2020高考数学二轮练典型习题第二部分专题五第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质（Word版带解析）

一、选择题 1．已知双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为 3，且离心率为 2，则该 双曲线的实轴的长为(　　) A．1　　　　　　　　 B． 3 C．2 D．2 3 解析：选 C.由题意知双曲线的焦点(c，0)到渐近线 bx－ay＝0 的距离为 bc a2＋b2＝b＝ 3， 即 c2－a2＝3，又 e＝c a＝2，所以 a＝1，该双曲线的实轴的长为 2a＝2. 2．若抛物线 y2＝4x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为 (　　) A．1 2 B．1 C．3 2 D．2 解析：选 B.设 P(x0，y0)，依题意可得|PF|＝x0＋1＝2，解得 x0＝1，故 y20＝4×1，解得 y0＝ ±2，不妨取 P(1，2)，则△OFP 的面积为1 2×1×2＝1. 3．(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线 C：x2 4－y2 2＝1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上， O 为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO 的面积为(　　) A．3 2 4 B．3 2 2 C．2 2 D．3 2 解析：选 A.不妨设点 P 在第一象限，根据题意可知 c2＝6，所以|OF|＝ 6. 又 tan∠POF＝b a＝ 2 2 ，所以等腰三角形 POF 的高 h＝ 6 2 × 2 2 ＝ 3 2 ，所以 S△PFO＝1 2× 6× 3 2 ＝3 2 4 . 4．(2019·昆明模拟)已知 F 1，F2 为椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，B 为 C 的短 轴的一个端点，直线 BF1 与 C 的另一个交点为 A，若△BAF2 为等腰三角形，则|AF1| |AF2|＝(　　) A．1 3 B．1 2 C．2 3 D．3解析：选 A.如图，不妨设点 B 在 y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义， 得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，所以|BF1|＝ |BF2|＝a，|AF1|＝a 2，|AF2|＝3a 2 .所以|AF1| |AF2|＝1 3.故选 A. 5．(2019·湖南湘东六校联考)已知椭圆 Γ：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的 2 倍，过 右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直线与 Γ 相交于 A，B 两点．若AF → ＝3FB → ，则 k＝(　　) A．1 B．2 C． 3 D． 2 解析：选 D.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AF → ＝3FB → ，所以 y1＝－3y2.因为椭圆 Γ 的长轴长 是短轴长的 2 倍，所以 a＝2b，设 b＝t，则 a＝2t，故 c＝ 3t，所以 x2 4t2＋y2 t2＝1.设直线 AB 的方 程为 x＝sy＋ 3t，代入上述椭圆方程，得(s2＋4)y2＋2 3sty－t2＝0，所以 y1＋y2＝－2 3st s2＋4，y1y2 ＝－ t2 s2＋4，即－2y2＝－2 3st s2＋4，－3y22＝－ t2 s2＋4，得 s2＝1 2，k＝ 2，故选 D. 6．(多选)设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，以 F 为圆心， |FA|为半径的圆交 l 于 B，D 两点．若∠ABD＝90°，且△ABF 的面积为 9 3，则(　　) A．△ABF 是等边三角形 B．|BF|＝3 C．点 F 到准线的距离为 3 D．抛物线 C 的方程为 y2＝6x 解析：选 ACD.因为以 F 为圆心，|FA|为半径的圆交 l 于 B，D 两点，∠ABD＝90°，由抛 物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以△ABF 是等边三角形，所以∠FBD＝30°.因为△ABF 的面积为 3 4 |BF|2＝9 3，所以|BF|＝6.又点 F 到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，则该抛物线 的方程为 y2＝6x. 二、填空题 7．已知 P(1， 3)是双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)渐近线上的点，则双曲线 C 的离心率 是________． 解析：双曲线 C 的一条渐近线的方程为 y＝b ax，P(1， 3)是双曲线 C 渐近线上的点，则b a＝ 3，所以离心率 e＝c a＝ a2＋b2 a2 ＝ 1＋b2 a2＝2. 答案：2 8．(2019·高考全国卷Ⅲ)设 F1，F2 为椭圆 C：x2 36＋y2 20＝1 的两个焦点，M 为 C 上一点且在 第一象限．若△MF1F2 为等腰三角形，则 M 的坐标为________．解析：不妨令 F1，F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点，根据题意可知 c＝ 36－20＝4.因为 △MF1F2 为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设 M(x，y)， 则{x2 36＋y2 20＝1， |F1M |2＝（x＋4）2＋y2＝64， x > 0， y > 0， 得{x＝3， y＝ 15， 所以 M 的坐标为(3， 15)． 答案：(3， 15) 9．(2019·月考改编)抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点为 F，其准线与双曲线x2 3－y2 3 ＝1 相交于 A，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则 p＝________，抛物线的焦点到双曲线渐 近线的距离为________． 解析：抛物线的焦点坐标为(0， p 2 )，准线方程为 y＝－p 2，准线方程与双曲线方程联立可 得x2 3－p2 12＝1，解得 x＝± 3＋p2 4 .因为△ABF 为等边三角形，所以 3 2 |AB|＝p，即 3 2 ×2 3＋p2 4 ＝ p，解得 p＝6.则抛物线焦点坐标为(0，3)，双曲线渐近线方程为 y＝±x，则抛物线的焦点到双 曲线渐近线的距离为 3 2 ＝3 2 2 . 答案：6　3 2 2 三、解答题 10．(2019·高考天津卷)设椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的短 轴长为 4，离心率为 5 5 . (1)求椭圆的方程； (2)设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在 y 轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O 为原点)，且 OP⊥MN，求直线 PB 的斜率． 解：(1)设椭圆的半焦距为 c，依题意，2b＝4，c a＝ 5 5 ，又 a2＝b2＋c2，可得 a＝ 5，b＝2， c＝1. 所以，椭圆的方程为x2 5＋y2 4＝1. (2)由题意，设 P(xp，yp)(xp≠0)，M(xM，0)．设直线 PB 的斜率为 k(k≠0)， 又 B(0，2)，则直线 PB 的方程为 y＝kx＋2，与椭圆方程联立{y＝kx＋2， x2 5 ＋y2 4＝1，整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0， 可得 xp＝－ 20k 4＋5k2， 代入 y＝kx＋2 得 yp＝8－10k2 4＋5k2 ， 进而直线 OP 的斜率为yp xp＝4－5k2 －10k . 在 y＝kx＋2 中，令 y＝0，得 xM＝－2 k. 由题意得 N(0，－1)，所以直线 MN 的斜率为－k 2. 由 OP⊥MN，得4－5k2 －10k ·(－k 2 )＝－1，化简得 k2＝24 5 ，从而 k＝±2 30 5 . 所以，直线 PB 的斜率为2 30 5 或－2 30 5 . 11．已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的离心率为 3 2 ，短轴长为 2. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若 kOM·kON＝5 4，求原 点 O 到直线 l 的距离的取值范围． 解：(1)由题知 e＝c a＝ 3 2 ，2b＝2，又 a2＝b2＋c2，所以 b＝1，a＝2， 所以椭圆 C 的标准方程为x2 4＋y2＝1. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立{y＝kx＋m， x2 4 ＋y2＝1，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)＞0，化简得 m2＜4k2＋1，① x1＋x2＝－ 8km 4k2＋1，x1x2＝4m2－4 4k2＋1， y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2， 若 kOM·kON＝5 4，则y1y2 x1x2＝5 4，即 4y1y2＝5x1x2， 所以 4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，所以(4k2－5)·4（m2－1） 4k2＋1 ＋4km·(－ 8km 4k2＋1)＋4m2 ＝0， 即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0，化简得 m2＋k2＝5 4，② 由①②得 0≤m2＜6 5， 1 20＜k2≤5 4，因为原点 O 到直线 l 的距离 d＝ |m| 1＋k2， 所以 d2＝ m2 1＋k2＝ 5 4－k2 1＋k2＝－1＋ 9 4（1＋k2）， 又 1 20＜k2≤5 4， 所以 0≤d2＜8 7，所以原点 O 到直线 l 的距离的取值范围是[0， 2 14 7 ). 12．(2019·成都市第二次诊断性检测)已知椭圆 C： x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的短轴长为 4 2，离 心率为1 3. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，左、右顶点分别为 A，B，点 M，N 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的两点，且 F1M∥F2N，直线 F1M 的斜率为 2 6，记直线 AM，BN 的斜率分别 为 k1，k2，求 3k1＋2k2 的值． 解：(1)由题意，得 2b＝4 2，c a＝1 3. 又 a2－c2＝b2，所以 a＝3，b＝2 2，c＝1. 所以椭圆 C 的标准方程为x2 9＋y2 8＝1. (2)由(1)可知 A(－3，0)，B(3，0)，F1(－1，0)． 据题意，直线 F1M 的方程为 y＝2 6(x＋1)． 记直线 F1M 与椭圆 C 的另一个交点为 M′.设 M(x1，y1)(y1>0)，M′(x2，y2)．因为 F1M∥ F2N，所以根据对称性，得 N(－x2，－y2)． 联立{8x2＋9y2＝72 y＝2 6（x＋1），消去 y，得 14x2＋27x＋9＝0. 由题意知 x1>x2，所以 x1＝－3 7，x2＝－3 2， k1＝ y1 x1＋3＝2 6（x1＋1） x1＋3 ＝4 6 9 ，k2＝ －y2 －x2－3＝2 6（x2＋1） x2＋3 ＝－2 6 3 ， 所以 3k1＋2k2＝3×4 6 9 ＋2×(－2 6 3 )＝0，即 3k1＋2k2 的值为 0.