2020高考数学二轮练典型习题第二部分专题五第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题（Word版带解析）

1．已知 F 为椭圆 C：x2 4＋y2 3＝1 的右焦点，M 为 C 上的任意一点． (1)求|MF|的取值范围； (2)P，N 是 C 上异于 M 的两点，若直线 PM 与直线 PN 的斜率之积为－3 4，证明：M，N 两点的横坐标之和为常数． 解：(1)依题意得 a＝2，b＝ 3，所以 c＝ a2－b2＝1， 所以椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为(1，0)， 设椭圆 C 上的任意一点 M 的坐标为(xM，yM)， 则x 4＋y 3＝1， 所以|MF|2＝(xM－1)2＋y2M＝(xM－1)2＋3－3 4x2M＝1 4x2M－2xM＋4＝1 4(xM－4)2， 又－2≤xM≤2，所以 1≤|MF|2≤9， 所以 1≤|MF|≤3， 所以|MF|的取值范围为[1，3]． (2)证明：设 P，M，N 三点的坐标分别为(xP，yP)，(xM，yM)，(xN，yN)， 设直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2，则直线 PM 的方程为 y－yP＝k1(x－xP)， 联立方程，得{x2 4＋y2 3＝1， y－yP＝k1（x－xP）， 消去 y，得 (3＋4k21)x2－8k1(k1xP－yP)x＋4k21x2P－8k1xPyP＋4y2P－12＝0， 由根与系数的关系可得 xM＋xP＝8k1（k1xP－yP） 3＋4k ， 所以 xM＝8k1（k1xP－yP） 3＋4k －xP＝4kxP－8k1yP－3xP 3＋4k ， 同理可得 xN＋xP＝8k2（k2xP－yP） 3＋4k ， 又 k1·k2＝－3 4， 故 xN＋xP＝8k2（k2xP－yP） 3＋4k ＝ 8(－ 3 4k1 )(－ 3 4k1xP－yP) 3＋4(－ 3 4k1 ) 2 ＝6xP＋8k1yP 4k＋3 ， 则 xN＝6xP＋8k1yP 4k＋3 －xP＝－4kxP－8k1yP－3xP 3＋4k ＝－xM， 从而 xN＋xM＝0， 即 M，N 两点的横坐标之和为常数．2．(2019·郑州市第二次质量预测)椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，A 为 椭圆上一动点(异于左、右顶点)，△AF1F2 的周长为 4＋2 3，且面积的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 B 是椭圆上一动点，线段 AB 的中点为 P，OA，OB(O 为坐标原点)的斜率分别为 k1， k2，且 k1k2＝－1 4，求|OP|的取值范围． 解：(1)由椭圆的定义及△AF1F2 的周长为 4＋2 3，可得 2(a＋c)＝4＋2 3，所以 a＋c＝2＋ 3①. 当 A 在上(或下)顶点时，△AF1F2 的面积取得最大值，即 bc＝ 3②， 由①②及 a2＝c2＋b2，得 a＝2，b＝1，c＝ 3， 所以椭圆 C 的方程为x2 4＋y2＝1. (2)当直线 AB 的斜率不存在时，k1＝－k2，因为 k1k2＝－1 4，所以 k1＝±1 2，不妨取 k1＝1 2， 则直线 OA 的方程为 y＝1 2x， 不妨取点 A( 2， 2 2 )，则 B( 2，－ 2 2 )，P( 2，0)，所以|OP|＝ 2. 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由{y＝kx＋m x2＋4y2＝4 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)＝16(4k2＋1－m2)>0①， 所以 x1＋x2＝ －8km 1＋4k2，x1x2＝4m2－4 1＋4k2 .因为 k1k2＝－1 4，所以 4y1y2＋x1x2＝0， 所以 4(kx1＋m)(kx2＋m)＋x1x2＝(4k2＋1)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝4m2－4－32k2m2 1＋4k2＋4m2＝ 0， 化简得 2m2＝1＋4k2(满足①式)，所以 m2≥1 2. 设 P(x0，y0)，则 x0＝x1＋x2 2 ＝ －4km 1＋4k2＝ －2k m ，y0＝kx0＋m＝ 1 2m. 所以|OP|2＝x20＋y20＝4k2 m2 ＋ 1 4m2＝2－ 3 4m2∈[1 2，2 )，所以|OP|∈[ 2 2 ， 2). 综上，|OP|的取值范围为[ 2 2 ， 2]. 3．(2019·济南模拟)已知椭圆 D：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 e＝ 2 2 ，点(－ 2，1)在椭圆 D 上． (1)求椭圆 D 的方程；(2)过椭圆 D 内一点 P(0，t)的直线 l 的斜率为 k，且与椭圆 D 交于 M，N 两点，设直线 OM，ON(O 为坐标原点)的斜率分别为 k1，k2，若对任意 k，存在实数 λ，使得 k1＋k2＝λk，求 实数 λ 的取值范围． 解：(1)椭圆 D 的离心率 e＝ a2－b2 a ＝ 2 2 ，所以 a＝ 2b， 又点(－ 2，1)在椭圆 D 上，所以2 a2＋ 1 b2＝1，得 a＝2，b＝ 2，所以椭圆 D 的方程为x2 4＋y2 2 ＝1. (2)由题意得，直线 l 的方程为 y＝kx＋t. 由{x2 4＋y2 2＝1 y＝kx＋t ，消元可得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－4＝0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1＋x2＝ －4kt 2k2＋1，x1x2＝2t2－4 2k2＋1， k1＋k2＝y1 x1＋y2 x2＝kx1＋t x1 ＋kx2＋t x2 ＝2k＋t（x1＋x2） x1x2 ＝2k＋t· －4kt 2k2＋1·2k2＋1 2t2－4＝ －4k t2－2. 由 k1＋k2＝λk，得 －4k t2－2＝λk， 因为此等式对任意的 k 都成立，所以 －4 t2－2＝λ， 即 t2＝2－4 λ. 因为点 P(0，t)在椭圆内，所以 0≤t20)的离心率为1 2，其左焦点到点 P(2，1)的 距离为 10.不经过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且线段 AB 被直线 OP 平分． (1)求椭圆 C 的方程； (2)求△ABP 的面积取最大值时，直线 l 的方程． 解：(1)依题意知，e＝c a＝1 2， 左焦点(－c，0)到点 P(2，1)的距离 d0＝ （2＋c）2＋12＝ 10， 得 a2＝4，c2＝1，所以 b2＝3，故椭圆 C 的方程为x2 4＋y2 3＝1. (2)易得直线 OP 的方程为 y＝1 2x，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 R(x0，y0)(y0≠0)， 其中 y0＝1 2x0.因为 A ，B 在椭圆 C 上，所以 x 4＋y 3＝1 ， x 4＋y 3＝1 ，两式相减得 x 4－x 4＋y 3－y 3＝0 ，即 （x2－x1）·2x0 4 ＋ （y2－y1）·2y0 3 ＝0， 故 kAB＝y2－y1 x2－x1＝－3 4·x0 y0＝－3 2. 由题意可设直线 l 的方程为 y＝－3 2x＋m(m≠0)，代入x2 4＋y2 3＝1 中，消去 y 并整理得 3x2－ 3mx＋m2－3＝0， 由 Δ＝(3m)2－4×3(m2－3)＝3(12－m2)>0， 得－2 3