2018-2019 学年度第二学期高二年级期末考试
理科数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
：首先根据分式不等式的解法以及指数不等式，化简集合 A，B，之后根据交集的定义写出
．
【详解】：
集合 ， ，
则 ，故选 B．
【点睛】：该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要先将集合中的元素确
定，之后再根据集合的交集中元素的特征，求得结果．
2.已知 为虚数单位，若复数 在复平面内对应的点在第四象限，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由 题 ． 又 对 应 复 平 面 的 点 在 第 四 象 限 ， 可 知
，解得 ．故本题答案选 ．
3.若命题“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4 02
xA x Z x
− = ∈ ≥ +
1 2 44
xB x
= ≤ ≤ A B∩ =
}{ 1 2x x− ≤ ≤ { }1,0,1,2− { }2, 1,0,1,2− − { }0,1,2
A B∩
{ } { }4| 0 | 2 4 1,0,1,2,3,42
xA x Z x Z xx
− = ∈ ≥ = ∈ − < ≤ = − +
{ }| 2 2B x x= − ≤ ≤
{ }1,0,1,2A B∩ = −
i 1
1
tiz i
−= + t
[ 1,1]− ( 1,1)− ( , 1)−∞ − (1, )+∞
( )( )
( )( )
1-ti 1-i1-ti 1-t 1+tz= = = - i1+i 1+i 1-i 2 2
1 10 02 2
t t且− +> − < 1 1t− < < B
0x R∃ ∈ ( )2
0 01 1 0x a x+ − + < a
1 3a≤ ≤ 1 3a− ≤ ≤ 3 3a− ≤ ≤【答案】B
【解析】
【分析】
由命题“ ，使 ”是假命题，知∀x∈R，使 x2+（a﹣1）x+1≥0，
由此能求出实数 a 的取值范围．
【详解】∵命题“ ，使 ”是假命题，
∴∀x∈R，使 x2+（a﹣1）x+1≥0，
∴△＝（a﹣1）2﹣4≤0，
∴﹣1≤a≤3．
故选：B．
【点睛】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意由命题“ ，使
”是假命题，知∀x∈R，使 x2+（a﹣1）x+1≥0，由此进行等价转化，
能求出结果．
4.已知双曲线 ： 与双曲线 ： ，给出下列说法，其中错误的是
（ ）
A. 它们的焦距相等 B. 它们的焦点在同一个圆上
C. 它们的渐近线方程相同 D. 它们的离心率相等
【答案】D
【解析】
由题知 ．则两双曲线的焦距相等且 ，焦点都在圆 的圆上，
其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为 ，由于实轴长度不同故离心率 不
同．故本题答案选 ，
1 1a− ≤ ≤
0x R∃ ∈ ( )2
0 01 1 0x a x+ − + <
0x R∃ ∈ ( )2
0 01 1 0x a x+ − + <
0x R∃ ∈
( )2
0 01 1 0x a x+ − + <
1C
2
2 12
x y− = 2C
2
2 12
x y− = −
2
2
2 : 12
xC y − = 2 2 3c = 2 2 3x y+ =
2
2y x= ± ce a
=
D5.在等比数列 中，“ 是方程 的两根”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由韦达定理可得 a4+a12＝﹣3，a4•a12＝1，得 a4 和 a12 均为负值，由等比数列的性质可得．
【详解】∵a4，a12 是方程 x2+3x+1＝0 的两根，∴a4+a12＝﹣3，a4•a12＝1，∴a4 和 a12 均为负
值，
由等比数列的性质可知 a8 为负值，且 a82＝a4•a12＝1，∴a8＝﹣1，
故“a4，a12 是方程 x2+3x+1＝0 的两根”是“a8＝±1”的充分不必要条件.
故选：A．
【点睛】本题考查等比数列的性质和韦达定理，注意等比数列隔项同号，属于基础题．
6.已知直线 l 过点 P(1,0,－1)，平行于向量 ，平面 过直线 l 与点 M(1,2,3)，则
平面 的法向量不可能是（ ）
A. (1,－4,2) B. C. D. (0,－1,1)
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量 ，和向量 ，
而 =（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），
选项 A，（2，1，1） （1，-4，2）=0，（0，2，4） （1，-4，2）=0 满足垂直，故正确；
选项 B，（2，1，1） （ ，-1， ）=0，（0，2，4） （ ，-1， ）=0 满足垂直，故正确；
选项 C，（2，1，1） （- ，1，− ）=0，（0，2，4） （- ，1，− ）=0 满足垂直，故正
确；
选项 D，（2，1，1） （0，-1，1）=0，但（0，2，4） （0，-1，1）≠0，故错误．
{ }na 4 12a ,a 2x 3x 1 0+ + = 8a 1= ±
(2,1,1)a = α
α
1 1( , 1, )4 2
− 1 1( ,1, )4 2
− −
(2,1,1)a = PM
PM
⋅ ⋅
⋅ 1
4
1
2
⋅ 1
4
1
2
⋅ 1
4
1
2
⋅ 1
4
1
2
⋅ ⋅考点：平面的法向量
7.在极坐标系中，由三条直线 ， ， 围成的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求 出 直 线 与 直 线 交 点 的 极 坐 标 ， 直 线 与 直 线
交点的极坐标 ，然后利用三角形的面积公式 可
得出结果.
【详解】设直线 与直线 交点的极坐标 ，则 ，得
.
设直线 与直线 交点的极坐标 ，
则 ，即 ，得 .
因此，三条直线所围成的三角形的面积为 ，
故选：B.
【点睛】本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形
的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
8.若从 1，2，2，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
A. 60 种 B. 63 种 C. 65 种 D. 66 种
【答案】D
【解析】
0θ =
3
πθ = cos sin 1ρ θ ρ θ+ =
1
4
3 3
4
− 2 3
4
− 1
3
0θ = cos sin 1ρ θ ρ θ+ = ( )1,0ρ
3
πθ =
cos sin 1ρ θ ρ θ+ = 2 , 3
πρ
1 2
1 sin2 3S
πρ ρ=
0θ = cos sin 1ρ θ ρ θ+ = ( )1,0ρ 1 cos0 1ρ =
1 1ρ =
3
πθ = cos sin 1ρ θ ρ θ+ = 2 , 3
πρ
2 2cos sin 13 3
π πρ ρ+ =
2 2
1 3 12 2
ρ ρ+ = 2 3 1ρ = −
( )1 2
1 1 3 3 3sin 1 3 12 3 2 2 4S
πρ ρ −= = × × − × =试题分析：要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得 个偶数时，有
种结果，当取得 个奇数时，有 种结果，当取得 奇 偶时有
种结果,共有 种结果.故答案为 D.
考点：分类计数原理.
9.设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a，(x＋y)2m＋1 展开式的二项式系
数的最大值为 b，若 13a=7b，则 m＝ ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
试 题 分 析 ： 由 题 意 可 知 , , , 即
,
,解得 ．故 B 正确．
考点：1 二项式系数；2 组合数的运算．
10.通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
4 4
4C
1= 4 4
5C 5= 2 2 2 2
4 5C C⋅ 6 10 60= × =
1 5 60 66+ + =
2 2 1,m m
m mC a C b+= = 13 7a b= 2 2 113 7m m
m mC C +∴ =
( ) ( )
( )
2 ! 2 1 !13 7! ! ! 1 !
m m
m m m m
+=⋅ ⋅ +
2 113 7 1
m
m
+∴ = ⋅ + 6m =总计 60 50 110
由
附表：
0．050 0．010 0．001
3．841 6．635 10．828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过 0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过 0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】A
【解析】
【详解】由 ，而 ，故由独立性检验的意义可知选 A
11.焦点为 的抛物线 的准线与 轴交于点 ，点 在抛物线 上，则当
取得最大值时，直线 的方程为（ ）
A. 或 B.
2 2
2 2( ) 110 (40 30 20 30), 7.8( )( )( )( ) 60 50 60 50
n ad bcK Ka b c d a c b d
− × × − ×= = ≈+ + + + × × ×算得
2( )P K k≥
k
2 7.8 6.635K ≈ > ( )2 6.635 0.010P K ≥ =
F 2: 8C y x= x A M C
MA
MF
MA
2y x= + 2y x= − − 2y x= +C. 或 D.
【答案】A
【解析】
过 作 与准线垂直，垂足为 ，则 ，则当
取得最大值时， 必须取得最大值，此时直线 与抛物线相切，可设切线方程
为 与 联立，消去 得 ，所以 ，得
．则直线方程为 或 ．故本题答案选 ．
点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，
抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的
距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离 转化成到准线的距离
，将比值问题转化成切线问题求解．
12.定义在 上的函数 满足 ，且当 时，
2 2y x= + 2 2y x= − + 2 2y x= − +
M MP P
1 1
cos cos
MA MA
MF MP AMP MAF
= = =∠ ∠
MA
MF MAF∠ AM
( )2y k x= + 2 8y x= y 2 8 16 0ky y k− + = 264 64 0k= − =
1k = ± 2y x= + 2y x= − − A
| |MF
MP
R ( )f x ( 2) 2 ( )f x f x+ = [2,4]x∈，对 ， ，使得
，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
由题知问题等价于函数 在 上的值域是函数 在 上的值域的子集．当
时 ， ， 由 二 次 函 数 及 对 勾 函 数 的 图 象 及 性 质 ， 得 此 时
，由 ，可得 ，当
时， ．则 在 的值域为 ．当 时， ，
则 有 ， 解 得 ， 当 时 ， ， 不 符 合 题 意 ； 当 时 ，
，则有 ，解得 ．综上所述，可得 的取值范围为
．故本题答案选 ．
点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的
范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该 不重复不遗漏．
二、填空题.
13.已知 ， ，若向量 与 共线，则 在 方向上的投影为
______.
【答案】
2
2
4 ,2 3,
( ) 2 ,3 4,
x x x
f x x xx
− + ≤ ≤= + < ≤
( ) 1g x ax= + 1 [ 2,0]x∀ ∈ − 2 [ 2,1]x∃ ∈ −
2 1( ) ( )g x f x= a
1 1( , ) [ , )8 8
−∞ − +∞
1 1[ ,0) (0, ]4 8
−
(0,8] 1 1( , ] [ , )4 8
−∞ − +∞
( )f x [ ]2,0− ( )g x [ ]2,1−
[ ]2,4x∈ ( ) ( )22 4,2 3
2,3 4
{ x x
x xx
f x − − + ≤ ≤
+ < ≤
=
( ) 93, 2f x ∈
( ) ( )2 2f x f x+ = ( ) ( ) ( )1 12 42 4f x f x f x= + = + [ ]2,0x∈ −
[ ]4 2,4x + ∈ ( )f x [ ]2,0− 3 9,4 8
0a > ( ) [ ]2 1, 1g x a a∈ − + +
32 1 4
91 8
{ a
a
− + ≤
+ ≥
1
8a ≥ 0a = ( ) 1g x = 0a <
( ) [ ]1, 2 1g x a a∈ + − +
31 4
92 1 8
{a
a
+ ≤
− + ≥
1
4a −≤ a
] [1 1, ,4 8
−∞ − ∪ +∞ D
(1, )a λ= (2,1)b = 2a b+ (8,6)c = a b
3 5
5【解析】
, 由 向 量 与 共 线 ， 得 ， 解 得
，则 ，故答案为 .
14.将参数方程 （ 为参数），转化成普通方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
将参数方程变形为 ，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.
【详解】将参数方程变形为 ，两等式平方得 ，
上述两个等式相减得 ，因此，所求普通方程为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查
计算能力，属于中等题.
15.已知随机变量 X 服从正态分布 N(0，σ2)且 P(－2≤X≤0)＝0.4，则 P(X>2)＝____________.
【答案】0.1
【解析】
随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 ， 且
( )2 4,2 1a b λ+ = + 2a b+ ( )8,6c = ( )24 8 2 1 0λ− + =
1λ = 2a = 2
1
2
1
2
ax t t
by t t
= + = −
t
2 2
2 2 1x y
a b
− =
1 1
2
1 1
2
x ta t
y tb t
= + = −
1 1
2
1 1
2
x ta t
y tb t
= + = −
2
2
2 2
2
2
2 2
1 1 24
1 1 24
x ta t
y tb t
= + + = + −
2 2
2 2 1x y
a b
− =
2 2
2 2 1x y
a b
− =
2 2
2 2 1x y
a b
− =
ξ ( )20,N σ ( ) ( )2 0 0.4, 0 2 0.4,P X P X− ≤ ≤ = ∴ ≤ ≤ =，故答案为 .
16.已知球 O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD 的外接球，
BC=3， ，点 E 在线段 BD 上，且 BD=3BE，过点 E 作圆 O 的截面，则所得截面圆面积
的取值范围是__.
【答案】
【解析】
【分析】
设△BDC 的中心为 O1，球 O 的半径为 R，连接 oO1D，OD，O1E，OE，可得 R2＝3+（3﹣R）2，解
得 R＝2，过点 E 作圆 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截
面面积最大，即可求解．
【详解】如图，
设△BDC 的中心为 O1，球 O 的半径为 R，
连接 oO1D，OD，O1E，OE，
则 ，AO1
在 Rt△OO1D 中，R2＝3+（3﹣R）2，解得 R＝2，
∵BD＝3BE，∴DE＝2
在△DEO1 中，O1E
∴
过点 E 作圆 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，截面的面积最小，
此时截面圆的半径为 ，最小面积为 2π．
( )2 0.5 0.4 0.1P X∴ > = − = 0.1
2 3AB =
[2 ,4 ]π π
0
1
23sin 60 33O D = × = 2 2
1 3.AD DO= − =
03 4 2 3 2 cos30 0.= + − × × × =
2 2
1 1 2OE O E OO= + =
( )222 2 2.− =当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为 4π．
故答案为：[2π，4π]
【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要
确定何时取最值，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点．
求圆 C 的直角坐标方程及弦 AB 的长；
动点 P 在圆 C 上 不与 A，B 重合 ，试求 的面积的最大值．
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
分析：(1)先根据 将圆 的极坐标方程化为直角坐标方
程，再将直线 的参数方程代入圆 方程，利用韦达定理以及参数几何意义求弦 的长；(2)
先根据加减消元法得直线 的普通方程，再根据点到直线距离公式得点 到直线 的距离最大
值，最后根据三角形面积公式求最大值.
详解：（1）由 得
所以 ，所以圆 的直角坐标方程为
将直线 的参数方程代入圆 ，并整理得 ，
解得
所以直线 被圆 截得的弦长为 .
（2）直线 的普通方程为 .
2x 4 t2
2y t2
= +
=
ρ 4cosθ=
( )1
( )2 ( ) ABP
2 2
2 2+
2 2 2 , cos , sinx y x yρ ρ θ ρ θ= + = = C
l C AB
l P l
4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ=
2 2 4 0x y x+ − = C ( )2 22 4x y− + =
l ( )2 2: 2 4C x y− + = 2 2 2 0t t+ =
1 20, 2 2t t= = −
l C 1 2 2 2t t− =
l 4 0x y− − =圆 的参数方程为 （ 为参数），
可设圆 上的动点 ，
则点 到直线 的距离
当 时， 取最大值，且 的最大值为
所以
即 的面积的最大值为 .
点睛：直线的参数方程的标准形式的应用
过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 直线 l 的参数方程是 .(t 是参数，t 可正、
可负、可为 0)
若 M1，M2 是 l 上 两点，其对应参数分别为 t1，t2，则
(1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).
(2)|M1M2|＝|t1－t2|.
(3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝ ，中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|
＝ .
(4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
18.选修 4-5：不等式选讲
设函数 的最大值为 .
（1）求 的值；
（2）若正实数 ， 满足 ，求 的最小值.
【答案】(1) m＝1 (2)
【解析】
的
的
C
2 2
2
x cos
y sin
θ
θ
= +
=
θ
C ( )2 2cos ,2sinP θ θ+
P l 2 2cos 2sin 4 2cos 242
d
θ θ πθ+ − − = = + −
cos 14
πθ + = − d d 2 2+
( )1 2 2 2 2 2 2 22ABPS∆ ≤ × × + = +
ABP∆ 2 2 2+
0
0
cos
sin
x x t
y y t
α
α
= +
= +
1 2
2
t t+
1 2
2
t t+
( ) 1f x x x= + − m
m
a b a b m+ =
2 2
1 1
a b
b a
++ +
1
3试题分析：（1）零点分区间去掉绝对值，得到分段函数的表达式，根据图像即可得到函数最
值；（2）将要求的式子两边乘以(b＋1)＋(a＋1)，再利用均值不等式求解即可.
解析：
（Ⅰ）f(x)＝|x＋1|－|x|＝
由 f(x)的单调性可知，当 x≥1 时，f(x)有最大值 1．
所以 m＝1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a＋b＝1，
＋ ＝ ( ＋ )[(b＋1)＋(a＋1)]
＝ [a2＋b2＋ ＋ ]
≥ (a2＋b2＋2 )
＝ (a＋b)2
＝ ．
当且仅当 a＝b＝ 时取等号．
即 ＋ 的最小值为 ．
19.如图，点 在以 为直径的圆 上， 垂直与圆 所在平面， 为 的垂心
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）见解析（2） .
C AB O PA O G AOC∆
OPG ⊥ PAC
2 2PA AB AC= = = A OP G− −
2 51
17【解析】
试题分析：（1）延长 交 于点 ，由重心性质及中位线性质可得 ，再结
合圆的性质得 ，由已知 ，可证 平面 ，进一步可得平面
平面 （2）以点 为原点， ， ， 方向分别为 ， ， 轴正方向
建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用二面角与二个半平面的法向量的夹角间的关系可
求二面角的余弦值．
试题解析：（1）如图，延长 交 于点 .因为 为 的重心，所以 为 的
中点.
因为 为 的中点，所以 .因为 是圆 的直径，所以 ，所以
.
因为 平面 ， 平面 ，所以 .又 平面 ， 平
面 = ，所以 平面 .即 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）以点 为原点， ， ， 方向分别为 ， ， 轴正方向建立空间直角坐标系
，则 ， ， ， ， ，
，则 ， .平面 即为平面 ，设
平面 的一个法向量为 ，则 令 ，得
.过点 作 于点 ，由 平面 ，易得 ，又
OG AC M / /OM BC
OM AC⊥ PA OM⊥ OM ⊥ PAC
OPG ⊥ PAC； C CB CA AP x y z
OG AC M G AOC∆ M AC
O AB / /OM BC AB O BC AC⊥
OM AC⊥
PA ⊥ ABC OM ⊂ ABC PA OM⊥ PA ⊂ PAC AC ⊂
,PAC PA AC∩ A OM ⊥ PAC OG ⊥ PAC OG ⊂ OPG
OPG ⊥ PAC
C CB CA AP x y z
C xyz− ( )0,0,0C ( )0,1,0A ( )3,0,0B 3 1, ,02 2O
( )0,1,2P
10, ,02M
3 ,0,02OM
= −
3 1, ,22 2OP
= −
OPG OPM
OPM ( ), ,n x y z=
3 0,2{
3 1 2 0,2 2
n OM x
n OP x y z
⋅ = − =
⋅ = − + + =
1z =
( )0, 4,1n = − C CH AB⊥ H PA ⊥ ABC CH PA⊥，所以 平面 ，即 为平面 的一个法向量.
在 中，由 ，得 ，则 ， .
所以 ， .所以 .
设二面角 的大小为 ，则 .
点睛：若 分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小 满足
，二面角的平面角的大小是 的夹角(或其补角，需根据观察得出结
论)．在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的
法向量是解题的关键．
20. 年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过 元（含
元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有 个形状、
大小完全相同的小球（其中红球 个，黑球 个）的抽奖盒中，一次性摸出 个球，其中奖规
则为：若摸到 个红球，享受免单优惠；若摸出 个红球则打 折，若摸出 个红球，则打
折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有 个形状、大小完全相同的小球（其中红球
个，黑球 个）的抽奖盒中，有放回每次摸取 球，连摸 次，每摸到 次红球，立减 元.
（1）若两个顾客均分别消费了 元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠
的概率；
（2）若某顾客消费恰好满 元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
【答案】（1） ；（2）选择第一种抽奖方案更合算.
【解析】
【分析】
（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率；
（2）选择方案一，计算所付款金额 分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额的
PA AB A∩ = CH ⊥ PAB CH PAO
Rt ABC∆ 2AB AC= 30ABC∠ = ° 60HCB∠ = ° 1 3
2 2CH CB= =
3cos 4Hx CH HCB= ∠ = 3sin 4Hy CH HCB= ∠ = 3 3, ,04 4CH
=
A OP G− − θ cos
CH n
CH n
θ
⋅
= =
⋅
2 2
3 30 4 1 04 4 2 51
173 9 4 116 16
× − × + ×
=
+ × +
1 2,n n θ
1 2cos ,cos n nθ = 〈 〉
1 2,n n
2017 600 600
10
3 7 3
3 2 6 1 7
10 3
7 1 3 1 200
600
1000
1
14400
X的数学期望值，比较得出结论.
【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件 ，则 ，
所以两位顾客均享受到免单的概率为 ；
（2）若选择方案一，设付款金额为 元，则 可能的取值为 、 、 、 .
， ，
， .
故 的分布列为，
所以 （元）.
若选择方案二，设摸到红球的个数为 ，付款金额为 ，则 ，
由已知可得 ，故 ，
所以 （元）.
因为 ，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.
【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量分布列与数学期望，同时
也考查了二项分布的数学期望与数学期望的性质，解题时要明确随机变量所满足的分布列类
型，考查计算能力，属于中等题.
21.已知椭圆 的离心率为 ，且 .
Z
A ( ) 3
3
3
10
1
120
CP A C
= =
( ) ( ) 1
14400P P A P A= ⋅ =
X X 0 600 700 1000
( ) 3
3
3
10
10 120
CP X C
= = = ( ) 2 1
3 7
3
10
7600 40
C CP X C
= = =
( ) 1 2
3 7
3
10
21700 40
C CP X C
= = = ( ) 3
7
3
10
71000 24
CP X C
= = =
X
X 0 600 700 1000
P
1
120
7
40
21
40
7
24
( ) 1 7 21 7 10 600 700 1000 764120 40 40 24 6E X = × + × + × + × =
Y Z 1000 200Z Y= −
3~ 3,10Y B
( ) 3 93 10 10E Y = × =
( ) ( ) ( )1000 200 1000 200 820E Z E Y E Y= − = − =
( ) ( )E X E Z<
( )2 2
2 2 1 0y x a ba b
+ = > > 2
2
2 2a b=（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线 ： 与椭圆交于 A，B 两点，是否存在实数 ，使线段 AB 的中点在圆
上，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）实数 不存在，理由见解析．
【解析】
试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和 的关系，解方程可得 ，进而得到椭圆方
程；（2）设 ， ，线段 的中点为 ．联立直线方程和椭圆方程，
运用韦达定理和中点坐标公式，求得的 坐标，代入圆的方程，解方程可得 ，进而判断不
存在．
试题解析：（1）由题意得 ，解得 故椭圆的方
程为 ；
（2）设 ， ，线段 的中点为 联立直线 与椭圆的方
程得，即 ，
即 ，
，
所以 ，
即 ．又因 点在圆 上，
可得 ，
解得 与 矛盾．
故实数 不存在．
考点：椭圆的简单性质．
为
l 0x y m− + = m
2 2 5x y+ = m22.已知函数 .
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程.
（2）求函数 的单调区间.
【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】
试题分析：
（1）函数 定义域 ，当 时，计算可得： ， ，则切线方
程为 .
（2） ，考查二次函数
，分类讨论：
①若 ， 在 上单调递增，在 上单调递减.
②若 ， 为开口向上的二次函数，两个零点均在定义域 上.则：
（i）若 ，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
（ii）若 ， 在 上单调递增.
（iii）若 ，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
试题解析：
（1）函数的定义域 ，
当 时， ， ，
，∴切线方程为 .
（2） ，
易知 ，令 ，
的
2( ) ln(1 ) 2
kf x x x x= + − + ( 0)k ≥
2k = ( )y f x= (1, (1))f
( )f x
3 ( 1) ln 22y x= − +
( )1,− +∞ 2k = ( ) 3' 1 2f = ( )1 2f ln=
( )3 1 22y x ln= − +
( ) ( )2 11' 11 1
kx k xf x kxx x
+ −= − + =+ +
( ) ( ) ( )( )2 1 1g x kx k x x kx k= + − = + −
0k = ( )f x ( )1,0− ( )0,+∞
0k > ( )g x ( )1,− +∞
0 1k< < ( )f x ( )1,0− 1 ,k
k
− +∞
10, k
k
−
1k = ( )f x ( )1,− +∞
1k > ( )f x 11, k
k
− −
( )0,+∞ 1 ,0k
k
−
( )1,− +∞
2k = ( ) 1' 1 21f x xx
= − ++ ( ) 1 3' 1 1 22 2f = − + =
( )1 2 1 1 2f ln ln= − + = ( )3 1 22y x ln= − +
( ) ( )2 11' 11 1
kx k xf x kxx x
+ −= − + =+ +
1 0x + > ( ) ( ) ( )( )2 1 1g x kx k x x kx k= + − = + −①若 ， ，∴ 在 上单调递增，在 上单调递减.
②若 ， 为开口向上的二次函数，零点分别为 0， ，其中 ，
即 的两个零点均在定义域 上.
（i）若 ， ，所以函数 在 和 上单调递增，在
上单调递减.
（ii）若 ， ， 图象恒在 轴上方， 恒成立，∴ 在
上单调递增.
（iii）若 ， ，∴函数 在 和 上单调递增，在
上单调递减.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知
识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及
命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何
意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知
单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形
结合思想的应用．
0k = ( )g x x= − ( )f x ( )1,0− ( )0,+∞
0k > ( )g x 1 k
k
− 1 1 1 1k
k k
− = − > −
( )g x ( )1,− +∞
0 1k< < 1 0k
k
− > ( )f x ( )1,0− 1 ,k
k
− +∞
10, k
k
−
1k = 1 0k
k
− = ( )g x x ( )' 0f x ≥ ( )f x
( )1,− +∞
1k > 1 0k
k
− < ( )f x 11, k
k
− −
( )0,+∞ 1 ,0k
k
−
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