高考数学（文科）常用公式

高考数学（文科）公式大全 及重要基础知识记忆检查 目录 第 一 章 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 … … … … … … … … … … … … … … … … 2 第 二 章 函 数 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 3 第 三 章 倒 数 及 其 应 用 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 7 第 四 章 三 角 函 数 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8 第 五 章 平 面 向 量 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12 第 六 章 数 列 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 13 第 七 章 不 等 式 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 15 第 八 章 立 体 几 何 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 17 第 九 章 平 面 解 析 几 何 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 19 第 十 章 概 率 、 统 计 及 统 计 案 例 … … … … … … … … … … … … 24 第 十 一 章 算 法 初 步 及 框 图 … … … … … … … … … … … … … … … … … 25 第 十 二 章 推 理 与 证 明 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26 第 十 三 章 数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入 … … … … … … … … … … … … … 26 第 十 四 章 几 何 证 明 选 讲 … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26 第 十 五 章 坐 标 系 和 参 数 方 程 … … … … … … … … … … … … … … … … 27 第 十 六 章 不 等 式 选 讲 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 27第 一 章 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 1. 集合的基本运算 ； ； 2. .集合的包含关系: ； ； 3. 识记重要结论： ; ; ; 4．对常用集合的元素的认识 ① 中的元素是方程 的解， 即方程的解集； ② 中的元素是不等式 的解， 即不等式的解集； ③ 中的元素是函数 的函数值， 即函数的值域； ④ 中的元素是函数 的定义域， 即函 数的定义域； ⑤ 中的元素可看成是关于 的方程的解集，也可看成以方程 的解为坐标的点， 为点的集合，是一条直线。 5. 集合 的子集个数共有 个；真子集有 –1 个；非空子集有 –1 个；非 空的真子集有 –2 个. 6. 方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一 个必要而不是充分条件. 特 别 地 , 方 程 有 且 只 有 一 个 实 根 在 内 , 等 价 于 ,或 且 ,或 且 . 7. 闭区间上的二次函数的最值问题： 二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两 端点处取得，具体如下： (1) 当 a>0 时， ①若 ，则有 ； ②若 ，则有 ， . (2) 当 a′ xf 0)( x 32 2 ,4 4x k x k k Z π ππ π + < < + ∈   sin cosx x= x ,4x x k k Z π π = + ∈   sin cosx x< x 3 2 2 ,4 4x k x k k Z π ππ π − + < < + ∈   sin cosx x> x 3 ,4 4x k x k k Z π ππ π + < < + ∈   sin cosx x= x 3, ,4 4x x k or x k k Z π ππ π = + = + ∈   sin cosx x< x ,4 4x k x k k Z π ππ π − + < < + ∈   O y 225°角终边 45°角终边 x 半个月亮爬上来 O 135°角终边 45°角终边 y x 所谓伊人 在水一方 左正右负 极大值 左负右正 极小值42. ⑴对于“ ”这三个式子，已知其中一个式子的值， 可以求出其余二式的值。 ⑵三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限，看左边，写右边” 形似角中的角 不论多大，都看作锐角；形似角在原名称、原象限中的符号； 43. ⑴同角三角函数的基本关系式： ， = 推论： ； （正负号取决于 所在的象限） ⑵和角与差角公式 ; ; ； (正弦平方差公式); (余弦平方差公式)； = ( 辅 助 角 所 在 象 限 由 点 的 象 限 决 定 , 其 中 ). ⑶二倍角公式： ； ； 万能公式： ； ； ⑷半角公式（降幂公式）： ① ； ； ② 44. 三角函数的周期公式 函数 ，x∈R 及函数 ，x∈R(A,ω, 为常数，且 A≠0，ω＞ sin cos ,sin cos ,sin cosα α α α α α+ − α 2 2sin cos 1θ θ+ = tanθ θ θ cos sin 2 2 2 2 1 1cos tan 11 tan cos α αα α= → = −+ 2 2 1 1os ,tan 11 tan cosc α αα α= ± = ± −+ α sin( ) sin cos cos sinα β α β α β± = ± cos( ) cos cos sin sinα β α β α β± =  tan tantan( ) 1 tan tan α βα β α β ±± =  2 2sin( )sin( ) sin sinα β α β α β+ − = − 2 2cos( )cos( ) cos sinα β α β α β+ − = − sin cosa bα α+ 2 2 sin( )a b α ϕ+ + ϕ ( , )a b 2 2 2 2 sin ,cosb a a b a b ϕ ϕ= = + + sin 2 sin cosα α α= 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinα α α α α= − = − = − 2 2tantan 2 1 tan αα α= − 2 2 1 tancos2 1 tan αα α −= + 2 2tansin 2 1 tan αα α= + 2 1 coscos 2 2 α α+= 2 1 cossin 2 2 α α−= 2 1 costan 2 1 cos α α α −= + sin 1 costan 2 1 cos sin α α α α α −= =+ sin( )y xω ϕ= + cos( )y xω ϕ= + ϕ α α α α α α α α α − − + − + − + + 0 0 0 0 0 0 0 0 360 360 270 270 90 90 )-180 180 α α α α α α α α α −× −× +× −× +× −× +× × +× 0 0 0 0 0 0 0 0 0 900 904 904 903 903 901 901 )-902 902 ,)sin( ,)360sin( ,)360sin( ,)270sin( ,)270sin( ,)90sin( ,)90sin( ,)-180sin( ,)180sin( 0 0 0 0 0 0 0 0 =− =− =+ =− =+ =− =+ = =+ α α α α α α α α α αsin− αsin αcos αcos αcos− αcos− αsin αsin− αsin− 注意：总共两套 诱导公式（一套 是函数名不变； 另一套是函数名 必须改变）；对 于余弦函数和正 切函数的诱导公 式规律记忆同正 弦函数。0)的周期 ； 函数 ， (A,ω, 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期 . 45. ①类正弦函数 的图像的变换（两种办法殊途同归） ②类正弦函数 的参数计算：振幅 ， , ,求 时，一般代入最高点或者最低点的坐标后，利用已知三角函数值求角， 再根据给定 的范围进而分析得到 值。 46. 正弦函数和余弦函数的图像和性质 函数 图像 定义 域 R 值域 最值 时， 时， 时， 时， 单调 性 时，减函数 时，增函数 奇偶 奇函数 偶函数 -1 1 y=sinx -2π 2π 3π/2 ππ/2-3π/2 -π -π/2 o y x -1 1 y=cosx -2π 2π3π/2ππ/2-3π/2 -π -π/2 o y x 2T π ω= tan( )y xω ϕ= + ,2x k k Z ππ≠ + ∈ ϕ T π ω= y = Asin(wx+ )φ ( )0y = Asin(wx+ ) b Aφ + > max min 2 y yA −= 2 T πω = max min 2 y yb += ϕ ϕ ϕ y = sinx cosy = x [ ]1, 1− 2 ,2x k k Z π π= + ∈ max 1y = 2 ,2x k k Z π π= − + ∈ min 1y = − 2 ,x k k Zπ= ∈ max 1y = ( )2 1 ,x k k Zπ= + ∈ min 1y = − ( )2 , 22 2x k k k Z π ππ π ∈ − + + ∈   ( )32 , 22 2x k k k Z π ππ π ∈ + + ∈   ( ) ( )2 , 2 1x k k k Zπ π∈ + ∈   ( ) ( )2 1 ,2 ,x k k k Zπ π∈ − ∈   作 y=sinx（长度为 2π的某闭区间）的图像 得 y=sin(x+φ)的图像 得 y=sinωx 的图像 得 y=sin(ωx+φ)的图像 得 y=sin(ωx+φ)的图像 得y = Asin(wx+ )φ 的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上。 沿 x 轴平移|φ| 个单位（左加右减） 横坐标伸长或 缩短到原来的 倍 横坐标伸长或缩 短到原来的 倍 沿 x 轴平移| ω ϕ |个单位（左加右减） 纵坐标伸长或缩 短到原来的 A 倍 纵坐标伸长或缩 短到原来的 A 倍 1 ω 1 ω 时，增函数 时，减函数性 周期 性 最小正周期为 对称 性 对称轴： 对称中心： 对称轴： 对称中心： 47. 正切函数的图像和性质 函数 图像 定义域 值域 R 单调性 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期为 对称性 对称中心： 48. ⑴正弦定理： .（R 为 外接圆的半径，也是外接圆半径的一种算法。）. ① ， ， 等； ② ， ， 等； ⑵余弦定理： ; ; . 2.5 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 4 3 2 1 1 2 3 4 x y 3∙π 2 = –4.71 3∙π 2 = 4.71 π 2 = –1.57 π 2 = 1.57 f x ( ) = tan x ( ) O 2π ,2x k k Zπ π= + ∈ ( ,0)k k Zπ ∈ ,x k k Zπ= ∈ ( ,0)2 k k Z π π+ ∈ tany x= ( ) 2x k k Z π π≠ + ∈ ( ),2 2x k k k Z π ππ π ∈ − + + ∈   π ( ,0)2 k k Z π ∈ 2sin sin sin a b c RA B C = = = ABC∆ 2 sin , 2 sin , 2 sina R A b R B c R C⇔ = = = : : sin :sin :sina b c A B C⇔ = 2sin sin sin a b c RA B C = = = sin sin Aa b B ⇒ = ⋅ sin sin Cc a A = ⋅ sin sin Bb c C = ⋅ 2sin sin sin a b c RA B C = = = sin sin aA B b ⇒ = ⋅ sin sin cC A a = ⋅ sin sin bB C c = ⋅ 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 cos 2 b c aA bc + −⇒ = 2 2 2 2 cosb c a ca B= + − 2 2 2 cos 2 a c bB ac + −⇒ = 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 2 2 cos 2 a b cC ab + −⇒ = 地 位 相 同 等 号 两 边 时，增函数⑶正弦定理和余弦定理的应用解题常与三角形内角和定理相伴；解题时注意一种重要关系： 在 中 ， 给 定 角 的 正 弦 或 余 弦 值 ， 则 角 的 正 弦 或 余 弦 有 解 （ 即 存 在 ） 49. 三角形内角和定理：在△ABC 中，有 50. 面积定理 ⑴ （ 分别表示 a、b、c 边上的高）. ⑵ ⑶ (其中 为 的外接圆的 半径) ⑷ （R 为 外接圆的半径，也是外接圆半径的一种算法。） ⑸ (其中 为 的内切圆的半径，也能导出内切圆半径的一种算 法。顺便说下，直角三角形中内切圆的半径 ，其中 为两条直角边， 为斜 边。) ⑹ (其中 ，海伦公式) ⑺ （注意：此时以坐标原点为一个顶点的三角形的 面积公式）；设 ，则 以防大家迷路 请大家加高考分享君 QQ378037820 第 五 章 平 面 向 量 51. 向量的加减法的代数结构： ⑴ ⑵ 52. 平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只 有一对实数λ1、λ2，使得 a=λ1e1+λ2e2．（不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底．） 53． 向量平行与垂直的坐标表示：设 = , = ，且 ， 则 ∥ ( ) ； . 54. a 与 b 的数量积(或内积)：a·b=|a||b|cosθ．其几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a| 与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 55. 平面向量的坐标运算 ABC∆ A B、 C cos cos 0A B⇔ + > ( )A B C C A Bπ π+ + = ⇔ = − + 2 2 2 C A Bπ +⇔ = − 2 2 2( )C A Bπ⇔ = − + 1 1 1 2 2 2a b cS ah bh ch= = = a b ch h h、 、 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B= = = 2 2 22 sin sin 2 sin sin 2 sin sinABCS R A B R A C R C B∆ = = = R ABC∆ 4ABC abcS R∆ = ABC∆ ( )1 2ABCS r a b c∆ = ⋅ ⋅ + + r ABC∆ 2 a b cr + −= a b、 c ( ) ( ) ( )1 2ABCS p p a p b p c∆ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − 2 a b cp + += 2 21 (| | | |) ( )2OABS OA OB OA OB∆ = ⋅ − ⋅    ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 2 1 1 2AOBS x y x y∆ = − AB AB AB+ =   OB OA AB− =   a 1 1( , )x y b 2 2( , )x y b ≠ 0 a b 0b ≠  1 2 2 1 0x y x y⇔ − = a b⊥  1 2 1 2 0x x y y⇔ + = 尾首接 首尾联 首首接 尾尾联 指向被减向量(1)设 a= ,b= ，则 a+b= ； (2)设 a= ,b= ，则 a-b= ； (3)设 A ，B ,则 ； (4)设 a= ，则 a= ； (5)设 a= ,b= ，则 a·b= . 56. 两向量的夹角公式： (a= ,b= ). 57. 平面两点间的距离公式： = (A ， B ). 58. ①线段的定比分公式： 设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且 ，则 （ ）. ②中点的向量形式：平面内，设线段 的中点为 ， 为直线 外任意一点，则有 ; 设此时 ，则中点 的坐标公式： 59. 三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为 、 、 , 则△ABC 的重心的坐标是 . 60. 三角形四“心”向量形式的充要条件 设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则 （1） 为 的外心 . （2） 为 的重心 . （3） 为 的垂心 . （4） 为 的内心 . 第 六 章 数 列 61. ⑴自然数和公式： ① ； ② ； 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( , )x x y y+ + 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( , )x x y y− − 1 1( , )x y 2 2( , )x y 2 1 2 1( , )AB OB OA x x y y= − = − −   ( , ),x y Rλ ∈ λ ( , )x yλ λ 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( )x x y y+ 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y y x y x y θ += + ⋅ + 1 1( , )x y 2 2( , )x y ,A Bd | |AB AB AB= ⋅   2 2 2 1 2 1( ) ( )x x y y= − + − 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y ( , )P x y 1 2PP λ 1 2PP PPλ=  1 2 1 2 1 1 x xx y yy λ λ λ λ + = + + = + ⇔ 1 2 1 OP OPOP λ λ += +   ⇔ 1 2(1 )OP tOP t OP= + −   1 1t λ= + AB C O AB 2 OA OBOC +=   ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( ),C x y 1 2 1 2 2 2 x xx y yy + = + = 1 1A(x ,y ) 2 2B(x ,y ) 3 3C(x ,y ) 1 2 3 1 2 3( , )3 3 x x x y y yG + + + + O ABC∆ , ,A B C , ,a b c O ABC∆ 2 2 2 OA OB OC⇔ = =   O ABC∆ 0OA OB OC⇔ + + =    O ABC∆ OA OB OB OC OC OA⇔ ⋅ = ⋅ = ⋅      O ABC∆ 0aOA bOB cOC⇔ + + =    ( )11 2 2 n nn ++ +⋅⋅⋅+ = ( )( )2 2 2 1 2 11 2 6 n n nn + ++ +⋅⋅⋅+ =③ ⑵常见的拆项公式： ① ； ② ； ③ ； ④ ；⑤ . ⑶数列的通项公式与前 n 项的和的关系 ① ② （注：该公式对任意数列都适用） ③ （注：该公式对任意数列都适用） 62. ⑴ 等差数列的通项公式： ①一般式： ； ②推广形式： ； ③前 项和形式 （注：该公式对任意数列都适用）其前 n 项和公式为： . ⑵ 数列 为等差数列 （ 为常数） ⑶ 常用性质： ①若 m+n=p+q ，则有 ；特别地：若 的等差中项，则有 2 n、m、p 成等差数列； ②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如 ， ）仍是等差数列； ③ 为等差数列， 为其前 n 项和，则 ， ，．．．也成等差 数列； ④ ； ( )22 3 3 3 11 2 4 n nn ++ +⋅⋅⋅+ = ( ) 1 1 1 1 1n n n n = −+ + ( )( ) 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n n  = − − + − +  ( )( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2n n n n n n n  = − + + + + +  ( )1 1 a ba ba b = −−+ ( )1 2n n na S S n−= − ≥ 1 1 , 1 , 2n n n s na s s n− ==  − ≥ 1 ( 2)n n nS S a n−= + ≥ 1 2n nS a a a= + + + * 1 ( 1) ( )na a n d n N= + − ⋅ ∈ ( )n ma a n m d= + − n ma a nd m −= − n 1( 2)n n na S S n−= − ≥ 1( ) 2 n n n a as += 1 ( 1) 2 n nna d −= + 2 1 1( )2 2 d n a d n= + − { }na 1n na a d−⇔ − = d ( ) 2 1 12 = 2, *n n n na a a n n N a an b An Bn+ −⇔ + ≥ ∈ ⇔ = + ⇔ + m n p qa a a a+ = + ,m n pa a a是 m n pa a a= + ⇔ 1 2 3,a a a+ + 4 5 6,a a a+ + 7 8 9a a a+ + ⋅⋅⋅ { }na nS 2 3 2, ,m m m m mS S S S S− − 4 3m mS S− , , 0p q p qa q a p a += = =则⑤1+2+3+…+n= 63. 等比数列的通项公式： ⑴ ①一般形式： ； ②推广形式： ， ③其前 n 项的和公式为： ，或 . ⑵数列 为等比数列 ⑶ 常用性质： ① 若 m+n=p+q ， 则 有 ； 特 别 地 ： 若 的 等 比 中 项 ， 则 有 n、m、p 成等比数列; ② 等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如 ， ）仍是等比数列； ③ 为等比数列， 为其前 n 项和，则 ， ，．．．也成等比 数列（仅当当 或者 且 不是偶数时候成立）； ④设等比数列 的前 项积为 ，则 ， ， 成等比数列． 第 七 章 不 等 式 64. 常用不等式： ⑴ (当且仅当 a＝b 时取“=”号)； 2 )1( +nn 1 *1 1 ( )n n n aa a q q n Nq −= = ⋅ ∈ n m n ma a q −= ⋅ n m n m a aq − = 1 1 (1 ) , 11 , 1 n n a q qs q na q  − ≠= −  = 1 1 , 11 , 1 n n a a q qqs na q − ≠ −=   = { }na ( ) ( )2 11 1 1 10 0 2, nn n n n n n a q q a a a n n N a a qa −+ − + +⇔ = ≠ ⇔ = ⋅ > ≥ ∈ ⇔ = ⋅ ( )1a q 0 n N*≠ ∈、 ， n nS A q B⇔ = ⋅ + m n p qa a a a⋅ = ⋅ ,m n pa a a是 2 m n pa a a= ⋅ ⇔ 1 2 3,a a a+ + 4 5 6,a a a+ + 7 8 9a a a+ + ⋅⋅⋅ { }na nS 2 3 2, ,m m m m mS S S S S− − 4 3m mS S− 1q ≠ − 1q = − m { }nb n nT kT 2 3 2 ,k k k k T T T T 4 3 k k T T ,a b R∈ ⇒ 2 2 2a b ab+ ≥⑵ (当且仅当 a＝b 时取“=”号)；⑶ . 65. 极值定理 已知 都是正数，则有 （1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ； （2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 . 推广形式：已知 ，则有 （1）若积 是定值,则当 最大时, 最大；当 最小时, 最小. （2）若和 是定值,则当 最大时, 最小；当 最小时, 最大. 66. ① 一 元 二 次 不 等 式 ， 如 果 与 同号，则其解集在两根之外；如果 与 异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间. ； . ②简单的高次不等式的解法：数轴标根法（穿针引线法）。注意重因式的处理，奇次重根一次 穿过，偶次重根穿而不过。 例如： ，如图 从图中易知解集为 ③一元二次方程的根的分布情况：设 是实系数二次方程 的两个 实根，则 的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表所示： 67. 含有绝对值的不等式，当 a> 0 时，有 . 或 68. （1）理解绝对值的几何意义，并 了解下列不等式成立的几何意义及 取等号的条件： ， ； ， . （2）会利用绝对值的几何意义求解 以下类型的不等式： ； ； 根的分布 图像 充要条件 有 且只有一 个在 内 或 或 ,a b R+∈ ⇒ 2 a b ab + ≥ bababa +≤+≤− yx, xy p yx = yx + p2 yx + s yx = xy 2 4 1 s Ryx ∈, xyyxyx 2)()( 22 +−=+ xy || yx − || yx + || yx − || yx + || yx + || yx − || xy || yx − || xy 2 0( 0)ax bx c+ + > a 2ax bx c+ + a 2ax bx c+ + 1 2 1 2 1 2( )( ) 0( )x x x x x x x x x< < ⇔ − − < < 1 2 1 2 1 2, ( )( ) 0( )x x x x x x x x x x< > ⇔ − − > 1 2,x x 22x a x a a x a< ⇔ < ⇔ − < < 2 2x a x a x a> ⇔ > ⇔ > x a< − | | | | | |a b a b+ ≤ + ,a b R∈ | | | | | |a b a c c b− ≤ − + − ,a b R∈ | |ax b c+ ≤ | |ax b c+ ≥ 1 2x x k< < 18 16 14 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 6 4 2 2 4 6 8 x=-b/2a x2x1 O f(k) ( ) 0, 0, 2 f k b ka ∆ >  >  −    >  − > 1 2x k x< < 16 14 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 12 10 8 6 4 2 2 x = -b/2a k x2x1 Of(k) ( ) 0f k < ( )1 2 1 2, ,x x k k∈ 14 12 10 8 6 4 2 2 2 2 4 6 8 10 x = -b/2a f(k1) f(k2) x2x1O k1 k2 ( ) ( ) 1 2 1 2 0, 0, 0, 2 f k f k bk ka ∆ ≥  > >   < −  2 ( ) 0 ( ) 0( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0( ) [ ( )] f x f xf x g x g x g xf x g x ≥ ≥> ⇔ ≥   或 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] f x f x g x g x f x g x ≥ < ⇔ >  ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ > ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  > 0 1a< < ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ < ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  0< : 0l Ax By C+ + = 0Ax By C+ + > 0< 0C ≠ ( )0,0O 0C = ( )1,0 ( )0,1 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 2 2 4D E F+ − 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y− − + − − = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 0 0( , )P x y 222 )()( rbyax =−+− 2 2 0 0( ) ( )d a x b y= − + − d r> ⇔ P d r= ⇔ P d r< ⇔ P 0=++ CByAx 222 )()( rbyax =−+− 0 相离rd 0=∆⇔⇔= 相切rd 0>∆⇔⇔< 相交rd 22 BA CBbAad + ++= dOO =21 条公切线外离 421 ⇔⇔+> rrd 条公切线外切 321 ⇔⇔+= rrd 条公切线相交 22121 ⇔⇔+ > )( 2 1 c axePF += )( 2 2 xc aePF −= 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ + < 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ + > 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 0Ax By C+ + = 2 2 2 2 2A a B b c+ = ( )1 2 1 2 MF |-| MF = 2a < 2a > 2 2 2 2 1( 0)x y a bb a + = > > x y F1 F2OA1 A2 1B2 1 B1 F1 F2 y x O B1 ( ) ( )0, 0b a± ±、 ， ( ) ( )0 0b a± ±， 、 ， ( )0c± ， ( )0 c±， a b 2c a b c、 、 2 2 2a b c= + ce a = 2 2 21 1b be or ea a      = − = −        ② （即 ，注意 ，其中 为同一象限内的 实顶点、虚顶点， 为坐标原点）； ③ 设 是 双 曲 线 上 任 意 一 点 ， 且 ， 则 有 . ④下表是其标准方程及几何意义。 ⑴ 双曲线 的焦半径公式： ， ; ⑵ 双曲线的内外部： ①点 在双曲线 的内部 ； ②点 在双曲线 的外部 ; ⑶ 双曲线 与直线 相切的条件是 . 97. 抛物线 ⑴抛物线 的焦点弦（过焦点的弦）为 ， ，则有如下 结论： ① 焦半径公式： ； 标准方程 图形 范围 或者 或者 对称性 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 顶点坐标 焦点坐标 半长轴 实半轴椭长为 ，虚半轴长为 焦距 焦距为 关系 离心率 渐近线 2 2 2 1 1 1 1AO OB A B+ = 2 2 2c b a= + 1 1Rt AOB∆ 1 1A B、 O M 1 2F MF θ∠ = ( )2 2 2 1 2 1 22 cos 2MF MF MF MF cθ+ − ⋅ = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 1 | ( ) |aPF e x c = + 2 2 | ( ) |aPF e xc = − 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ − > 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ − < 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 0Ax By C+ + = 2 2 2 2 2A a B b c− = ( )022 >= ppxy AB ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 pAF x= + 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b − = >、 2 2 2 2 1( 0)y x a ba b − = >、 x a≥ x a≤ − y a≥ y a≤ − ( )0a± ， ( )0 a±， ( )0c± ， ( )0 c±， a b 2c a b c、 、 2 2 2a c b= − ce a = 2 2 2 1 1b be or ea a      = − = +         by xa = ± ay xb = ± x y F2 F1 M y xo F2F1 M四大方程四条 规律： ⑴一次项是谁， 焦点在谁轴上； ⑵一次项系数 的正负，代表 开口方向的上 下或右左； ⑶焦点坐标一 个是 0，另一非 0 ， 且 刚 好 是 一次项系数的 1 4 ； ⑷准线方程的 数值刚好是焦 点的非 0 坐标 的相反数。 ② 焦点弦长 ； ③ ， . ⑵抛物线的内外部： ① 点 在抛物线 的内部 ； ②点 在抛物线 的外部 ； ⑶抛物线 上的动点可设为 P ，可简化计算。 ⑷ 抛物线的切线方程： ① 抛物线 上一点 处的切线方程是 ； ②抛物线 与直线 相切的条件是 . 98.抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点轨迹。下表是其标准方程及图形 99. ①直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 （弦端点 A ，由方程 消去 y 得到 ， , 为直线的斜率）; ②中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为 ； ③处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法：设 A 为椭圆 方程 焦点 准线 图形 pxxpxpxAB ++=+++= 2121 22 2 1 2y y p= − 2 1 2 4 px x = 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)y px p= > 2 2 ( 0)y px p⇔ < > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)y px p= > 2 2 ( 0)y px p⇔ > > pxy 22 = ( )0p ≠ ),2( 2   yp y pxy 22 = 0 0( , )P x y 0 0( )y y p x x= + 2 2 ( 0)y px p= > 0Ax By C+ + = 2 2pB AC= 2 2 1 2 1 2( ) ( )AB x x y y= − + − ( )2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 22 1(1 )( ) 1 | | 1 ( ) 4 1 | |AB k x x k x x k x x x x y yk  = + − = + ⋅ − = + ⋅ + − = + ⋅ −  ),(),,( 2211 yxByx    = += 0)y,x(F bkxy 02 =++ cbxax 0∆ > k 2 2 1Ax By+ = ),(),,( 2211 yxByx 2 2y px= ( )0p > F ,02 p     2 px = − F y x O ( )2 2 0y px p= − > F ,02 p −   2 px = F y xO 2 2x py= ( )0p > F 0, 2 p     2 py = − F y xO ( )2 2 0x py p= − > F 0, 2 p −   2 py = F y x O上不同两点， 是 中点，则 ；对于双曲 线 ，类似可得： ；对于抛物线 有 . 100. 圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线 关于点 成中心对称的曲线是 . （2）曲线 关于直线 成轴对称的曲线是 . 第 十 章 概 率 、 统 计 及 统 计 案 例 101. 等可能性事件的概率： = 102. P（A）= . 103. 互斥事件 A，B 分别发生的概率的和:P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 104. 个互斥事件分别发生的概率的和:P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 105. 抽样方法主要有：①简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时， 它的主要特征是从总体中逐个抽取；②系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征 就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；③分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使 用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。每层样本数量与每 层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等或相近。即： 或者 106. 总体分布的估计：用样本估计总体的方法就是把样本的频率作为总体的概率。一般地， 样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图. 107. 样本平均数： ； 样本方差： ； 样本标准差： 。 第 十 一 章 算 法 初 步 及 框 图 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > ( )0 0,M x x AB 2 2AB OM bk k a ⋅ = − 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b − = >、 2 2AB OM bk k a ⋅ = 2 2y px= ( )0p ≠ 1 2 2 AB pk y y = + ( , ) 0F x y = 0 0( , )P x y 0 0(2 - ,2 ) 0F x x y y− = ( , ) 0F x y = 0Ax By C+ + = 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( )( , ) 0A Ax By C B Ax By CF x yA B A B + + + +− − =+ + ( ) mP A n = 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成 积）的区域长度（面积或体构成事件A n k k n n N N = 1 2 3 ... nx x x xx n + + + += ( ) ( ) ( )2 1 2 3 1 ... ns x x x x x x x xn  = − + − + − + + −  ( ) ( ) ( )1 2 3 1 ... ns x x x x x x x xn  = − + − + − + + −  n mA 试验的基本事件总数 包含的基本事件数事件 =每部分抽取的个体数 样本容量 该部分的个体总数 总体中的个体数④如果执行下面的程序 框图，如图⑷，输入 N=5,则 输出的数等于__________； ⑤阅读下面的程序框图⑸， 运行相应的程序后，则输出 S 的值为_________. ③某城市缺水问题比较突出，为了制定节水 管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了 抽样调查，其中 4 位居民的月均用水量分别为: 1 4, ,x x⋅⋅⋅ (单位：吨)。根据如图所示的程序框图， 若 1 2 3 4, , ,x x x x 分别为 1，1.5，1.5，2，则输出的 结果 s 为______________. 108.①画出计算 的程序框图，如图⑴；②对图⑵，若输入 ，则执行 程序后输出 y 的值为:____ 第 十 二 章 推 理 与 证 明 2 2 2 22 4 6 100+ + +⋅⋅⋅+ 1 2 开始 s=0 i=2 s=s+i2 i=i+2 i