高中数学公式大全(理数)

高中理科数学公式汇总 §01. 集合与简易逻辑 1. 元素与集合的关系 , . 2.德摩根公式 . 3.包含关系 4.容斥原理 . 5．集合 的子集个数共有 个；真子集有 –1 个；非空子集有 –1 个；非空的真子集有 –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 ; (2)顶点式 ; (3)零点式 . 7.解连不等式 常有以下转化形式 . 8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后 者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ,或 且 ,或 且 . 9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间 的两端点处取得，具体如下： (1)当 a>0 时，若 ，则 ； ， ， . (2)当 a− ⇔ 1 1 ( )f x N M N >− − 0)( =xf ),( 21 kk 0)()( 21  2 0 4 0 a b ac − − [ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x− − < ⇔ [ ]baxfxx xfxf ,)(0)()( 21 21 在⇔′ xf )(xf 0)( 0) （1） ，则 的周期 T=a； （2） ， 或 ，或 , 或 ,则 的周期 T=2a (3) ，则 的周期 T=3a； (4) 且 ，则 的周期 T=4a； (5) , 则 的周期 T=5a； (6) ，则 的周期 T=6a. 30.分数指数幂 (1) （ ，且 ）. (2) （ ，且 ）. 31．根式的性质 （1） . （2）当 为奇数时， ； )(xfy = a b baxfy +−= )( 0),( =yxf a b 0),( =−− byaxf abfbaf =⇔= − )()( 1 )( bkxfy += ])([1 1 bxfky −= − )([ 1 bkxfy += − )([ 1 bkxfy += − ])([1 bxfky −= ( )f x cx= ( ) ( ) ( ), (1)f x y f x f y f c+ = + = ( ) xf x a= ( ) ( ) ( ), (1) 0f x y f x f y f a+ = = ≠ ( ) logaf x x= ( ) ( ) ( ), ( ) 1( 0, 1)f xy f x f y f a a a= + = > ≠ ( )f x xα= '( ) ( ) ( ), (1)f xy f x f y f α= = ( ) cosf x x= ( ) sing x x= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y g x g y− = + 0 ( )(0) 1,lim 1 x g xf x→ = = )()( axfxf += )(xf 0)()( =+= axfxf )0)(()( 1)( ≠=+ xfxfaxf 1( ) ( )f x a f x + =− ( ( ) 0)f x ≠ [ ]21 ( ) ( ) ( ),( ( ) 0,1 )2 f x f x f x a f x+ − = + ∈ )(xf )0)(()( 11)( ≠+−= xfaxfxf )(xf )()(1 )()()( 21 21 21 xfxf xfxfxxf − +=+ 1 2 1 2( ) 1( ( ) ( ) 1,0 | | 2 )f a f x f x x x a= ⋅ ≠ < − < )(xf ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a+ + + + + + + ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a= + + + + )(xf )()()( axfxfaxf +−=+ )(xf 1m n n m a a = 0, ,a m n N ∗> ∈ 1n > 1m n m n a a − = 0, ,a m n N ∗> ∈ 1n > ( )nn a a= n n na a=当 为偶数时， . 32．有理指数幂的运算性质 (1) . (2) . (3) . 注： 若 a＞0，p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性 质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 . 34.对数的换底公式 ( ,且 , ,且 , ). 推论 ( ,且 , ,且 , , ). 35．对数的四则运算法则 若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1) ; (2) ; (3) . 36.设函数 ,记 .若 的定义域为 ,则 ，且 ;若 的值域为 ,则 ，且 .对于 的情形,需要 单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 若 , , , ,则函数 (1)当 时,在 和 上 为增函数. ， (2)当 时,在 和 上 为减函数. 推论:设 ， ， ，且 ，则 （1） . （2） . §03. 数 列 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 ，则对于时间 的总产值 ，有 . 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系 ( 数列 的前 n 项的和为 ). n , 0| | , 0 n n a aa a a a ≥= = − ∈ ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s Q= > ∈ ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r Q= > > ∈ log b a N b a N= ⇔ = ( 0, 1, 0)a a N> ≠ > loglog log m a m NN a = 0a > 1a ≠ 0m > 1m ≠ 0N > log logm n aa nb bm = 0a > 1a > , 0m n > 1m ≠ 1n ≠ 0N > log ( ) log loga a aMN M N= + log log loga a a M M NN = − log log ( )n a aM n M n R= ∈ )0)((log)( 2 ≠++= acbxaxxf m acb 42 −=∆ )(xf R 0>a 0a 0≥∆ 0=a 0a > 0b > 0x > 1x a ≠ log ( )axy bx= a b> 1(0, )a 1( , )a +∞ log ( )axy bx= a b< 1(0, )a 1( , )a +∞ log ( )axy bx= 1n m> > 0p > 0a > 1a ≠ log ( ) logm p mn p n+ + < 2log log log 2a a a m nm n +< p x y (1 )xy N p= + 1 1 , 1 , 2n n n s na s s n− ==  − ≥ { }na 1 2n ns a a a= + + +40.等差数列的通项公式 ； 其前 n 项和公式为 . 41.等比数列的通项公式 ； 其前 n 项的和公式为 或 . 42.等比差数列 : 的通项公式为 ； 其前 n 项和公式为 . 43.分期付款(按揭贷款) 每次还款 元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ). §04. 三角函数 44．常见三角不等式 （1）若 ，则 . (2) 若 ，则 . (3) . 45.同角三角函数的基本关系式 ， = ， . 46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） * 1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N= + − = + − ∈ 1( ) 2 n n n a as += 1 ( 1) 2 n nna d −= + 2 1 1( )2 2 d n a d n= + − 1 *1 1 ( )n n n aa a q q n Nq −= = ⋅ ∈ 1 1 (1 ) , 11 , 1 n n a q qs q na q  − ≠= −  = 1 1 , 11 , 1 n n a a q qqs na q − ≠ −=   = { }na 1 1, ( 0)n na qa d a b q+ = + = ≠ 1 ( 1) , 1 ( ) , 11 n n n b n d q a bq d b q d qq − + − = = + − − ≠ − ( 1) ,( 1) 1( ) ,( 1)1 1 1 n n nb n n d q s d q db n qq q q + − = = − − + ≠ − − − (1 ) (1 ) 1 n n ab bx b += + − a n b (0, )2x π∈ sin tanx x x< < (0, )2x π∈ 1 sin cos 2x x< + ≤ | sin | | cos | 1x x+ ≥ 2 2sin cos 1θ θ+ = tanθ θ θ cos sin tan 1cotθ θ⋅ = 47.和角与差角公式 ; ; . (平方正弦公式); . = (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ). 48.二倍角公式 . . . 49. 三倍角公式 . . . 50.三角函数的周期公式 函数 ，x∈R 及函数 ，x∈R(A,ω, 为常数，且 A≠0，ω ＞0)的周期 ； 函数 ， (A,ω, 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期 . 51.正弦定理 . 52.余弦定理 ; ; 2 1 2 ( 1) sin ,sin( )2 ( 1) s , n n n co απ α α −  −+ =   − 2 1 2 ( 1) s ,s( )2 ( 1) sin , n n conco απ α α +  −+ =   − sin( ) sin cos cos sinα β α β α β± = ± cos( ) cos cos sin sinα β α β α β± =  tan tantan( ) 1 tan tan α βα β α β ±± =  2 2sin( )sin( ) sin sinα β α β α β+ − = − 2 2cos( )cos( ) cos sinα β α β α β+ − = − sin cosa bα α+ 2 2 sin( )a b α ϕ+ + ϕ ( , )a b tan b a ϕ = sin 2 sin co sα α α= 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinα α α α α= − = − = − 2 2tantan 2 1 tan αα α= − 3sin3 3sin 4sin 4sin sin( )sin( )3 3 π πθ θ θ θ θ θ= − = − + 3cos3 4cos 3cos 4cos cos( )cos( )3 3 π πθ θ θ θ θ θ= − = − + 3 2 3tan tantan3 tan tan( ) tan( )1 3tan 3 3 θ θ π πθ θ θ θθ −= = − +− sin( )y xω ϕ= + cos( )y xω ϕ= + ϕ 2T π ω= tan( )y xω ϕ= + ,2x k k Z ππ≠ + ∈ ϕ T π ω= 2sin sin sin a b c RA B C = = = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 2 cosb c a ca B= + − (n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数). 53.面积定理 （1） （ 分别表示 a、b、c 边上的高）. （2） . (3) . 54.三角形内角和定理 在△ABC 中，有 . 55. 简单的三角方程的通解 . . . 特别地,有 . . . 56.最简单的三角不等式及其解集 . . . . . . §05. 平面向量 57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（ a）·b= （a·b）= a·b= a·（ b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且 只有一对实数λ1、λ2，使得 a=λ1e1+λ2e2． 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示 设 a= ,b= ，且 b 0，则 a b(b 0) . 53. a 与 b 的数量积(或内积) 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 1 1 1 2 2 2a b cS ah bh ch= = = a b ch h h、 、 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B= = = 2 21 (| | | |) ( )2OABS OA OB OA OB∆ = ⋅ − ⋅    ( )A B C C A Bπ π+ + = ⇔ = − + 2 2 2 C A Bπ +⇔ = − 2 2 2( )C A Bπ⇔ = − + sin ( 1) arcsin ( ,| | 1)kx a x k a k Z aπ= ⇔ = + − ∈ ≤ s 2 arccos ( ,| | 1)co x a x k a k Z aπ= ⇔ = ± ∈ ≤ tan arctan ( , )x a x k a k Z a Rπ= ⇒ = + ∈ ∈ sin sin ( 1) ( )kk k Zα β α π β= ⇔ = + − ∈ s cos 2 ( )co k k Zα β α π β= ⇔ = ± ∈ tan tan ( )k k Zα β α π β= ⇒ = + ∈ sin (| | 1) (2 arcsin ,2 arcsin ),x a a x k a k a k Zπ π π> ≤ ⇔ ∈ + + − ∈ sin (| | 1) (2 arcsin ,2 arcsin ),x a a x k a k a k Zπ π π< ≤ ⇔ ∈ − − + ∈ cos (| | 1) (2 arccos ,2 arccos ),x a a x k a k a k Zπ π> ≤ ⇔ ∈ − + ∈ cos (| | 1) (2 arccos ,2 2 arccos ),x a a x k a k a k Zπ π π< ≤ ⇔ ∈ + + − ∈ tan ( ) ( arctan , ),2x a a R x k a k k Z ππ π> ∈ ⇒ ∈ + + ∈ tan ( ) ( , arctan ),2x a a R x k k a k Z ππ π< ∈ ⇒ ∈ − + ∈ λ λ λ λ 1 1( , )x y 2 2( , )x y ≠  ≠ 1 2 2 1 0x y x y⇔ − =a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ,b= ，则 a+b= . (2)设 a= ,b= ，则 a-b= . (3)设 A ，B ,则 . (4)设 a= ，则 a= . (5)设 a= ,b= ，则 a·b= . 63.两向量的夹角公式 (a= ,b= ). 64.平面两点间的距离公式 = (A ，B ). 65.向量的平行与垂直 设 a= ,b= ，且 b 0，则 A||b b=λa . a b(a 0) a·b=0 . 66.线段的定比分公式 设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且 ，则 （ ）. 67.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则△ABC 的重心的坐 标是 . 68.点的平移公式 . 注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形 上的对应点为 ，且 的 坐标为 . 69.“按向量平移”的几个结论 （1）点 按向量 a= 平移后得到点 . (2) 函数 的图象 按向量 a= 平移后得到图象 ,则 的函数解析式为 . (3) 图象 按向量 a= 平移后得到图象 ,若 的解析式 ,则 的函数 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( , )x x y y+ + 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( , )x x y y− − 1 1( , )x y 2 2( , )x y 2 1 2 1( , )AB OB OA x x y y= − = − −   ( , ),x y Rλ ∈ λ ( , )x yλ λ 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( )x x y y+ 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y y x y x y θ += + ⋅ + 1 1( , )x y 2 2( , )x y ,A Bd | |AB AB AB= ⋅   2 2 2 1 2 1( ) ( )x x y y= − + − 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 1( , )x y 2 2( , )x y ≠ ⇔ 1 2 2 1 0x y x y⇔ − = ⊥ ≠ ⇔ 1 2 1 2 0x x y y⇔ + = 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y ( , )P x y 1 2PP λ 1 2PP PPλ=  1 2 1 2 1 1 x xx y yy λ λ λ λ + = + + = + ⇔ 1 2 1 OP OPOP λ λ += +   ⇔ 1 2(1 )OP tOP t OP= + −   1 1t λ= + 1 1A(x ,y ) 2 2B(x ,y ) 3 3C(x ,y ) 1 2 3 1 2 3( , )3 3 x x x y y yG + + + + ' ' ' ' x x h x x h y y k y y k  = + = − ⇔ = + = −   ' 'OP OP PP⇔ = +  'F ' ' '( , )P x y 'PP ( , )h k ( , )P x y ( , )h k ' ( , )P x h y k+ + ( )y f x= C ( , )h k 'C 'C ( )y f x h k= − + 'C ( , )h k C C ( )y f x= 'C解析式为 . (4) 曲 线 : 按 向 量 a= 平 移 后 得 到 图 象 , 则 的 方 程 为 . (5) 向量 m= 按向量 a= 平移后得到的向量仍然为 m= . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则 （1） 为 的外心 . （2） 为 的重心 . （3） 为 的垂心 . （4） 为 的内心 . （5） 为 的 的旁心 . §06. 不 等 式 71.常用不等式： （1） (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （2） (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （3） （4）柯西不等式 （5） . 72.极值定理 已知 都是正数，则有 （1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ； （2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 . 推广 已知 ，则有 （1）若积 是定值,则当 最大时, 最大； 当 最小时, 最小. （2）若和 是定值,则当 最大时, 最小； 当 最小时, 最大. 73. 一 元 二 次 不 等 式 ， 如 果 与 同号，则其解集在两根之外；如果 与 异号，则其解集在两 根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. ； . 74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时，有 . 或 . 75.无理不等式 ( )y f x h k= + − C ( , ) 0f x y = ( , )h k 'C 'C ( , ) 0f x h y k− − = ( , )x y ( , )h k ( , )x y O ABC∆ , ,A B C , ,a b c O ABC∆ 2 2 2 OA OB OC⇔ = =   O ABC∆ 0OA OB OC⇔ + + =    O ABC∆ OA OB OB OC OC OA⇔ ⋅ = ⋅ = ⋅      O ABC∆ 0aOA bOB cOC⇔ + + =    O ABC∆ A∠ aOA bOB cOC⇔ = +   ,a b R∈ ⇒ 2 2 2a b ab+ ≥ ,a b R+∈ ⇒ 2 a b ab + ≥ 3 3 3 3 ( 0, 0, 0).a b c abc a b c+ + ≥ > > > 2 2 2 2 2( )( ) ( ) , , , , .a b c d ac bd a b c d R+ + ≥ + ∈ bababa +≤+≤− yx, xy p yx = yx + p2 yx + s yx = xy 2 4 1 s Ryx ∈, xyyxyx 2)()( 22 +−=+ xy || yx − || yx + || yx − || yx + || yx + || yx − || xy || yx − || xy 2 0( 0)ax bx c+ + > a 2ax bx c+ + a 2ax bx c+ + 1 2 1 2 1 2( )( ) 0( )x x x x x x x x x< < ⇔ − − < < 1 2 1 2 1 2, ( )( ) 0( )x x x x x x x x x x< > ⇔ − − > ⇔ > ⇔ > x a< −（1） . （2） . （3） . 76.指数不等式与对数不等式 (1)当 时, ; . (2)当 时, ; §07. 直线和圆的方程 77.斜率公式 （ 、 ）. 78.直线的五种方程 （1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )． （2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距). （3）两点式 ( )( 、 ( )). (4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距， ) （5）一般式 (其中 A、B 不同时为 0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若 ， ① ; ② . (2)若 , ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① ； ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x g x g x f x g x ≥ > ⇔ ≥  > 2 ( ) 0 ( ) 0( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0( ) [ ( )] f x f xf x g x g x g xf x g x ≥ ≥> ⇔ ≥   或 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] f x f x g x g x f x g x ≥ < ⇔ >  ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ > ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  > 0 1a< < ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ < ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  0< : 0l Ax By C+ + = 0Ax By C+ + > 0< 0B ≠ B Ax By C+ + l B Ax By C+ + l 0B = A Ax By C+ + l A Ax By C+ + l 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + > 0< 1 1 1 2 2 2:( )( ) 0C A x B y C A x B y C+ + + + = 1 2 1 2 0A A B B ≠或 所表示的平面区域是： 所表示的平面区域上下两部分； 所表示的平面区域上下两部分. 86. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 . （2）圆的一般方程 ( ＞0). （3）圆的参数方程 . （4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是 、 ). 87. 圆系方程 (1)过点 , 的圆系方程是 , 其 中 是 直 线 的方程,λ是待定的系数． (2)过直线 : 与圆 : 的交点的圆系方程 是 ,λ是待定的系数． (3) 过圆 : 与圆 : 的交 点的圆系方程是 ,λ是待定的 系数． 88.点与圆的位置关系 点 与圆 的位置关系有三种 若 ，则 点 在圆外; 点 在圆上; 点 在圆内. 89.直线与圆的位置关系 直线 与圆 的位置关系有三种: ; ; . 其中 . 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， ; ; ; ; . 91.圆的切线方程 (1)已知圆 ． 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + > 0< 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + > 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + < 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 2 2 4D E F+ − cos sin x a r y b r θ θ = +  = + 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y− − + − − = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2( )( ) ( )( ) [( )( ) ( )( )] 0x x x x y y y y x x y y y y x xλ− − + − − + − − − − − = 1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( ) 0x x x x y y y y ax by cλ⇔ − − + − − + + + = 0ax by c+ + = AB l 0Ax By C+ + = C 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 2 2 ( ) 0x y Dx Ey F Ax By Cλ+ + + + + + + = 1C 2 2 1 1 1 0x y D x E y F+ + + + = 2C 2 2 2 2 2 0x y D x E y F+ + + + = 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2( ) 0x y D x E y F x y D x E y Fλ+ + + + + + + + + = 0 0( , )P x y 222 )()( rbyax =−+− 2 2 0 0( ) ( )d a x b y= − + − d r> ⇔ P d r= ⇔ P d r< ⇔ P 0=++ CByAx 222 )()( rbyax =−+− 0 相离rd 0=∆⇔⇔= 相切rd 0>∆⇔⇔< 相交rd 22 BA CBbAad + ++= dOO =21 条公切线外离 421 ⇔⇔+> rrd 条公切线外切 321 ⇔⇔+= rrd 条公切线相交 22121 ⇔⇔+ > )( 2 1 c axePF += )( 2 2 xc aePF −= 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ + < 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ + > 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 0 0( , )P x y 0 0 2 2 1x x y y a b + = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 0 0( , )P x y 0 0 2 2 1x x y y a b + = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 0Ax By C+ + = 2 2 2 2 2A a B b c+ = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 1 | ( ) |aPF e x c = + 2 2 | ( ) |aPF e xc = − 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ − >(2)点 在双曲线 的外部 . 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为 渐近线方程： . (2)若渐近线方程为 双曲线可设为 . (3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在 x 轴上， ，焦点在 y 轴上）. 99. 双曲线的切线方程 (1)双曲线 上一点 处的切线方程是 . （2）过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 . （ 3 ） 双 曲 线 与 直 线 相 切 的 条 件 是 . 100. 抛物线 的焦半径公式 抛物线 焦半径 . 过焦点弦长 . 101.抛物线 上的动点可设为 P 或 P ，其中 . 102.二次函数 的图象是抛物线：（1） 顶点坐标为 ；（2）焦点的坐标为 ；（3）准线方程是 . 103.抛物线的内外部 (1)点 在抛物线 的内部 . 点 在抛物线 的外部 . (2)点 在抛物线 的内部 . 点 在抛物线 的外部 . (3)点 在抛物线 的内部 . 点 在抛物线 的外部 . 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ − < 12 2 2 2 =− b y a x ⇒ 2 2 2 2 0x y a b − = ⇔ xa by ±= xa by ±= ⇔ 0=± b y a x ⇒ λ=− 2 2 2 2 b y a x 12 2 2 2 =− b y a x λ=− 2 2 2 2 b y a x 0>λ 0 > 0 0( , )P x y 0 0 2 2 1x x y y a b − = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 0 0( , )P x y 0 0 2 2 1x x y y a b − = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 0Ax By C+ + = 2 2 2 2 2A a B b c− = pxy 22 = 2 2 ( 0)y px p= > 0 2 pCF x= + pxxpxpxCD ++=+++= 2121 22 pxy 22 = ),2( 2   yp y 或)2,2( 2 ptptP ( , )x y  2 2y px=   2 2 2 4( )2 4 b ac by ax bx c a x a a −= + + = + + ( 0)a ≠ 24( , )2 4 b ac b a a −− 24 1( , )2 4 b ac b a a − +− 24 1 4 ac by a − −= 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)y px p= > 2 2 ( 0)y px p⇔ < > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)y px p= > 2 2 ( 0)y px p⇔ > > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)y px p= − > 2 2 ( 0)y px p⇔ < − > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)y px p= − > 2 2 ( 0)y px p⇔ > − > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)x py p= > 2 2 ( 0)x py p⇔ < > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)x py p= > 2 2 ( 0)x py p⇔ > >(4) 点 在抛物线 的内部 . 点 在抛物线 的外部 . 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 上一点 处的切线方程是 . （ 2 ） 过 抛 物 线 外 一 点 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是 . （3）抛物线 与直线 相切的条件是 . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 , 的交点的曲线系方程是 ( 为参数). (2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程 , 其 中 . 当 时,表示椭圆; 当 时,表示双曲线. 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 （ 弦 端 点 A ，由方程 消去 y 得到 ， , 为直线 的倾斜角， 为直线的斜率）. 107.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线 关于点 成中心对称的曲线是 . （2）曲线 关于直线 成轴对称的曲线是 . 108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 即得方程 ，曲线的切线，切点弦，中点 弦，弦中点方程均是此方程得到. §09. 立体几何 109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 111．证明平面与平面平行的思考途径 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)x py p= > 2 2 ( 0)x py p⇔ < > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)x py p= − > 2 2 ( 0)x py p⇔ > − > pxy 22 = 0 0( , )P x y 0 0( )y y p x x= + pxy 22 = 0 0( , )P x y 0 0( )y y p x x= + 2 2 ( 0)y px p= > 0Ax By C+ + = 2 2pB AC= 1( , ) 0f x y = 2 ( , ) 0f x y = 1 2( , ) ( , ) 0f x y f x yλ+ = λ 2 2 2 2 1x y a k b k + =− − 2 2max{ , }k a b< 2 2min{ , }k a b> 2 2 2 2min{ , } max{ , }a b k a b< < 2 2 1 2 1 2( ) ( )AB x x y y= − + − 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2(1 )( ) | | 1 tan | | 1 tAB k x x x x y y coα α= + − = − + = − + ),(),,( 2211 yxByx    = += 0)y,x(F bkxy 02 =++ cbxax 0∆ > α AB k ( , ) 0F x y = 0 0( , )P x y 0 0(2 - ,2 ) 0F x x y y− = ( , ) 0F x y = 0Ax By C+ + = 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( )( , ) 0A Ax By C B Ax By CF x yA B A B + + + +− − =+ + 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + = 0x x 2x 0y y 2y 0 0 2 x y xy+ xy 0 2 x x+ x 0 2 y y+ y 0 0 0 0 0 0 02 2 2 x y xy x x y yAx x B Cy y D E F + + ++ ⋅ + + ⋅ + ⋅ + =（1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a＋b=b＋a． (2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以 公共始点为始点的对角 线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 )，a∥b 存在实数λ使 a=λb． 三点共线 . 、 共线且 不共线 且 不共线. 118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 存在实数对 ,使 ． 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 存在有序实数对 ,使 ， 或对空间任一定点 O，有序实数对 ，使 . 119. 对 空 间 任 一 点 和 不 共 线 的 三 点 A 、 B 、 C ， 满 足 （ ），则当 时，对于空间任一点 ，总有 P、A、B、C 四点共面；当 时，若 平面 ABC，则 P、A、B、C 四点共面；若 平面 ABC，则 P、A、B、C 四点不共 面． 四点共面 与 、 共面 （ 平面 ABC）. 120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使 p＝xa＋yb＋zc． 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实 数 x，y，z，使 . 121.射影公式 已知向量 =a 和轴 ，e 是 上与 同方向的单位向量.作 A 点在 上的射影 ，作 B ⇔ P A B、 、 ⇔ ||AP AB ⇔ AP t AB=  ⇔ (1 )OP t OA tOB= − +   ||AB CD ⇔ AB CD AB CD、 ⇔ AB tCD=  AB CD、 ⇔ ,x y p ax by= + ⇔ ,x y MP xMA yMB= +   ,x y OP OM xMA yMB= + +    O OP xOA yOB zOC= + +    x y z k+ + = 1k = O 1k ≠ O∈ O∉ C A B、 、 、D ⇔ AD AB AC ⇔ AD xAB yAC= +   ⇔ (1 )OD x y OA xOB yOC= − − + +    O∉ OP xOA yOB zOC= + +    AB l l l l 'A点在 上的射影 ，则 〈a，e〉=a·e 122.向量的直角坐标运算 设 a＝ ，b＝ 则 (1)a＋b＝ ； (2)a－b＝ ； (3)λa＝ (λ∈R)； (4)a·b＝ ； 123.设 A ，B ，则 = . 124．空间的线线平行或垂直 设 ， ，则 ； . 125.夹角公式 设 a＝ ，b＝ ，则 cos〈a，b〉= . 推论 ，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角 四面体 中, 与 所成的角为 ,则 . 127．异面直线所成角 = （其中 （ ）为异面直线 所成角， 分别表示异面直线 的方向向量） 128.直线 与平面所成角 ( 为平面 的法向量). 129.若 所在平面若 与过若 的平面 成的角 ,另两边 , 与平面 成的角分别是 、 , 为 的两个内角，则 . 特别地,当 时,有 . l 'B ' ' | | cosA B AB=  1 2 3( , , )a a a 1 2 3( , , )b b b 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b+ + + 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b− − − 1 2 3( , , )a a aλ λ λ 1 1 2 2 3 3a b a b a b+ + 1 1 1( , , )x y z 2 2 2( , , )x y z AB OB OA= −   2 1 2 1 2 1( , , )x x y y z z− − − 1 1 1( , , )a x y z= 2 2 2( , , )b x y z= a b   ⇔ ( 0)a b bλ= ≠    ⇔ 1 2 1 2 1 2 x x y y z z λ λ λ =  =  = a b⊥  ⇔ 0a b⋅ =  ⇔ 1 2 1 2 1 2 0x x y y z z+ + = 1 2 3( , , )a a a 1 2 3( , , )b b b 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 a b a b a b a a a b b b + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3( ) ( )( )a b a b a b a a a b b b+ + ≤ + + + + ABCD AC BD θ 2 2 2 2| ( ) ( ) |cos 2 AB CD BC DA AC BD θ + − += ⋅ cos | cos , |a bθ =   1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 | || | | | | | x x y y z za b a b x y z x y z + +⋅ = ⋅ + + ⋅ + +     θ 0 90θ< ≤  a b, ,a b  a b, AB sin | || | AB marc AB m β ⋅=     m α ABC∆ β AB α θ AC BC α 1 θ 2 θ A B、 ABC∆ 2 2 2 2 2 1 2sin sin (sin sin )sinA Bθ θ θ+ = + 90ACB∠ =  2 2 2 1 2sin sin sinθ θ θ+ =130.若 所在平面若 与过若 的平面 成的角 ,另两边 , 与平面 成的角分别是 、 , 为 的两个内角，则 . 特别地,当 时,有 . 131.二面角 的平面角 或 （ ， 为平面 ， 的法向量）. 132.三余弦定理 设 AC 是α内的任一条直线，且 BC⊥AC，垂足为 C，又设 AO 与 AB 所成的角为 ，AB 与 AC 所成的角为 ，AO 与 AC 所成的角为 ．则 . 133. 三射线定理 若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 , ,与二 面角的棱所成的角是θ，则有 ; (当且仅当 时等号成立). 134.空间两点间的距离公式 若 A ，B ，则 = . 135.点 到直线 距离 ( 点 在 直 线 上 ， 直 线 的 方 向 向 量 a= ， 向 量 b= ). 136.异面直线间的距离 ( 是两异面直线，其公垂向量为 ， 分别是 上任一点， 为 间的距离). 137.点 到平面 的距离 （ 为平面 的法向量， 是经过面 的一条斜线， ）. 138.异面直线上两点距离公式 . . （ ）. (两条异面直线 a、b 所成的角为θ，其公垂线段 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两 点 E、F， , , ). 139.三个向量和的平方公式 ABC∆ β AB α θ AC BC α 1 θ 2 θ ' 'A B、 ABO∆ 2 2 2 ' 2 ' 2 1 2tan tan (sin sin ) tanA Bθ θ θ+ = + 90AOB∠ =  2 2 2 1 2sin sin sinθ θ θ+ = lα β− − cos | || | m narc m n θ ⋅=     cos | || | m narc m n π ⋅−     m n α β 1 θ 2 θ θ 1 2cos cos cosθ θ θ= ϕ 1 θ 2 θ 2 2 2 2 1 2 1 2sin sin sin sin 2sin sin cosϕ θ θ θ θ θ ϕ= + − 1 2 1 2| | 180 ( )θ θ ϕ θ θ− ≤ ≤ − + 90θ =  1 1 1( , , )x y z 2 2 2( , , )x y z ,A Bd | |AB AB AB= ⋅   2 2 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x y y z z= − + − + − Q l 2 21 (| || |) ( )| |h a b a ba = − ⋅ P l l PA PQ | | | | CD nd n ⋅=    1 2,l l n C D、 1 2,l l d 1 2,l l B α | | | | AB nd n ⋅=    n α AB α A α∈ 2 2 2 2 cosd h m n mn θ= + +  2 2 2 '2 cos ,d h m n mn EA AF= + + −   2 2 2 2 cosd h m n mn ϕ= + + − 'E AA Fϕ = − − 'AA 'A E m= AF n= EF d= 2 2 22( ) 2 2 2a b c a b c a b b c c a+ + = + + + ⋅ + ⋅ + ⋅            2 2 2 2 | | | | cos , 2 | | | | cos , 2 | | | | cos ,a b c a b a b b c b c c a c a= + + + ⋅ + ⋅ + ⋅              140. 长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 ，夹角分 别为 ,则有 . （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理 . (平面多边形及其射影的面积分别是 、 ，它们所在平面所成锐二面角的为 ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 ,侧面积和体积分别是 和 ,它的直截面的周长和 面积分别是 和 ,则 ① . ② . 143．作截面的依据 三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面 积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形 是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面 积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式) (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). （1） =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 的多边形，则面数 F 与棱数 E 的关系： ； （2）若每个顶点引出的棱数为 ，则顶点数 V 与棱数 E 的关系： . 146.球的半径是 R，则 其体积 , 其表面积 ． 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线 长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ,外接球的半径为 . 148．柱体、锥体的体积 （ 是柱体的底面积、 是柱体的高）. （ 是锥体的底面积、 是锥体的高）. l 1 2 3l l l、 、 1 2 3 θ θ θ、 、 2 2 2 2 1 2 3l l l l= + + 2 2 2 1 2 3cos cos cos 1θ θ θ⇔ + + = 2 2 2 1 2 3sin sin sin 2θ θ θ⇔ + + = ' cos SS θ= S 'S θ l S斜棱柱侧 V斜棱柱 1c 1S 1S c l=斜棱柱侧 1V S l=斜棱柱 2V F E+ − = E n 1 2E nF= m 1 2E mV= 34 3V Rπ= 24S Rπ= a 6 12 a 6 4 a 1 3V Sh=柱体 S h 1 3V Sh=锥体 S h§10. 排列组合二项定理 149.分类计数原理（加法原理） . 150.分步计数原理（乘法原理） . 151.排列数公式 = = .( ， ∈N*，且 )． 注:规定 . 152.排列恒等式 (1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） . (6) . 153.组合数公式 = = = ( ∈N*， ，且 ). 154.组合数的两个性质 (1) = ; (2) + = . 注:规定 . 155.组合恒等式 （1） ; （2） ; （3） ; （4） = ; （5） . (6) . (7) . (8) . (9) . 1 2 nN m m m= + + + 1 2 nN m m m= × × × m nA )1()1( +−− mnnn  ！ ！ )( mn n − n m m n≤ 1!0 = 1( 1)m m n nA n m A −= − + 1 m m n n nA An m −= − 1 1 m m n nA nA − −= 1 1 n n n n n nnA A A+ += − 1 1 m m m n n nA A mA − + = + 1! 2 2! 3 3! ! ( 1)! 1n n n+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ = + − m nC m n m m A A m mnnn ××× +−−   21 )1()1( ！！ ！ )( mnm n −⋅ n m N∈ m n≤ m nC mn nC − m nC 1−m nC m nC 1+ 10 =nC 11m m n n n mC Cm −− += 1 m m n n nC Cn m −= − 1 1 m m n n nC Cm − −= ∑ = n r r nC 0 n2 1 121 + +++ =++++ r n r n r r r r r r CCCCC  nn n r nnnn CCCCC 2210 =++++++  1420531 2 −+++=+++ n nnnnnn CCCCCC  1321 232 −=++++ nn nnnn nnCCCC  r nm r n r mn r mn r m CCCCCCC + − =+++ 0110 (10) . 156.排列数与组合数的关系 . 157．单条件排列 以下各条的大前提是从 个元素中取 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有 种；②某（特）元不在某位有 （补集思想） （着眼位置） （着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴： 个元在固定位的排列有 种. ②浮动紧贴： 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 种.注：此类问题 常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有 k、h 个（ ），把它们合在一起来作全排列，k 个的 一组互不能挨近的所有排列数有 种. （3）两组元素各相同的插空 个大球 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当 时，无解；当 时，有 种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有 m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为 . 158．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的 、 个物件等分给 个人，各得 件，其分配 方法数共有 . （2）(平均分组无归属问题)将相异的 · 个物体等分为无记号或无顺序的 堆，其 分配方法数共有 . （3）(非平均分组有归属问题)将相异的 个物体分给 个人，物件 必须被分完，分别得到 ， ，…， 件，且 ， ，…， 这 个数彼此不相等，则 其分配方法数共有 . （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的 个物体分给 个人， 物件必须被分完，分别得到 ， ，…， 件，且 ， ，…， 这 个数中分别有 a 、 b 、 c 、 … 个 相 等 ， 则 其 分 配 方 法 数 有 . （5）(非平均分组无归属问题)将相异的 个物体分为任意的 ， ，…， 件无记号的 堆，且 ， ，…， 这 个数彼此不相等，则其分配方法 n n n nnnn CCCCC 2 2222120 )()()()( =++++  m m n nA m C= ⋅！ n m 1 1 − − m nA 1 1 − −− m n m n AA 1 1 1 1 − −−= m nn AA 1 1 1 11 − −−− += m nm m n AAA )( nmkk ≤≤ km kn k k AA − − n k k kn kn AA 1 1 +− +− 1+≤ hk k h h h AA 1+ m n 1+> mn 1+≤ mn n mn n n m CA A 1 1 + + = n nmC + m n m n m n n n n n nmn n nmn n mn n mnCCCCCN )!( )!( 22 =⋅⋅⋅⋅⋅= −−  m n m m n n n n n nmn n nmn n mn nm mn m CCCCCN )!(! )!( ! ... 22 =⋅⋅⋅⋅= −− )1 2 mP(P=n +n + +n m 1n 2n mn 1n 2n mn m !!...! !!!... 21 2 1 1 m n n n np n p nnn mpmCCCN m m =⋅⋅= − )1 2 mP(P=n +n + +n m 1n 2n mn 1n 2n mn m !...!! !...2 1 1 cba mCCCN m m n n n np n p ⋅⋅= − 1 2 ! ! ! !... !( ! ! !...)m p m n n n a b c = )1 2 mP(P=n +n + +n 1n 2n mn m 1n 2n mn m数有 . （6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的 个物体分为任意的 ， ，…， 件无记号的 堆，且 ， ，…， 这 个数中分别有 a、b、c、…个相等， 则其分配方法数有 . （7）(限定分组有归属问题)将相异的 （ ）个物体分给甲、乙、 丙，……等 个人，物体必须被分完，如果指定甲得 件，乙得 件，丙得 件，…时， 则无论 ， ，…， 等 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 . 159．“错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信 封信与 个信封全部错位的组合数为 . 推广: 个元素与 个位置,其中至少有 个元素错位的不同组合总数为 . 160．不定方程 的解的个数 (1)方程 （ ）的正整数解有 个. (2) 方程 （ ）的非负整数解有 个. (3) 方程 （ ）满足条件 ( , )的 非负整数解有 个. (4) 方程 （ ）满足条件 ( , )的 正整数解有 个. 161.二项式定理 ; 二项展开式的通项公式 . §11、12. 概率与统计 162.等可能性事件的概率 . 163.互斥事件 A，B 分别发生的概率的和 !!...! ! 21 mnnn pN = )1 2 mP(P=n +n + +n 1n 2n mn m 1n 2n mn m !...)!!(!!...! ! 21 cbannn pN m = p 2 mp n n n= 1+ + + m 1n 2n 3n 1n 2n mn m !!...! !... 21 2 1 1 m n n n np n p nnn pCCCN m m =⋅= − n n 1 1 1 1( ) ![ ( 1) ]2! 3! 4! ! nf n n n = − + − + − n n m 1 2 3 4( , ) ! ( 1)! ( 2)! ( 3)! ( 4)! ( 1) ( )! ( 1) ( )! m m m m p p m m m m f n m n C n C n C n C n C n p C n m = − − + − − − + − − + − − + + − −  1 2 3 4 1 2 2 4![1 ( 1) ( 1) ] p m p mm m m m m m p m n n n n n n C C C C C Cn A A A A A A = − + − + − + − + + −  2 nx x x m=1+ + + 2 nx x x m=1+ + + ,n m N ∗∈ 1 1 m nC − − 2 nx x x m=1+ + + ,n m N ∗∈ 1 1 n m nC + − − 2 nx x x m=1+ + + ,n m N ∗∈ ix k≥ k N ∗∈ 2 1i n≤ ≤ − 1 1 ( 2)( 1)m n n kC + − − − − 2 nx x x m=1+ + + ,n m N ∗∈ ix k≤ k N ∗∈ 2 1i n≤ ≤ − 1 2 2 2 2 3 2 1 ( 2) 1 1 1 2 1 2 2 1( 1)n m n m n k n m n k n m n k n n n n n nC C C C C C C+ − − + − − − + − − − + − − − − − − − −− + − + − nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba ++++++=+ −−−  222110)( rrnr nr baCT − + =1 )210( nr ，，， = ( ) mP A n =P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 164. 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 165.独立事件 A，B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 168.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1） ; （2） . 169.数学期望 170.数学期望的性质 （1） . （2）若 ～ ,则 . (3) 若 服从几何分布,且 ，则 . 171.方差 172.标准差 = . 173.方差的性质 (1) ； (2）若 ～ ，则 . (3) 若 服从几何分布,且 ，则 . 174.方差与期望的关系 . 175.正态分布密度函数 ，式中的实数μ， （ >0）是参数，分别表 示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数 . 177.对于 ，取值小于 x 的概率 . n ( ) (1 ) .k k n k n nP k C P P −= − 0( 1,2, )iP i≥ =  1 2 1P P+ + = 1 1 2 2 n nE x P x P x Pξ = + + + +  ( ) ( )E a b aE bξ ξ+ = + ξ ( , )B n p E npξ = ξ 1( ) ( , ) kP k g k p q pξ −= = = 1E p ξ = ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 2 2 n nD x E p x E p x E pξ ξ ξ ξ= − ⋅ + − ⋅ + + − ⋅ +  σξ ξD ( ) 2D a b a Dξ ξ+ = ξ ( , )B n p (1 )D np pξ = − ξ 1( ) ( , ) kP k g k p q pξ −= = = 2 qD p ξ = ( )22D E Eξ ξ ξ= − ( ) ( ) ( ) 2 2261 , , 2 6 x f x e x µ π −− = ∈ −∞ +∞ σ σ ( ) ( ) 2 21 , , 2 6 x f x e xπ −= ∈ −∞ +∞ 2( , )N µ σ ( ) xF x µ σ − = Φ   ( ) ( ) ( )12201 xxPxxPxxxP