
2e
a dxx
= ∫ ( )( )41x x a+ + 3x
a
1
2e
a dxx
= ∫ 2ln x e
1|
( )42x + 1rT +
r
4C 42r rx −
( )( )41 2x x+ + 3x 2
4C 22× 1
4C 2×
n ( )f n ( )4, Nn n +∈ ( ) ( )1f n f n+ − =
1n −
1n + 2n − 2n − 1n +
1n −
1n −①﹣3 是函数 y＝f（x）的极值点；
②﹣1 是函数 y＝f（x）的最小值点；
③y＝f（x）在 x＝0 处切线的斜率小于零；
④y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．
则正确命题的序号是 ．
【答案】①④
【解析】
【分析】
根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数
的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．
【详解】根据导函数图象可知当 x∈（﹣∞，﹣3）时，f'（x）＜0，在 x∈（﹣3，1）时，f'
（x）≤0
∴函数 y＝f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，在（﹣3，1）上单调递增，故④正确
则﹣3 是函数 y＝f（x）的极小值点，故①正确
∵在（﹣3，1）上单调递增∴﹣1 不是函数 y＝f（x）的最小值点，故②不正确；
∵函数 y＝f（x）在 x＝0 处的导数大于 0∴切线的斜率大于零，故③不正确
故答案为：①④
【点睛】本题主要考查了导函数图象与函数的性质的关系，以及函数的单调性、极值、和切
线的斜率等有关知识，属于中档题．
16.已知函数 在 处的切线平行于 轴，则 的极大值与极
小值的差为______.
【答案】4
【解析】
( ) 3 2 3f x x ax x b= + − + 1x = − x ( )f x【分析】
由导数的几何意义可得： ，解得 ，
由导数的应用可得： ， ，得解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
由函数 在 处的切线平行于 轴，
所以 ，解得 ，
即 ，
当 时， ， 时， ，
即函数 在 为增函数，在 为减函数，
所以 ， ，
故 的极大值与极小值的差为 ，
故答案为 4.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值，属中档题.
三、解答题：本题共 6 题，满分 70 分.
17.已知 .
（1）如果 ，求 的值；
（2）如果 ，求实数 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）本问考查共轭复数，复数的乘方，由 ， ，于是可以经过计算
求出 ；（2）本问考查复数除法运算及两个复数相等的充要条件， （ ），
' ( 1) 0f − = 0a =
( ) =f x 极大值 ( 1) 2f b− = + ( ) =f x 极小值 (1) 2f b= −
( ) 3 2 3f x x ax x b= + − +
' 2( ) 3 2 3f x x ax= + −
( ) 3 2 3f x x ax x b= + − + 1x = − x
' ( 1) 0f − = 0a =
' 2( ) 3 3f x x= −
1 1x x< − >或 ' ( ) 0f x > 1 1x− < < ' ( ) 0f x <
( )f x ( ) ( ), 1 , 1,−∞ − +∞ ( )1,1−
( ) =f x 极大值 ( 1) 2f b− = + ( ) =f x 极小值 (1) 2f b= −
( )f x ( ) ( )2 2 4b b+ − − =
1z i= +
2 3 4w z z= + − w
2
2 11
z az b iz z
+ + = −− + ,a b
1 i− − 1,{ 2.
a
b
= −
=
1z i= + 1z i= −
w 1z a bi= + ,a b∈R（ ），则 的充要条件是 且 ，列方程组可以求解.
试题解析：（1）∵ ，
∴ .
（2）∵ ，
∴
.
∴ ，解得 .
18.已知函数 .
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）若对所有 都有 ，求实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）最小值 ；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由导数的应用，研究函数的单调性，再求其最值，
（Ⅱ）构造函数 ，由导数的应用求函数的最值即可得解.
【详解】解：（Ⅰ） 的定义域为 ， 的导数 . 令 ，
解得 ；令 ，解得 .从而 在 单调递减，在 单调
递增.
所以，当 时， 取得最小值 .
（Ⅱ）依题意，得 在 上恒成立，即不等式 对于 恒
成立.
2z c di= + ,c d R∈
1 2z z= a c= b d=
1z i= +
2 3 4w z z= + − ( ) ( )21 3 1 4i i= + + − − 2 3 3 4 1i i i= + − − = − −
1z i= +
( ) ( )
( ) ( )
22
22
1 1
1 1 1 1
i a i bz az b
z z i i
+ + + ++ + =− + + − + +
( ) ( ) ( )2 2
1
a b a i a b i a
i i
+ + + + − += = +
( ) ( )2 a a b= + − + 1i i= −
( )
2 1{ 1
a
a b
+ =
− + = −
1,{ 2.
a
b
= −
=
( ) lnf x x x=
( )f x
1x ( ) 1f x ax − a
1
e
− ( ],1−∞
( ) 1lng x x x
= +
( )f x ( )0, ∞+ ( )f x ( ) 1 lnf x x′ = + ( ) 0f x′ >
1
ex > ( ) 0f x < 10 ex< < ( )f x 10, e
1 ,e
+∞
1
ex = ( )f x 1
e
−
( ) 1f x ax − [ )1,+∞ 1lna x x
+ [ )1,x∈ +∞令 ， 则 . 当 时，因为
，
故 是 上的增函数，所以 的最小值是 ，
从而 的取值范围是 .
【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值及利用导数研究不等式，属中档题.
19.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号.某
生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产
品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据 ，如表所示：
试销单价 （元） 4 5 6 7 8 9
产品销量 （件） q 84 83 80 75 68
已知 ， .
（Ⅰ）求出 的值；
（Ⅱ）已知变量 ， 具有线性相关关系，求产品销量 （件）关于试销单价 （元）的线性
回归方程 ；
（Ⅲ）用 表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与 对应的产品销量的估计值.当销售
数据 对应的残差的绝对值 时，则将销售数据 称为一个“好数据”.
现从 6 个销售数据中任取 2 个，求“好数据”至少有一个的概率.
（参考公式：线性回归方程中 ， 的最小二乘估计分别为 ， ）
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）
( ) 1lng x x x
= + ( ) 2
1 1 1 11g x x x x x
′ = − = − 1x >
( ) 1 11 0g x x x
′ = − >
( )g x ( )1,+∞ ( )g x ( )1 1g =
a ( ],1−∞
( ),i ix y ( )1,2, ,6i = ⋅⋅⋅
x
y
6
1
1 806 i
i
y y
=
= =∑ 6
1
3050i i
i
x y
=
=∑
q
x y y x
ˆˆ ˆy bx a= +
iy ix
( ),i ix y 1iiy y− ( ),i ix y
b a 1
2 2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
=
−
=
−
=
−
∑
∑
ˆˆa y bx= −
90q = ˆ 4 106y x= − + ( ) 4
5P A =【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用平均数求出 即可；
（Ⅱ）参考公式求解线性回归方程即可得解；
（Ⅲ）结合（Ⅱ），满足 的共有 3 个“好数据”，又从 6 个销售数据
中任取 2 个，共有 种不同的取法，利用概率公式运算即可.
【详解】（Ⅰ） ，可求得 .
（Ⅱ） ，
，
所以所求的线性回归方程为 .
（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求的线性回归方程 可得，当 时， ；当
时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当
时， .
与销售数据对比可知满足 的共有 3 个“好数据”： 、 、
.
又从 6 个销售数据中任取 2 个，共有 =15 种不同的取法，
设所求事件用 表示 ，则 .
【点睛】本题考查了回归直线及概率公式，属中档题.
20.为了解七班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的
列联表：
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合
90q =
1iiy y− ( )1,2, ,6i = ⋅⋅⋅
15
6
1
1 806 i
i
y y
=
= =∑ 90q =
6
1
6
2 2
1
3050 6 6.5 80 70ˆ 4271 253.5 17.5( )
i i
i
i
i
x y nxy
b
x n x
=
=
− − × ×= = = − = −−−
∑
∑
ˆˆ 80 4 6.5 106a y bx= − = + × =
ˆ 4 106y x= − +
ˆ 4 106y x= − + 1 4x =
1 90y = 2 5x =
2 86y = 3 6x =
3 82y = 4 7x =
4 78y = 5 8x =
5 74y =
6 9x =
6 70y =
1iiy y− ( )1,2, ,6i = ⋅⋅⋅ ( )4,90 ( )6,83
( )8,75
2
6C
A ( ) ( ) 3 41 1 15 5P A P A= − = − =男生 5
女生 10
合计 50
已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 ．
（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；
（2）能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）现从女生中抽取 2 人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为 ，求 的分布列与
期望.
下面的临界值表供参考：
0.15 0.10 0.05[ 0.025 0.01 0.005 0.001
2.072 2.70 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82
(参考公式： ，其中 )
【答案】（1）见解析（2）能（3）
【解析】
【分析】
解：(1) 列联表补充如下：-
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生 20 5 25
女生 10 15 25
合计 30 20 50
3
5
ξ ξ
2
0( )P K k≥
0k
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
3
20（2）∵
∴在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.
（3）喜爱打篮球的女生人数 的可能取值为 .
其概率分别为 , ,
故 的分布列为:
的期望值为:
【详解】本题是一个统计综合题，包含独立性检验、离散型随机变量的期望与方差和概率，
本题通过创设情境激发学生学习数学的情感，帮助培养其严谨治学的态度．
（1）根据在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率，做出喜爱打篮球的人
数，进而做出男生的人数，填好表格．
（2）根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多
大的把握说明打篮球和性别有关系．
（3）喜爱打篮球的女生人数ξ 的可能取值为 0，1，2，通过列举得到事件数，分别计算出它
们的概率，最后利用列出分布列，求出期望即可．
解：(1) 列联表补充如下：----------------------------------------3 分
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生 20 5 25
女生 10 15 25合计 30 20 50
（2）∵ ------------------------6 分
∴在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，认为喜爱打篮球与性别有
关.---------------------7 分
（3）喜爱打篮球的女生人数 的可能取值为 .-------------------------9 分
其概率分别为 , ,
--------------------------12 分
故 的分布列为:
--------------------------13 分
的期望值为: ---------------------14 分
21.已知数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）试求 S1，S2，S3，S4，并猜想 Sn 表达式；的
2
2 50 (20 15 10 5) 8.333 7.87930 20 25 25K
× × − ×= ≈ >× × ×
ξ 0,1,2
0 2
10 15
2
25
7( 0) 20
C CP C
ξ = = =
1 1
10 15
2
25
1( 1) 2
C CP C
ξ = = =
2 0
10 15
2
25
3( 2) 20
C CP C
ξ = = =
ξ
ξ 0 1 2
P
7
20
1
2
3
20
ξ 7 1 3 40 1 220 2 20 5Eξ = × + × + × =
{ }na n nS 1 1a = ( )2 *
n nS n a n= ∈N（2）证明你的猜想.
【答案】（1） ， ， ， ，猜想 ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由不完全归纳法可得： ；
（2）利用数学归纳法，先假设当 时，猜测正确，再证明当 时，命题成立即可.
【详解】（1）∵ ， .
∴ ， ， ，∴ ；
， ，∴ ；
， ，∴ ；
∴ ， ， ，
猜测： .
（2）用数学归纳法证明如下：
①当 时，猜测显然正确.
②假设当 时，猜测正确，即
则当 时，
由
∴ .
这就是说，当 时，猜测也是正确的.
1 1S = 2
4
3S = 3
6
4S = 4
8
5S = 2
1n
nS n
= +
2
1n
nS n
= +
n k= 1n k= +
1 1a = ( )2 *
n nS n a n= ∈N
1 1 1S a= = 2 2 21 4S a a= + = 2
1
3a⇒ = 2 1 2
1 41 3 3S S a= + = + =
3 2 3 39S S a a= + = 3
1
6a⇒ = 3 2 3
4 1 9 3 6
3 6 6 2 4S S a= + = + = = =
4 3 4 416S S a a= + = 4
1
10a = 4 3 4
3 1 16 8
2 10 10 5S S a= + = + = =
1
21 2S = = 2
4
3S = 3
6
4S = 4
8
5S =
2
1n
nS n
= +
1n =
n k= 2
1k
kS k
= +
1n k= +
( )2 22 2
1 1k k k k
kS k a k a ak k k
= ⇒ = ⇒ =+ +
( ) ( )2 2
1 1 1 1 1
21 11k k k k k k
kS S a k a a k ak+ + + + += + = + ⇒ + = ++
( )( )1
2
1 2ka k k+⇒ = + +
( )( )
( ) ( )
( )1 1
2 1 2 12 2
1 1 2 2 1 1k k k
k kkS S a k k k k k+ +
+ += + = + = =+ + + + + +
1n k= +由①、②知，对一切 都有 .
【点睛】本题考查了不完全归纳法及数学归纳法，属中档题.
22.已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当函数 有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】
分析：（1）先求导，再对 a 分类讨论，求函数的单调区间.(2)对 a 分类讨论，作出函数的图
像，分析出函数 f(x)有两个零点所满足的条件，从而求出 a 的取值范围.
详解:（1）由题意得
①当 时，令 ，则 ；
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 时，令 ，则 或 ，
（ⅰ）当 时，令 ，则 或 ；
令 ，则 ，
∴ 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
（ⅱ）当 时， ，
∴ 在 上单调递增；
（ⅲ）当 时，令 ，则 或 ；
令 ，则 ，
∴ 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
.
( ) *n n∈N 2
1n
nS n
= +
( ) ( ) ( )211 2
xf x x e ax a R= − − ∈
( )f x
( )f x a
( ),0−∞
( ) ( )xf x x e a′ = −
0a ≤ ( ) 0f x′ > 0x >
( ) 0f x′ < 0x <
( )f x ( ),0−∞ ( )0,+∞
0a > ( ) 0f x′ = 0x = lnx a=
0 1a< < ( ) 0f x′ > lnx a< 0x >
( ) 0f x′ < ln 0a x< <
( )f x ( ),lna−∞ ( )0,+∞ ( )ln ,0a
1a = ( ) ( )1 0xf x x e −′ = ≥
( )f x R
1a > ( ) 0f x′ > 0x < lnx a>
( ) 0f x′ < 0 lnx a< <
( )f x ( ),0−∞ ( )ln ,a +∞ ( )0,lna（2）由（1）得当 时， 在 和 上单调递增，在
上单调递减，
∴ 在 处取得极大值 ，
∵ ，
∴此时不符合题意；
当 时， 在 上单调递增，
∴此时不符合题意；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
∴ 的 处取得极大值 ，
∵ ，
∴此时不符合题意；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
∵ ， ，
∴ 在 上有一个零点，
（ⅰ）当 时，令 ，当 时，
∵ ，
∴ 在 上有一个零点，
∴此时符合题意；
（ⅱ）当 时，当 时， ，
∴ 在 上没有零点，此时不符合题意；
综上所述，实数 取值范围为 .
点睛：对于含参的问题，注意分类讨论思想的运用. 本题的导数 ，由
于无法直接写出函数的单调区间，所以必须要分类讨论.分类讨论时，要注意分类的起
因、分类的标准、分类的过程和分类的结论.
的
0 1a< < ( )f x ( ),lna−∞ ( )0,+∞ ( )ln ,0a
( )f x lnx a= ( )lnf a
( ) ( ) ( )221 1ln ln 1 ln ln 1 1 02 2f a a a a a a a = − − = − − + ( )f x ( ),0−∞ ( )ln ,a +∞ ( )0,lna
( )f x 0x = ( )0f
( )0 1 0f = − <
0a ≤ ( )f x ( ),0−∞ ( )0,+∞
( )0 1 0f = − < ( ) 11 02f a= − ≥
( )f x ( )0,+∞
0a < ( ){ }0 min ln , 1 3x a= − − − 0x x<
( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 11 1 2 2 02 2 2
xf x x e ax a x ax a x x= − − > − − − = − + − >
( )f x ( ),0−∞
0a = 0x < ( ) ( )1 0xf x x e= − <
( )f x ( ),0−∞
a ( ),0−∞
( ) ( )xf x x e a′ = −
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