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中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题
面积类
1．如图，已知抛物线经过点 A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B，C 重合），过 M 作 MN∥y 轴交抛物线于 N，若点 M
的横坐标为 m，请用 m 的代数式表示 MN 的长．
（3）在（2）的条件下，连接 NB、NC，是否存在 m，使△BNC 的面积最大？若存在，求
m 的值；若不存在，说明理由．
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专题：压轴题；数形结合．
分析：
（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）先利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，已知点 M 的横坐标，代入直线 BC、抛物
线的解析式中，可得到 M、N 点的坐标，N、M 纵坐标的差的绝对值即为 MN 的长．
（3）设 MN 交 x 轴于 D，那么△BNC 的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN
（OD+DB）=MN•OB，MN 的表达式在（2）中已求得，OB 的长易知，由此列出关于 S△
BNC、m 的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC 是否具有最大值．
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解答：
解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．
（2）设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，则有：
，
解得 ；
故直线 BC 的解析式：y=﹣x+3．
已知点 M 的横坐标为 m，MN∥y，则 M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴故 MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）如图；
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，
∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+ （0＜m＜3）；
∴当 m=时，△BNC 的面积最大，最大值为 ．
2．如图，抛物线 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C
点，已知 B 点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
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（3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时 M
点的坐标．
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专题：压轴题；转化思想．
分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将 B 点坐标代入解析式中即可．
（2）首先根据抛物线的解析式确定 A 点坐标，然后通过证明△ABC 是直角三角形来推导出
直径 AB 和圆心的位置，由此确定圆心坐标．
（3）△MBC 的面积可由 S△MBC=BC×h 表示，若要它的面积最大，需要使 h 取最大值，即
点 M 到直线 BC 的距离最大，若设一条平行于 BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且只
有一个交点时，该交点就是点 M．
解答：
解：（1）将 B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：
0=16a﹣×4﹣2，即：a=；
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．
（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4，
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即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC 为直角三角形，AB 为△ABC 外接圆的直径；
所以该外接圆的圆心为 AB 的中点，且坐标为：（，0）．
（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线 BC 的解析式为：y=x﹣2；
设直线 l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线 l 与抛物线只有一个交点时，
可列方程：
x+b=x2﹣x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；
∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即 b=﹣4；
∴直线 l：y=x﹣4．
所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点，有：
，解得： 即 M（2，﹣3）．
过 M 点作 MN⊥x 轴于 N，
S△BMC=S 梯形 OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．
平行四边形类
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3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A（3，0）、B（0，﹣3），点
P 是直线 AB 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，设点 P 的横坐标为 t．
（1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式．
（2）若点 P 在第四象限，连接 AM、BM，当线段 PM 最长时，求△ABM 的面积．
（3）是否存在这样的点 P，使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待
定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定．菁优网版权所有
专题：压轴题；存在型．
分析：
（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把 A（3，0）B（0，﹣3）分别代入
y=x2+mx+n 与 y=kx+b，得到关于 m、n 的两个方程组，解方程组即可；
（2）设点 P 的坐标是（t，t﹣3），则 M（t，t2﹣2t﹣3），用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐
标得到 PM 的长，即 PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值
得到
当 t=﹣ =时，PM 最长为 =，再利用三角形的面积公式利用 S△
ABM=S△BPM+S△APM 计算即可；
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（3）由 PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的
四边形为平行四边形，然后讨论：当 P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不
可能；当 P 在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当 P 在第三象限：
PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值．
解答：
解：（1）把 A（3，0）B（0，﹣3）代入 y=x2+mx+n，得
解得 ，所以抛物线的解析式是 y=x2﹣2x﹣3．
设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，
把 A（3，0）B（0，﹣3）代入 y=kx+b，得 ，解得 ，
所以直线 AB 的解析式是 y=x﹣3；
（2）设点 P 的坐标是（t，t﹣3），则 M（t，t2﹣2t﹣3），
因为 p 在第四象限，
所以 PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，
当 t=﹣ =时，二次函数的最大值，即 PM 最长值为 =，
则 S△ABM=S△BPM+S△APM= = ．
（3）存在，理由如下：
∵PM∥OB，
∴当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，
①当 P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能有 PM=3．
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②当 P 在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得 t1= ，t2=
（舍去），所以 P 点的横坐标是 ；
③当 P 在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得 t1= （舍去），t2= ，所
以 P 点的横坐标是 ．
所以 P 点的横坐标是 或 ．
4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A（0，1），B（2，0），O
（0，0），将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90°，得到△A′B′O．
（1）一抛物线经过点 A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点 P，使四边形 PB′A′B 的面积
是△A′B′O 面积 4 倍？若存在，请求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，试指出四边形 PB′A′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形 PB′A′B
的两条性质．
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专题：压轴题．
分析：
（1）利用旋转的性质得出 A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式
即可；
（2）利用 S 四边形 PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积
的 4 倍，得出一元二次方程，得出 P 点坐标即可；
（3）利用 P 点坐标以及 B 点坐标即可得出四边形 PB′A′B 为等腰梯形，利用等腰梯形性质
得出答案即可．
解答：
解：（1）△A′B′O 是由△ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90°得到的，
又 A（0，1），B（2，0），O（0，0），
∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．
方法一：
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），
∵抛物线经过点 A′、B′、B，
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∴ ，解得： ，∴满足条件的抛物线的解析式为 y=﹣x2+x+2．
方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）
将 B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），
解得：a=﹣1，
故满足条件的抛物线的解析式为 y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；
（2）∵P 为第一象限内抛物线上的一动点，
设 P（x，y），则 x＞0，y＞0，P 点坐标满足 y=﹣x2+x+2．
连接 PB，PO，PB′，
∴S 四边形 PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，
=×1×2+×2×x+×2×y，
=x+（﹣x2+x+2）+1，
=﹣x2+2x+3．
∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O 面积为：×1×2=1，
假设四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍，则
4=﹣x2+2x+3，
即 x2﹣2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
此时 y=﹣12+1+2=2，即 P（1，2）．
∴存在点 P（1，2），使四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍．
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（3）四边形 PB′A′B 为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意 2 个均可．
①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；
③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）
或用符号表示：
①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣（10 分）
5．如图，抛物线 y=x2﹣2x+c 的顶点 A 在直线 l：y=x﹣5 上．
（1）求抛物线顶点 A 的坐标；
（2）设抛物线与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C、D（C 点在 D 点的左侧），试判断△ABD
的形状；
（3）在直线 l 上是否存在一点 P，使以点 P、A、B、D 为顶点的四边形是平行四边形？若
存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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专题：压轴题；分类讨论．
分析：
（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点 A 的横坐标，然后代入直线 l 的
解析式中即可求出点 A 的坐标．
（2）由 A 点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点 B 的坐标．则 AB、AD、BD 三边
的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．
（3）若以点 P、A、B、D 为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB 为对角线、②AD 为
对角线两种情况讨论，即①AD PB、②AB PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系
列方程求出 P 点的坐标．
解答：
解：（1）∵顶点 A 的横坐标为 x=﹣ =1，且顶点 A 在 y=x﹣5 上，
∴当 x=1 时，y=1﹣5=﹣4，
∴A（1，﹣4）．
（2）△ABD 是直角三角形．
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将 A（1，﹣4）代入 y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，
∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）
当 y=0 时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3
∴C（﹣1，0），D（3，0），
BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，
BD2+AB2=AD2，
∴∠ABD=90°，即△ABD 是直角三角形．
（3）存在．
由题意知：直线 y=x﹣5 交 y 轴于点 E（0，﹣5），交 x 轴于点 F（5，0）
∴OE=OF=5，
又∵OB=OD=3
∴△OEF 与△OBD 都是等腰直角三角形
∴BD∥l，即 PA∥BD
则构成平行四边形只能是 PADB 或 PABD，如图，
过点 P 作 y 轴的垂线，过点 A 作 x 轴的垂线交过 P 且平行于 x 轴的直线于点 G．
设 P（x1，x1﹣5），则 G（1，x1﹣5）
则 PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|
PA=BD=3
由勾股定理得：
（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2 或 4
∴P（﹣2，﹣7）或 P（4，﹣1），
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存在点 P（﹣2，﹣7）或 P（4，﹣1）使以点 A、B、D、P 为顶点的四边形是平行四边
形．
周长类
6．如图，Rt△ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐
标原点，A、B 两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B，且
顶点在直线 x=上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把△ABO 沿 x 轴向右平移得到△DCE，点 A、B、O 的对应点分别是 D、C、E，当四
边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接 BD，已知对称轴上存在一点 P 使得△PBD 的周长最小，求出
P 点的坐标；
（4）在（2）、（3）的条件下，若点 M 是线段 OB 上的一个动点（点 M 与点 O、B 不重
合），过点 M 作∥BD 交 x 轴于点 N，连接 PM、PN，设 OM 的长为 t，△PMN 的面积为
S，求 S 和 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围，S 是否存在最大值？若存在，求
出最大值和此时 M 点的坐标；若不存在，说明理由．
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专题：压轴题．
分析：（1）根据抛物线 y= 经过点 B（0，4），以及顶点在直线 x=上，得出 b，
c 即可；
（2）根据菱形的性质得出 C、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性
质得出 x=5 或 2 时，y 的值即可．
（3）首先设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b，求出解析式，当 x=时，求出 y 即可；
（4）利用 MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出 ，得到 ON= ，进而表示出△
PMN 的面积，利用二次函数最值求出即可．
解答：
解：（1）∵抛物线 y= 经过点 B（0，4）∴c=4，
∵顶点在直线 x=上，∴﹣ =﹣ =，∴b=﹣ ；
∴所求函数关系式为 ；
（2）在 Rt△ABO 中，OA=3，OB=4，∴AB= ，
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∵四边形 ABCD 是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），
当 x=5 时，y= ，
当 x=2 时，y= ，
∴点 C 和点 D 都在所求抛物线上；
（3）设 CD 与对称轴交于点 P，则 P 为所求的点，
设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b，
则 ，解得： ，∴ ，
当 x=时，y= ，∴P（ ），
（4）∵MN∥BD，
∴△OMN∽△OBD，
∴ 即 得 ON= ，
设对称轴交 x 于点 F，
则 （PF+OM）•OF=（+t）× ，
∵ ，
S△PNF=×NF•PF=×（﹣t）×= ，
S= （﹣ ），
=﹣ （0＜t＜4），
a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S 存在最大值．
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由 S△PMN=﹣t2+ t=﹣（t﹣ ）2+ ，
∴当 t= 时，S 取最大值是 ，此时，点 M 的坐标为（0， ）．
等腰三角形类
7．如图，点 A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的位置．
（1）求点 B 的坐标；
（2）求经过点 A、O、B 的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三
角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
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（1）首先根据 OA 的旋转条件确定 B 点位置，然后过 B 做 x 轴的垂线，通过构建直角三角
形和 OB 的长（即 OA 长）确定 B 点的坐标．
（2）已知 O、A、B 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出 P 点的坐标，而 O、
B 坐标已知，可先表示出△OPB 三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP
三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的 P 点．
解答：
解：（1）如图，过 B 点作 BC⊥x 轴，垂足为 C，则∠BCO=90°，
∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4× =2 ，
∴点 B 的坐标为（﹣2，﹣2 ）；
（2）∵抛物线过原点 O 和点 A、B，∴可设抛物线解析式为 y=ax2+bx，
将 A（4，0），B（﹣2．﹣2 ）代入，得
，解得 ，∴此抛物线的解析式为 y=﹣ x2+ x
（3）存在，
如图，抛物线的对称轴是直线 x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为 D，设点 P 的坐标为（2，
y），
①若 OB=OP，
则 22+|y|2=42，解得 y=±2 ，
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第 18 页 共 43 页
当 y=2 时，在 Rt△POD 中，∠PDO=90°，sin∠POD= = ，
∴∠POD=60°，
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，
即 P、O、B 三点在同一直线上，
∴y=2 不符合题意，舍去，
∴点 P 的坐标为（2，﹣2 ）
②若 OB=PB，则 42+|y+2 |2=42，
解得 y=﹣2 ，
故点 P 的坐标为（2，﹣2 ），
③若 OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2 |2，
解得 y=﹣2 ，
故点 P 的坐标为（2，﹣2 ），
综上所述，符合条件的点 P 只有一个，其坐标为（2，﹣2 ），
8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴
上，且点 A（0，2），点 C（﹣1，0），如图所示：抛物线 y=ax2+ax﹣2 经过点 B．
（1）求点 B 的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
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（3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外），使△ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角
三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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专题：压轴题．
分析：
（1）根据题意，过点 B 作 BD⊥x 轴，垂足为 D；根据角的互余的关系，易得 B 到 x、y 轴
的距离，即 B 的坐标；
（2）根据抛物线过 B 点的坐标，可得 a 的值，进而可得其解析式；
（3）首先假设存在，分 A、C 是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答
案．
解答：
解：（1）过点 B 作 BD⊥x 轴，垂足为 D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，（1 分）
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，（2 分）
∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3 分）
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∴点 B 的坐标为（﹣3，1）；（4 分）
（2）抛物线 y=ax2+ax﹣2 经过点 B（﹣3，1），
则得到 1=9a﹣3a﹣2，（5 分）
解得 a=，
所以抛物线的解析式为 y=x2+x﹣2；（7 分）
（3）假设存在点 P，使得△ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形：
①若以点 C 为直角顶点；
则延长 BC 至点 P1，使得 P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8 分）
过点 P1 作 P1M⊥x 轴，
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，
∴△MP1C≌△DBC．（10 分）
∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点 P1（1，﹣1）；（11 分）
②若以点 A 为直角顶点；
则过点 A 作 AP2⊥CA，且使得 AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12 分）
过点 P2 作 P2N⊥y 轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13 分）
∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点 P2（2，1），（14 分）
经检验，点 P1（1，﹣1）与点 P2（2，1）都在抛物线 y=x2+x﹣2 上．（16 分）
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9．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且
点 A（0，2），点 C（1，0），如图所示，抛物线 y=ax2﹣ax﹣2 经过点 B．
（1）求点 B 的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外），使△ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角
三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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专题：代数几何综合题；压轴题．
分析：
（1）首先过点 B 作 BD⊥x 轴，垂足为 D，易证得△BDC≌△COA，即可得 BD=OC=1，
CD=OA=2，则可求得点 B 的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
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（3）分别从①以 AC 为直角边，点 C 为直角顶点，则延长 BC 至点 P1 使得 P1C=BC，得到
等腰直角三角形 ACP1，过点 P1 作 P1M⊥x 轴，②若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，
则过点 A 作 AP2⊥CA，且使得 AP2=AC，得到等腰直角三角形 ACP2，过点 P2 作 P2N⊥y
轴，③若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 AP3⊥CA，且使得 AP3=AC，得
到等腰直角三角形 ACP3，过点 P3 作 P3H⊥y 轴，去分析则可求得答案．
解答：
解：（1）过点 B 作 BD⊥x 轴，垂足为 D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BDC≌△COA，
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴点 B 的坐标为（3，1）；
（2）∵抛物线 y=ax2﹣ax﹣2 过点 B（3，1），
∴1=9a﹣3a﹣2，
解得：a=，
∴抛物线的解析式为 y=x2﹣x﹣2；
（3）假设存在点 P，使得△ACP 是等腰直角三角形，
①若以 AC 为直角边，点 C 为直角顶点，
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则延长 BC 至点 P1 使得 P1C=BC，得到等腰直角三角形 ACP1，过点 P1 作 P1M⊥x 轴，如
图（1），
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，
∴△MP1C≌△DBC，
∴CM=CD=2，P1M=BD=1，
∴P1（﹣1，﹣1），经检验点 P1 在抛物线 y=x2﹣x﹣2 上；
②若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 AP2⊥CA，且使得 AP2=AC，
得到等腰直角三角形 ACP2，过点 P2 作 P2N⊥y 轴，如图（2），
同理可证△AP2N≌△CAO，
∴NP2=OA=2，AN=OC=1，
∴P2（﹣2，1），经检验 P2（﹣2，1）也在抛物线 y=x2﹣x﹣2 上；
③若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点，则过点 A 作 AP3⊥CA，且使得 AP3=AC，
得到等腰直角三角形 ACP3，过点 P3 作 P3H⊥y 轴，如图（3），
同理可证△AP3H≌△CAO，
∴HP3=OA=2，AH=OC=1，
∴P3（2，3），经检验 P3（2，3）不在抛物线 y=x2﹣x﹣2 上；
故符合条件的点有 P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．
综合类
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10．如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 B（5，0），另一个交点为
A，且与 y 轴交于点 C（0，5）．
（1）求直线 BC 与抛物线的解析式；
（2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点，过点 M 作 MN∥y 轴交直线 BC 于点 N，
求 MN 的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点，
以 BC 为边作平行四边形 CBPQ，设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1，△ABN 的面积为 S2，
且 S1=6S2，求点 P 的坐标．
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专题：压轴题．
分析：（1）设直线 BC 的解析式为 y=mx+n，将 B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，
运用待定系数法即可求出直线 BC 的解析式；同理，将 B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标
代入 y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）MN 的长是直线 BC 的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于 MN 的长
和 M 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出 MN 的最大值；
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（3）先求出△ABN 的面积 S2=5，则 S1=6S2=30．再设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高
为 BD，根据平行四边形的面积公式得出 BD=3 ，过点 D 作直线 BC 的平行线，交抛物
线与点 P，交 x 轴于点 E，在直线 DE 上截取 PQ=BC，则四边形 CBPQ 为平行四边形．证
明△EBD 为等腰直角三角形，则 BE= BD=6，求出 E 的坐标为（﹣1，0），运用待定系数
法求出直线 PQ 的解析式为 y=﹣x﹣1，然后解方程组 ，即可求出点 P 的坐
标．
解答：
解：（1）设直线 BC 的解析式为 y=mx+n，
将 B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，
得 ，解得 ，所以直线 BC 的解析式为 y=﹣x+5；
将 B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入 y=x2+bx+c，
得 ，解得 ，所以抛物线的解析式为 y=x2﹣6x+5；
（2）设 M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则 N（x，﹣x+5），
∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+ ，
∴当 x=时，MN 有最大值 ；
（3）∵MN 取得最大值时，x=2.5，
∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即 N（2.5，2.5）．
解方程 x2﹣6x+5=0，得 x=1 或 5，
∴A（1，0），B（5，0），
∴AB=5﹣1=4，
∴△ABN 的面积 S2=×4×2.5=5，
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∴平行四边形 CBPQ 的面积 S1=6S2=30．
设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为 BD，则 BC⊥BD．
∵BC=5 ，
∴BC•BD=30，
∴BD=3 ．
过点 D 作直线 BC 的平行线，交抛物线与点 P，交 x 轴于点 E，在直线 DE 上截取 PQ=BC，
则四边形 CBPQ 为平行四边形．
∵BC⊥BD，∠OBC=45°，
∴∠EBD=45°，
∴△EBD 为等腰直角三角形，BE= BD=6，
∵B（5，0），
∴E（﹣1，0），
设直线 PQ 的解析式为 y=﹣x+t，
将 E（﹣1，0）代入，得 1+t=0，解得 t=﹣1
∴直线 PQ 的解析式为 y=﹣x﹣1．
解方程组 ，得 ， ，
∴点 P 的坐标为 P1（2，﹣3）（与点 D 重合）或 P2（3，﹣4）．
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11．如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点 C（0，1），顶点为 Q（2，3），点 D
在 x 轴正半轴上，且 OD=OC．
（1）求直线 CD 的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45°所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证：△
CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 P
点和 F 点移动过程中，△PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，
请说明理由．
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专题：压轴题．
分析：
（1）利用待定系数法求出直线解析式；
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）关键是证明△CEQ 与△CDO 均为等腰直角三角形；
（4）如答图②所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C′，作点 C 关于 x 轴的对称点 C″，连
接 C′C″，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则△PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴
对称的性质可知，△PCF 的周长等于线段 C′C″的长度．
利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF 的周长最小．
如答图③所示，利用勾股定理求出线段 C′C″的长度，即△PCF 周长的最小值．
解答：
解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D 点坐标为（1，0）．
设直线 CD 的解析式为 y=kx+b（k≠0），
将 C（0，1），D（1，0）代入得： ，
解得：b=1，k=﹣1，
∴直线 CD 的解析式为：y=﹣x+1．
（2）设抛物线的解析式为 y=a（x﹣2）2+3，
将 C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得 a= ．
∴y= （x﹣2）2+3= x2+2x+1．
（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，
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∵OC=OD，且 OC⊥OD，∴△OCD 为等腰直角三角形，∠ODC=45°，
∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x 轴，则点 C、E 关于对称轴（直线 x=2）对称，
∴点 E 的坐标为（4，1）．
如答图①所示，设对称轴（直线 x=2）与 CE 交于点 M，则 M（2，1），
∴ME=CM=QM=2，∴△QME 与△QMC 均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．
又∵△OCD 为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，
∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，
∴△CEQ∽△CDO．
（4）存在．
如答图②所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C′，作点 C 关于 x 轴的对称点 C″，连接 C′C
″，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则△PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的
性质可知，△PCF 的周长等于线段 C′C″的长度．
（证明如下：不妨在线段 OD 上取异于点 F 的任一点 F′，在线段 QE 上取异于点 P 的任一
点 P′，连接 F′C″，F′P′，P′C′．
由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；
而 F′C″+F′P′+P′C′是点 C′，C″之间的折线段，
由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，
即△P′CF′的周长大于△PCE 的周长．）
如答图③所示，连接 C′E，
∵C，C′关于直线 QE 对称，△QCE 为等腰直角三角形，
∴△QC′E 为等腰直角三角形，
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∴△CEC′为等腰直角三角形，
∴点 C′的坐标为（4，5）；
∵C，C″关于 x 轴对称，∴点 C″的坐标为（0，﹣1）．
过点 C′作 C′N⊥y 轴于点 N，则 NC′=4，NC″=4+1+1=6，
在 Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″= = = ．
综上所述，在 P 点和 F 点移动过程中，△PCF 的周长存在最小值，最小值为 ．
12．如图，抛物线与 x 轴交于 A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3），
设抛物线的顶点为 D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点 D 的坐标．
（2）试判断△BCD 的形状，并说明理由．
（3）探究坐标轴上是否存在点 P，使得以 P、A、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，
请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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专题：压轴题．
分析：
（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）利用勾股定理求得△BCD 的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；
（3）分 p 在 x 轴和 y 轴两种情况讨论，舍出 P 的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等
即可求解．
解答：
解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c
由抛物线与 y 轴交于点 C（0，3），可知 c=3．即抛物线的解析式为 y=ax2+bx+3．
把点 A（1，0）、点 B（﹣3，0）代入，得 解得 a=﹣1，b=﹣2
∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3．
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4
∴顶点 D 的坐标为（﹣1，4）；
（2）△BCD 是直角三角形．
理由如下：解法一：过点 D 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 E、F．
∵在 Rt△BOC 中，OB=3，OC=3，
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∴BC2=OB2+OC2=18
在 Rt△CDF 中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，
∴CD2=DF2+CF2=2
在 Rt△BDE 中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，
∴BD2=DE2+BE2=20
∴BC2+CD2=BD2
∴△BCD 为直角三角形．
解法二：过点 D 作 DF⊥y 轴于点 F．
在 Rt△BOC 中，∵OB=3，OC=3
∴OB=OC∴∠OCB=45°
∵在 Rt△CDF 中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1
∴DF=CF
∴∠DCF=45°
∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°
∴△BCD 为直角三角形．
（3）①△BCD 的三边， = =，又 =，故当 P 是原点 O 时，△ACP∽△DBC；
②当 AC 是直角边时，若 AC 与 CD 是对应边，设 P 的坐标是（0，a），则 PC=3﹣a， =
，即 = ，解得：a=﹣9，则 P 的坐标是（0，﹣9），三角形 ACP 不是直角三角
形，则△ACP∽△CBD 不成立；
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③当 AC 是直角边，若 AC 与 BC 是对应边时，设 P 的坐标是（0，b），则 PC=3﹣b，则
= ，即 = ，解得：b=﹣，故 P 是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD 一定成立；
④当 P 在 x 轴上时，AC 是直角边，P 一定在 B 的左侧，设 P 的坐标是（d，0）．
则 AP=1﹣d，当 AC 与 CD 是对应边时， = ，即 = ，解得：d=1﹣3 ，
此时，两个三角形不相似；
⑤当 P 在 x 轴上时，AC 是直角边，P 一定在 B 的左侧，设 P 的坐标是（e，0）．
则 AP=1﹣e，当 AC 与 DC 是对应边时， = ，即 = ，解得：e=﹣9，符合条
件．
总之，符合条件的点 P 的坐标为： ．
对应练习
13．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交
于点 C，其中 A 点的坐标是（1，0），C 点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点 D，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点 D
的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点 E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 AC 的下方，试求△ACE 的最大面
积及 E 点的坐标．
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分析：
（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）利用待定系数法求出直线 AC 的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线 AC
与对称轴的交点即为所求点 D；
（3）根据直线 AC 的解析式，设出过点 E 与 AC 平行的直线，然后与抛物线解析式联立消
掉 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用根的判别式△=0 时，△ACE 的面积最大，然后求出此
时与 AC 平行的直线，然后求出点 E 的坐标，并求出该直线与 x 轴的交点 F 的坐标，再求出
AF，再根据直线 l 与 x 轴的夹角为 45°求出两直线间的距离，再求出 AC 间的距离，然后利
用三角形的面积公式列式计算即可得解．
解答：
解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0），点 C（4，3），
∴ ，解得 ，所以，抛物线的解析式为 y=x2﹣4x+3；
（2）∵点 A、B 关于对称轴对称，
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∴点 D 为 AC 与对称轴的交点时△BCD 的周长最小，
设直线 AC 的解析式为 y=kx+b（k≠0），
则 ，解得 ，
所以，直线 AC 的解析式为 y=x﹣1，
∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线 x=2，
当 x=2 时，y=2﹣1=1，
∴抛物线对称轴上存在点 D（2，1），使△BCD 的周长最小；
（3）如图，设过点 E 与直线 AC 平行线的直线为 y=x+m，
联立 ，消掉 y 得，x2﹣5x+3﹣m=0，
△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，
即 m=﹣ 时，点 E 到 AC 的距离最大，△ACE 的面积最大，
此时 x=，y=﹣ =﹣，
∴点 E 的坐标为（，﹣），
设过点 E 的直线与 x 轴交点为 F，则 F（ ，0），
∴AF= ﹣1=，
∵直线 AC 的解析式为 y=x﹣1，
∴∠CAB=45°，
∴点 F 到 AC 的距离为× = ，
又∵AC= =3 ，
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∴△ACE 的最大面积=×3 × = ，此时 E 点坐标为（，﹣）．
14．如图，已知抛物线 y=﹣x2+bx+4 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，若已
知 A 点的坐标为 A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点 C 的坐标，连接 AC、BC 并求线段 BC 所在直线的解析式；
（3）试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件
的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
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分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式 x= 求出对称
轴方程；
（2）在抛物线解析式中，令 x=0，可求出点 C 坐标；令 y=0，可求出点 B 坐标．再利用
待定系数法求出直线 BD 的解析式；
（3）根据 ，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；
（4）本问为存在型问题．若△ACQ 为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，
逐一计算，避免漏解．
解答：
解：（1）∵抛物线 y=﹣x2+bx+4 的图象经过点 A（﹣2，0），
∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，
解得：b=，∴抛物线解析式为 y=﹣x2+x+4，
又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+ ，∴对称轴方程为：x=3．
（2）在 y=﹣x2+x+4 中，令 x=0，得 y=4，∴C（0，4）；
令 y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得 x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8 或 x=﹣2，
∴A（﹣2，0），B（8，0）．
设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，
把 B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：
，解得 k= ，b=4，
∴直线 BC 的解析式为：y= x+4．
（3）可判定△AOC∽△COB 成立．
理由如下：在△AOC 与△COB 中，
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∵OA=2，OC=4，OB=8，
∴ ，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB．
（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，
可设点 Q（3，t），则可求得：
AC= = = ，
AQ= = ，
CQ= = ．
i）当 AQ=CQ 时，
有 = ，
25+t2=t2﹣8t+16+9，
解得 t=0，
∴Q1（3，0）；
ii）当 AC=AQ 时，
有 = ，
t2=﹣5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ 不能构成等腰三角形；
iii）当 AC=CQ 时，
有 = ，
整理得：t2﹣8t+5=0，
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解得：t=4± ，
∴点 Q 坐标为：Q2（3，4+ ），Q3（3，4﹣ ）．
综上所述，存在点 Q，使△ACQ 为等腰三角形，点 Q 的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，
4+ ），Q3（3，4﹣ ）．
15．如图，在坐标系 xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，
2），抛物线 y=x2+bx﹣2 的图象过 C 点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线 l．当 l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等
的两部分？
（3）点 P 是抛物线上一动点，是否存在点 P，使四边形 PACB 为平行四边形？若存在，求
出 P 点坐标；若不存在，说明理由．
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专题：压轴题．
分析：
如解答图所示：
（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点 C 的坐标；然后利用点 C 的坐标求出抛物
线的解析式；
（2）首先求出直线 BC 与 AC 的解析式，设直线 l 与 BC、AC 交于点 E、F，则可求出 EF
的表达式；根据 S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线 l 的解析式；
（3）首先作出▱PACB，然后证明点 P 在抛物线上即可．
解答：
解：（1）如答图 1 所示，过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，则∠CAD+∠ACD=90°．
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．
∵在△AOB 与△CDA 中，
∴△AOB≌△CDA（ASA）．
∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（3，1）．
∵点 C（3，1）在抛物线 y=x2+bx﹣2 上，
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∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．
（2）在 Rt△AOB 中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB= ．
∴S△ABC=AB2=．
设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），
∴ ，
解得 k=﹣，b=2，
∴y=﹣x+2．
同理求得直线 AC 的解析式为：y=x﹣．
如答图 1 所示，
设直线 l 与 BC、AC 分别交于点 E、F，则 EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．
△CEF 中，EF 边上的高 h=OD﹣x=3﹣x．
由题意得：S△CEF=S△ABC，
即： EF•h=S△ABC，
∴（﹣x）•（3﹣x）=×，
整理得：（3﹣x）2=3，
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解得 x=3﹣ 或 x=3+ （不合题意，舍去），
∴当直线 l 解析式为 x=3﹣ 时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分．
（3）存在．
如答图 2 所示，
过点 C 作 CG⊥y 轴于点 G，则 CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．
过点 A 作 AP∥BC 交 y 轴于点 W，
∵四边形 ACBP 是平行四边形，
∴AP=BC，连接 BP，则四边形 PACB 为平行四边形．
过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H，
∵BC∥AP，
∴∠CBO=∠AWO，
∵PH∥WO，
∴∠APH=∠AWO，
∴∠CBG=∠APH，
在△PAH 和△BCG 中，
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∴△PAH≌△BCG（AAS），
∴PH=BG=1，AH=CG=3，
∴OH=AH﹣OA=2，
∴P（﹣2，1）．
抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣2，当 x=﹣2 时，y=1，即点 P 在抛物线上．
∴存在符合条件的点 P，点 P 的坐标为（﹣2，1）．
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