高考理科数学大题知识点总结

三角函数 一 知识点总结 1．角度制与弧度制的互化： 1rad＝ °≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ ≈0.01745（rad） 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式： 扇形面积公式:S= ----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设 是一个任意角，它的终边上一点 p（x,y）, r= (1)正弦 sin = 余弦 cos = 正切 tan = (2)各象限的符号： sin cos tan 4、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：sin2 + cos2 =1。 （2）商数关系： =tan （ ） 6.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ， ， ． ,23600 π= ,1800 π= π 180 180 π rl .α= rl.2 1 α α 22 yx + α r y α r x α x y x y + cos sin2 π α α − =   + O — — + x y O — + + — + y O α α α α α α α cos sin α zkk ∈+≠ ,2 ππα ( ) ( )1 sin 2 sinkπ α α+ = ( )cos 2 coskπ α α+ = ( ) ( )tan 2 tank kπ α α+ = ∈Ζ - — + + — T M AO P x y， ， ． ， ， ． ， ， ． ， ． ， ． 7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 8.三角函数的伸缩变化 9.三角函数公式： ( ) ( )2 sin sinπ α α+ = − ( )cos cosπ α α+ = − ( )tan tanπ α α+ = ( ) ( )3 sin sinα α− = − ( )cos cosα α− = ( )tan tanα α− = − ( ) ( )4 sin sinπ α α− = ( )cos cosπ α α− = − ( )tan tanπ α α− = − ( )5 sin cos2 π α α − =   cos sin2 π α α − =   ( )6 sin cos2 π α α + =   cos sin2 π α α + = −   两角和与差的三角函数关系 sin(α ± β )=sinα ·cos β ± cosα ·sin β cos(α ± β )=cosα ·cos β  sinα ·sin β βα βαβα tantan1 tantan)tan( ⋅ ±=± 10．正弦定理 ： . 11.余弦定理： ; ; . 三角形面积定理. . 二 、三角函数常考题型 三角函数题是高考数学试卷的第一道解答题，试题难度一般不大，但其战略意义重大，所以稳拿 该题 12 分对文理科学生都至关重要。分析近年高考试卷，可以发现，三角解答题多数喜欢和平面向 量综合在一起，且向量为辅，三角为主，主要有以下三类： 一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。 2sin sin sin a b c RA B C = = = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 2 cosb c a ca B= + − 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B= = = 倍角公式 sin2α =2sinα ·cos α cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1 =1-2sin2α α αα 2tan1 tan22tan −=例 1 已知向量 。 （1）若 ，求 的取值范围； （2）函数 ，若对任意 ，恒有 ,求 的取值范围。 解：（1） ， 即 。 （2） 。 ，又 二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中 心。 例 3 已知向量 , ， , ， ， （1）求 的值； （2）设函数 ，求 x 为何值时， 取得最大值，最大 值是多少，并求 的单调增区间。 解：（1） ， ,∴ , ，∴ ,∴ ， . （2） ,∵ ， ∴ ,∴当 时， ,要使 单调递增， ∴ , , 又 ， ∴ 的 单 调 增 区 间 为 . 三、解三角形问题，判断三角形形状，正余弦定理的应用。 例 6 在△ 中,角 A,B , 的对边分别为 a, ,c．已知向量 , ,且 ． （1）求角 的大小； （2）若 ,求角 A 的值。 解: （1）由 得 ；　整理得 ． 3 3(cos ,sin ), (cos , sin ), [ , ]2 2 2 2 2 x xx x x π π= = − ∈且a b | | 3+ >a b x ( ) | |f x = ⋅ + +a b a b 1 2, [ , ]2x x π π∈ 1 2| ( ) ( ) |f x f x t− < t | | | | 1, cos2 , | | 2 2cos2 2cos 3x x x= = ⋅ = ∴ + = + = − > a b a b a b 3 5cos . [ , ],2 2 6x x x π ππ π< − ∈ ∴ < ≤ 21 3( ) | | cos2 2cos 2(cos )2 2f x x x x= ⋅ + + = − = − −a b a b max min1 cos 0, ( ) 3, ( ) 1x f x f x− ≤ ≤ ∴ = = − 1 2 max min| ( ) ( ) | ( ) ( ) 4, 4f x f x f x f x t− ≤ − = ∴ > α(sin=a )2 1− 1(=b )cos2 α 5 1=⋅ba )2,0( πα ∈ αα sin2sin 及 xxxf 2cos2)22sin(5)( +++−= απ ])2,24[( ππ∈x )(xf )(xf 5 1cossin =−=⋅ ααba 25 12sin1)cos(sin 2 =−=− ααα 25 242sin =α 25 492sin1)cos(sin 2 =+=+ ααα 5 7cossin =+ αα 5 3cos =α 5 4sin =α 12cos)sin2sincos2(cos52cos1)2cos(5)( +++=++−= xxxxxxf ααα 12sin42cos412cos)2sin5 42cos5 3(5 ++=+++= xxxxx 1)42sin(24 ++= π x 224 ππ ≤≤ x 4 5 423 πππ ≤+≤ x 24 π=x 621)24()(max +== π fxf )(xfy = πππππ kxk 224222 +≤+≤+− Z)(88 3 ∈+≤≤+− kkxk ππππ ]2,24[ ππ∈x )(xfy = ]8,24[ ππ ABC C b ( , )a c b a= + −m ( , )a c b= −n ⊥m n C 6sin sin 2A B+ = ⊥m n ( )( ) ( ) 0a c a c b a b+ − + − = 2 2 2 0a b c ab+ − − =即 ，又 ．又因为 ,所以 ． （2）因为 ，所以 , 故 ． 由 ．即 , 所以 ．即 ．因为 ，所以 , 故 或 ,∴ 或 ． 三角函数的小题涉及三角函数的所有知识点，因此，熟练掌握公式和性质是解好小题的必要条件， 在日常训练中一定要改掉边做题边看公式的坏习惯。再者，填空题答案书写的规范也需反复强调。 数列 一、知识点 1、数列的通项公式与前 n 项的和的关系 ( 数列 的前 n 项的和为 ). 2、等差数列的通项公式 ； 3、等差数列其前 n 项和公式为 . 4、等比数列的通项公式 ； 5、等比数列前 n 项的和公式为 或 . 二、高考常见题型 题型一：数列的通项公式的求法 A、定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 2 2 2a b c ab+ − = 2 2 2 1cos 2 2 2 a b c abC ab ab + −= = = 0 C π< < 3C π= 3C π= 2 3A B π+ = 2 3B A π= − 6 2 6sin sin , sin sin( )2 3 2A B A A π+ = + − =得 3 1 6sin cos sin2 2 2A A A+ + = 3sin cos 2A A+ = 2sin( )6 2A π+ = 20 3A π< < 5 6 6 6A π π π< + < 6 4A π π+ = 3 6 4A π π+ = 12A π= 7 12A π= 1 1 , 1 , 2n n n s na s s n− ==  − ≥ { }na 1 2n ns a a a= + + + * 1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N= + − = + − ∈ 1( ) 2 n n n a as += 1 ( 1) 2 n nna d −= + 2 1 1( )2 2 d n a d n= + − 1 *1 1 ( )n n n aa a q q n Nq −= = ⋅ ∈ 1 1 (1 ) , 11 , 1 n n a q qs q na q  − ≠= −  = 1 1 , 11 , 1 n n a a q qqs na q − ≠ −=   =B、公式法：已知 （即 ）求 ，用作差法： 。 例．已知数列 的前 项和 满足 ．求数列 的通项公式。 解：由 当 时，有 ……， 经验证 也满足上式，所以 C、累加法： 若 求 ： 。 D、累乘法：已知 求 ，用累乘法： 。 E、已知递推关系求 ，用构造法（构造等差、等比数列）。 ① 为常数，即递推公式为 （其中 p，q 均为常数， ）。 解法：转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。 例. 已知数列 中， ， ，求 . 解：设递推公式 可以转化为 即 .故递推公式为 ,令 ，则 ,且 .所以 是以 为首项，2 为公比的等比数列，则 , 所以 . 二.数列的前 n 项求和的求法 1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式， 特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1 的关系，必要时需分类讨论. 2≥n ,)1(2)(2 11 n nnnnn aaSSa −×+−=−= −− 1 12 2 ( 1) ,n n na a − −∴ = + × − ,)1(22 2 21 − −− −×+= n nn aa .22 12 −= aa 1 1 2 2 1 12 2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1)n n n n na a− − − −∴ = + × − + × − + + × − ].)1(2[3 2 3 ])2(1[2)1(2 )]2()2()2[()1(2 12 1 1 211 −− − − −−− −+= −−−−= −++−+−−+= nn n nn nnnn  nS 1 2 ( )na a a f n+ + + = na { 1 1 ,( 1) ,( 2)n n n S na S S n− == − ≥ { }na n nS 1,)1(2 ≥−+= naS n nn { }na 112 1111 =⇒−== aaSa 11 =a ])1(2[3 2 12 −− −+= nn na 1 ( )n na a f n+ − = na 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )n n n n na a a a a a a− − −= − + − + + − 1a+ ( 2)n ≥ 1 ( )n n a f na + = na 1 2 1 1 2 1 n n n n n a a aa aa a a − − − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( 2)n ≥ na ( )nf qpaa nn +=+1 )0)1(( ≠−ppq )(1 tapta nn −=−+ p qt −= 1 { }na 11 =a 321 +=+ nn aa na 321 +=+ nn aa )(21 tata nn −=−+ 321 −=⇒−=+ ttaa nn )3(231 +=++ nn aa 3+= nn ab 4311 =+= ab 23 311 =+ += ++ n n n n a a b b { }nb 41 =b 11 224 +− =×= nn nb 32 1 −= +n na常用公式： ， ， 2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用 公式法求和. 3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考 虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和公式的推导方法）. 例 3、求 的值 解：设 …………. ① 将①式右边反序得 …………..② （反序） 又因为 ①+②得 （反序相加） ＝89 ∴ S＝44.5 4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选 用错位相减法（这也是等比数列前 和公式的推导方法）. 例 4、 求和： ………………………① 解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积 设 ………………………. ② （设制错位） ①－②得 （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得： ∴ 5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂 项相消法求和 常用裂项形式有： ① ；② ； ③ ， ； 11 2 3 ( 1)2n n n+ + + + = + 2 2 2 11 2 ( 1)(2 1)6n n n n+ + + = + + n  89sin88sin3sin2sin1sin 22222 ++⋅⋅⋅+++  89sin88sin3sin2sin1sin 22222 ++⋅⋅⋅+++=S  1sin2sin3sin88sin89sin 22222 +++⋅⋅⋅++=S 1cossin),90cos(sin 22 =+−= xxxx  )89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2 222222  ++⋅⋅⋅++++=S n 132 )12(7531 −−+⋅⋅⋅++++= n n xnxxxS 1)12( −− nxn 1−nx n n xnxxxxxS )12(7531 432 −+⋅⋅⋅++++= nn n xnxxxxxSx )12(222221)1( 1432 −−+⋅⋅⋅+++++=− − n n n xnx xxSx )12(1 121)1( 1 −−− −⋅+=− − 2 1 )1( )1()12()12( x xxnxnS nn n − +++−−= + 1 1 1 ( 1) 1n n n n = −+ + 1 1 1 1( )( )n n k k n n k = −+ + 2 2 1 1 1 1 1( )1 2 1 1k k k k < = −− − + 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1k k k k k k k k k − = < < = −+ + − −④ ；⑤ ； 6.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。 例 8 、求 之和. 解：由于 （找通项及特征） ∴ ＝ （分组求和） ＝ ＝ ＝ 导数 一、知识点总结 1、导数的几何意义： 函数 在点 处的导数的几何意义就是曲线 在点 处的切线的斜率，也就是说， 曲线 在点 P 处的切线的斜率是 ，切线方程为 2.、几种常见函数的导数： ① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ； ⑦ ；⑧ 3、导数的运算法则 （1） . （2） . （3） 4、复合函数的求导法则 设函数 在点 处有导数 ，函数 在点 处的对应点 U 处有导数 ， 则复合函数 在点 处有导数，且 ，或写作 . )(xfy = 0x )(xfy = ))(,( 0 xfx )(xfy = ))(,( 0 xfx )( 0 ' xf ).)(( 0 ' 0 xxxfyy −=− 1 1 1 1[ ]( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)n n n n n n n = −+ + + + + 1 1 ( 1)! ! ( 1)! n n n n = −+ +  1 1111111111 个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ )110(9 199999 11111 11 −=⋅⋅⋅×=⋅⋅⋅ k kk  个个  1 1111111111 个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ )110(9 1)110(9 1)110(9 1)110(9 1 321 −+⋅⋅⋅+−+−+− n )1111(9 1)10101010(9 1 1 321    个n n +⋅⋅⋅+++−+⋅⋅⋅+++ 9110 )110(10 9 1 nn −− −⋅ )91010(81 1 1 nn −−+ 'C 0= 1')( −= nn nxx xx cos)(sin ' = xx sin)(cos ' −= aaa xx ln)( ' = xx ee =')( axxa ln 1)(log ' = xx 1)(ln ' = ' ' '( )u v u v± = ± ' ' '( )uv u v uv= + ' ' ' 2( ) ( 0)u u v uv vv v −= ≠ ( )u xϕ= x ' ' ( )xu xϕ= )(ufy = x ' ' ( )uy f u= ( ( ))y f xϕ= x ' ' ' x u xy y u= ⋅ ' ' '( ( )) ( ) ( )xf x f u xϕ ϕ=5、极值的判别方法：（极值是在 附近所有的点，都有 ＜ ，则 是函数 的极大值， 极小值同理） 当函数 在点 处连续时， ①如果在 附近的左侧 ＞0，右侧 ＜0，那么 是极大值； ②如果在 附近的左侧 ＜0，右侧 ＞0，那么 是极小值 极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 二、常考题型总结 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 在区间 上的最大值是？ 2．已知函数 处有极大值，则常数 C？ 3．函数 有极小值 ？,极大值？ 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线 在点 处的切线方程是 2 ． 若 曲 线 在 P 点 处 的 切 线 平 行 于 直 线 ， 则 P 点 的 坐 标 为 （ 1 ， 0 ） 4．求下列直线的方程： （1）曲线 在 P(-1,1)处的切线； （2）曲线 过点 P(3,5)的切线； 解：（1） 所以切线方程为 （2）显然点 P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为 ，则 ①又函数的导数为 ， 所以过 点的切线的斜率为 ，又切线过 、P(3,5)点，所以有 ②，由① ②联立方程组得， ，即切点为（1，1）时，切线斜率为 ；当切点为（5，25） 时 ， 切 线 斜 率 为 ； 所 以 所 求 的 切 线 有 两 条 ， 方 程 分 别 为 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 0x )(xf )( 0xf )( 0xf )(xf )(xf 0x 0x )(' xf )(' xf )( 0xf 0x )(' xf )(' xf )( 0xf 3 2( ) 3 2f x x x= − + [ ]1,1− 2)()( 2 =−== xcxxxfy 在 331 xxy −+= 34y x x= − ( )1, 3− − 2y x= − xxxf −= 4)( 03 =− yx 123 ++= xxy 2xy = 123|yk231)1,1( 1x /2/23 ===∴+=∴++=− = －上，在曲线点 －xxyxxyP 0211 =+−+=− yxxy 即， ),( 00 yxA 2 00 xy = xy 2/ = ),( 00 yxA 0 / 2| 0 xyk xx == = ),( 00 yxA 3 52 0 0 0 − −= x yx     = = = = 25 5 1 1 0 0 0 0 y x y x 或 ;22 01 == xk 102 02 == xk 251012)5(1025)1(21 −=−=−=−−=− xyxyxyxy 或即，或 1．已知函数 的切线方程为 y=3x+1 （Ⅰ）若函数 处有极值，求 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数 在区间[－2，1]上单调递增，求实数 b 的取值范围 解：（1）由 过 的切线方程为： 而过 故 ∵ ③ 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴ （2） 当 又 在[－3，1]上最大值是 13。 （3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又 由①知 2a+b=0。 依题意 在[－2，1]上恒有 ≥0，即 ①当 ； ②当 ； ③当 综上所述，参数 b 的取值范围是 题型四：利用导数研究函数的图象 1．如右图：是 f（x）的导函数， 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ D ） ))1(,1()(,)( 23 fPxfycbxaxxxf 上的点过曲线 =+++= 2)( −=xxf 在 )(xf )(xfy = )(xfy = .23)(,)( 223 baxxxfcbxaxxxf ++=′+++= 求导数得 ))1(,1()( fPxfy 上点= ).1)(23()1(),1)(1()1( −++=+++−−′=− xbacbayxffy 即 .13)]1(,1[)( +== xyfPxfy 的切线方程为上    −=− =+    −=− =++ 3 02 3 323 ca ba ca ba 即 124,0)2(,2)( −=+−∴=−′−== bafxxfy 故时有极值在 .542)( 23 +−+= xxxxf ).2)(23(443)( 2 +−=−+=′ xxxxxf ;0)(,3 22;0)(,23 +−=′=′≥= bbbfxfbx 时 φ∈∴≥++=−′=′−≤= bbbfxfbx ,0212)2()(,26 min时 .60,012 12)(,162 2 min ≤≤≥−=′≤≤− bbbxfb 则时 ),0[ +∞ )(/ xf ① ②（A） （B） （C） （D） 2．函数 ( A ) 3．方程 ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3 题型五：求参数取值范围、恒成立及存在性问题 A、分离常数法 例 1、已知函数 .（Ⅰ）求 的最小值；（Ⅱ）若对所有 都有 ，求实 数 的取值范围. 学科网 解：(Ⅰ) . 又易知 所以 （Ⅱ）依题意，得 在 上恒成立，即不等式 对于 恒成立 （分离 常数）. 令 ， 则 . 当 时，因为 ， 故 是 上的增函数， 所以 的最小值是 ，所以 的取值范围是 . B、与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系 求解策略： 的图像为143 1 3 +−= xxy x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2-2 x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y y 4 o -4 2 4 -4 2 -2-2 6 66 6 y x -4 -2 o 42 2 4 内根的个数为在 )2,0(0762 23 =+− xx ( ) lnf x x x= ( )f x 1x ≥ ( ) 1f x ax≥ − a exxfxxf 1,0)(,1ln)(' ==+= 解得令 ‘ ）上单调递减，，在（ exf 1,0)( ）上单调递增，，在（ ∞+exf )( eefxf 1)1()( −=的最小值为 ( ) 1f x ax≥ − [1 )+ ∞， 1lna x x ≤ + [1 )x∈ + ∞， 1( ) lng x x x = + 2 1 1 1 1( ) 1g x x x x x  ′ = − = −   1x > 1 1( ) 1 0g x x x  ′ = − >   ( )g x (1 )+ ∞， ( )g x (1) 1g = a ( 1]−∞，1、利用“要使 成立，只需使函数的最小值 恒成立即可；要使 成立， 只需使函数的最大值 恒成立即可 2、已知函数的单调性及单调区间，则转化为关于导数大于或者小于 0 在给定区间上恒成立的问题 3、利用子空间的思想，即首先求出函数的单调增或减区间，然后让题所给的区间是所求区间的子集 类型 1．参数放在函数表达式上 例１．设函数 ． （１）由 （２）方法１： 方法２： 方法３． 解题方法总结：求 后，若能因式分解则先因式分解，讨论 =0 两根的大小判断函数 的 单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题. 类型 2．参数放在区间边界上 例２．已知函数 过原点和点ｐ(-1,2),若曲线 在点 P 处的切线与直线 且切线的倾斜角为钝角. (1) 求 的表达式 axf >)( axf > min )( axf + ≥−    −>+ −≤+ +∞−−∞+− −+∞−−∞+=+= m mm m mm m mm xfxxxxxf 解得 或所以 的一个子区间或是从而只要保证 上递减在上递增在可知 时都取得极值与在 13 2)( 23 =−=+++= xxcbxaxxxf )(xf 2)(],2,1[ cxfx ∈>> =>>∈=== −−=+−= 1,13)( 23 =−=−+= xxxbxaxxf 在 )(xf )2)(,1( −≠mmA )(xf xxxf 3)( 3 −= 33)(),3,( 2' 0 3 00 −=− xxfxxxM 因为 0 2 00 '2 0 3 00 0 2 0 3 0 0 2 00 3 0 2 0 66)(332)( , 0332 )1)(33(3 ),1)(33( xxxgmxxxg xA mxx xxmxx Mxxmy −=++−= ∗ ∗=++− −−=−− −−=− 则设 有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点 即 所以 又切线过点所以切线方程为 )2,3( 230)1( 0)0( 1,0)(,)1,0(,),1(),0,()( 100)( 0 0000 000 ' −− −|F1F2|) 的 点 的 轨 迹 2．与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 迹.（00) 参 数 方程 (t 为参数) 范围 ─a≤x≤a，─b≤y≤b |x| ≥ a，y∈R x≥0 中心 原点 O（0，0） 原点 O（0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴 x 轴，y 轴； 长轴长 2a,短轴长 2b x 轴，y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. x 轴 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) 准 线 x=± 准线垂直于长轴，且在 椭圆外. x=± 准线垂直于实轴，且在两顶 点的内侧. x=- 准线与焦点位于顶点两 侧，且到顶点的距离相等. 焦距 2c （c= ） 2c （c= ） 离心率 e=1 【备注 1】双曲线： ⑶等轴双曲线：双曲线 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 ，离心率 . ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. 12 2 2 2 =+ b y a x ba > 12 2 2 2 =− b y a x 为离心角）参数θ θ θ ( sin cos  = = by ax 为离心角）参数θ θ θ ( tan sec  = = by ax  = = pty ptx 2 2 2 )0,2( pF 22 ba − 22 ba + )10( 0)的焦点坐标是( ,0)，准线方程 x=- ，开口向右；抛物线 =-2px(p>0)的 焦点坐标是(- ,0)，准线方程 x= ，开口向左；抛物线 =2py(p>0)的焦点坐标是(0, )，准线方程 y=- 　，开口向上； 抛物线 =-2py（p>0）的焦点坐标是（0,- ），准线方程 y= ，开口向下. （2）抛物线 =2px(p>0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 ；抛物线 =-2px(p>0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 （3）设抛物线的标准方程为 =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 ，顶点到准线的距 离 ，焦点到准线的距离为 p. （4）已知过抛物线 =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，则线段 AB 称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 = +p 或 (α为直线 AB 的倾斜角)， ， ( 叫做焦半径). 二、常考题型 常用知识点总结 1、中点坐标公式： ，其中 是点 的中点坐标。 2、弦长公式：若点 在直线 上， λ=− 2 2 2 2 b y a x λ−=− 2 2 2 2 b y a x 02 2 2 2 =− b y a x )0(2 2 2 2 ≠=− λλ b y a x 0=± b y a x 0=± b y a x )0(2 2 2 2 ≠=− λλ b y a x 2y 2 p 2 p 2y 2 p 2 p 2x 2 p 2 p 2x 2 p 2 p 2y 20 pxMF += 2y 02 xpMF −= 2y 2 p 2 p 2y AB 21 xx + α2sin 2pAB = 2 21 pyy −= 2,4 1 2 21 pxAFpxx +== AF 1 2 1 2,y2 2 x x y yx + += = ,x y 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y， 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y， ( 0)y kx b k= + ≠则 ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， 或者 。 3、两条直线 垂直：则 两条直线垂直，则直线所在的向量 4、韦达定理：若一元二次方程 有两个不同的根 ，则 。 题型一、数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 解题思路：①联立方程组→→②求出式★→→③利用韦达定理、判别式 →→④寻求“目标”的实现 （1）相交： 直线与圆锥曲线相交； （2）相切： 直线与圆锥曲线相切； （3）相离： 直线与圆锥曲线相离； 例题 1、已知直线 与椭圆 始终有交点，求 的取值范围 解 ： 根 据 直 线 的 方 程 可 知 ， 直 线 恒 过 定 点 （ 0 ， 1 ），椭 圆 过 动 点 ，如果直线 和椭圆 始终有交点，则 ，即 。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： 题型二、焦点三角形，焦半径，焦点弦问题 （1）焦点三角形 定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦 点三角形 1 1 2 2y kx b y kx b= + = +， 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) (1 )( )AB x x y y x x kx kx k x x= − + − = − + − = + − 2 2 1 2 1 2(1 )[( ) 4 ]k x x x x= + + − 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) (1 )( )AB x x y y x x y y y yk k k = − + − = − + − = + − 2 1 2 1 22 1(1 )[( ) 4 ]y y y yk = + + − 1 1 1 2 2 2: , :l y k x b l y k x b= + = + 1 2 1k k = − 1 2 0v v• = 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 1 2,x x 1 2 1 2,b cx x x xa a + = − = 0∆ > ⇔ 0∆ = ⇔ 0∆ < ⇔ : 1l y kx= + 2 2 : 14 x yC m + = m : 1l y kx= + 2 2 : 14 x yC m + = 0 ), 4m m± ≠（ ， 且 : 1l y kx= + 2 2 : 14 x yC m + = 1 4m m≥ ≠，且 1 4m m≤ ≠且 : 1 01l y kx= + ⇒ 过定点（ ，） : ( 1) 1l y k x= + ⇒ −过定点（ ，0） : 2 ( 1) 1l y k x− = + ⇒ −过定点（ ，2）叫焦点直角三角形。 1：该三角形一边长为焦距，另两边的和（差）为定值。 2：椭圆焦点三角形中，顶点在椭圆上的点到另两点的张角中，以短轴端点到这两点的张角最大。 （此处具体知识点省略，看笔记） （2）焦半径，焦点弦 若抛物线的方程为 y2＝2px（p＞0），过抛物线的焦点 F（p 2 ，0）的直线交抛物线与 A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则 (1) y1y2＝－p2；x1x2＝p2 4 ； (2)| AB|＝x1＋x2＋p；通径=2P (3) 1 |AF|＋ 1 |BF|＝2 p ； (4) 过 A、B 两点作准线的垂线，垂足分别为 A/、B/，F 抛物线的焦点，则∠A/FB/＝900； (5) 以弦 AB 为直径的圆与准线相切。 (6) 设 A， B 是抛物线 y2＝2px 上的两点，O 为原点， 则 OA⊥OB 的充要条件是直线 AB 恒过定点 (2p，0) 例题（1）短轴长为 ，离心率 的椭圆的两焦点为 、 ，过 作直线交椭圆于 A、B 两点， 则 的周长为________ （2）设 P 是等轴双曲线 右支上一点，F1、F2 是左右焦点，若 ，|PF1|=6， 则该双曲线的方程为 （3）双曲线的虚轴长为 4，离心率 e＝ ，F1、F2 是它的左右焦点，若过 F1 的直线与双曲线的 左支交于 A、B 两点，且 是 与 等差中项，则 ＝_______ （4）已知双曲线的离心率为 2，F 1、F2 是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 ， ．求该双曲线的标准方程。 题型三、动点轨迹方程问题 1、直接法 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、 限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. 例 1．点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是 ，求点的轨迹方程式，并说明轨 迹是什么图形． 5 3 2=e 1F 2F 1F 2ABF∆ )0(222 >=− aayx 0212 =⋅ FFPF 2 6 AB 2AF 2BF AB 6021 =∠ PFF 31221 =∆ FPFS M (0,2)F 8y = 1: 2变式：已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程． 2、待定系数法： 已知轨迹是什么图形，先设出其标准方程，再求出参数。 例 2、 已知椭圆的焦点坐标为 和 ，且经过点 ，求椭圆的标准方程。 变式：抛物线的顶点在原点，以 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 的直线，被抛物线截得的弦 长为 8，试求抛物线的方程。 3、定义法：定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线 等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程. 例 3、求与圆 及 都外切的动圆圆心的轨迹方程 解：设动圆的半径为 r，则由动圆与定圆都外切得 ， 又因为 ， 由双曲线的定义可知，点 M 的轨迹是双曲线的一支 所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为： 变式：（1）、一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，求动圆圆心的轨迹 方程式，并说明它是什么曲线． （2 、 已知 的底边 BC 长为 12，且底边固定，顶点 A 是动点，使 ，求 点 A 的轨迹 分析：首先建立坐标系，由于点 A 的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦 定理将其化为边的关系，注意有关限制条件 解：以底边 BC 为 轴，底边 BC 的中点为原点建立 坐标系，这时 ，由 得 ,即 所以，点 A 的轨迹是以 为焦点，2 =6 的双曲线的 左支 其方程为： 4、代入法 当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点 的坐标 来表示，再代入到其他动点 要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法. 3=x x 0135 1)3( 22 =+− yx 9)3( 22 =++ yx rMFrMF +=+= 1,3 21 2)1()3(21 =+−+=− rrMFMF 181 22 =− yx )1( ≥x 2 2 6 5 0x y x+ + + = 2 2 6 91 0x y x+ − − = ABC∆ ACB sin2 1sinsin =− x xoy )0,6(),0,6( CB − ACB sin2 1sinsin =− 62 1 ==− acb 6|||| =− ABAC )0,6(),0,6( CB − a )3(1279 22 −>=− bab y a x 21,FF 21FAF∆ 21FAF∆ ),( yx )3,3( yx )0,0(12 2 2 2 >>=− bab y a x )0(1)3()3( 2 2 2 2 ≠=− yb y a x )0(1 )3()3( 2 2 2 2 ≠=− yb y a x 21FAF∆ )0(1 )3()3( 2 2 2 2 ≠=− yb y a x 1: 22 =− yxC Q 2: =+ yxl N QN P ),(),( 11 yx，QyxP )2,2( 11 yyxxN −−  N l .222 11 =−+−∴ yyxx lPN ⊥ ,1 1 1 =− − xx yy 011 =−+− xyyx      −+= −+= 2 23 2 23 1 1 xyy yxx Q C 1)2 23()2 23( 22 =−+−−+∴ xyyx 012222 22 =−+−− yxyx P yx, yx, pxy 22 = 0>p O OA OB AB M ),( yxM OA )0( ≠kk OB k 1− kxy = y Q O x N P由 解得 ，即 ，同理可得 . 由中点坐标公式，得 ，消去 ，得 ，此即点 的轨迹方程. 6、交轨法 求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然 后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法. 例 6 如右图，垂直于 轴的直线交双曲线 于 、 两点， 为双曲线的左、右顶点，求直线 与 的交点 的轨迹方程，并指出轨迹的形状. 解：设 及 ，又 ，可得 直线 的方程为 ①；直线 的方程为 ②. ① × ② 得 ③ . 又 ， 代 入 ③ 得 ，化简得 ，此即点 的轨迹方程. 当 时，点 的轨迹是以原点为 圆心、 为半径的圆；当 时，点 的轨迹是椭圆. 题型四、共线问题 解题思路： 1、取两点确立一条直线，计算解析式，然后带入第三点验证 2、向量法证明 3、利用点差法求出 AB、AC 直线的斜率，相等即共线 例题 5、设过点 D(0,3)的直线交曲线 M： 于 P、Q 两点，且 ,求实数 的取值范围。 解：设 P(x1,y1),Q(x2,y2), (x1,y1-3)= (x2,y2-3)即 判别式法、韦达定理法、配凑法    = = pxy kxy 22      = = k py k px 2 2 2 )2,2( 2 k p k pA )2,2( 2 pkpkB −      −= += pkk py pkk px 2 2 k )2(2 pxpy −= M x 12 2 2 2 =− b y a x M N 21, AA MA1 NA2 P ),( yxP ),(),,( 1111 yxNyxM − )0,(),0,( 21 aAaA − MA1 )( 1 1 axax yy ++= NA2 )( 1 1 axax yy −+ −= )( 22 22 1 2 12 axax yy −− −= ,12 2 1 2 2 1 =− b y a x  )( 2 1 2 2 2 2 1 xaa by −=−∴ )( 22 2 2 2 axa by −−= 12 2 2 2 =+ b y a x P ba = P a ba ≠ P 2 2 19 4 x y+ = DP DQl=   l  DP DQl=   \ l 1 2 1 23 ( 3) x x y y l l ì =ïïïíï = + -ïïî xA1 A2O y N M P设直线 PQ 的方程为： ，由 消 y 整理后，得 P、Q 是曲线 M 上的两点 ＝ 即 ① 由韦达定理得： 即 ② 由①得 ，代入②，整理得 ， 解之得 当直线 PQ 的斜率不存在，即 时，易知 或 。 总之实数 的取值范围是 题型五、定点问题 （1）A、B 是抛物线 y2＝2px（p＞0）上的两点，且 OA⊥OB（O 为坐标原点） 求证：直线 AB 经过一个定点； （2）抛物线 y2＝2px（p＞0）上有两个动点 A、B 及一定点 M（p， 2p），F 为焦点；若|AF|、|MF|、 |BF|成等差数列，求证：线段 AB 的垂直平分线过定点。 题型六、存在性问题：（存在点，存在直线 y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、 直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆） 设椭圆 E: （a,b>0）过 M（2， ） ，N( ,1)两点，O 为坐标原点， （I）求椭圆 E 的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 ？ 若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 2 2 2 2 1x y a b + = 2 6 OA OB⊥  3, 0y kx k= + ≠ 2 2 3 4 9 36 y kx x y = +  + = 2 2(4 9 ) 54 45 0k x kx+ + + =  2 2(54 ) 4 45(4 9 )k k∴∆ = − × + 2144 80 0k − ≥ 29 5k ≥ 1 2 1 22 2 54 45,4 9 4 9 kx x x xk k + = − =+ + 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ( ) 2x x x x x x x x + = + + 2 2 2 2 54 (1 ) 45(4 9 ) k k λ λ +∴ =+ 2 2 2 2 36 9 4 415(1 ) 9 9 k k k λ λ += = ++ 2 1 10 9 5k < ≤ 2 36 91 5(1 ) 5 λ λ< ≤+ 1 55 λ< < 0x = 5λ = 1 5 λ = l 1 ,55      例 3 图 x y B O A M F解:（1）因为椭圆 E: （a,b>0）过 M（2， ） ，N( ,1)两点, 所以 解得 所以 椭圆 E 的方程为 （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 解 方 程 组 得 , 即 , 则△= ,即 , 要 使 , 需 使 , 即 , 所 以 , 所 以 又 ,所以 ,所以 ,即 或 ,因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 , , ,所求的圆为 ,此时圆的切线 都满足 或 ,而当切线 的 斜 率 不 存 在 时 切 线 为 与 椭 圆 的 两 个 交 点 为 或 满足 ,综上, 存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线 与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 . 因为 , 所以 , 2 2 2 2 1x y a b + = 2 6 2 2 2 2 4 2 1 6 1 1 a b a b + = + =     2 2 1 1 8 1 1 4 a b  =  = 2 2 8 4 a b  =  = 2 2 18 4 x y+ = OA OB⊥  y kx m= + 2 2 18 4 x y y kx m + = = +  2 22( ) 8x kx m+ + = 2 2 2(1 2 ) 4 2 8 0k x kmx m+ + + − = 2 2 2 2 2 216 4(1 2 )(2 8) 8(8 4) 0k m k m k m− + − = − + > 2 28 4 0k m− + > 1 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 8 1 2 kmx x k mx x k  + = − + − = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 (2 8) 4 8( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 k m k m m ky y kx m kx m k x x km x x m mk k k − −= + + = + + + = − + =+ + + OA OB⊥  1 2 1 2 0x x y y+ = 2 2 2 2 2 2 8 8 01 2 1 2 m m k k k − −+ =+ + 2 23 8 8 0m k− − = 2 2 3 8 08 mk −= ≥ 2 28 4 0k m− + > 2 2 2 3 8 m m  >  ≥ 2 8 3m ≥ 2 6 3m ≥ 2 6 3m ≤ − y kx m= + 21 mr k = + 2 2 2 22 8 3 81 31 8 m mr mk = = =−+ + 2 6 3r = 2 2 8 3x y+ = y kx m= + 2 6 3m ≥ 2 6 3m ≤ − 2 6 3x = ± 2 2 18 4 x y+ = 2 6 2 6( , )3 3 ± 2 6 2 6( , )3 3 − ± OA OB⊥  2 2 8 3x y+ = OA OB⊥  1 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 8 1 2 kmx x k mx x k  + = − + − = + 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 2 8 8(8 4)( ) ( ) 4 ( ) 41 2 1 2 (1 2 ) km m k mx x x x x x k k k − − +− = + − = − − × =+ + +, ①当 时 因为 所以 ,所以 , 所以 当且仅当 时取”=”. ② 当 时, . ③ 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 或 ,所以此时 , 综上, |AB |的取值范围为 即: 题型七、最值问题 （1）如图所示，若 A（3，2），F 为抛物线 y 2＝2x 的焦点， 求 |PF| ＋|PA|的最小值，以及取得最小值时点 P 的坐标。 变式：若 A（3，5）呢？ （2）.定长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线 上移动， 求 AB 中点 到 轴距离的最小值，并求此时 AB 中点 M 的坐标。 （3）若 ，且 ，则 的最大值是___， 的最小值是 （4）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为__ ！注意圆锥曲线与向量的联系 （1）给出 与 相交,等于已知 过 的中点; （2）给出 ,等于已知 是 的中点; （3）给出 ,等于已知 与 的中点三点共线; （ 4 ） 给 出 以 下 情 形 之 一 ： ① ； ② 存 在 实 数 ； ③ 若 存 在 实 数 ,等于已知 三点共线. ( ) 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 8(8 4)| | ( ) (1 )( ) (1 ) (1 2 ) k mAB x x y y k x x k k − += − + − = + − = + + 4 2 2 4 2 4 2 32 4 5 1 32[1 ]3 4 4 1 3 4 4 1 k k k k k k k + += ⋅ = ++ + + + 0k ≠ 2 2 32 1| | [1 ]13 4 4 AB k k = + + + 2 2 14 4 8k k + + ≥ 2 2 1 10 1 84 4k k < ≤ + + 2 2 32 32 1[1 ] 1213 3 4 4k k < + ≤ + + 4 6 | | 2 33 AB< ≤ 2 2k = ± 0k = 4 6| | 3AB = 2 6 2 6( , )3 3 ± 2 6 2 6( , )3 3 − ± 4 6| | 3AB = 4 6 | | 2 33 AB≤ ≤ 4| | [ 6,2 3]3AB ∈ 2y x= M y Ryx ∈, 623 22 =+ yx yx + 22 yx + OBOA + AB OBOA + AB 0=+ PNPM P MN ( )BQBPAQAP +=+ λ QP, AB ACAB // , AB ACλ λ= 使 , , 1, OC OA OBα β α β α β+ = = +  且 使 CBA ,, 例 8 图 x y P F O L AN PN（5） 给出 ,等于已知 ,即 是直角,给出 ,等于已知 是钝角, 给出 ,等于已知 是锐角, （6）在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是菱形; （7） 在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是矩形; （8）在 中，给出 ，等于已知 是 的外心（三角形外接圆的圆心， 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （9） 在 中，给出 ，等于已知 是 的重心（三角形的重心是三角 形三条中线的交点）； （10）在 中，给出 ，等于已知 是 的垂心（三角形的垂 心是三角形三条高的交点）； （11）在 中，给出 等于已知 通过 的内心； （12）在 中，给出 等于已知 是 的内心（三角形内切圆的 圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； （13） 在 中，给出 ,等于已知 是 中 边的中线; 以防大家迷路 请大家加高考分享君 QQ378037820 0=⋅ MBMA MBMA ⊥ AMB∠ 0=⋅ mMBMA AMB∠ ABCD 0)()( =−⋅+ ADABADAB ABCD ABCD | | | |AB AD AB AD+ = −    ABCD ABC∆ 222 OCOBOA == O ABC∆ ABC∆ 0=++ OCOBOA O ABC∆ ABC∆ OAOCOCOBOBOA ⋅=⋅=⋅ O ABC∆ ABC∆ += OAOP ( ) | | | | AB AC AB AC λ +     )( +∈ Rλ AP ABC∆ ABC∆ ,0=⋅+⋅+⋅ OCcOBbOAa O ABC∆ ABC∆ ( )1 2AD AB AC= +   AD ABC∆ BC