高中数学知识点总结（最全版）

高 中 新 课 标 理 科 数 学 (必修+选修) 所 有 知 识 点 总 结第 - 1 - 页 共 104 页 引言 1.课程内容： 必修课程由 5 个模块组成： 必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3：算法初步、统计、概率。 必修 4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修 5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、 数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时， 进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有 4 个系列： 系列 1：由 2 个模块组成。 选修 1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修 1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列 2：由 3 个模块组成。 选修 2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修 2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修 2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列 3：由 6 个专题组成。 选修 3—1：数学史选讲。 选修 3—2：信息安全与密码。 选修 3—3：球面上的几何。 选修 3—4：对称与群。 选修 3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修 3—6：三等分角与数域扩充。 系列 4：由 10 个专题组成。 选修 4—1：几何证明选讲。 选修 4—2：矩阵与变换。 选修 4—3：数列与差分。 选修 4—4：坐标系与参数方程。 选修 4—5：不等式选讲。 选修 4—6：初等数论初步。 选修 4—7：优选法与试验设计初步。 选修 4—8：统筹法与图论初步。 选修 4—9：风险与决策。 选修 4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件第 - 2 - 页 共 104 页 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与 指数函数、对数与对数函数、函数的应用 　 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函 数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应 用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应 用 ⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 高中数学 必修 1 知识点 第一章 集合与函数概念 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示自然数集， 或 表示正整数集， 表示整数集， 表示有理数集， 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象 与集合 的关系是 ，或者 ，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{ | 具有的性质}，其中 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做 N N ∗ N+ Z Q R a M a M∈ a M∉ x x x第 - 3 - 页 共 104 页 空集( ). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 （或 A 中的任一元素都 属于 B (1)A A (2) (3)若 且 ，则 (4)若 且 ，则 或 真子集 A B （或 B A） ，且 B 中至 少有一元素不属于 A （1） （A 为非空子集） (2)若 且 ，则 集合 相等 A 中的任一元素都 属于 B，B 中的任 一元素都属于 A (1)A B (2)B A （7）已知集合 有 个元素，则它有 个子集，它有 个真子集，它有 个非空子集，它有 非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 且 （1） （2） （3） 并集 或 （1） （2） （3） 补集 1 2 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 或 把 看 成 一 个 整 体 ， 化 成 ， 型不等式来求解 （2）一元二次不等式的解法 A(B) B A B A A(B) A ∅ BA ⊆ )AB ⊇ ⊆ A∅ ⊆ BA ⊆ B C⊆ A C⊆ BA ⊆ B A⊆ A B= ≠ ⊂ ≠ ⊃ BA ⊆ A≠ ∅⊂ A B≠ ⊂ B C≠ ⊂ A C≠ ⊂ A B= ⊆ ⊆ A ( 1)n n ≥ 2n 2 1n − 2 1n − 2 2n − A B { | ,x x A∈ }x B∈ A A A= A ∅ = ∅ A B A⊆ A B B⊆ A B { | ,x x A∈ }x B∈ A A A= A A∅ = A B A⊇ A B B⊇ U A { | , }x x U x A∈ ∉且 ( )UA A = ∅  ( )UA A U=  | | ( 0)x a a< > { | }x a x a− < < | | ( 0)x a a> > |x x a< − }x a> | | ,| | ( 0)ax b c ax b c c+ < + > > ax b+ | |x a< | | ( 0)x a a> > ( ) ( ) ( )U U UA B A B=    ( ) ( ) ( )U U UA B A B=   第 - 4 - 页 共 104 页 判别式 二次函数 的图象 一元二次方程 的根 （其中 无实根 的解集 或 的解集 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设 、 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个数 ，在集合 中都有 唯一确定的数 和它对应，那么这样的对应（包括集合 ， 以及 到 的对应法则 ）叫做集合 到 的一个函数，记作 ． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设 是两个实数，且 ，满足 的实数 的集合叫做闭区间，记做 ；满足 的 实数 的集合叫做开区间，记做 ；满足 ，或 的实数 的集合叫做半开半闭区间， 分 别 记 做 ， ； 满 足 的 实 数 的 集 合 分 别 记 做 ． 注意：对于集合 与区间 ，前者 可以大于或等于 ，而后者必须 ． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ① 是整式时，定义域是全体实数． O =O L O 2 4b ac∆ = − 0∆ > 0∆ = 0∆ < 2 ( 0)y ax bx c a= + + > 2 0( 0)ax bx c a+ + = > 2 1,2 4 2 b b acx a − ± −= 1 2 )x x< 1 2 2 bx x a = = − 2 0( 0)ax bx c a+ + > > 1{ |x x x< 2}x x> { |x }2 bx a ≠ − R 2 0( 0)ax bx c a+ + < > 1 2{ | }x x x x< < ∅ ∅ A B f A x B ( )f x A B A B f A B :f A B→ ,a b a b< a x b≤ ≤ x [ , ]a b a x b< < x ( , )a b a x b≤ < a x b< ≤ x [ , )a b ( , ]a b , , ,x a x a x b x b≥ > ≤ < x [ , ),( , ),( , ],( , )a a b b+∞ +∞ −∞ −∞ { | }x a x b< < ( , )a b a b a b< ( )f x第 - 5 - 页 共 104 页 ② 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③ 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1． ⑤ 中， ． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义 域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 的定义域为 ，其复合函数 的定义域 应由不等式 解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小 （大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度 不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或 最值． ③判别式法：若函数 可以化成一个系数含有 的关于 的二次方程 ，则 在 时，由于 为实数，故必须有 ，从而确定函数的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函 数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法． 【1.2.2】函数的表示法 （5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对 应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念 ①设 、 是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个元素，在集合 中都有唯一的 元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 ， 以及 到 的对应法则 ）叫做集合 到 的映射，记 作 ． ( )f x ( )f x tany x= ( )2x k k Z ππ≠ + ∈ ( )f x ( )f x [ , ]a b [ ( )]f g x ( )a g x b≤ ≤ ( )y f x= y x 2( ) ( ) ( ) 0a y x b y x c y+ + = ( ) 0a y ≠ ,x y 2 ( ) 4 ( ) ( ) 0b y a y c y∆ = − ⋅ ≥ A B f A B A B A B f A B :f A B→第 - 6 - 页 共 104 页 ②给定一个集合 到集合 的映射，且 ．如果元素 和元素 对应，那么我们把元素 叫做元 素 的象，元素 叫做元素 的原象． 〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两 个自变量的值 x1、x2,当 x1< x2 时 ， 都 有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减 函数． （1）利用定义 （2）利用已知函数 的单调性 （3）利用函数图象 （在某个区间图 象下降为减） （4）利用复合函数 ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数， 减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数 ，令 ，若 为增， 为增，则 为增；若 为减， 为减，则 为增；若 为增， 为减，则 为减；若 为减， 为增，则 为减． （2）打“√”函数 的图象与性质 分别在 、 上为增函数，分别在 、 上为减函数． （3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：（1）对于任意的 ，都有 ； （2）存在 ，使得 ．那么，我们称 是函 数 的最大值，记作 ． x 1 x 2 y=f(X) x y f(x )1 f(x )2 o y=f(X)y xo x x 2 f(x ) f(x )2 1 1 A B ,a A b B∈ ∈ a b b a a b [ ( )]y f g x= ( )u g x= ( )y f u= ( )u g x= [ ( )]y f g x= ( )y f u= ( )u g x= [ ( )]y f g x= ( )y f u= ( )u g x= [ ( )]y f g x= ( )y f u= ( )u g x= [ ( )]y f g x= ( ) ( 0)af x x ax = + > ( )f x ( , ]a−∞ − [ , )a +∞ [ ,0)a− (0, ]a ( )y f x= I M x I∈ ( )f x M≤ 0x I∈ 0( )f x M= M ( )f x max ( )f x M= y xo第 - 7 - 页 共 104 页 ②一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：（1 ）对于任意的 ，都有 ； （ 2 ） 存 在 ， 使 得 ． 那 么 ， 我 们 称 是 函 数 的 最 小 值 ， 记 作 ． 【1.3.2】奇偶性 （4）函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 如果对于函数 f(x)定义 域内任意一个 x，都有 f(－x)=－f(x),那么函数 f(x)叫做奇函数． （1）利用定义（要 先判断定义域是否 关于原点对称） （2）利用图象（图 象关于原点对称） 函数的 奇偶性 如果对于函数 f(x)定义 域内任意一个 x，都有 f( － x)=f(x), 那 么 函 数 f(x)叫做偶函数． （1）利用定义（要 先判断定义域是否 关于原点对称） （2）利用图象（图 象关于 y 轴对称） ②若函数 为奇函数，且在 处有定义，则 ． ③奇函数在 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函 数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数． 〖补充知识〗函数的图象 （1）作图 利用描点法作图： ①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图： 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函 数的图象． ①平移变换 ②伸缩变换 ③对称变换 ( )y f x= I m x I∈ ( )f x m≥ 0x I∈ 0( )f x m= m ( )f x max ( )f x m= ( )f x 0x = (0) 0f = y y 0, 0, |( ) ( )h h h hy f x y f x h> = → =伸 缩 0 1, 1,( ) ( )A Ay f x y Af x< < >= → =缩 伸第 - 8 - 页 共 104 页 （2）识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值 域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得 问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法． 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果 ，且 ，那么 叫做 的 次方根．当 是奇数时， 的 次方根 用符号 表示；当 是偶数时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号 表示；0 的 次方根是 0；负数 没有 次方根． ②式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数．当 为奇数时， 为任意实数；当 为偶数 时， ． ③ 根 式 的 性 质 ： ； 当 为 奇 数 时 ， ； 当 为 偶 数 时 ， ． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是： 且 ．0 的正分数指数幂等于 0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 且 ．0 的负分数指数幂 没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① ② ③ 【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称 指数函数 ( ) ( )xy f x y f x= → = −轴 ( ) ( )yy f x y f x= → = −轴 ( ) ( )y f x y f x= → = − −原点 1( ) ( )y xy f x y f x−== → =直线 ( ) (| |)y y yy f x y f x= → =去掉 轴左边图象 保留 轴右边图象，并作其关于 轴对称图象 ( ) | ( ) |x xy f x y f x= → =保留 轴上方图象 将 轴下方图象翻折上去 , , , 1nx a a R x R n= ∈ ∈ > n N+∈ x a n n a n n a n a n n a n n a− n a n n a n a n a n 0a ≥ ( )nn a a= n n na a= n ( 0)| | ( 0) n n a aa a a a ≥= = − ∈ 1)n > 1 1( ) ( ) ( 0, , , m m mn n na a m n Na a − += = > ∈ 1)n > ( 0, , )r s r sa a a a r s R+⋅ = > ∈ ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s R= > ∈ ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r R= > > ∈第 - 9 - 页 共 104 页 定义 函数 且 叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点 ，即当 时， ． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 上是增函数 在 上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低． 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真 数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化： ． （2）几个重要的对数恒等式 ， ， ． （3）常用对数与自然对数 常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 （其中 …）． （4）对数的运算性质 如果 ，那么 ①加法： ②减法： ( 0xy a a= > 1)a ≠ 1a > 0 1a< < R (0, )+∞ (0,1) 0x = 1y = R R 1 ( 0) 1 ( 0) 1 ( 0) x x x a x a x a x > > = = < < 1 ( 0) 1 ( 0) 1 ( 0) x x x a x a x a x < > = = > < a a a ( 0, 1)xa N a a= > ≠且 x a N logax N= a N log ( 0, 1, 0)x ax N a N a a N= ⇔ = > ≠ > log 1 0a = log 1a a = log b a a b= lg N 10log N ln N loge N 2.71828e = 0, 1, 0, 0a a M N> ≠ > > log log log ( )a a aM N MN+ = log log loga a a MM N N − = 0 1 xay = x y (0,1) O 1y = 0 1 xay = x y (0,1) O 1y =第 - 10 - 页 共 104 页 ③数乘： ④ ⑤ ⑥换底公式： 【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数 函数 名称 对数函数 定义 函数 且 叫做对数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点 ，即当 时， ． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 上是增函数 在 上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内， 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠高． (6)反函数的概念 设函数 的定义域为 ，值域为 ，从式子 中解出 ，得式子 ．如果对于 在 中的任何一个值，通过式子 ， 在 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 表示 是 的函数，函数 叫做函数 的反函数，记作 ，习惯上改写成 ． （7）反函数的求法 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式 中反解出 ； log log ( )n a an M M n R= ∈ loga Na N= log log ( 0, )b n aa nM M b n Rb = ≠ ∈ loglog ( 0, 1)log b a b NN b ba = > ≠且 log ( 0ay x a= > 1)a ≠ 1a > 0 1a< < (0, )+∞ R (1,0) 1x = 0y = (0, )+∞ (0, )+∞ log 0 ( 1) log 0 ( 1) log 0 (0 1) a a a x x x x x x > > = = < < < log 0 ( 1) log 0 ( 1) log 0 (0 1) a a a x x x x x x < > = = > < < a a a ( )y f x= A C ( )y f x= x ( )x yϕ= y C ( )x yϕ= x A ( )x yϕ= x y ( )x yϕ= ( )y f x= 1( )x f y−= 1( )y f x−= ( )y f x= 1( )x f y−= 0 1 x y O (1,0) 1x = logay x= 0 1 x y O (1,0) 1x = logay x=第 - 11 - 页 共 104 页 ③将 改写成 ，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质 ①原函数 与反函数 的图象关于直线 对称． ②函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域． ③若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上． ④一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数． 〖2.3〗幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数． （2）幂函数的图象 1( )x f y−= 1( )y f x−= ( )y f x= 1( )y f x−= y x= ( )y f x= 1( )y f x−= ( , )P a b ( )y f x= ' ( , )P b a 1( )y f x−= ( )y f x= y xα= x α第 - 12 - 页 共 104 页 （3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二 象限(图象关于 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图 象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ． ③单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数．如果 ，则幂函数的图象在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴． ④奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数．当 （其中 互质， 和 ），若 为奇数 为奇数时，则 是奇函数，若 为奇数 为偶数时，则 是偶函数，若 为偶数 为奇数时，则 是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数 ，当 时，若 ，其图象在直线 下方，若 ，其图 象在直线 上方，当 时，若 ，其图象在直线 上方，若 ，其图象在直线 下 方． 〖补充知识〗二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式： ②顶点式： ③两根式： （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 更方便． （3）二次函数图象的性质 ①二次函数 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 顶点坐标是 ． ②当 时，抛物线开口向上，函数在 上递减，在 上递增，当 时， y (0, )+∞ (1,1) 0α > [0, )+∞ 0α < (0, )+∞ x y α α q p α = ,p q p q Z∈ p q q py x= p q q py x= p q q py x= , (0, )y x xα= ∈ +∞ 1α > 0 1x< < y x= 1x > y x= 1α < 0 1x< < y x= 1x > y x= 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ 2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a= − + ≠ 1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a= − − ≠ x ( )f x 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ ,2 bx a = − 24( , )2 4 b ac b a a −− 0a > ( , ]2 b a −∞ − [ , )2 b a − +∞ 2 bx a = −第 - 13 - 页 共 104 页 ；当 时，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上递减，当 时， ． ③二次函数 当 时，图象与 轴有两个交点 ． （4）一元二次方程 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统 和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次 函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程 的两实根为 ，且 ．令 ，从以下四个 方面来分析此类问题：①开口方向： ②对称轴位置： ③判别式： ④端点函数值符号． ①k＜x1≤x2 ②x1≤x2＜k ③x1＜k＜x2 af(k)＜0 2 min 4( ) 4 ac bf x a −= 0a < ( , ]2 b a −∞ − [ , )2 b a − +∞ 2 bx a = − 2 max 4( ) 4 ac bf x a −= 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ 2 4 0b ac∆ = − > x 1 1 2 2 1 2 1 2( ,0), ( ,0),| | | | | |M x M x MM x x a ∆= − = 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 1 2,x x 1 2x x≤ 2( )f x ax bx c= + + a 2 bx a = − ∆ ⇔ x y 1x 2x 0>a O • a bx 2 −= 0)( >kf k x y 1x 2x O • a bx 2 −= k 0kf x y 1x 2x O • a bx 2 −= k 0kf 0)( 2 >kf a bx 2 −= x y 1x 2xO • 0a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a −第 - 15 - 页 共 104 页 ①若 ，则 ② ，则 (Ⅱ)当 时(开口向下) ①若 ，则 ②若 ，则 ③若 ，则 ①若 ，则 ② ，则 ． 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。 2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴 交点的横坐标。即： 方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点． 3、函数零点的求法： 求函数 的零点： ○1 （代数法）求方程 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的 性质找出零点． 4、二次函数的零点： 二次函数 ． 02 b xa − ≤ ( )M f q= 02 b xa − > ( )M f p= 0a < 2 b pa − < ( )M f p= 2 bp qa ≤ − ≤ ( )2 bM f a = − 2 b qa − > ( )M f q= 02 b xa − ≤ ( )m f q= 02 b xa − > ( )m f p= ))(( Dxxfy ∈= 0)( =xf x ))(( Dxxfy ∈= )(xfy = 0)( =xf )(xfy = x 0)( =xf ⇔ )(xfy = x ⇔ )(xfy = )(xfy = 0)( =xf )(xfy = )0(2 ≠++= acbxaxy x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − 0x x y0>a O a bx 2 −= p q f (p) f (q) ( )2 bf a − 0x  x y0a∥c 2 π第 - 19 - 页 共 104 页 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： a β b β a∩b = P β∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a∥α a β a∥b α∩β= b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： α∥β α∩γ= a a∥b β∩γ= b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线 L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面α互相垂直，记作 L⊥α，直线 L 叫 做平面α的垂线，平面α叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L p α 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。第 - 20 - 页 共 104 页 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B 　　 α 2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 本章知识结构框图 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直 平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4） 空间直线、平面的位置关系 平面与平面的位置关系直线与平面的位置关系直线与直线的位置关系第 - 21 - 页 共 104 页 ( ) ( )2 2 1 2 2 2 2 1PP x x y y= − + − 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它 们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数， 那么它们互相垂直，即 3.2.1 直线的点斜式 方程 1、 直线的点斜式方 程 ： 直 线 经 过 点 ， 且 斜 率 为 2、、直线的斜截式方程：已知直线 的斜率为 ，且与 轴的交点为 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点 其中 y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线 与 轴的交点为 A ，与 轴的交点为 B ，其中 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于 的二元一次方程 （A，B 不同时为 0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 得 x=-2，y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M（-2，2） 3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式 3.3.3 点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式： 点 到直线 的距离为： 2、两平行线间的距离公式： 已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ， l ),( 000 yxP k )( 00 yy −=− l k y ),0( b bkxy += ),(),,( 222211 yxPxxP ),( 2121 yyxx ≠≠ l x )0,(a y ),0( b 0,0 ≠≠ ba yx, 0=++ CByAx 3 4 2 0 2 2 2 0 x y x y + − =  + + = ),( 00 yxP 0: =++ CByAxl 22 00 BA CByAxd + ++= 1l 2l 1l 01 =++ CByAx第 - 22 - 页 共 104 页 ，则 与 的距离为 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程： 圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2、点 与圆 的关系的判断方法： （1） > ，点在圆外 （2） = ，点在圆上 （3） < ，点在圆内 4.1.2 圆的一般方程 1、圆的一般方程： 2、圆的一般方程的特点： (1)①x2 和 y2 的系数相同，不等于 0．　②没有 xy 这样的二次项． (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆 心坐标与半径大小，几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 设直线 ： ，圆 ： ，圆的半径为 ，圆心 到直线的距 离为 ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当 时，直线 与圆 相离；（2）当 时，直线 与圆 相切； （3）当 时，直线 与圆 相交； 4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系． 设两圆的连心线长为 ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当 时，圆 与圆 相离；（2）当 时，圆 与圆 外切； （3）当 时，圆 与圆 相交； （4）当 时，圆 与圆 内切；（5）当 时，圆 与圆 内含； 2l 02 =++ CByAx 1l 2l 22 21 BA CCd + −= 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 0 0( , )M x y 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 2 2 0 0( ) ( )x a y b− + − 2r 2 2 0 0( ) ( )x a y b− + − 2r 2 2 0 0( ) ( )x a y b− + − 2r 022 =++++ FEyDxyx l 0=++ cbyax C 022 =++++ FEyDxyx r )2,2( ED −− d rd > l C rd = l C rd < l C l 21 rrl +> 1C 2C 21 rrl += 1C 2C ≥ +← ×← ← ← 或者UntilLoop D I S SintPr 99I ISS 2II o 1 1 ≥ ×← +← ← ← UntilLoop D I S SintPr 2II ISS )100I(99I Whileo 1 1 Loop D I S +← ×← Α 2π ωΤ = 1 2f ω π= =Τ xω ϕ+ ϕ第 - 36 - 页 共 104 页 函 数 ， 当 时 ， 取 得 最 小 值 为 ； 当 时 ， 取 得 最 大 值 为 ， 则 ， ， ． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： y=cotx 图象 定义 域 值域 最值 当 时 ， ； 当 时 ， ． 当 时， ； 当 时， ． 既无最大值也无最小 值 既无最大值也无最小 值 周期 性 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调 性 在 上是增函数； 在 在 上 是 增 函 数 ； 在 上是减函数． 在 上是增函数． y=cotx 3π 2 ππ 2 2π-π - π 2 o y x ( )siny xω ϕ= Α + + Β 1x x= miny 2x x= maxy ( )max min 1 2 y yΑ = − ( )max min 1 2 y yΒ = + ( )2 1 1 22 x x x x Τ = − < siny x= cosy x= tany x= R R ,2x x k k ππ ≠ + ∈Ζ    ,2x x k k ππ ≠ + ∈Ζ    [ ]1,1− [ ]1,1− R R 2 2x k ππ= + ( )k ∈Ζ max 1y = 2 2x k ππ= − ( )k ∈Ζ min 1y = − ( )2x k kπ= ∈Ζ max 1y = 2x kπ π= + ( )k ∈Ζ min 1y = − 2π 2π π π 2 ,22 2k k π ππ π − +   ( )k ∈Ζ [ ]( )2 ,2k k kπ π π− ∈Ζ [ ]2 ,2k kπ π π+ ( )k ∈Ζ ,2 2k k π ππ π − +   ( )k ∈Ζ 函 数性 质第 - 37 - 页 共 104 页 上是减函数． 对称 性 对 称 中 心 对 称 轴 对 称 中 心 对称轴 对 称 中 心 无对称轴 对 称 中 心 无对称轴 第二章 平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为 的向量． 单位向量：长度等于 个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶ 三 角 形 不 等 式 ： ． ⑷运算性质：①交换律： ； ②结合律： ；③ ． ⑸ 坐 标 运 算 ： 设 ， ， 则 ． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵ 坐 标 运 算 ： 设 ， ， 则 ． 设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 ． 19、向量数乘运算： ⑴实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 ． ① ； 32 ,22 2k k π ππ π + +   ( )k ∈Ζ ( )( ),0k kπ ∈Ζ ( ) 2x k k ππ= + ∈Ζ ( ),02k k ππ + ∈Ζ   ( )x k kπ= ∈Ζ ( ),02 k k π  ∈Ζ   ( ),02 k k π  ∈Ζ   0 1 a b a b a b− ≤ + ≤ +     a b b a+ = +   ( ) ( )a b c a b c+ + = + +     0 0a a a+ = + =    ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= ( )1 2 1 2,a b x x y y+ = + + ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= ( )1 2 1 2,a b x x y y− = − − Α Β ( )1 1,x y ( )2 2,x y ( )1 2 1 2,x x y yΑΒ = − − λ a aλ  a aλ λ=  b a C Β Α a b C C− = Α − ΑΒ = Β   第 - 38 - 页 共 104 页 ②当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， ． ⑵运算律：① ；② ；③ ． ⑶坐标运算：设 ，则 ． 20、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ． 设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、 共线． 21、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有 且只有一对实数 、 ，使 ．（不共线的向量 、 作为这一平面内所有向量的一组基底） 22、分点坐标公式：设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ， ，当 时， 点 的坐标是 ．（当 23、平面向量的数量积： ⑴ ．零向量与任一向量的数量积为 ． ⑵性质：设 和 都是非零向量，则① ．②当 与 同向时， ；当 与 反向时， ； 或 ．③ ． ⑶运算律：① ；② ；③ ． ⑷坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 ． 若 ， 则 ， 或 ． 设 ， ， 则 ． 设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则 ． 知识链接：空间向量 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结 归纳. 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量： 　　若 A、B 是直线 上的任意两点，则 为直线 的一个方向向量；与 平行的任意非零向量也是直线 的 方向向量. ⑵．平面的法向量： 0λ > aλ  a 0λ < aλ  a 0λ = 0aλ =  ( ) ( )a aλ µ λµ=  ( )a a aλ µ λ µ+ = +   ( )a b a bλ λ λ+ = +   ( ),a x y= ( ) ( ), ,a x y x yλ λ λ λ= = ( )0a a ≠   b λ b aλ=  ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= 0b ≠  1 2 2 1 0x y x y− = a ( )0b b ≠   1e 2e a 1 λ 2 λ 1 1 2 2a e eλ λ= +  1e 2e Ρ 1 2 Ρ Ρ 1 Ρ 2 Ρ ( )1 1,x y ( )2 2,x y 1 2 λΡ Ρ = ΡΡ  Ρ 1 2 1 2,1 1 x x y yλ λ λ λ + +   + +  时，就为中点公式。）1=λ ( )cos 0, 0,0 180a b a b a bθ θ⋅ = ≠ ≠ ≤ ≤       0 a b 0a b a b⊥ ⇔ ⋅ =   a b a b a b⋅ =   a b a b a b⋅ = −   22a a a a⋅ = =    a a a= ⋅   a b a b⋅ ≤   a b b a⋅ = ⋅   ( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅     ( )a b c a c b c+ ⋅ = ⋅ + ⋅      ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= 1 2 1 2a b x x y y⋅ = + ( ),a x y= 2 2 2a x y= + 2 2a x y= + ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= 1 2 1 2 0a b x x y y⊥ ⇔ + = a b ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= θ a b 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y ya b a b x y x y θ +⋅= = + +   l AB l AB l第 - 39 - 页 共 104 页 　　若向量 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 ，如果 ，那么向量 叫做 平面 的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面 的法向量为 ． ③求出平面内两个不共线向量的坐标 ． ④根据法向量定义建立方程组 . ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面 的法向量. （如图） 1、 用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行 设直线 的方向向量分别是 ，则要证明 ∥ ，只需证明 ∥ ，即 . 　即：两直线平行或重合 两直线的方向向量共线。 ⑵线面平行 ①（法一）设直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则要证明 ∥ ，只需证明 ，即 . 即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 ②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即 可. ⑶面面平行 若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，要证 ∥ ，只需证 ∥ ，即证 . 即：两平面平行或重合 两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 设直线 的方向向量分别是 ，则要证明 ，只需证明 ，即 . 即：两直线垂直 两直线的方向向量垂直。 ⑵线面垂直 ①（法一）设直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则要证明 ，只需证明 ∥ ，即 . n α α n α⊥ n α⊥ n α α ( , , )n x y z= 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , )a a a a b b b b= =  0 0 n a n b  ⋅ = ⋅ =     α 1 2,l l a b 、 1l 2l a b ( )a kb k R= ∈  l a α u l α a u⊥  0a u⋅ =  α u β v α β u v u vλ=  1 2,l l a b 、 1 2l l⊥ a b⊥  0a b⋅ =  l a α u l α⊥ a u a uλ= 第 - 40 - 页 共 104 页 ②（法二）设直线 的方向向量是 ，平面 内的两个相交向量分别为 ，若 即：直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的法向量共线 直线的方向向量与平面内两条不共线直线的 方向向量都垂直。 ⑶面面垂直 若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，要证 ，只需证 ，即证 . 即：两平面垂直 两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知 为两异面直线，A，C 与 B，D 分别是 上的任意两点， 所成的角为 ， 　　则 ⑵求直线和平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 ②求法：设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的夹角为 ，　 则 为 的余角或 的补角 的余角.即有： ⑶求二面角 ①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面 二面角的平面角是指在二面角 的棱上任取一点 O，分别在两个半平面内作射线 ， 则 为二面角 的平面角. 如图： ②求法：设二面角 的两个半平面的法向量分别为 ，再设 的夹角为 ，二面角 的平面角为 ，则二面角 为 的夹角 或其补角 根据具体图形确定 是锐角或是钝角： ◆如果 是锐角，则 ， l a α m n 、 0, . 0 a m l a n α  ⋅ = ⊥ ⋅ =     则 α u β v α β⊥ u v⊥  0u v⋅ =  ,a b ,a b ,a b θ cos . AC BD AC BD θ ⋅ =     l a α u θ a u ϕ θ ϕ ϕ coss .in a u a u ϕθ ⋅ ==    βα −− l lBOlAO ⊥⊥ , AOB∠ βα −− l O A B O A B l lα β− − m n 、 m n 、 ϕ lα β− − θ θ m n 、 ϕ .π ϕ− θ θ cos cos m n m n θ ϕ ⋅ = =    第 - 41 - 页 共 104 页 即 ； ◆ 如果 是钝角，则 ， 即 . 5、利用法向量求空间距离 ⑴点 Q 到直线 距离 若 Q 为直线 外的一点, 在直线 上， 为直线 的方向向量， = ，则点 Q 到直线 距离为 ⑵点 A 到平面 的距离 若点 P 为平面 外一点，点 M 为平面 内任一点， 平面 的法向量为 ，则 P 到平面 的距离就等于 在法向量 方向上的投影的绝对值. 即 ⑶直线 与平面 之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直 线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。 即 ⑷两平行平面 之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。 即 ⑸异面直线间的距离 设向量 与两异面直线 都垂直， 则两异面直线 间的距离 就是 在向量 方向上投 影的绝对值。 arccos m n m n θ ⋅ =     θ cos cos m n m n θ ϕ ⋅ = − = −     arccos m n m n θ  ⋅ = −       l l P l a l b PQ l 2 21 (| || |) ( )| |h a b a ba = − ⋅   α α α α n α MP n cos ,d MP n MP=   n MP MP n MP ⋅ = ⋅      n MP n ⋅ =    a α . n MP d n ⋅ =    ,α β . n MP d n ⋅ =    n ,a b , ,M a P b∈ ∈ ,a b d MP n第 - 42 - 页 共 104 页 即 6、三垂线定理及其逆定理 ⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 推理模式： 概括为：垂直于射影就垂直于斜线. ⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂 直 推理模式： 概括为：垂直于斜线就垂直于射影. 7、三余弦定理 设 AC 是平面 内的任一条直线，AD 是 的一条斜线 AB 在 内的射影，且 BD⊥AD，垂足为 D.设 AB 与 (AD) 所成的角为 ， AD 与 AC 所成的角为 ， AB 与 AC 所成的角为 ．则 . 8、 面积射影定理 已知平面 内一个多边形的面积为 ，它在平面 内的射影图形的面积为 ，平面 与平面 所成的二面角的大小为锐二面角 ，则 9、一个结论 长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 ，夹角分别为 ,则有 . （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. a P α O A . n MP d n ⋅ =    , , PO O PA A a PA a a OA α α α α ⊥ ∈  = ⇒ ⊥ ⊂ ⊥   , , PO O PA A a AO a a AP α α α α ⊥ ∈  = ⇒ ⊥ ⊂ ⊥   α α α α 1 θ 2 θ θ 1 2cos cos cosθ θ θ= β ( )S S原 α ( )S S′ 射 α β θ ' cos = .SS S S θ = 射 原 l 1 2 3l l l、 、 1 2 3 θ θ θ、 、 2 2 2 2 1 2 3l l l l= + + 2 2 2 1 2 3cos cos cos 1θ θ θ⇔ + + = 2 2 2 1 2 3sin sin sin 2θ θ θ⇔ + + =第 - 43 - 页 共 104 页 第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴ ；⑵ ； ⑶ ；⑷ ； ⑸ （ ）； ⑹ （ ）． 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴ ． ⑵ 升幂公式 降幂公式 ， ． 26、 ． 27、 （后两个不用判断符号，更加好用） 28、合一变形 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 形 式。 ，其中 ． 29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式， 掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍 半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ① 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； ( )cos cos cos sin sinα β α β α β− = + ( )cos cos cos sin sinα β α β α β+ = − ( )sin sin cos cos sinα β α β α β− = − ( )sin sin cos cos sinα β α β α β+ = + ( ) tan tantan 1 tan tan α βα β α β −− = + ⇒ ( )( )tan tan tan 1 tan tanα β α β α β− = − + ( ) tan tantan 1 tan tan α βα β α β ++ = − ⇒ ( )( )tan tan tan 1 tan tanα β α β α β+ = + − sin 2 2sin cosα α α= 222 )cos(sincossin2cossin2sin1 ααααααα ±=±+=±⇒ 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinα α α α α= − = − = − ⇒ 2sin2cos1,2cos2cos1 22 αααα =−=+ ⇒ 2 cos2 1cos 2 αα += 2 1 cos2sin 2 αα −= 2 2tantan 2 1 tan αα α= − ⇒ ⇒ BxAy ++= )sin( ϕϖ ( )2 2sin cos sinα α α ϕΑ + Β = Α + Β + tanϕ Β= Α α2 α α4 α2 α 2 α 2 α 4 α α α α α α αα αααα 半角公式 sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2tan 2 cos1 2sin;2 cos1 2cos : −=+=+ −±= −±=+±= 2tan1 2tan1 cos; 2tan1 2tan2 sin : 2 2 2 α α αα α α 万能公式 + − = + =第 - 44 - 页 共 104 页 ② ；问： ； ； ③ ；④ ； ⑤ ；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切 为弦，变异名为同名。 （3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变 形有： （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂 公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式 常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ； （5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如： ； ； ； ； ； ； ； ； ； = ； = ；（其中 ；） ； ； （6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特 殊角的三角函数互化。 如： ； 。 高中数学 必修 5 知识点 第一章 解三角形 （一）解三角形： 1、正弦定理：在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边，，则有 ( 为 的外接圆的半径) 2 304560304515 o ooooo =−=−= = 12sin π = 12cos π ββαα −+= )( )4(24 αππαπ −−=+ )4()4()()(2 απαπβαβαα −−+=−++= oo 45tan90sincottancossin1 22 ===+= αααα αcos1+ _______________tan1 tan1 =− + α α ______________tan1 tan1 =+ − α α ____________tantan =+ βα ___________tantan1 =− βα ____________tantan =− βα ___________tantan1 =+ βα =αtan2 =− α2tan1 =++ oooo 40tan20tan340tan20tan =+ αα cossin =+ αα cossin ba =ϕtan =+ αcos1 =− αcos1 =+ )10tan31(50sin oo =− αα cottan C∆ΑΒ a b c Α Β C 2sin sin sin a b c RC = = =Α Β R C∆ΑΒ第 - 45 - 页 共 104 页 2、正弦定理的变形公式：① ， ， ； ② ， ， ；③ ； 3、三角形面积公式： ． 4、余弦定理：在 中，有 ，推论： 第二章 数列 1、数列中 与 之间的关系： 注意通项能否合并。 2、等差数列： ⑴定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即 － =d ，（n≥2，n∈ N ）， 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项：若三数 成等差数列 ⑶通项公式： 或 ⑷前 项和公式： ⑸常用性质： ①若 ，则 ； ②下标为等差数列的项 ，仍组成等差数列； ③数列 （ 为常数）仍为等差数列； ④若 、 是等差数列，则 、 ( 、 是非零常数)、 、，…也成等差 数列。 ⑤单调性： 的公差为 ，则： ⅰ） 为递增数列； ⅱ） 为递减数列； ⅲ） 为常数列； ⑥数列{ }为等差数列 （p,q 是常数） ⑦若等差数列 的前 项和 ，则 、 、 … 是等差数列。n nS kS kk SS −2 kk SS 23 − 2 sina R= Α 2 sinb R= Β 2 sinc R C= sin 2 a R Α = sin 2 b R Β = sin 2 cC R = : : sin :sin :sina b c C= Α Β 1 1 1sin sin sin2 2 2CS bc ab C ac∆ΑΒ = Α = = Β C∆ΑΒ 2 2 2 2 cosa b c bc= + − Α 2 2 2 cos 2 b c a bc + −Α = na nS 1 1 , ( 1) ,( 2).n n n S na S S n− ==  − ≥ na 1−na + a A b、 、 2 a bA +⇔ = 1 ( 1) ( )n ma a n d a n m d= + − = + − (na pn q p q= + 、 是常数）. n ( ) ( )1 1 1 2 2 n n n n n a aS na d − += + = ( )+∈ +=+ Nqpnmqpnm ,,, qpnm aaaa +=+ ( ),,, 2mkmkk aaa ++ { }ban +λ b,λ { }na { }nb { }nka { }n nka pb+ k p *{ }( , )p nqa p q N+ ∈ { }na d ⇔> 0d { }na ⇔< 0d { }na ⇔= 0d { }na na na pn q⇔ = + { }na第 - 46 - 页 共 104 页 3、等比数列 ⑴定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。 ⑵等比中项：若三数 成等比数列 （ 同号）。反之不一定成立。 ⑶通项公式： ⑷前 项和公式： ⑸常用性质 ①若 ，则 ； ② 为等比数列，公比为 (下标成等差数列,则对应的项成等比数列) ③数列 （ 为不等于零的常数）仍是公比为 的等比数列；正项等比数列 ；则 是公差为 的等差数列； ④若 是等比数列，则 是等比数列，公比依次是 ⑤单调性： 为递增数列； 为递减数列； 为常数列； 为摆动数列； ⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦若等比数列 的前 项和 ，则 、 、 … 是等比数列. 4、非等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根 据规律写出此数列的一个通项。 类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前 项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式 构造两式作差求解。 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和 合 为一个表达，（要先分 和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。 类型Ⅲ 累加法： n nS kS kk SS −2 kk SS 23 − n nS a b、G、 2 ,G ab⇒ = ab 1 1 n n m n ma a q a q− −= = n ( )1 11 1 1 n n n a q a a qS q q − −= =− − ( )+∈ +=+ Nqpnmqpnm ,,, m n p qa a a a⋅ = ⋅ ,,, 2mkmkk aaa ++ kq { }naλ λ q { }na { }lg na lg q { }na { } { }2 n nca a， ， 1 na       ， { }( )r na r Z∈ 2 1 .rq q qq ， ， ， 1 10, 1 0,0 1a q a q> > < < < < < > ⇒或 { }1 nq a= ⇒ { }0 nq a< ⇒ { }na na { }na na 1 1 , ( 1) ,( 2)n n n S na S S n− ==  − ≥ 1a na 1n = 2≥n第 - 47 - 页 共 104 页 形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造： 将上述 个式子两边分别相加，可得： ①若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ③若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和; ④若 是关于 的分式函数，累加后可裂项求和. 类型Ⅳ 累乘法： 形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造： 将上述 个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 类型Ⅴ 构造数列法： ㈠形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式： （1）若 时，数列{ }为等差数列; （2）若 时，数列{ }为等比数列; （3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如 下两种： 法一：设 ,展开移项整理得 ,与题设 比较系数（待定 系数法）得 ,即 构成以 为首项，以 为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可得 )(1 nfaa nn +=+ )(nf n 1 1 2 2 1 ( 1) ( 2) .. (1 . ) n n n n a a f n a a f n a a f − − − − =  − − = − − =   1−n 1( 1) ( 2) ... (2) (1) ,( 2)na f n f n f f a n= − + − + + + ≥ ( )f n n ( )f n n ( )f n n ( )f n n 1 ( )n na a f n+ = ⋅ 1 ( )n n a f na + =    )(nf n 1 1 2 2 1 ( 1) ( . 2) (1 .. ) n n n n a f na a f na a fa − − − = − = −      =     1−n 1( 1) ( 2) ... (2) (1) ,( 2)na f n f n f f a n= − ⋅ − ⋅ ⋅ ≥ qpaa nn +=+1 ,p q 0p ≠ 1p = na 0q = na 1p ≠ 0≠q na 1 ( )n na p aλ λ+ + = + 1 ( 1)n na pa p λ+ = + − 1n na pa q+ = + 1,( 0) ( )1 1 1n n q q qp a p ap p p λ += ≠ ⇒ + = +− − − 1( )1 1n n q qa p ap p−⇒ + = +− − 1n qa p  + −  1 1 qa p + − p 1n qa p  + − 第 - 48 - 页 共 104 页 法二：由 得 两式相减并整理得 即 构成以 为 首项，以 为公比的等比数列.求出 的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 ㈡形如 型的递推式： ⑴当 为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首 项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可得 法二：当 的公差为 时，由递推式得： ， 两式相减得： ，令 得： 转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加 法）便可求出 ⑵当 为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可得 法二：当 的公比为 时，由递推式得： ——①， ，两边同时乘 以 得 ——②，由①②两式相减得 ，即 ，在 转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为 （其中 p，q 均为常数）或 （其中 p，q, r 均为常数） 时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列 （其中 ），得： 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。 ⑶当 为任意数列时，可用通法： 在 两边同时除以 可得到 ，令 ，则 ，在转 .na qpaa nn +=+1 1 ( 2)n na pa q n−= + ≥ 1 1 ,n n n n a a pa a + − − =− { }1n na a+ − 2 1a a− p { }1n na a+ − .na 1 ( )n na pa f n+ = + ( 1)p ≠ ( )f n [ ]1 ( 1)n na An B p a A n B−+ + = + − + A B、 1a A B+ + p { }na An B+ + { }na An B+ + .na ( )f n d 1 ( )n na pa f n+ = + 1 ( 1)n na pa f n−= + − 1 1( )n n n na a p a a d+ −− = − + 1n n nb a a+= − 1n nb pb d−= + nb .na ( )f n [ ]1( ) ( 1)n na f n p a f nλ λ−+ = + − λ 1 (1)a fλ+ p { }( )na f nλ+ { }( )na f nλ+ .na ( )f n q 1 ( )n na pa f n+ = + 1 ( 1)n na pa f n−= + − q 1 ( 1)n na q pqa qf n−= + − 1 1( )n n n na a q p a qa+ −− = − 1 1 n n n n a qa pa qa + − − =− .na n nn qpaa +=+1 1 n n na pa rq+ = + 1+nq qq a q p q a n n n n 1 1 1 +•=+ + { }nb n n n q ab = qbq pb nn 1 1 +=+ ( )f n 1 ( )n na pa f n+ = + 1np + 1 1 1 ( )n n n n n a a f n p p p + + += + n nn a bp = 1 1 ( ) n n n f nb b p+ += +第 - 49 - 页 共 104 页 化为类型Ⅲ（累加法），求出 之后得 . 类型Ⅵ 对数变换法： 形如 型的递推式： 在原递推式 两边取对数得 ，令 得： ，化归为 型，求出 之后得 （注意：底数不一定要取 10，可根据题意选择）。 类型Ⅶ 倒数变换法： 形如 （ 为常数且 ）的递推式：两边同除于 ，转化为 形式，化归 为 型求出 的表达式，再求 ； 还有形如 的递推式，也可采用取倒数方法转化成 形式，化归为 型求 出 的表达式，再求 . 类型Ⅷ 形如 型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列 的形式求解。方法为：设 ，比较系数 得 ，可解得 ，于是 是公比为 的等比数列，这样就化归为 型。 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归 纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 5、非等差、等比数列前 项和公式的求法 ⑴错位相减法 ①若数列 为等差数列，数列 为等比数列，则数列 的求和就要采用此法. ②将数列 的每一项分别乘以 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列 的前 项和. 此法是在推导等比数列的前 项和公式时所用的方法. ⑵裂项相消法 一般地，当数列的通项 时，往往可将 变成两项的差，采用 裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项： nb n n na p b= 1 ( 0, 0)q n na pa p a+ = > > 1 q na pa+ = 1lg lg lgn na q a p+ = + lgn nb a= 1 lgn nb qb p+ = + qpaa nn +=+1 nb 10 .nb na = 1 1n n n na a pa a− −− = p 0p ≠ 1n na a− 1 1 1 n n pa a − = + qpaa nn +=+1 1 na na 1 n n n maa pa q+ = + 1 1 1 n n m m a q a p+ = + qpaa nn +=+1 1 na na nnn qapaa += ++ 12 }{ 1−− nn aa )( 112 nnnn kaahkaa −=− +++ qhkpkh =−=+ , h k、 1{ }n na ka+ − h qpaa nn +=+1 .na n { }na { }nb { }n na b⋅ { }n na b⋅ { }nb { }n na b⋅ n n 1 2( )( )n ca an b an b = + + 1 2( , , ,a b b c为常数） na第 - 50 - 页 共 104 页 设 ，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得 ，从而可得 常见的拆项公式有： ① ② ③ ④ ⑤ ⑶分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的 数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. ⑷倒序相加法 如果一个数列 ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加， 就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征： ⑸记住常见数列的前 项和： ① ② ③ 第三章 不等式 §3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①（对称性） ②（传递性） ③（可加性） （同向可加性） （异向可减性） 1 2 na an b an b λ λ= −+ + 2 1 c b b λ = − 1 2 2 1 1 2 1 1= ( ).( )( ) ( ) c c an b an b b b an b an b −+ + − + + 1 1 1 ( 1) 1n n n n = −+ + ； 1 1 1 1( );(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n n = −− + − + 1 1 ( );a ba ba b = −−+ 1 1 ;m m m n n nC C C− += − ! ( 1)! !.n n n n⋅ = + − { }na 1 2 1 ...n na a a a −+ = + = n ( 1)1 2 3 ... ;2 n nn ++ + + + = 21 3 5 ... (2 1) ;n n+ + + + − = 2 2 2 2 11 2 3 ... ( 1)(2 1).6n n n n+ + + + = + + a b b a> ⇔ > ,a b b c a c> > ⇒ > a b a c b c> ⇔ + > + dbcadcba +>+⇒>> , dbcadcba −>−⇒ ,第 - 51 - 页 共 104 页 ④（可积性） ⑤（同向正数可乘性） （异向正数可除性） ⑥（平方法则） ⑦（开方法则） ⑧（倒数法则） 2、几个重要不等式 ① ,（当且仅当 时取 号）. 变形公式： ②（基本不等式） ,（当且仅当 时取到等号）. 变形公式： 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） （当且仅当 时取到等号）. ④ （当且仅当 时取到等号）. ⑤ （当且仅当 时取到等号）. ⑥ （当仅当 a=b 时取等号） （当仅当 a=b 时取等号） ⑦ 其中 规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小. ⑧ ⑨绝对值三角不等式 bcaccba >⇒>> 0, bcaccba > > > ⇒ > 0,0 a ba b c d c d > > < < ⇒ > 0 ( , 1)n na b a b n N n> > ⇒ > ∈ >且 0 ( , 1)n na b a b n N n> > ⇒ > ∈ >且 babababa 110;110 >⇒ > > a b c= = 0, 2b aab a b > + ≥若 则 0, 2b aab a b < + ≤ −若 则 b a nb na ma mb a b >， ， 2 20 ;a x a x a x a x a> > ⇔ > ⇔ < − >当 时， 或 2 2 .x a x a a x a< ⇔ < ⇔ − < < .a b a b a b− ≤ ± ≤ +第 - 52 - 页 共 104 页 3、几个著名不等式 ①平均不等式： ,（当且仅当 时取 号）. （即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均）. 变形公式： ②幂平均不等式： ③二维形式的三角不等式： ④二维形式的柯西不等式： 当且仅当 时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式： ⑥一般形式的柯西不等式： ⑦向量形式的柯西不等式： 设 是两个向量，则 当且仅当 是零向量，或存在实数 ，使 时，等号成立. ⑧排序不等式（排序原理）：设 为两组实数. 是 的任一排 列，则 （反序和 乱序和 顺序和） 当且仅当 或 时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数） 若定义在某区间上的函数 ,对于定义域中任意两点 有 则称 f(x)为凸（或凹）函数. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法； 2 2 1 1 2 2 2 a b a baba b− − + +≤ ≤ ≤+ ( )a b R+∈， a b= " "= ≤ ≤ ≤ 2 2 2 ;2 2 a b a bab + + ≤ ≤   2 2 2 ( ) .2 a ba b ++ ≥ 2 2 2 2 1 2 1 2 1... ( ... ) .n na a a a a an + + + ≥ + + + 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )x y x y x x y y+ + + ≥ − + − 1 1 2 2( , , , ).x y x y R∈ 2 2 2 2 2( )( ) ( ) ( , , , ).a b c d ac bd a b c d R+ + ≥ + ∈ ad bc= 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( )( ) ( ) .a a a b b b a b a b a b+ + + + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2( ... )( ... )n na a a b b b+ + + + + + 2 1 1 2 2( ... ) .n na b a b a b≥ + + + ,α β  ,α β α β⋅ ≤    β k kα β=  1 2 1 2... , ...n na a a b b b≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 1 2, ,..., nc c c 1 2, ,..., nb b b 1 2 1 1 1 1 2 2... ...n n n n na b a b a b a c a c a c−+ + + ≤ + + + 1 1 2 2 ... .n na b a b a b≤ + + + ≤ ≤ 1 2 ... na a a= = = 1 2 ... nb b b= = = ( )f x 1 2 1 2, ( ),x x x x≠ 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .2 2 2 2 x x f x f x x x f x f xf f + + + +≤ ≥或第 - 53 - 页 共 104 页 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如 ②将分子或分母放大（缩小），如 等. 5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 （ 时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴ ⑵ ⑶ 2 21 3 1( ) ( ) ;2 4 2a a+ + > + 2 1 1 ,( 1)k k k < − 2 1 1 ,( 1)k k k > + 2 2 1 2( ) , 2 1k k k k k k = = < + + − *1 2 ( , 1) 1 k N k k k k > ∈ > + + 2 0( 0)ax bx c+ + > ( ) 0 ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) 0( ) f x f x g xg x f x g xf x g xg x > ⇔ ⋅ > ⋅ ≥≥ ⇔  ≠ < ≤“ 或 ” 2 ( ) 0( ) ( 0) ( ) f xf x a a f x a ≥> > ⇔  > 2 ( ) 0( ) ( 0) ( ) f xf x a a f x a ≥< > ⇔   ≥> ⇔ ≥   或第 - 54 - 页 共 104 页 ⑷ ⑸ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当 时, ⑵当 时, 规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 ⑴当 时, ⑵当 时, 规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法： ⑵平方法： ⑶同解变形法，其同解定理有： ① ② ③ ④ 规律：关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] f x f x g x g x f x g x ≥ < ⇔ >  ⇔ ≥  > 1a > ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ > 0 1a< < ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ < 1a > ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  > 0 1a< < ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 . ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  0a = 0, 0;b c⇒ = > 0a ≠ 0 0. a >⇒ ∆ ( 0)< 0Ax By C+ + > ( 0)< B 0Ax By C+ + > ( 0)< z Ax By= + ( ,A B z Ax By= + x y、第 - 56 - 页 共 104 页 共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应 值，最大的那个数为目标函数 的 最大值，最小的那个数为目标函数 的最小值 法二：画——移——定——求： 第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 ，平移直线 （据可行域，将直 线 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解 ；第四步，将最优解 代入目标函数 即可求出最大值或最小值 . 第二步中最优解的确定方法： 利用 的几何意义： , 为直线的纵截距. ①若 则使目标函数 所表示直线的纵截距最大的角点处， 取得最大值，使直线的纵截距 最小的角点处， 取得最小值； ②若 则使目标函数 所表示直线的纵截距最大的角点处， 取得最小值，使直线的纵截距 最小的角点处， 取得最大值. ⑷常见的目标函数的类型： ①“截距”型： ②“斜率”型： 或 ③“距离”型： 或 或 在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化. 数学选修 2－1 第一章：命题与逻辑结构 知识点： 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若 ，则 ”形式的命题中的 称为命题的条件， 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原 命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若 ，则 ”，它的逆命题为“若 ，则 ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个 命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若 ，则 ”，则它的否命题为“若 ，则 ”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。 z z z 0 : 0l Ax By+ = 0l 0l ( , )x y ( , )x y z Ax By= + z A zy xB B = − + z B 0,B > z Ax By= + z z 0,B < z Ax By= + z z ;z Ax By= + yz x = ;y bz x a −= − 2 2z x y= + 2 2 ;z x y= + 2 2( ) ( )z x a y b= − + − 2 2( ) ( ) .z x a y b= − + − p q p q p q q p p q p¬ q¬第 - 57 - 页 共 104 页 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若 ，则 ”，则它的否命题为“若 ，则 ”。 6、四种命题的真假性： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系： 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件． 若 ，则 是 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题 和命题 联结起来，得到一个新命题，记作 ． 当 、 都是真命题时， 是真命题；当 、 两个命题中有一个命题是假命题时， 是假命题． 用联结词“或”把命题 和命题 联结起来，得到一个新命题，记作 ． 当 、 两个命题中有一个命题是真命题时， 是真命题；当 、 两个命题都是假命题时， 是假命题． 对一个命题 全盘否定，得到一个新命题，记作 ．若 是真命题，则 必是假命题；若 是假命题，则 必是真命 题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对 中任意一个 ，有 成立”，记作“ ， ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“ ”表示．含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在 中的一个 ，使 成立”，记作“ ， ”． 10、全称命题 ： ， ，它的否定 ： ， 。全称命题的否定是特称命题。 特称命题 ： ， ，它的否定 ： ， 。特称命题的否定是全称命题。 第二章：圆锥曲线 知识点： 1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化 ①建立适当的直角坐标系； ②设动点 及其他的点； ③找出满足限制条件的等式； ④将点的坐标代入等式； ⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。 2、平面内与两个定点 ， 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的 距离称为椭圆的焦距。 3、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 p q q¬ p¬ ( )1 ( )2 p q⇒ p q q p p q⇔ p q p q p q∧ p q p q∧ p q p q∧ p q p q∨ p q p q∨ p q p q∨ p p¬ p p¬ p p¬ ∀ Μ x ( )p x x∀ ∈Μ ( )p x ∃ Μ x ( )p x x∃ ∈ Μ ( )p x p x∀ ∈Μ ( )p x p¬ x∃ ∈Μ ( )p x¬ p x∃ ∈Μ ( )p x p¬ x∀ ∈Μ ( )p x¬ ( ),M x y 1F 2F 1 2F F ( )1 2 2 2 2MF MF a a c+ = > x y第 - 58 - 页 共 104 页 图形 标准方程 第一定义 到两定点 的距离之和等于常数 2 ，即 （ ） 第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 ，即 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴的长 短轴的长 对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 焦半径 左焦半径： 右焦半径： 下焦半径： 上焦半径： 焦点三角形面积 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： （焦点）弦长公式 ， 4、设 是椭圆上任一点，点 到 对应准线的距离为 ，点 到 对应准线的距离为 ，则 。 ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( )2 2 2 2 1 0y x a ba b + = > > 21F F、 a 21| | | | 2MF MF a+ = 212 | |a F F> e (0 1)MF e ed = < < a x a− ≤ ≤ b y b− ≤ ≤ b x b− ≤ ≤ a y a− ≤ ≤ ( )1 ,0aΑ − ( )2 ,0aΑ ( )1 0, bΒ − ( )2 0,bΒ ( )1 0, aΑ − ( )2 0,aΑ ( )1 ,0bΒ − ( )2 ,0bΒ 2a= 2b= x y ( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c ( )1 0,F c− ( )2 0,F c 2 2 2 1 2 2 ( )F F c c a b= = − 2 2 2 2 2 2 21 (0 1)c c a b be ea a a a −= = = = − < < 2ax c = ± 2ay c = ± 0, 0( )M x y 1 0MF a ex= + 2 0MF a ex= − 1 0MF a ey= + 2 0MF a ey= − 1 2 2 1 2tan ( )2MF FS b F MF θ θ∆ = = ∠ 2bHH a ′ = 1, 1 2, 2( ), ( )A x y B x y 2 2 2 1 2 1 2 1 21 1 ( ) 4AB k x x k x x x x= + − = + − − Μ Μ 1F 1d Μ 2F 2d 1 2 1 2 F F ed d Μ Μ= =第 - 59 - 页 共 104 页 5、平面内与两个定点 ， 的距离之差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的 焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。 6、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图形 标准方程 第一定义 到两定点 的距离之差的绝对值等于常数 ，即 （ ） 第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 ，即 范围 或 ， 或 ， 顶点 、 、 轴长 实轴的长 虚轴的长 对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 渐近线方程 焦半径 在右支 在左支 在上支 在下支 1F 2F 1 2F F ( )1 2 2 2 2MF MF a a c− = < x y ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > ( )2 2 2 2 1 0, 0y x a ba b − = > > 21F F、 2a 21| | | | 2MF MF a− = 210 2 | |a F F< < e ( 1)MF e ed = > x a≤ − x a≥ y R∈ y a≤ − y a≥ x R∈ ( )1 ,0aΑ − ( )2 ,0aΑ ( )1 0, aΑ − ( )2 0,aΑ 2a= 2b= x y ( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c ( )1 0,F c− ( )2 0,F c 2 2 2 1 2 2 ( )F F c c a b= = + 2 2 2 2 2 2 21 ( 1)c c a b be ea a a a += = = = + > 2ax c = ± 2ay c = ± by xa = ± ay xb = ± 0, 0( )M x y M 1 0 2 0 MF ex a MF ex a  = + = − 左焦： 右焦： M 1 0 2 0 MF ex a MF ex a  = − − = − + 左焦： 右焦： M 1 0 2 0 MF ey a MF ey a  = + = − 左焦： 右焦： M 1 0 2 0 MF ey a MF ey a  = − − = − + 左焦： 右焦：第 - 60 - 页 共 104 页 7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 8、设 是双曲线上任一点，点 到 对应准线的距离为 ，点 到 对应准线的距离为 ，则 。 9、平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点 称为抛物线的焦点，定直线 称为抛物线 的准线． 10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 、 两点的线段 ，称为抛物线的“通径”，即 ． 11、焦半径公式： 若点 在抛物线 上，焦点为 ，则 ；、 若点 在抛物线 上，焦点为 ，则 ； 若点 在抛物线 上，焦点为 ，则 ； 若点 在抛物线 上，焦点为 ，则 ． 12、抛物线的几何性质： 焦点三角形面积 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：图形 标准方程 定义 与一定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 不在定直线 上) 顶点 离心率 对称轴 轴 轴 范围 焦点 Μ Μ 1F 1d Μ 2F 2d 1 2 1 2 F F ed d Μ Μ= = F l F l Α Β ΑΒ 2pΑΒ = ( )0 0,x yΡ ( )2 2 0y px p= > F 0 2 pF xΡ = + ( )0 0,x yΡ ( )2 2 0y px p= − > F 0 2 pF xΡ = − + ( )0 0,x yΡ ( )2 2 0x py p= > F 0 2 pF yΡ = + ( )0 0,x yΡ ( )2 2 0x py p= − > F 0 2 pF yΡ = − + 1 2 2 1 2cot ( )2MF FS b F MF θ θ∆ = = ∠ 2bHH a ′ = 2 2y px= ( )0p > 2 2y px= − ( )0p > 2 2x py= ( )0p > 2 2x py= − ( )0p > F l F l ( )0,0 1e = x y 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ , 02 pF      , 02 pF  −   0, 2 pF      0, 2 pF  −  第 - 61 - 页 共 104 页 关于抛物线焦点弦的几个结论： 设 为过抛物线 焦点的弦， ，直线 的倾斜角为 ，则 ⑴ ⑵ ⑶ 以 为直径的圆与准线相切； ⑷ 焦点 对 在准线上射影的张角为 ⑸ 第三章： 空间向量知识点： 1、空间向量的概念： （1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量． （2）向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． （3）向量 的大小称为向量的模（或长度），记作 ． （4）模（或长度）为 的向量称为零向量；模为 的向量称为单位向量． （5）与向量 长度相等且方向相反的向量称为 的相反向量，记作 ． （6）方向相同且模相等的向量称为相等向量． 2、空间向量的加法和减法： （1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点 为起点的两个已知向量 、 为邻边作平行四边形 ，则以 起点的对角线 就是 与 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则． （2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点 ，作 ， ，则 ． 3、实数 与空间向量 的乘积 是一个向量，称为向量的数乘运算．当 时， 与 方向 准线方程 焦半径 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： 焦点弦长 公式 参数 的几 何意义 参数 表示焦点到准线的距离， 越大，开口越阔 AB 2 2 ( 0)y px p= > 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 AB θ 2 2 1 2 1 2, ;4 px x y y p= = − 2 2 ;sin pAB θ= AB F A B、 2 π ； 1 1 2 .| | | |FA FB P + = ΑΒ ΑΒ 0 1 a a a− Ο a b CΟΑ Β Ο CΟ a b Ο aΟΑ =  bΟΒ =  a bΒΑ = −  λ a aλ  0λ > aλ  a 2 px = − 2 px = 2 py = − 2 py = 0, 0( )M x y 0 2 pMF x= + 0 2 pMF x= − + 0 2 pMF y= + 0 2 pMF y= − + 2HH p′ = 1 2AB x x p= + + p p p第 - 62 - 页 共 104 页 相同；当 时， 与 方向相反；当 时， 为零向量，记为 ． 的长度是 的长度的 倍． 4、设 ， 为实数， ， 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律． 分配律： ；结合律： ． 5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共 线． 6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量 ， ， 的充要条件是存在实数 ，使 ． 7、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 8、向量共面定理：空间一点 位于平面 内的充要条件是存在有序实数对 ， ，使 ；或对空间任一定点 ，有 ；或若四点 ， ， ， 共面，则 ． 9、已知两个非零向量 和 ，在空间任取一点 ，作 ， ，则 称为向量 ， 的夹角，记作 ．两 个向量夹角的取值范围是： ． 10、对于两个非零向量 和 ，若 ，则向量 ， 互相垂直，记作 ． 11、已知两个非零向量 和 ，则 称为 ， 的数量积，记作 ．即 ．零向量与任何向 量的数量积为 ． 12、 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积． 13 若 ， 为非零向量， 为单位向量，则有 ； ； ， ， ； ； ． 14 量数乘积的运算律： ； ； ． 15、空间向量基本定理：若三个向量 ， ， 不共面，则对空间任一向量 ，存在实数组 ，使得 ． 16、三个向量 ， ， 不共面，则所有空间向量组成的集合是 ．这个集合可看作是由向量 ， ， 生成的， 称为空间的一个基底， ， ， 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基 底． 17、设 ， ， 为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以 ， ， 的公共起点 为原点， 分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系 ．则对于空间任意一个向量 ，一定可以把 0λ < aλ  a 0λ = aλ  0 aλ  a λ λ µ a b ( )a b a bλ λ λ+ = +   ( ) ( )a aλ µ λµ=  a ( )0b b ≠  //a b λ a bλ=  Ρ CΑΒ x y x y CΑΡ = ΑΒ + Α   Ο x y CΟΡ = ΟΑ + ΑΒ + Α    Ρ Α Β C ( )1x y z C x y zΟΡ = ΟΑ + ΟΒ + Ο + + =    a b Ο aΟΑ =  bΟΒ =  ∠ΑΟΒ a b ,a b〈 〉 [ ], 0,a b π〈 〉 ∈ a b , 2a b π〈 〉 = a b a b⊥  a b cos ,a b a b〈 〉   a b a b⋅  cos ,a b a b a b⋅ = 〈 〉     0 a b⋅  a a b a cos ,b a b〈 〉  a b e ( )1 cos ,e a a e a a e⋅ = ⋅ = 〈 〉       ( )2 0a b a b⊥ ⇔ ⋅ =   ( )3 ( ) ( ) a b a b a b a b a b ⋅ =  −       与 同向 与 反向 2a a a⋅ =   a a a= ⋅   ( )4 cos , a ba b a b ⋅〈 〉 =   ( )5 a b a b⋅ ≤   ( )1 a b b a⋅ = ⋅   ( )2 ( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅     ( )3 ( )a b c a c b c+ ⋅ = ⋅ + ⋅      a b c p { }, ,x y z p xa yb zc= + +   a b c { }, , ,p p xa yb zc x y z R= + + ∈    a b c { }, ,a b c  a b c 1e 2e 3e Ο 1e 2e 3e Ο 1e 2e 3e x y z xyzΟ p第 - 63 - 页 共 104 页 它平移，使它的起点与原点 重合，得到向量 ．存在有序实数组 ，使得 ．把 ， ， 称作 向量 在单位正交基底 ， ， 下的坐标，记作 ．此时，向量 的坐标是点 在空间直角坐标系 中的坐标 ． 18、设 ， ，则 （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． （5）若 、 为非零向量，则 ． （6）若 ，则 ． （7） ． （8） ． （9） ， ，则 ． 19、在空间中，取一定点 作为基点，那么空间中任意一点 的位置可以用向量 来表示．向量 称为点 的位置向量． 20、空间中任意一条直线 的位置可以由 上一个定点 以及一个定方向确定．点 是直线 上一点，向量 表示直线 的方向向 量，则对于直线 上的任意一点 ，有 ，这样点 和向量 不仅可以确定直线 的位置，还可以具体表示出直线 上的 任意一点． 21、空间中平面 的位置可以由 内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点 ，它们的方向向量分别为 ， ． 为平面 上任意一点，存在有序实数对 ，使得 ，这样点 与向量 ， 就确定了平面 的位置． 22、直线 垂直 ，取直线 的方向向量 ，则向量 称为平面 的法向量． 23、若空间不重合两条直线 ， 的方向向量分别为 ， ， 则 ， ． 24、若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ， 则 ， ． 25、若空间不重合的两个平面 ， 的法向量分别为 ， ，则 ， ． Ο pΟΡ =  { }, ,x y z 1 2 3p xe ye ze= + +   x y z p 1e 2e 3e ( ), ,p x y z= p Ρ xyzΟ ( ), ,x y z ( )1 1 1, ,a x y z= ( )2 2 2, ,b x y z= ( )1 2 1 2 1 2, ,a b x x y y z z+ = + + + ( )1 2 1 2 1 2, ,a b x x y y z z− = − − − ( )1 1 1, ,a x y zλ λ λ λ= 1 2 1 2 1 2a b x x y y z z⋅ = + + a b 1 2 1 2 1 20 0a b a b x x y y z z⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + + =   0b ≠  1 2 1 2 1 2// , ,a b a b x x y y z zλ λ λ λ⇔ = ⇔ = = =   2 2 2 1 1 1a a a x y z= ⋅ = + +   1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos , x x y y z za ba b a b x y z x y z + +⋅〈 〉 = = + + ⋅ + +   ( )1 1 1, ,x y zΑ ( )2 2 2, ,x y zΒ = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z zΑΒ = ΑΒ = − + − + − Ο Ρ ΟΡ ΟΡ Ρ l l Α Α l a l l Ρ taΑΡ =  Α a l l α α Ο a b Ρ α ( ),x y xa ybΟΡ = +  Ο a b α l α l a a α a b a b // //a b a b⇔ ⇔ ( )a b Rλ λ= ∈ 0a b a b a b⊥ ⇔ ⊥ ⇔ ⋅ =   a a α n a α⊄ // //a aα α⇔  0a n a n⇔ ⊥ ⇔ ⋅ =    //a a a n a nα α λ⊥ ⇔ ⊥ ⇔ ⇔ =     α β a b // //a bα β ⇔ ⇔ a bλ=  0a b a bα β⊥ ⇔ ⊥ ⇔ ⋅ =  第 - 64 - 页 共 104 页 26、设异面直线 ， 的夹角为 ，方向向量为 ， ，其夹角为 ，则有 ． 27 、 设 直 线 的 方 向 向 量 为 ， 平 面 的 法 向 量 为 ， 与 所 成 的 角 为 ， 与 的 夹 角 为 ， 则 有 ． 28、设 ， 是二面角 的两个面 ， 的法向量，则向量 ， 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若 二面角 的平面角为 ，则 ． 29、点 与点 之间的距离可以转化为两点对应向量 的模 计算． 30、在直线 上找一点 ，过定点 且垂直于直线 的向量为 ，则定点 到直线 的距离为 ． 31 、 点 是 平 面 外 一 点 ， 是 平 面 内 的 一 定 点 ， 为 平 面 的 一 个 法 向 量 ， 则 点 到 平 面 的 距 离 为 ． 数学选修 2-2 导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数 在 处的瞬时变化率是 ， 我们称它为函数 在 处的导数，记作 或 ，即 = 2. 导数的几何意义： 曲 线 的 切 线 . 通 过 图 像 , 我 们 可 以 看 出 当 点 趋 近 于 时 ， 直 线 与 曲 线 相 切 。 容 易 知 道 ， 割 线 的 斜 率 是 ， 当 点 趋 近 于 时 ， 函 数 在 处 的 导 数 就 是 切 线 PT 的 斜 率 k ， 即 3. 导函数：当 x 变化时， 便是 x 的一个函数，我们称它为 的导函数. 的导函数有时也记作 ,即 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1 若 (c 为常数)，则 ； 2 若 ,则 ; a b θ a b ϕ cos cos a b a b θ ϕ ⋅ = =   l l α n l α θ l n ϕ sin cos l n l n θ ϕ ⋅ = =     1n 2n lα β− − α β 1n 2n lα β− − θ 1 2 1 2 cos n n n n θ ⋅ =     Α Β ΑΒ ΑΒ l Ρ Α l n Α l cos , n d n n ΡΑ⋅ = ΡΑ 〈ΡΑ 〉 =      Ρ α Α α n α Ρ α cos , n d n n ΡΑ⋅ = ΡΑ 〈ΡΑ 〉 =      ( )y f x= 0x x= 0 0 0 ( ) ( )lim x f x x f x x∆ → + ∆ − ∆ ( )y f x= 0x x= 0( )f x′ 0 |x xy =′ 0( )f x′ 0 0 0 ( ) ( )lim x f x x f x x∆ → + ∆ − ∆ nP P PT nPP 0 0 ( ) ( )n n n f x f xk x x −= − nP P ( )y f x= 0x x= 0 00 0 ( ) ( )lim ( )n x n f x f xk f xx x∆ → − ′= =− ( )f x′ ( )f x ( )y f x= y′ 0 ( ) ( )( ) lim x f x x f xf x x∆ → + ∆ −′ = ∆ ( )f x c= ( ) 0f x′ = ( )f x xα= 1( )f x xαα −′ =第 - 65 - 页 共 104 页 3 若 ,则 4 若 ,则 ; 5 若 ,则 6 若 ,则 7 若 ,则 8 若 ,则 导数的运算法则 1. 2. 3. 复合函数求导 和 ,称则 可以表示成为 的函数,即 为一个复合函数 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间 内 (1)如果 ，那么函数 在这个区间单调递增；(2)如果 ，那么函数 在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数 的极值的方法是:（1）如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极大值（2）如果在 附近的左 侧 ,右侧 ,那么 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 求函数 在 上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数 在 内的极值； （2） 将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 推理与证明 考点一 合情推理与类比推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般 的过程,它属于合情推理 根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理. 类比推理的一般步骤: (1) 找出两类事物的相似性或一致性; (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想); (3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一 写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的. (4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠. 考点二 演绎推理(俗称三段论) 由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法 1. 它是一个递推的数学论证方法. 2. 步骤:A.命题在 n=1（或 ）时成立，这是递推的基础；B.假设在 n=k 时命题成立； C.证明 n=k+1 时命题也成立, 完成这两步,就可以断定对任何自然数(或 n>= ,且 )结论都成立。 考点三 证明 1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法: 数系的扩充和复数的概念 复数的概念 ( ) sinf x x= ( ) cosf x x′ = ( ) cosf x x= ( ) sinf x x′ = − ( ) xf x a= ( ) lnxf x a a′ = ( ) xf x e= ( ) xf x e′ = ( ) logx af x = 1( ) lnf x x a ′ = ( ) lnf x x= 1( )f x x ′ = [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x f x g x′ ′ ′± = ± [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x′ ′ ′• = • + • 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) [ ( )] f x f x g x f x g x g x g x ′ ′• − •′ = ( )y f u= ( )u g x= y x ( ( ))y f g x= ( ( )) ( )y f g x g x′ ′ ′= • ( , )a b ( ) 0f x′ > ( )y f x= ( ) 0f x′ < ( )y f x= ( )y f x= 0x ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < 0( )f x 0x ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ > 0( )f x ( )y f x= [ , ]a b ( )y f x= ( , )a b ( )y f x= ( )f a ( )f b 0n 0n n N∈第 - 66 - 页 共 104 页 (1) 复数:形如 的数叫做复数， 和 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数 中,当 ,就是实数; ,叫做虚数;当 时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. (5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。 (6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 复数的运算 1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设 则 （1） （2） （3） 2,几个重要的结论 (1) (2) (3)若 为虚数,则 3.运算律 (1) ;(2) ;(3) 4.关于虚数单位 i 的一些固定结论： （1） （2） （3） （2） 数学选修 2－3 第一章 计数原理 知识点： 1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有 N 类办法，在第一类办法中有 M1 种不同的方法，在第二类办法中有 M2 种不同的方 法，……，在第 N 类办法中有 MN 种不同的方法，那么完成这件事情共有 M1+M2+……+MN 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成 N 个步骤，做第一 步有 m1 种不同的方法，做第二步有 M 2 不同的方 法，……，做第 N 步有 MN 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2...MN 种不同的方法。 3、排列：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 4、排列数： 5、组合：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。 6、组合数： 7、二项式定理： 8、二项式通项公式 第二章 随机变量及其分布 1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示，并且 X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量 叫做随机变量． 随机变量常用大写字母 X、Y 等或希腊字母 ξ、η 等表示。 ),,()!( !)1()1( Nmnnmmn nmnnnAm ∈≤−=+−−=  )!(! ! ! )1()1( mnm nCm mnnn A AC m nm m m nm n −=+−−==  )!(! ! ! )1()1( mnm nCm mnnn A AC m nm m m nm n −=+−−==  ;mn n m n CC −= m n m n m n CCC 1 1 + − =+ ( , )a bi a R b R+ ∈ ∈ a b ( , )a bi a R b R+ ∈ ∈ 0b = 0b ≠ 0, 0a b= ≠ 1 2, ( , , , )z a bi z c di a b c d R= + = + ∈ 1 2 ( ) ( )z z a c b d i± = ± + ± 1 2 ( ) ( )z z ac bd ad bc i• = − + + 1 22 2 2 ( ) ( ) ( 0)z ac bd ad bc i zz c d − + += ≠+ 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | | | 2(| | | | )z z z z z z+ + − = + 2 2| | | |z z z z• = = z 2 2| |z z≠ m n m nz z z +• = ( )m n mnz z= 1 2 1 2( ) ( , )n n nz z z z m n R• = • ∈ 2 1i = − 3i i= − 4 1i = 2 3 4 0n n n ni i i i+ + ++ + + = ( )a b C a C a b C a b C a b C bn n n n n n n n r n r r n n n+ = + + + + + +− − −0 1 1 2 2 2 … … 二项展开式的通项公式： ， ……T C a b r nr n r n r r + −= =1 0 1( )第 - 67 - 页 共 104 页 2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量 X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随 机变量叫做离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,..... ,xi ,......,xn X 取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率 P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量 X 的概率分布，简称分布列 4、分布列性质① pi≥0, i =1，2， … 　； ② p1 + p2 +…+pn= 1． 5、二点分布：如果随机变量 X 的分布列为： 其中 06.635 时 X 与 Y 有 99%可能性有关 回归分析 回归直线方程 其中 , 高中数学选修 4-1 知识点总结 平行线等分线段定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推理 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。 平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： ),(, 2 1)( 2 2 2 )( +∞−∞∈= −− xexf x σ µ σπ µ µ µx µ σ σ σ σ )2,2( σµσµ +− )3,3( σµσµ +− 0)µ σ σ >、 （ ( , )N µ σ记作： bxay +=ˆ xSS SP xx yyxx xnx yxnxy b = − −−= − − = ∑ ∑ ∑∑ ∑∑∑ 2 22 )( ))(( )(1 1 xbya −=第 - 69 - 页 共 104 页 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似 系数）。 由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑 6 个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别 成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法： （1）两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似。 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。 判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三 角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个 三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的 第三边。 定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似； （2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三 角形相似。 相似三角形的性质： （1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。 直角三角形的射影定理 射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜 边的比例中项。 圆周定理 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形的性质与判定定理 定理 1：圆的内接四边形的对角互补。 定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。 圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 弦切角的性质 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 与圆有关的比例线段第 - 70 - 页 共 104 页 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 选修 4-4 数学知识点 一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系：　 ① 理解坐标系的作用.　 ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行 极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极 坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结： 1．伸缩变换：设点 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 的作用下，点 对应到点 ，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点 ，叫做极点；自极点 引一条射线 叫做极轴；再选定一个长度单 位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 3．点 的极坐标：设 是平面内一点，极点 与点 的距离 叫做点 的极径，记为 ；以极轴 为始边，射线 为终边的 叫做点 的极角，记为 。有序数对 叫做点 的极坐标，记为 . 极坐标 与 表示同一个点。极点 的坐标为 . 4.若 ,则 ,规定点 与点 关于极点对称，即 与 表示同一点。 如果规定 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 表示；同时，极坐标 表 示的点也是唯一确定的。 5．极坐标与直角坐标的互化： 6。圆的极坐标方程： 在极坐标系中，以极点为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ； ),( yxP    >⋅=′ >⋅=′ ).0(,yy 0),(x,x: µµ λλϕ ),( yxP ),( yxP ′′′ ϕ O O Ox M M O M || OM M ρ Ox OM xOM∠ M θ ),( θρ M ),( θρM ),( θρ )Z)(2,( ∈+ kkπθρ O )R)(,0( ∈θθ 0− ρ ),( θρ− ),( θρ ),( θρ− ),( θπρ + πθρ 20,0 ≤≤> ),( θρ ),( θρ r r=ρ )0(nt,sin ,cos,222 ≠== =+= xx yay xyx θθρ θρρ第 - 71 - 页 共 104 页 在极坐标系中，以 为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ； 在极坐标系中，以 为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ； 7.在极坐标系中， 表示以极点为起点的一条射线； 表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点 ，且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 . 8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数 的函数 并且对于 的每一个允许值，由这个方程所确定的点 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的 参数方程，联系变数 的变数 叫做参变数，简称参数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 9．圆 的参数方程可表示为 . 椭圆 的参数方程可表示为 . 抛物线 的参数方程可表示为 . 　 经过点 ，倾斜角为 的直线 的参数方程可表示为 （ 为参数）. 10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使 的 取值范围保持一致. 高中数学选修 4--5 知识点 1、不等式的基本性质 ①（对称性） ②（传递性） ③（可加性） （同向可加性） （异向可减性） ④（可积性） )0,(aC )0( >a a θρ cos2a= )2,( π aC )0( >a a θρ sin2a= )0( ≥= ραθ )R( ∈= ραθ )0)(0,( >aaA a=θρcos yx, t    = = ),( ),( tgy tfx t ),( yxM yx, t 222 )()( rbyax =−+− )(.sin ,cos 为参数θθ θ    += += rby rax 12 2 2 2 =+ b y a x )0( >> ba )(.sin ,cos 为参数ϕϕ ϕ    = = by ax pxy 22 = )( .2 ,2 2 为参数t pty pxx    = = ),( ooO yxM α l    += += .sin ,cos o o α α tyy txx t yx, a b b a> ⇔ > ,a b b c a c> > ⇒ > a b a c b c> ⇔ + > + dbcadcba +>+⇒>> , dbcadcba −>−⇒ , bcaccba >⇒>> 0,第 - 72 - 页 共 104 页 ⑤（同向正数可乘性） （异向正数可除性） ⑥（平方法则） ⑦（开方法则） ⑧（倒数法则） 2、几个重要不等式 ① ,（当且仅当 时取 号）. 变形公式： ②（基本不等式） ,（当且仅当 时取到等号）. 变形公式： 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） （当且仅当 时取到等号）. ④ （当且仅当 时取到等号）. ⑤ （当且仅当 时取到等号）. ⑥ （当仅当 a=b 时取等号） （当仅当 a=b 时取等号） ⑦ ，（其中 规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小. ⑧ bcaccba > > > ⇒ > 0,0 a ba b c d c d > > < < ⇒ > 0 ( , 1)n na b a b n N n> > ⇒ > ∈ >且 0 ( , 1)n na b a b n N n> > ⇒ > ∈ >且 babababa 110;110 >⇒ > > a b c= = 0, 2b aab a b > + ≥若 则 0, 2b aab a b < + ≤ −若 则 b a nb na ma mb a b >， ， 2 20 ;a x a x a x a x a> > ⇔ > ⇔ < − >当 时， 或第 - 73 - 页 共 104 页 ⑨绝对值三角不等式 3、几个著名不等式 ①平均不等式： ， ，当且仅当 时取 号）. （即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均）. 变形公式： ②幂平均不等式： ③二维形式的三角不等式： ④二维形式的柯西不等式： 当且仅当 时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式： ⑥一般形式的柯西不等式： ⑦向量形式的柯西不等式： 设 是两个向量，则 当且仅当 是零向量，或存在实数 ，使 时，等号成立. ⑧排序不等式（排序原理）： 设 为 两 组 实 数 . 是 的 任 一 排 列 ， 则 （反序和 乱序和 顺序和），当且仅当 或 时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数） 若定义在某区间上的函数 ,对于定义域中任意两点 有 则称 f(x)为凸（或凹）函数. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法； 2 2 .x a x a a x a< ⇔ < ⇔ − < < .a b a b a b− ≤ ± ≤ + 2 2 1 1 2 2 2 a b a baba b− − + +≤ ≤ ≤+ ,a b R+∈（ a b= " "= ≤ ≤ ≤ 2 2 2 ;2 2 a b a bab + + ≤ ≤   2 2 2 ( ) .2 a ba b ++ ≥ 2 2 2 2 1 2 1 2 1... ( ... ) .n na a a a a an + + + ≥ + + + 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )x y x y x x y y+ + + ≥ − + − 1 1 2 2( , , , ).x y x y R∈ 2 2 2 2 2( )( ) ( ) ( , , , ).a b c d ac bd a b c d R+ + ≥ + ∈ ad bc= 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( )( ) ( ) .a a a b b b a b a b a b+ + + + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2( ... )( ... )n na a a b b b+ + + + + + 2 1 1 2 2( ... ) .n na b a b a b≥ + + + ,α β  ,α β α β⋅ ≤    β k kα β=  1 2 1 2... , ...n na a a b b b≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 1 2, ,..., nc c c 1 2, ,..., nb b b 1 2 1 1 1 1 2 2... ...n n n n na b a b a b a c a c a c−+ + + ≤ + + + 1 1 2 2 ... .n na b a b a b≤ + + + ≤ ≤ 1 2 ... na a a= = = 1 2 ... nb b b= = = ( )f x 1 2 1 2, ( ),x x x x≠ 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .2 2 2 2 x x f x f x x x f x f xf f + + + +≤ ≥或第 - 74 - 页 共 104 页 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如 ②将分子或分母放大（缩小）， 如 等. 5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 （ 时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴ ⑵ ⑶ 2 21 3 1( ) ( ) ;2 4 2a a+ + > + 2 1 1 ,( 1)k k k < − 2 1 1 ,( 1)k k k > + 2 2 1 2 , 2 1k k k k k k = ⇒ < + + − *1 2 ( , 1) 1 k N k k k k > ∈ > + + 2 0( 0)ax bx c+ + > ( ) 0 ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) 0( ) f x f x g xg x f x g xf x g xg x > ⇔ ⋅ > ⋅ ≥≥ ⇔  ≠ < ≤“ 或 ” 2 ( ) 0( ) ( 0) ( ) f xf x a a f x a ≥> > ⇔  > 2 ( ) 0( ) ( 0) ( ) f xf x a a f x a ≥< > ⇔   ≥> ⇔ ≥   或第 - 75 - 页 共 104 页 ⑷ ⑸ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当 时, ⑵当 时, 规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 ⑴当 时, ⑵当 时, 规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法： ⑵平方法： ⑶同解变形法，其同解定理有： ① ② ③ ④ 规律：关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] f x f x g x g x f x g x ≥ < ⇔ >  ⇔ ≥  > 1a > ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ > 0 1a< < ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ < 1a > ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  > 0 1a< < ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 . ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  0a = 0, 0;b c⇒ = > 0a ≠ 0 0. a >⇒ ∆ ( 0)< 0Ax By C+ + > ( 0)< B 0Ax By C+ + > ( 0)< z Ax By= + ( ,A B第 - 77 - 页 共 104 页 如果目标函数 （ 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共 区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应 值，最大的那个数为目标函数 的最 大值，最小的那个数为目标函数 的最小值 法二：画——移——定——求： 第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 ，平移直线 （据可行域，将直线 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解 ；第四步，将最优解 代入目标函数 即可 求出最大值或最小值 . 第二步中最优解的确定方法： 利用 的几何意义： , 为直线的纵截距. ①若 则使目标函数 所表示直线的纵截距最大的角点处， 取得最大值，使直线的纵截距最小 的角点处， 取得最小值； ②若 则使目标函数 所表示直线的纵截距最大的角点处， 取得最小值，使直线的纵截距最小 的角点处， 取得最大值. ⑷常见的目标函数的类型： ①“截距”型： ②“斜率”型： 或 ③“距离”型： 或 或 在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化. 附：高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 , . 2.德摩根公式 . 3.包含关系 4.容斥原理 . 5．集合 的子集个数共有 个；真子集有 –1 个；非空子集有 –1 个；非空的真子集有 z Ax By= + x y、 z z z 0 : 0l Ax By+ = 0l 0l ( , )x y ( , )x y z Ax By= + z A zy xB B = − + z B 0,B > z Ax By= + z z 0,B < z Ax By= + z z ;z Ax By= + yz x = ;y bz x a −= − 2 2z x y= + 2 2 ;z x y= + 2 2( ) ( )z x a y b= − + − 2 2( ) ( ) .z x a y b= − + − Ux A x C A∈ ⇔ ∉ Ux C A x A∈ ⇔ ∉ ( ) ; ( )U U U U U UC A B C A C B C A B C A C B= =    A B A A B B= ⇔ =  U UA B C B C A⇔ ⊆ ⇔ ⊆ UA C B⇔ = Φ UC A B R⇔ = ( ) ( )card A B cardA cardB card A B= + −  ( ) ( )card A B C cardA cardB cardC card A B= + + −   ( ) ( ) ( ) ( )card A B card B C card C A card A B C− − − +     1 2{ , , , }na a a 2n 2n 2n第 - 78 - 页 共 104 页 –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 ; (2)顶点式 ; (3)零点式 . 7.解连不等式 常有以下转化形式 . 8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一个必要而不是 充分条件.特别地, 方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ,或 且 ,或 且 . 9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两端点处取得，具 体如下： (1)当 a>0 时，若 ，则 ； ， ， . (2) 当 a− ⇔ 1 1 ( )f x N M N >− − 0)( =xf ),( 21 kk 0)()( 21  2 0 4 0 a b ac − −第 - 80 - 页 共 104 页 上是减函数. (2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果 ，则 为减 函数. 17.如果函数 和 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 也是减函数; 如果函数 和 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 是增函数. 18．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那 么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 19. 若 函 数 是 偶 函 数 ， 则 ； 若 函 数 是 偶 函 数 ， 则 . 20.对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是函数 ;两 个函数 与 的图象关于直线 对称. 21. 若 , 则 函 数 的 图 象 关 于 点 对 称 ; 若 , 则 函 数 为周期为 的周期函数. 22．多项式函数 的奇偶性 多项式函数 是奇函数 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 的图象的对称性 (1)函数 的图象关于直线 对称 . (2)函数 的图象关于直线 对称 . 24.两个函数图象的对称性 (1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称. (2)函数 与函数 的图象关于直线 对称. (3)函数 和 的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图象；若将曲线 的图象右移 、上移 个单位，得到曲线 的图象. 26．互为反函数的两个函数的关系 . 27.若函数 存在反函数,则其反函数为 ,并不是 ,而函数 是 的反函数. 28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 , . (2)指数函数 , . (3)对数函数 , . (4)幂函数 , . [ ]baxfxx xfxf ,)(0)()( 21 21 在⇔′ xf )(xf 0)( ≠ ( )f x xα= '( ) ( ) ( ), (1)f xy f x f y f α= = [ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x− − < ⇔第 - 81 - 页 共 104 页 (5)余弦函数 ,正弦函数 ， ， . 29.几个函数方程的周期(约定 a>0) （1） ，则 的周期 T=a； （2） ， 或 ， 或 , 或 ,则 的周期 T=2a； (3) ，则 的周期 T=3a； (4) 且 ，则 的周期 T=4a； (5) ,则 的周期 T=5a； (6) ，则 的周期 T=6a. 30.分数指数幂 (1) （ ，且 ）. (2) （ ，且 ）. 31．根式的性质 （1） . （2）当 为奇数时， ； 当 为偶数时， . 32．有理指数幂的运算性质 (1) . (2) . (3) . 注： 若 a＞0，p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数 幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 . 34.对数的换底公式 ( ,且 , ,且 , ). 推论 ( ,且 , ,且 , , ). 35．对数的四则运算法则 若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 ( ) cosf x x= ( ) sing x x= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y g x g y− = + 0 ( )(0) 1,lim 1 x g xf x→ = = )()( axfxf += )(xf 0)()( =+= axfxf )0)(()( 1)( ≠=+ xfxfaxf 1( ) ( )f x a f x + =− ( ( ) 0)f x ≠ [ ]21 ( ) ( ) ( ),( ( ) 0,1 )2 f x f x f x a f x+ − = + ∈ )(xf )0)(()( 11)( ≠+−= xfaxfxf )(xf )()(1 )()()( 21 21 21 xfxf xfxfxxf − +=+ 1 2 1 2( ) 1( ( ) ( ) 1,0 | | 2 )f a f x f x x x a= ⋅ ≠ < − < )(xf ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a+ + + + + + + ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a= + + + + )(xf )()()( axfxfaxf +−=+ )(xf 1m n n m a a = 0, ,a m n N ∗> ∈ 1n > 1m n m n a a − = 0, ,a m n N ∗> ∈ 1n > ( )nn a a= n n na a= n , 0| | , 0 n n a aa a a a ≥= = − ∈ ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s Q= > ∈ ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r Q= > > ∈ log b a N b a N= ⇔ = ( 0, 1, 0)a a N> ≠ > loglog log m a m NN a = 0a > 1a ≠ 0m > 1m ≠ 0N > log logm n aa nb bm = 0a > 1a > , 0m n > 1m ≠ 1n ≠ 0N >第 - 82 - 页 共 104 页 (1) ; (2) ; (3) . 36.设函数 ,记 .若 的定义域为 ,则 ，且 ; 若 的值域为 ,则 ，且 .对于 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 若 , , , ,则函数 (1)当 时,在 和 上 为增函数. ， (2)当 时,在 和 上 为减函数. 推论:设 ， ， ，且 ，则 （1） . （2） . 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 ，则对于时间 的总产值 ，有 . 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系 ( 数列 的前 n 项的和为 ). 40.等差数列的通项公式 ； 其前 n 项和公式为 . 41.等比数列的通项公式 ； 其前 n 项的和公式为 或 . 42.等比差数列 : 的通项公式为 log ( ) log loga a aMN M N= + log log loga a a M M NN = − log log ( )n a aM n M n R= ∈ )0)((log)( 2 ≠++= acbxaxxf m acb 42 −=∆ )(xf R 0>a 0a 0≥∆ 0=a 0a > 0b > 0x > 1x a ≠ log ( )axy bx= a b> 1(0, )a 1( , )a +∞ log ( )axy bx= a b< 1(0, )a 1( , )a +∞ log ( )axy bx= 1n m> > 0p > 0a > 1a ≠ log ( ) logm p mn p n+ + < 2log log log 2a a a m nm n +< p x y (1 )xy N p= + 1 1 , 1 , 2n n n s na s s n− ==  − ≥ { }na 1 2n ns a a a= + + + * 1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N= + − = + − ∈ 1( ) 2 n n n a as += 1 ( 1) 2 n nna d −= + 2 1 1( )2 2 d n a d n= + − 1 *1 1 ( )n n n aa a q q n Nq −= = ⋅ ∈ 1 1 (1 ) , 11 , 1 n n a q qs q na q  − ≠= −  = 1 1 , 11 , 1 n n a a q qqs na q − ≠ −=   = { }na 1 1, ( 0)n na qa d a b q+ = + = ≠第 - 83 - 页 共 104 页 ； 其前 n 项和公式为 . 43.分期付款(按揭贷款) 每次还款 元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ). 44．常见三角不等式 （1）若 ，则 . (2) 若 ，则 . (3) . 45.同角三角函数的基本关系式 ， = ， . 46.正弦、余弦的诱导公式 47.和角与差角公式 ; ; . (平方正弦公式); . = (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ). 48.二倍角公式 . . . 49. 三倍角公式 . 1 ( 1) , 1 ( ) , 11 n n n b n d q a bq d b q d qq − + − = = + − − ≠ − ( 1) ,( 1) 1( ) ,( 1)1 1 1 n n nb n n d q s d q db n qq q q + − = = − − + ≠ − − − (1 ) (1 ) 1 n n ab bx b += + − a n b (0, )2x π∈ sin tanx x x< < (0, )2x π∈ 1 sin cos 2x x< + ≤ | sin | | cos | 1x x+ ≥ 2 2sin cos 1θ θ+ = tanθ θ θ cos sin tan 1cotθ θ⋅ = 2 1 2 ( 1) sin ,sin( )2 ( 1) s , n n n co απ α α −  −+ =   − 2 1 2 ( 1) s ,s( )2 ( 1) sin , n n conco απ α α +  −+ =   − sin( ) sin cos cos sinα β α β α β± = ± cos( ) cos cos sin sinα β α β α β± =  tan tantan( ) 1 tan tan α βα β α β ±± =  2 2sin( )sin( ) sin sinα β α β α β+ − = − 2 2cos( )cos( ) cos sinα β α β α β+ − = − sin cosa bα α+ 2 2 sin( )a b α ϕ+ + ϕ ( , )a b tan b a ϕ = sin 2 sin cosα α α= 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinα α α α α= − = − = − 2 2tantan 2 1 tan αα α= − 3sin3 3sin 4sin 4sin sin( )sin( )3 3 π πθ θ θ θ θ θ= − = − + (n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)第 - 84 - 页 共 104 页 . . 50.三角函数的周期公式 函数 ，x∈R 及函数 ，x∈R(A,ω, 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期 ； 函数 ， (A,ω, 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期 . 51.正弦定理 . 52.余弦定理 ; ; . 53.面积定理 （1） （ 分别表示 a、b、c 边上的高）. （2） . (3) . 54.三角形内角和定理 在△ABC 中，有 . 55. 简单的三角方程的通解 . . . 特别地,有 . . . 56.最简单的三角不等式及其解集 . . . . . . 57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 3cos3 4cos 3cos 4cos cos( )cos( )3 3 π πθ θ θ θ θ θ= − = − + 3 2 3tan tantan3 tan tan( ) tan( )1 3tan 3 3 θ θ π πθ θ θ θθ −= = − +− sin( )y xω ϕ= + cos( )y xω ϕ= + ϕ 2T π ω= tan( )y xω ϕ= + ,2x k k Z ππ≠ + ∈ ϕ T π ω= 2sin sin sin a b c RA B C = = = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 2 cosb c a ca B= + − 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 1 1 1 2 2 2a b cS ah bh ch= = = a b ch h h、 、 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B= = = 2 21 (| | | |) ( )2OABS OA OB OA OB∆ = ⋅ − ⋅    ( )A B C C A Bπ π+ + = ⇔ = − + 2 2 2 C A Bπ +⇔ = − 2 2 2( )C A Bπ⇔ = − + sin ( 1) arcsin ( ,| | 1)kx a x k a k Z aπ= ⇔ = + − ∈ ≤ s 2 arccos ( ,| | 1)co x a x k a k Z aπ= ⇔ = ± ∈ ≤ tan arctan ( , )x a x k a k Z a Rπ= ⇒ = + ∈ ∈ sin sin ( 1) ( )kk k Zα β α π β= ⇔ = + − ∈ s cos 2 ( )co k k Zα β α π β= ⇔ = ± ∈ tan tan ( )k k Zα β α π β= ⇒ = + ∈ sin (| | 1) (2 arcsin ,2 arcsin ),x a a x k a k a k Zπ π π> ≤ ⇔ ∈ + + − ∈ sin (| | 1) (2 arcsin ,2 arcsin ),x a a x k a k a k Zπ π π< ≤ ⇔ ∈ − − + ∈ cos (| | 1) (2 arccos ,2 arccos ),x a a x k a k a k Zπ π> ≤ ⇔ ∈ − + ∈ cos (| | 1) (2 arccos ,2 2 arccos ),x a a x k a k a k Zπ π π< ≤ ⇔ ∈ + + − ∈ tan ( ) ( arctan , ),2x a a R x k a k k Z ππ π> ∈ ⇒ ∈ + + ∈ tan ( ) ( , arctan ),2x a a R x k k a k Z ππ π< ∈ ⇒ ∈ − + ∈第 - 85 - 页 共 104 页 (1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（ a）·b= （a·b）= a·b= a·（ b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ 2，使得 a=λ1e1+λ2e2． 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示 设 a= ,b= ，且 b 0，则 a b(b 0) . 53. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ,b= ，则 a+b= . (2)设 a= ,b= ，则 a-b= . (3)设 A ，B ,则 . (4)设 a= ，则 a= . (5)设 a= ,b= ，则 a·b= . 63.两向量的夹角公式 (a= ,b= ). 64.平面两点间的距离公式 = (A ，B ). 65.向量的平行与垂直 设 a= ,b= ，且 b 0，则 A||b b=λa . a b(a 0) a·b=0 . 66.线段的定比分公式 设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且 ，则 （ ）. 67.三角形的重心坐标公式 △ ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 、 、 , 则 △ ABC 的 重 心 的 坐 标 是 . 68.点的平移公式 λ λ λ λ 1 1( , )x y 2 2( , )x y ≠  ≠ 1 2 2 1 0x y x y⇔ − = 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( , )x x y y+ + 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( , )x x y y− − 1 1( , )x y 2 2( , )x y 2 1 2 1( , )AB OB OA x x y y= − = − −   ( , ),x y Rλ ∈ λ ( , )x yλ λ 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( )x x y y+ 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y y x y x y θ += + ⋅ + 1 1( , )x y 2 2( , )x y ,A Bd | |AB AB AB= ⋅   2 2 2 1 2 1( ) ( )x x y y= − + − 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 1( , )x y 2 2( , )x y ≠ ⇔ 1 2 2 1 0x y x y⇔ − = ⊥ ≠ ⇔ 1 2 1 2 0x x y y⇔ + = 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y ( , )P x y 1 2PP λ 1 2PP PPλ=  1 2 1 2 1 1 x xx y yy λ λ λ λ + = + + = + ⇔ 1 2 1 OP OPOP λ λ += +   ⇔ 1 2(1 )OP tOP t OP= + −   1 1t λ= + 1 1A(x ,y ) 2 2B(x ,y ) 3 3C(x ,y ) 1 2 3 1 2 3( , )3 3 x x x y y yG + + + +第 - 86 - 页 共 104 页 . 注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形 上的对应点为 ，且 的坐标为 . 69.“按向量平移”的几个结论 （1）点 按向量 a= 平移后得到点 . (2) 函数 的图象 按向量 a= 平移后得到图象 ,则 的函数解析式为 . (3) 图 象 按 向 量 a= 平 移 后 得 到 图 象 , 若 的 解 析 式 , 则 的 函 数 解 析 式 为 . (4)曲线 : 按向量 a= 平移后得到图象 ,则 的方程为 . (5) 向量 m= 按向量 a= 平移后得到的向量仍然为 m= . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则 （1） 为 的外心 . （2） 为 的重心 . （3） 为 的垂心 . （4） 为 的内心 . （5） 为 的 的旁心 . 71.常用不等式： （1） (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （2） (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （3） （4）柯西不等式 （5） . 72.极值定理 已知 都是正数，则有 （1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ； （2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 . 推广 已知 ，则有 （1）若积 是定值,则当 最大时, 最大； 当 最小时, 最小. （2）若和 是定值,则当 最大时, 最小； 当 最小时, 最大. 73.一元二次不等式 ，如果 与 同号，则其解 集在两根之外；如果 与 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. ； . 74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时，有 . ' ' ' ' x x h x x h y y k y y k  = + = − ⇔ = + = −   ' 'OP OP PP⇔ = +  'F ' ' '( , )P x y 'PP ( , )h k ( , )P x y ( , )h k ' ( , )P x h y k+ + ( )y f x= C ( , )h k 'C 'C ( )y f x h k= − + 'C ( , )h k C C ( )y f x= 'C ( )y f x h k= + − C ( , ) 0f x y = ( , )h k 'C 'C ( , ) 0f x h y k− − = ( , )x y ( , )h k ( , )x y O ABC∆ , ,A B C , ,a b c O ABC∆ 2 2 2 OA OB OC⇔ = =   O ABC∆ 0OA OB OC⇔ + + =    O ABC∆ OA OB OB OC OC OA⇔ ⋅ = ⋅ = ⋅      O ABC∆ 0aOA bOB cOC⇔ + + =    O ABC∆ A∠ aOA bOB cOC⇔ = +   ,a b R∈ ⇒ 2 2 2a b ab+ ≥ ,a b R+∈ ⇒ 2 a b ab + ≥ 3 3 3 3 ( 0, 0, 0).a b c abc a b c+ + ≥ > > > 2 2 2 2 2( )( ) ( ) , , , , .a b c d ac bd a b c d R+ + ≥ + ∈ bababa +≤+≤− yx, xy p yx = yx + p2 yx + s yx = xy 2 4 1 s Ryx ∈, xyyxyx 2)()( 22 +−=+ xy || yx − || yx + || yx − || yx + || yx + || yx − || xy || yx − || xy 2 0( 0)ax bx c+ + > a 2ax bx c+ + a 2ax bx c+ + 1 2 1 2 1 2( )( ) 0( )x x x x x x x x x< < ⇔ − − < < 1 2 1 2 1 2, ( )( ) 0( )x x x x x x x x x x< > ⇔ − − > ⇔ > x a< − ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x g x g x f x g x ≥ > ⇔ ≥  > 2 ( ) 0 ( ) 0( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0( ) [ ( )] f x f xf x g x g x g xf x g x ≥ ≥> ⇔ ≥   或 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] f x f x g x g x f x g x ≥ < ⇔ >  ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ > ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  > 0 1a< < ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ < ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x > > ⇔ >  0< : 0l Ax By C+ + = 0Ax By C+ + > 0< 0B ≠ B Ax By C+ + l B Ax By C+ + l 0B = A Ax By C+ + l A Ax By C+ + l 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + > 0< 1 1 1 2 2 2:( )( ) 0C A x B y C A x B y C+ + + + = 1 2 1 2 0A A B B ≠ 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + > 0< 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + > 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + < 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 2 2 4D E F+ −第 - 89 - 页 共 104 页 （3）圆的参数方程 . （4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是 、 ). 87. 圆系方程 (1)过点 , 的圆系方程是 ,其中 是直线 的方程,λ是待定的 系数． (2) 过 直 线 : 与 圆 : 的 交 点 的 圆 系 方 程 是 ,λ是待定的系数． (3) 过 圆 : 与 圆 : 的 交 点 的 圆 系 方 程 是 ,λ是待定的系数． 88.点与圆的位置关系 点 与圆 的位置关系有三种 若 ，则 点 在圆外; 点 在圆上; 点 在圆内. 89.直线与圆的位置关系 直线 与圆 的位置关系有三种: ; ; . 其中 . 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， ; ; ; ; . 91.圆的切线方程 (1)已知圆 ． ①若已知切点 在圆上，则切线只有一条，其方程是 . 当 圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为 ，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不 要漏掉平行于 y 轴的切线． ③斜率为 k 的切线方程可设为 ，再利用相切条件求 b，必有两条切线． (2)已知圆 ． ①过圆上的 点的切线方程为 ; cos sin x a r y b r θ θ = +  = + 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y− − + − − = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2( )( ) ( )( ) [( )( ) ( )( )] 0x x x x y y y y x x y y y y x xλ− − + − − + − − − − − = 1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( ) 0x x x x y y y y ax by cλ⇔ − − + − − + + + = 0ax by c+ + = AB l 0Ax By C+ + = C 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 2 2 ( ) 0x y Dx Ey F Ax By Cλ+ + + + + + + = 1C 2 2 1 1 1 0x y D x E y F+ + + + = 2C 2 2 2 2 2 0x y D x E y F+ + + + = 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2( ) 0x y D x E y F x y D x E y Fλ+ + + + + + + + + = 0 0( , )P x y 222 )()( rbyax =−+− 2 2 0 0( ) ( )d a x b y= − + − d r> ⇔ P d r= ⇔ P d r< ⇔ P 0=++ CByAx 222 )()( rbyax =−+− 0 相离rd 0=∆⇔⇔= 相切rd 0>∆⇔⇔< 相交rd 22 BA CBbAad + ++= dOO =21 条公切线外离 421 ⇔⇔+> rrd 条公切线外切 321 ⇔⇔+= rrd 条公切线相交 22121 ⇔⇔+ > )( 2 1 c axePF += )( 2 2 xc aePF −= 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ + < 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ + > 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 0 0( , )P x y 0 0 2 2 1x x y y a b + = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 0 0( , )P x y 0 0 2 2 1x x y y a b + = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 0Ax By C+ + = 2 2 2 2 2A a B b c+ = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 1 | ( ) |aPF e x c = + 2 2 | ( ) |aPF e xc = − 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ − > 0 0( , )P x y 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 0 0 2 2 1x y a b ⇔ − < 12 2 2 2 =− b y a x ⇒ 2 2 2 2 0x y a b − = ⇔ xa by ±= xa by ±= ⇔ 0=± b y a x ⇒ λ=− 2 2 2 2 b y a x 12 2 2 2 =− b y a x λ=− 2 2 2 2 b y a x 0>λ 0 > 0 0( , )P x y 0 0 2 2 1x x y y a b − = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 0 0( , )P x y第 - 91 - 页 共 104 页 . （3）双曲线 与直线 相切的条件是 . 100. 抛物线 的焦半径公式 抛物线 焦半径 . 过焦点弦长 . 101.抛物线 上的动点可设为 P 或 P ，其中 . 102. 二 次 函 数 的 图 象 是 抛 物 线 ： （ 1 ） 顶 点 坐 标 为 ；（2）焦点的坐标为 ；（3）准线方程是 . 103.抛物线的内外部 (1)点 在抛物线 的内部 . 点 在抛物线 的外部 . (2)点 在抛物线 的内部 . 点 在抛物线 的外部 . (3)点 在抛物线 的内部 . 点 在抛物线 的外部 . (4) 点 在抛物线 的内部 . 点 在抛物线 的外部 . 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 上一点 处的切线方程是 . （2）过抛物线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 . （3）抛物线 与直线 相切的条件是 . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 , 的交点的曲线系方程是 ( 为参数). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 ,其中 .当 时,表示椭 圆; 当 时,表示双曲线. 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 （弦端点 A ，由 方程 消去 y 得到 ， , 为直线 的倾斜角， 为直线的斜率）. 107.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线 关于点 成中心对称的曲线是 . （2）曲线 关于直线 成轴对称的曲线是 0 0 2 2 1x x y y a b − = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 0Ax By C+ + = 2 2 2 2 2A a B b c− = pxy 22 = 2 2 ( 0)y px p= > 0 2 pCF x= + pxxpxpxCD ++=+++= 2121 22 pxy 22 = ),2( 2   yp y 或)2,2( 2 ptptP ( , )x y  2 2y px=   2 2 2 4( )2 4 b ac by ax bx c a x a a −= + + = + + ( 0)a ≠ 24( , )2 4 b ac b a a −− 24 1( , )2 4 b ac b a a − +− 24 1 4 ac by a − −= 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)y px p= > 2 2 ( 0)y px p⇔ < > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)y px p= > 2 2 ( 0)y px p⇔ > > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)y px p= − > 2 2 ( 0)y px p⇔ < − > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)y px p= − > 2 2 ( 0)y px p⇔ > − > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)x py p= > 2 2 ( 0)x py p⇔ < > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)x py p= > 2 2 ( 0)x py p⇔ > > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)x py p= > 2 2 ( 0)x py p⇔ < > 0 0( , )P x y 2 2 ( 0)x py p= − > 2 2 ( 0)x py p⇔ > − > pxy 22 = 0 0( , )P x y 0 0( )y y p x x= + pxy 22 = 0 0( , )P x y 0 0( )y y p x x= + 2 2 ( 0)y px p= > 0Ax By C+ + = 2 2pB AC= 1( , ) 0f x y = 2 ( , ) 0f x y = 1 2( , ) ( , ) 0f x y f x yλ+ = λ 2 2 2 2 1x y a k b k + =− − 2 2max{ , }k a b< 2 2min{ , }k a b> 2 2 2 2min{ , } max{ , }a b k a b< < 2 2 1 2 1 2( ) ( )AB x x y y= − + − 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2(1 )( ) | | 1 tan | | 1 tAB k x x x x y y coα α= + − = − + = − + ),(),,( 2211 yxByx    = += 0)y,x(F bkxy 02 =++ cbxax 0∆ > α AB k ( , ) 0F x y = 0 0( , )P x y 0 0(2 - ,2 ) 0F x x y y− = ( , ) 0F x y = 0Ax By C+ + =第 - 92 - 页 共 104 页 . 108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 即得方程 ，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是 此方程得到. 109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a＋b=b＋a． (2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的 对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 )，a∥b 存在实数λ使 a=λb． 三点共线 . 、 共线且 不共线 且 不共线. 118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 存在实数对 ,使 ． 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( )( , ) 0A Ax By C B Ax By CF x yA B A B + + + +− − =+ + 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + = 0x x 2x 0y y 2y 0 0 2 x y xy+ xy 0 2 x x+ x 0 2 y y+ y 0 0 0 0 0 0 02 2 2 x y xy x x y yAx x B Cy y D E F + + ++ ⋅ + + ⋅ + ⋅ + = ⇔ P A B、 、 ⇔ ||AP AB ⇔ AP t AB=  ⇔ (1 )OP t OA tOB= − +   ||AB CD ⇔ AB CD AB CD、 ⇔ AB tCD=  AB CD、 ⇔ ,x y p ax by= +第 - 93 - 页 共 104 页 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 存在有序实数对 ,使 ， 或对空间任一定点 O，有序实数对 ，使 . 119.对空间任一点 和不共线的三点 A、B、C，满足 （ ），则当 时，对于空间任一点 ，总有 P、A、B、C 四点共面；当 时，若 平面 ABC，则 P、A、B、C 四点共面； 若 平面 ABC，则 P、A、B、C 四点不共面． 四点共面 与 、 共面 （ 平面 ABC）. 120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使 p＝xa＋yb ＋zc． 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使 . 121.射影公式 已知向量 =a 和轴 ，e 是 上与 同方向的单位向量.作 A 点在 上的射影 ，作 B 点在 上的射影 ， 则 〈a，e〉=a·e 122.向量的直角坐标运算 设 a＝ ，b＝ 则 (1)a＋b＝ ； (2)a－b＝ ； (3)λa＝ (λ∈R)； (4)a·b＝ ； 123.设 A ，B ，则 = . 124．空间的线线平行或垂直 设 ， ，则 ； . 125.夹角公式 设 a＝ ，b＝ ，则 cos〈a，b〉= . 推论 ，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角 四面体 中, 与 所成的角为 ,则 . 127．异面直线所成角 ⇔ ,x y MP xMA yMB= +   ,x y OP OM xMA yMB= + +    O OP xOA yOB zOC= + +    x y z k+ + = 1k = O 1k ≠ O∈ O∉ C A B、 、 、D ⇔ AD AB AC ⇔ AD xAB yAC= +   ⇔ (1 )OD x y OA xOB yOC= − − + +    O∉ OP xOA yOB zOC= + +    AB l l l l 'A l 'B ' ' | | cosA B AB=  1 2 3( , , )a a a 1 2 3( , , )b b b 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b+ + + 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b− − − 1 2 3( , , )a a aλ λ λ 1 1 2 2 3 3a b a b a b+ + 1 1 1( , , )x y z 2 2 2( , , )x y z AB OB OA= −   2 1 2 1 2 1( , , )x x y y z z− − − 1 1 1( , , )a x y z= 2 2 2( , , )b x y z= a b   ⇔ ( 0)a b bλ= ≠    ⇔ 1 2 1 2 1 2 x x y y z z λ λ λ =  =  = a b⊥  ⇔ 0a b⋅ =  ⇔ 1 2 1 2 1 2 0x x y y z z+ + = 1 2 3( , , )a a a 1 2 3( , , )b b b 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 a b a b a b a a a b b b + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3( ) ( )( )a b a b a b a a a b b b+ + ≤ + + + + ABCD AC BD θ 2 2 2 2| ( ) ( ) |cos 2 AB CD BC DA AC BD θ + − += ⋅ cos | cos , |a bθ =  第 - 94 - 页 共 104 页 = （其中 （ ）为异面直线 所成角， 分别表示异面直线 的方向向量） 128.直线 与平面所成角 ( 为平面 的法向量). 129.若 所在平面若 与过若 的平面 成的角 ,另两边 , 与平面 成的角分别是 、 , 为 的两个内角，则 . 特别地,当 时,有 . 130.若 所在平面若 与过若 的平面 成的角 ,另两边 , 与平面 成的角分别是 、 , 为 的两个内角，则 . 特别地,当 时,有 . 131.二面角 的平面角 或 （ ， 为平面 ， 的法向量）. 132.三余弦定理 设 AC 是α内的任一条直线，且 BC⊥AC，垂足为 C，又设 AO 与 AB 所成的角为 ，AB 与 AC 所成的角为 ， AO 与 AC 所成的角为 ．则 . 133. 三射线定理 若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 , ,与二面角的棱所成的角是θ， 则有 ; (当且仅当 时等号成立). 134.空间两点间的距离公式 若 A ，B ，则 = . 135.点 到直线 距离 (点 在直线 上，直线 的方向向量 a= ，向量 b= ). 136.异面直线间的距离 ( 是两异面直线，其公垂向量为 ， 分别是 上任一点， 为 间的距离). 137.点 到平面 的距离 （ 为平面 的法向量， 是经过面 的一条斜线， ）. 138.异面直线上两点距离公式 . 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 | || | | | | | x x y y z za b a b x y z x y z + +⋅ = ⋅ + + ⋅ + +     θ 0 90θ< ≤  a b, ,a b  a b, AB sin | || | AB marc AB m β ⋅=     m α ABC∆ β AB α θ AC BC α 1 θ 2 θ A B、 ABC∆ 2 2 2 2 2 1 2sin sin (sin sin )sinA Bθ θ θ+ = + 90ACB∠ =  2 2 2 1 2sin sin sinθ θ θ+ = ABC∆ β AB α θ AC BC α 1 θ 2 θ ' 'A B、 ABO∆ 2 2 2 ' 2 ' 2 1 2tan tan (sin sin ) tanA Bθ θ θ+ = + 90AOB∠ =  2 2 2 1 2sin sin sinθ θ θ+ = lα β− − cos | || | m narc m n θ ⋅=     cos | || | m narc m n π ⋅−     m n α β 1 θ 2 θ θ 1 2cos cos cosθ θ θ= ϕ 1 θ 2 θ 2 2 2 2 1 2 1 2sin sin sin sin 2sin sin cosϕ θ θ θ θ θ ϕ= + − 1 2 1 2| | 180 ( )θ θ ϕ θ θ− ≤ ≤ − + 90θ =  1 1 1( , , )x y z 2 2 2( , , )x y z ,A Bd | |AB AB AB= ⋅   2 2 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x y y z z= − + − + − Q l 2 21 (| || |) ( )| |h a b a ba = − ⋅ P l l PA PQ | | | | CD nd n ⋅=    1 2,l l n C D、 1 2,l l d 1 2,l l B α | | | | AB nd n ⋅=    n α AB α A α∈ 2 2 2 2 cosd h m n mn θ= + + 第 - 95 - 页 共 104 页 . （ ）. (两条异面直线 a、b 所成的角为θ，其公垂线段 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两点 E、F， , , ). 139.三个向量和的平方公式 140.长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 ，夹角分别为 ,则有 . （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理 . (平面多边形及其射影的面积分别是 、 ，它们所在平面所成锐二面角的为 ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 ,侧面积和体积分别是 和 ,它的直截面的周长和面积分别是 和 , 则 ① . ② . 143．作截面的依据 三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面 距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应 边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式) (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). （1） =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 的多边形，则面数 F 与棱数 E 的关系： ； （2）若每个顶点引出的棱数为 ，则顶点数 V 与棱数 E 的关系： . 146.球的半径是 R，则 其体积 , 其表面积 ． 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的 直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ,外接球的半径为 . 2 2 2 '2 cos ,d h m n mn EA AF= + + −   2 2 2 2 cosd h m n mn ϕ= + + − 'E AA Fϕ = − − 'AA 'A E m= AF n= EF d= 2 2 22( ) 2 2 2a b c a b c a b b c c a+ + = + + + ⋅ + ⋅ + ⋅            2 2 2 2 | | | | cos , 2 | | | | cos , 2 | | | | cos ,a b c a b a b b c b c c a c a= + + + ⋅ + ⋅ + ⋅               l 1 2 3l l l、 、 1 2 3 θ θ θ、 、 2 2 2 2 1 2 3l l l l= + + 2 2 2 1 2 3cos cos cos 1θ θ θ⇔ + + = 2 2 2 1 2 3sin sin sin 2θ θ θ⇔ + + = ' cos SS θ= S 'S θ l S斜棱柱侧 V斜棱柱 1c 1S 1S c l=斜棱柱侧 1V S l=斜棱柱 2V F E+ − = E n 1 2E nF= m 1 2E mV= 34 3V Rπ= 24S Rπ= a 6 12 a 6 4 a第 - 96 - 页 共 104 页 148．柱体、锥体的体积 （ 是柱体的底面积、 是柱体的高）. （ 是锥体的底面积、 是锥体的高）. 149.分类计数原理（加法原理） . 150.分步计数原理（乘法原理） . 151.排列数公式 = = .( ， ∈N*，且 )． 注:规定 . 152.排列恒等式 (1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） . (6) . 153.组合数公式 = = = ( ∈N*， ，且 ). 154.组合数的两个性质 (1) = ; (2) + = . 注:规定 . 155.组合恒等式 （1） ; （2） ; （3） ; （4） = ; （5） . (6) . (7) . (8) . 1 3V Sh=柱体 S h 1 3V Sh=锥体 S h 1 2 nN m m m= + + + 1 2 nN m m m= × × × m nA )1()1( +−− mnnn  ！ ！ )( mn n − n m m n≤ 1!0 = 1( 1)m m n nA n m A −= − + 1 m m n n nA An m −= − 1 1 m m n nA nA − −= 1 1 n n n n n nnA A A+ += − 1 1 m m m n n nA A mA − + = + 1! 2 2! 3 3! ! ( 1)! 1n n n+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ = + − m nC m n m m A A m mnnn ××× +−−   21 )1()1( ！！ ！ )( mnm n −⋅ n m N∈ m n≤ m nC mn nC − m nC 1−m nC m nC 1+ 10 =nC 11m m n n n mC Cm −− += 1 m m n n nC Cn m −= − 1 1 m m n n nC Cm − −= ∑ = n r r nC 0 n2 1 121 + +++ =++++ r n r n r r r r r r CCCCC  nn n r nnnn CCCCC 2210 =++++++  1420531 2 −+++=+++ n nnnnnn CCCCCC  1321 232 −=++++ nn nnnn nnCCCC 第 - 97 - 页 共 104 页 (9) . (10) . 156.排列数与组合数的关系 . 157．单条件排列 以下各条的大前提是从 个元素中取 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有 种；②某（特）元不在某位有 （补集思想） （着眼位 置） （着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴： 个元在固定位的排列有 种. ②浮动紧贴： 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有 k、h 个（ ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有 排列数有 种. （3）两组元素各相同的插空 个大球 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当 时，无解；当 时，有 种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有 m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为 . 158．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的 、 个物件等分给 个人，各得 件，其分配方法数共有 . （2）(平均分组无归属问题)将相异的 · 个物体等分为无记号或无顺序的 堆，其分配方法数共有 . （3）(非平均分组有归属问题)将相异的 个物体分给 个人，物件必须被分完，分别得 到 ， ， … ， 件 ， 且 ， ， … ， 这 个 数 彼 此 不 相 等 ， 则 其 分 配 方 法 数 共 有 . （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的 个物体分给 个人，物件必须被分完，分 别得到 ， ，…， 件，且 ， ，…， 这 个数中分别有 a、b、c、…个相等，则其分配方法数有 . （5）(非平均分组无归属问题)将相异的 个物体分为任意的 ， ，…， 件无记号 的 堆，且 ， ，…， 这 个数彼此不相等，则其分配方法数有 . （6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的 个物体分为任意的 ， ，…， 件无 记 号 的 堆 ， 且 ， ， … ， 这 个 数 中 分 别 有 a 、 b 、 c 、 … 个 相 等 ， 则 其 分 配 方 法 数 有 . r nm r n r mn r mn r m CCCCCCC + − =+++ 0110  n n n nnnn CCCCC 2 2222120 )()()()( =++++  m m n nA m C= ⋅！ n m 1 1 − − m nA 1 1 − −− m n m n AA 1 1 1 1 − −−= m nn AA 1 1 1 11 − −−− += m nm m n AAA )( nmkk ≤≤ km kn k k AA − − n k k kn kn AA 1 1 +− +− 1+≤ hk k h h h AA 1+ m n 1+> mn 1+≤ mn n mn n n m CA A 1 1 + + = n nmC + m n m n m n n n n n nmn n nmn n mn n mnCCCCCN )!( )!( 22 =⋅⋅⋅⋅⋅= −−  m n m m n n n n n nmn n nmn n mn nm mn m CCCCCN )!(! )!( ! ... 22 =⋅⋅⋅⋅= −− )1 2 mP(P=n +n + +n m 1n 2n mn 1n 2n mn m !!...! !!!... 21 2 1 1 m n n n np n p nnn mpmCCCN m m =⋅⋅= − )1 2 mP(P=n +n + +n m 1n 2n mn 1n 2n mn m !...!! !...2 1 1 cba mCCCN m m n n n np n p ⋅⋅= − 1 2 ! ! ! !... !( ! ! !...)m p m n n n a b c = )1 2 mP(P=n +n + +n 1n 2n mn m 1n 2n mn m !!...! ! 21 mnnn pN = )1 2 mP(P=n +n + +n 1n 2n mn m 1n 2n mn m !...)!!(!!...! ! 21 cbannn pN m =第 - 98 - 页 共 104 页 （7）(限定分组有归属问题)将相异的 （ ）个物体分给甲、乙、丙，……等 个人，物 体必须被分完，如果指定甲得 件，乙得 件，丙得 件，…时，则无论 ， ，…， 等 个数是否全相 异或不全相异其分配方法数恒有 . 159．“错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信 封信与 个信封全部错位的组合数为 . 推广: 个元素与 个位置,其中至少有 个元素错位的不同组合总数为 . 160．不定方程 的解的个数 (1)方程 （ ）的正整数解有 个. (2) 方程 （ ）的非负整数解有 个. (3) 方 程 （ ） 满 足 条 件 ( , ) 的 非 负 整 数 解 有 个. (4) 方 程 （ ） 满 足 条 件 ( , ) 的 正 整 数 解 有 个. 161.二项式定理 ; 二项展开式的通项公式 . 162.等可能性事件的概率 . 163.互斥事件 A，B 分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 164. 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 165.独立事件 A，B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 168.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1） ; （2） . 169.数学期望 p 2 mp n n n= 1+ + + m 1n 2n 3n 1n 2n mn m !!...! !... 21 2 1 1 m n n n np n p nnn pCCCN m m =⋅= − n n 1 1 1 1( ) ![ ( 1) ]2! 3! 4! ! nf n n n = − + − + − n n m 1 2 3 4( , ) ! ( 1)! ( 2)! ( 3)! ( 4)! ( 1) ( )! ( 1) ( )! m m m m p p m m m m f n m n C n C n C n C n C n p C n m = − − + − − − + − − + − − + + − −  1 2 3 4 1 2 2 4![1 ( 1) ( 1) ] p m p mm m m m m m p m n n n n n n C C C C C Cn A A A A A A = − + − + − + − + + −  2 nx x x m=1+ + + 2 nx x x m=1+ + + ,n m N ∗∈ 1 1 m nC − − 2 nx x x m=1+ + + ,n m N ∗∈ 1 1 n m nC + − − 2 nx x x m=1+ + + ,n m N ∗∈ ix k≥ k N ∗∈ 2 1i n≤ ≤ − 1 1 ( 2)( 1)m n n kC + − − − − 2 nx x x m=1+ + + ,n m N ∗∈ ix k≤ k N ∗∈ 2 1i n≤ ≤ − 1 2 2 2 2 3 2 1 ( 2) 1 1 1 2 1 2 2 1( 1)n m n m n k n m n k n m n k n n n n n nC C C C C C C+ − − + − − − + − − − + − − − − − − − −− + − + − nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba ++++++=+ −−−  222110)( rrnr nr baCT − + =1 )210( nr ，，， = ( ) mP A n = n ( ) (1 ) .k k n k n nP k C P P −= − 0( 1,2, )iP i≥ =  1 2 1P P+ + =第 - 99 - 页 共 104 页 170.数学期望的性质 （1） . （2）若 ～ ,则 . (3) 若 服从几何分布,且 ，则 . 171.方差 172.标准差 = . 173.方差的性质 (1) ； (2）若 ～ ，则 . (3) 若 服从几何分布,且 ，则 . 174.方差与期望的关系 . 175.正态分布密度函数 ，式中的实数μ， （ >0）是参数，分别表示个体的平均数与标 准差. 176.标准正态分布密度函数 . 177.对于 ，取值小于 x 的概率 . . 178.回归直线方程 ，其中 . 179.相关系数 . |r|≤1，且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小. 1 1 2 2 n nE x P x P x Pξ = + + + +  ( ) ( )E a b aE bξ ξ+ = + ξ ( , )B n p E npξ = ξ 1( ) ( , ) kP k g k p q pξ −= = = 1E p ξ = ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 2 2 n nD x E p x E p x E pξ ξ ξ ξ= − ⋅ + − ⋅ + + − ⋅ +  σξ ξD ( ) 2D a b a Dξ ξ+ = ξ ( , )B n p (1 )D np pξ = − ξ 1( ) ( , ) kP k g k p q pξ −= = = 2 qD p ξ = ( )22D E Eξ ξ ξ= − ( ) ( ) ( ) 2 2261 , , 2 6 x f x e x µ π −− = ∈ −∞ +∞ σ σ ( ) ( ) 2 21 , , 2 6 x f x e xπ −= ∈ −∞ +∞ 2( , )N µ σ ( ) xF x µ σ − = Φ   ( ) ( ) ( )12201 xxPxxPxxxP