初中数学几何图形的辅助线添加方法大全

初中数学添加辅助线的方法汇总 作辅助线的基本方法 一：中点、中位线，延长线，平行线。 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等 于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目 的。 二：垂线、分角线，翻转全等连。 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转 180 度， 得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三：边边若相等，旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可 以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心” 和“无心”旋转两种。 四:造角、平、相似，和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造 两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一 线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。” 托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表） 五：两圆若相交，连心公共弦。 如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。 六：两圆相切、离，连心，公切线。 如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公 切线。 七：切线连直径，直角与半圆。 如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径， 半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。 如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆， 那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。 八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。 如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。 如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。 如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。 有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。 九：面积找底高，多边变三边。 如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线， 而两三角形的等底或等高是思考的关键。 如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。 另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为 “面积找底高，多边变三边”。 一．添辅助线有二种情况： 1 按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为 90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半 线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2 按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们 把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基 本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防 止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下： （1）平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线 （2）等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平 行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 （3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角 的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 （4）直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角 形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 （5）三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时 则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有 公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线 段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三 角形中位线基本图形。 （6）全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档 相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称 轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对 称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 （7）相似三角形： 相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重 叠在一直线上时（中点可看成比为 1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则 可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。 （8）特殊角直角三角形 当出现 30，45，60，135，150 度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用 45 角直角三角 形三边比为 1：1：√2；30 度角直角三角形三边比为 1：2：√3 进行证明 （9）半圆上的圆周角 出现直径与半圆上的点，添 90 度的圆周角；出现 90 度的圆周角则添它所对弦---直径；平面 几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。 二．基本图形的辅助线的画法 1.三角形问题添加辅助线方法 方法 1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过 这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。 方法 2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全 等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 方法 3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。 方法 4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓 截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。 2.平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添 辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形 问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： （1）连对角线或平移对角线： （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 （3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线 （4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。 （5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等. 3.梯形中常用辅助线的添法 梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题 化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线 有： （1）在梯形内部平移一腰。 （2）梯形外平移一腰 （3）梯形内平移两腰 （4）延长两腰 （5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线 （7）连接梯形一顶点及一腰的中点。 （8）过一腰的中点作另一腰的平行线。 （9）作中位线 当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥 梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。 4.圆中常用辅助线的添法 在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从 而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生 分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。 （1）见弦作弦心距 有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论 间的联系。 （2）见直径作圆周角 在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来 证明问题。 （3）见切线作半径 命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。 （4）两圆相切作公切线 对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有 关的角的关系。 （5）两圆相交作公共弦 对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆 周 角 或 圆 心 角 联 系 起 来 。 三角形中作辅助线的常用方法举例 一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来， 可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几 个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如： 例 1：已知如图 1-1：D、E 为△ABC 内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE ＋CE. 证明：（法一）将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N， 在△AMN 中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1） 在△BDM 中，MB＋MD＞BD； （2） 在△CEN 中，CN＋NE＞CE； （3） 由（1）＋（2）＋（3）得： AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC A B C D E NM 11−图 A B C D E FG 21−图（法二：）如图 1-2， 延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G， 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有： AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形两边之和大于第三边）（1） GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………（2） DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3） 由（1）＋（2）＋（3）得： AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。 二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出 来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三 角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外 角定理： 例如：如图 2-1：已知 D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC＞∠ BAC。 分析：因为∠BDC 与∠BAC 不在同一个三角形中， 没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角 形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于在内 A B C D E F G 12 −图角的位置； 证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时∠BDC 是△EDC 的外角， ∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC 证法二：连接 AD，并延长交 BC 于 F ∵∠BDF 是△ABD 的外角 ∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD ∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD 即：∠BDC＞∠BAC。 注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角 形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式 性质证明。 三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的 线段，构造全等三角形，如： 例如：如图 3-1：已知 AD 为△ABC 的中线，且∠ 1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。 分析：要证 BE＋CF＞EF ，可利用三角形三边关系 定理证明，须把 BE，CF，EF 移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠ 2，∠3＝∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边 A B CD E F N 13 −图 1 2 3 4相等，把 EN，FN，EF 移到同一个三角形中。 证明：在 DA 上截取 DN＝DB，连接 NE，NF，则 DN＝DC， 在△DBE 和△DNE 中： ∵ ∴△DBE≌△DNE （SAS） ∴BE＝NE（全等三角形对应边相等） 同理可得：CF＝NF 在△EFN 中 EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE＋CF＞EF。 注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段， 构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。 四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三 角形。 例如：如图 4-1：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证： BE＋CF＞EF 证明：延长 ED 至 M，使 DM=DE，连 接 CM，MF。在△BDE 和△CDM 中，    = ∠=∠ = )( )(21 )( 公共边 已知 辅助线的作法 EDED DBDN 14 −图 A B C D E F M 1 2 3 4∵ ∴△BDE≌△CDM （SAS） 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知） ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义） ∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90° ∴∠FDM＝∠EDF ＝90° 在△EDF 和△MDF 中 ∵ ∴△EDF≌△MDF （SAS） ∴EF＝MF （全等三角形对应边相等） ∵在△CMF 中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE＋CF＞EF 注：上题也可加倍 FD，证法同上。 注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线 段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。 五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。    = ∠=∠ = )( )(1 )( 辅助线的作法 对顶角相等 中点的定义 MDED CDM CDBD    = ∠=∠ = )( )( )( 公共边 已证 辅助线的作法 DFDF FDMEDF MDED例如：如图 5-1：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB＋AC＞2AD。 分析：要证 AB＋AC＞2AD，由图想到： AB＋BD＞AD,AC＋CD＞ AD，所以有 AB＋AC＋ BD＋CD＞AD＋AD ＝2AD，左边比要证结论多 BD＋CD，故不能 直接证出此题，而由 2AD 想到要构造 2AD，即 加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三 角形中去。 证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，则 AE＝2AD ∵AD 为△ABC 的中线 （已知） ∴BD＝CD （中线定义） 在△ACD 和△EBD 中 ∴△ACD≌△EBD （SAS） ∴BE＝CA（全等三角形对应边相等） ∵在△ABE 中有：AB＋BE＞AE（三角形两边 之和大于第三边） ∴AB＋AC＞2AD。 （常延长中线加倍，构造全等三角形）    = ∠=∠ = )( )( )( 辅助线的作法 对顶角相等 已证 EDAD EDBADC CDBD A B CD E 15 −图 A B CD E F 25 −图练习：已知△ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为 直角边各向形外作等腰直角三角形，如图 5-2， 求证 EF＝2AD。 六、截长补短法作辅助线。 例如：已知如图 6-1：在△ABC 中，AB＞ AC，∠1＝∠2，P 为 AD 上任一点。求证： AB－AC＞PB－PC。 分析：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用 三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小 于第三边，从而想到构造第三边 AB－AC，故可在 AB 上截取 AN 等 于 AC，得 AB－AC＝BN， 再连接 PN，则 PC＝PN，又在△PNB 中 ，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。 证明：（截长法） 在 AB 上截取 AN＝AC 连接 PN , 在△APN 和△APC 中 ∵ ∴△APN≌△APC （SAS） ∴PC＝PN （全等三角形对应边相等） ∵在△BPN 中，有 PB－PN＜BN （三角形两边之差小于第三边） ∴BP－PC＜AB－AC    = ∠=∠ = )( )(21 )( 公共边 已知 辅助线的作法 APAP ACAN A B CDN M P 16 −图 1 2证明：（补短法） 延长 AC 至 M，使 AM＝AB，连接 PM， 在△ABP 和△AMP 中 ∵ ∴△ABP≌△AMP （SAS） ∴PB＝PM （全等三角形对应边相等） 又∵在△PCM 中有：CM＞PM－PC(三角形两边之差小于第三 边) ∴AB－AC＞PB－PC。 七、延长已知边构造三角形： 例如：如图 7-1：已知 AC＝BD，AD⊥AC 于 A ，BC⊥BD 于 B， 求证：AD＝BC 分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有 AD，BC 的三角形全等，有几 种方案：△ADC 与△BCD，△AOD 与△BOC，△ABD 与△BAC，但根据 现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且 让此角作为两个三角形的公共角。 证明：分别延长 DA，CB，它们的延长交 于 E 点， ∵AD⊥AC BC⊥BD （已知）    = ∠=∠ = )( )(21 )( 公共边 已知 辅助线的作法 APAP AMAB A B CD E 17 −图 O ∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中 ∵ ∴△DBE≌△CAE （AAS） ∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED－EA＝EC－EB 即：AD＝BC。 （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件 。） 八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 例如：如图 8-1：AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD。 分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为 三角形来解决。 证明：连接 AC（或 BD） ∵AB∥CD AD∥BC （已知） ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等） 在△ABC 与△CDA 中    = ∠=∠ ∠=∠ )( )( )( 已知 已证 公共角 ACBD CAEDBE EE A B C D 18 −图 1 2 3 4 ∵ ∴△ABC≌△CDA （ASA） ∴AB＝CD（全等三角形对应边相等） 九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图 9-1：在 Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠ 2，CE⊥BD 的延长于 E 。求证：BD＝2CE 分析：要证 BD＝2CE，想到要构造线段 2CE，同时 CE 与∠ABC 的平分线垂直， 想到要将其延长。 证明：分别延长 BA，CE 交于点 F。 ∵BE⊥CF （已知） ∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义） 在△BEF 与△BEC 中， ∵ ∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE= CF （全等三角形对应边 相等）    ∠=∠ = ∠=∠ )(43 )( )(21 已证 公共边 已证 CAAC    ∠=∠ = ∠=∠ )( )( )(21 已证 公共边 已知 BECBEF BEBE 2 1 19 −图 D CB A E F 1 2 ∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知） ∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90° ∴∠BDA＝∠BFC 在△ABD 与△ACF 中 ∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴ BD＝2CE 十、连接已知点，构造全等三角形。 例如：已知：如图 10-1；AC、BD 相交于 O 点，且 AB＝DC，AC＝ BD，求证：∠A＝∠D。 分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO 和△DCO 全等， 而只有 AB＝DC 和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等， 只有另寻其它的三角形全等，由 AB＝DC，AC＝BD，若连接 BC， 则△ABC 和△DCB 全等，所以，证得∠A＝∠D。 证明：连接 BC，在△ABC 和△DCB 中 ∵    ∠=∠ ∠=∠ )( )( )( 已知＝ 已证 已证 ACAB BFCBDA CAFBAC    = = = )( )( )( 公共边 已知 已知 CBBC DBAC DCAB D CB A 110 −图 O ∴△ABC≌△DCB (SSS) ∴∠A＝∠D (全等三角形对应边相等) 十一、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图 11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。 分析：由 AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取 AD 的中点 N，连接 NB，NC ，再由 SAS 公理有△ABN≌△DCN，故 BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。 下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取 BC 的中点 M，连接 MN，则由 SSS 公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。 证明：取 AD ，BC 的中点 N 、M ，连接 NB，NM，NC。则 AN=DN，BM=CM，在△ABN 和△DCN 中 ∵ ∴△ABN≌△DCN （SAS） ∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、角相等） 在△NBM 与△NCM 中 ∵ ∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形对应角相等） ∴∠NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN 即∠ABC＝∠DCB。    = ∠=∠ = )( )( )( 已知 已知 辅助线的作法 DCAB DA DNAN    )( )( )( 公共边＝ 辅助线的作法＝ 已证＝ NMNM CMBM NCNB 111−图 D CB A M N巧求三角形中线段的比值 例 1. 如图 1，在△ABC 中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求 AF：FC。 解：过点 D 作 DG//AC，交 BF 于点 G 所以 DG：FC＝BD：BC 因为 BD：DC＝1：3 所以 BD：BC＝1： 4 即 DG：FC＝1：4，FC＝4DG 因为 DG：AF＝DE：AE 又因为 AE：ED＝ 2： 3 所以 DG：AF＝3：2 即 所以 AF：FC＝ ：4DG＝1：6 例 2. 如图 2，BC＝CD，AF＝FC，求 EF：FD 解：过点 C 作 CG//DE 交 AB 于点 G，则有 EF： GC＝AF：AC 因为 AF＝FC 所以 AF：AC＝1：2 即 EF：GC＝1：2， 因为 CG：DE＝BC：BD 又因为 BC＝CD 所以 BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 即 DE＝2GC因为 FD＝ED－EF＝ 所以 EF： FD＝ 小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条 件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的 线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！ 例 3. 如图 3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求 AF：FD。 解：过点 B 作 BG//AD，交 CE 延长线于点 G。 所以 DF：BG＝CD：CB 因为 BD：DC＝1：3 所以 CD：CB＝3： 4 即 DF：BG＝3：4， 因为 AF：BG＝AE：EB 又因为 AE：EB＝2：3 所以 AF：BG＝2：3 即 所以 AF：DF＝ 例 4. 如图 4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求 EF：FC。 解：过点 D 作 DG//CE，交 AB 于点 G 所以 EF：DG＝AF：AD 因为 AF＝FD 所以 AF：AD＝1：2 图 4 即 EF：DG＝1：2 因为 DG：CE＝BD：BC，又因为 BD：CD＝1：3， 所以 BD：BC ＝1：4 即 DG：CE＝1：4，CE＝4DG 因为 FC＝CE－EF＝ 所以 EF：FC＝ ＝1：7 练习： 1. 如图 5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求 AF：FB。 2. 如图 6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求 BF：FC。 答案：1、1：10； 2. 9：1初中几何辅助线 一 初中几何常见辅助线口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理 和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后 关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一 试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短 可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成 中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和 □。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上 中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行 成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换 少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆形 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心 半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线 仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理 要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角 等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分 线梦圆 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点 公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目 少困难。 注意点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转 去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结 方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多 也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 二 由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后 关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线 合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角 两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取 短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线； 其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形 和已知条件。与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这种 尝试与猜想是在一定的规律基本之上的， 希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想， 按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作 以介绍。 如图 1-1，∠AOC=∠BOC，如取 OE=OF，并连接 DE、DF，则 有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、 角相等创造了条件。 例1． 如图 1-2，AB//CD，BE 平分∠BCD，CE 平分∠BCD，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD。 分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等 三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段 的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长 法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等 于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明 延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条 线段相等，进而达到所证明的目的。 图1-1 O A B D E F C 图1-2 A D B C E F简证：在此题中可在长线段 BC 上截取 BF=AB ，再证明 CF=CD， 从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另 外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长 BE 与 CD 的延长线交 于一点来证明。自已试一试。 例2． 已 知 ： 如 图 1-3 ， AB=2AC ， ∠ BAD= ∠ CAD ， DA=DB，求证 DC⊥AC 分析：此题还是利用角平分线来构造全等三 角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问 题自已证明。 例3． 已知：如图 1-4，在△ABC 中，∠ C=2∠B,AD 平分∠BAC，求证：AB-AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线， 在证明中还要用到构造全等三角形，此题还 是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取 法来证明的，在长的线段上截取短的线段， 来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？ 练习 1． 已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD =AC 图1-3 A B C D E 图1-4 A B C D E2． 已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B，AE 平分∠CAB 交 BC 于 E，AB=2AC，求证：AE=2CE 3． 已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为 AD 上任一点。求证：BM-CM>AB-AC 4． 已知：D 是△ABC 的∠BAC 的外角的平分线 AD 上的任一 点，连接 DB、DC。求证：BD+CD>AB+AC。 （二）、角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边 距离相等的性质来证明问题。 例1． 如图 2-1，已知 AB>AD, ∠BAC=∠ FAC,CD=BC。 求证：∠ADC+∠B=180 分析：可由 C 向∠BAD 的两边作垂线。近而证∠ADC 与∠B 之和 为平角。 例2． 如图 2-2，在△ABC 中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠ CBD。 求证：BC=AB+AD 分 析 ： 过 D 作 DE ⊥ BC 于 E ， 则 AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。 图2-1 A B C D E F 图2-2 A B C D E此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。 例3． 已知如图 2-3，△ABC 的角平分线 BM、 CN 相交于点 P。求证：∠BAC 的平分线也经过点 P。 分析：连接 AP，证 AP 平分∠BAC 即可，也就是 证 P 到 AB、AC 的距离相等。 练习： 1．如图 2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//O A，PD⊥OA， 如果 PC=4，则 PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 2．已知在△ABC 中，∠C=90 ，AD 平分∠ CAB，CD=1.5,DB=2.5.求 AC。 3．已知：如图 2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD， CE⊥AB， AE= （AB+AD）.求证：∠D+∠B=180 。 4.已知：如图 2-6,在正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 为 BC 上的点，∠FAE=∠DAE。求证：AF=AD+CF。 5． 已知：如图 2-7，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90 ,CD⊥AB， 垂足为 D，AE 平分∠CAB 交 CD 于 F，过 F 作 FH//AB 交 BC 于 H。 求证 CF=BH。 2 1 图2-3 P A B C M N D F 图2-4 B O A P D C 图2-5 A B D C E（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交， 则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底 边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性 质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另 一边相交）。 例1． 已知：如图 3-1，∠BAD=∠DAC，AB>A C,CD⊥AD 于 D，H 是 BC 中点。求证：DH= （AB- AC） 分析：延长 CD 交 AB 于点 E，则可得全等三角形。 问题可证。 例2． 已知：如图 3-2，AB=AC，∠BAC=9 0 ，AD 为∠ABC 的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2C E。 分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可 延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。 2 1 图2-6 E A B C D F 图2-7 F D C BA E H 图示3-1 A B CD H E 图3-2 D A B E F C例 3．已知：如图 3-3 在△ABC 中，AD、A E 分别∠BAC 的内、外角平分线，过顶点 B 作 B FAD，交 AD 的延长线于 F，连结 FC 并延长交 AE 于 M。 求证：AM=ME。 分析：由 AD、AE 是∠BAC 内外角平分线，可得 EA⊥AF，从而 有 BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。 例4． 已 知 ： 如 图 3-4 ， 在 △ ABC 中 ， AD 平 分 ∠ BAC ， AD=AB，CM⊥AD 交 AD 延长线于 M。求证：AM= （AB+AC） 分析：题设中给出了角平分线 AD，自然想到以 AD 为轴作对称 变换，作△ABD 关于 AD 的对称△AED，然后 只需证 DM= EC，另外由求证的结果 AM= （AB+AC），即 2AM=AB+AC，也可尝试作△ ACM 关于 CM 的对称△FCM，然后只需证 D F=CF 即可。 练习： 1． 已知：在△ABC 中，AB=5，AC=3，D 是 BC 中点，AE 是∠ BAC 的平分线，且 CE⊥AE 于 E，连接 DE，求 DE。 2． 已知 BE、BF 分别是△ABC 的∠ABC 的内角与外角的平分线， AF⊥BF 于 F，AE⊥BE 于 E，连接 EF 分别交 AB、AC 于 M、N，求 证 MN= BC 2 1 2 1 2 1 2 1 图3-3 DB E F N A C M 图3-4 n E B A D C M F（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从 而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一 边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图 4-1 和图 4-2 所示。 例 4 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。 例 5 如图，BC>BA，BD 平分∠ABC，且 AD=CD，求证：∠A+ ∠C=180。 图4-2 图4-1 C A B CB A F I E D H G 1 2 A C D B B D C A例 6 如图，AB∥CD，AE、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE，求证： AD=AB+CD。 练习： 1. 已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。求证：△ABC 是直角三 角形。 2．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC 3．已知 CE、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+C D A B E CD C A B A E B D C A B D C 1 24．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD 三 由线段和差想到的辅助线 口诀： 线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一 三角去。 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短 法： 1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明 剩下部分等于另一条； 2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然 后证明新线段等于长线段。 对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段 之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证 明。 A B C D一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不 出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一 个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如： 例1、 已 知 如 图 1-1 ： D 、 E 为 △ ABC 内 两 点 , 求 证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：（法一） 将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N， 在 △ AMN 中 ， AM+AN>MD+DE+NE; （1） 在△BDM 中，MB+MD>BD；（2） 在△CEN 中，CN+NE>CE；（3） 由（1）+（2）+（3）得： AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC （法二：图 1-2） 延长 BD 交 AC 于 F，廷长 CE 交 BF 于 G， 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有： AB+AF>BD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）…（1） GF+FC>GE+CE（同上）（2） DG+GE>DE（同上）（3） 由（1）+（2）+（3）得： A B C D E NM 11−图 A B C D E FG 21−图 A B C D E F G 12 −图AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC。 二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接 证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在 某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再 利用外角定理： 例如：如图 2-1：已知 D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC>∠ BAC。 分析：因为∠BDC 与∠BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系， 可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠ BAC 处于在内角的位置； 证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时∠BDC 是△EDC 的外角， ∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC 证法二：连接 AD，并廷长交 BC 于 F，这时∠BDF 是△ABD 的 外角，∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∴∠BDF+ ∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。 注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某 三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不 等式性质证明。 三、 有角平分线时，通常在角的两边截取相等 的线段，构造全等三角形，如： A B CD E F N 13 −图 1 2 3 4例如：如图 3-1：已知 AD 为△ABC 的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4, 求证：BE+CF>EF。 分析：要证 BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须 把 BE，CF，EF 移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2， ∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应 边相等，把 EN，FN，EF 移到同个三角形中。 证明：在 DN 上截取 DN=DB，连接 NE，NF，则 DN=DC， 在△DBE 和△NDE 中： DN=DB（辅助线作法） ∠1=∠2（已知） ED=ED（公共边） ∴△DBE≌△NDE（SAS） ∴BE=NE（全等三角形对应边相等） 同理可得：CF=NF 在△EFN 中 EN+FN>EF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE+CF>EF。 注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线 段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。 四、 截长补短法作辅助线。 例如：已知如图 6-1：在△ABC 中，AB>AC，∠1=∠2，P 为 AD 上任一点 求证：AB-AC>PB-PC。分析：要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理 证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构 造第三边 AB-AC，故可在 AB 上截取 AN 等于 AC，得 AB-AC=BN， 再连接 PN，则 PC=PN，又在△PNB 中，PB-PNPB-PC。 证明：（截长法） 在 AB 上截取 AN=AC 连接 PN,在△APN 和△APC 中 AN=AC（辅助线作法） ∠1=∠2（已知） AP=AP（公共边） ∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形对应边相等） ∵在△BPN 中，有 PB-PNPB-PC。 例 1．如图，AC 平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求 证：AE=AD+BE。 例 2 如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于 E， AD+AB=2AE， 求证：∠ADC+∠B=180º 例 3 已知：如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC， A=108°，BD 平分 ABC。 求证：BC=AB+DC。 例 4 如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分 线，DM⊥AB 于 M，且 AM=MB。求证：CD= DB。 ∠ ∠ 2 1 DA E C B A E B CD D CB A M BDC A1．如图，AB∥CD，AE、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE，求证：AD=AB+CD。 2.如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AE 是过 A 的一条直 线，且 B，C 在 AE 的异侧， BD⊥AE 于 D，CE⊥AE 于 E。求证：BD=DE+CE 四 由中点想到的辅助线 口诀： 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线 等中线。 在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先 应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直 角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索， 找到解决问题的方法。 E D C BA（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 即如图 1，AD 是 ΔABC 的中线，则 SΔABD=SΔACD= SΔABC（因 为 ΔABD 与 ΔACD 是等底同高的）。 例 1．如图 2，ΔABC 中，AD 是中线，延长 AD 到 E，使 DE=AD，DF 是 ΔDCE 的中线。已知 ΔABC 的面积为 2，求：ΔCDF 的面积。 解：因为 AD 是 ΔABC 的中线，所以 SΔACD= SΔABC= ×2=1， 又因 CD 是 ΔACE 的中线，故 SΔCDE=SΔACD=1， 因 DF 是 ΔCDE 的中线，所以 SΔCDF= SΔCDE= ×1= 。 ∴ΔCDF 的面积为 。 （二）、由中点应想到利用三角形的中位线 例 2．如图 3，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分别是 BC、 AD 的中点，BA、CD 的延长线分别交 EF 的延长线 G、H。求证：∠ BGE=∠CHE。 证明：连结 BD，并取 BD 的中点为 M，连结 ME、MF， ∵ME 是 ΔBCD 的中位线，∴ME CD，∴∠MEF=∠CHE， ∵MF 是 ΔABD 的中位线， ∴MF AB，∴∠MFE=∠BGE， ∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE， 从而∠BGE=∠CHE。 （三）、由中线应想到延长中线 例 3．图 4，已知ΔABC 中，AB=5，AC=3，连 BC 上的中线 AD=2， 求 BC 的长。 解：延长 AD 到 E，使 DE=AD，则 AE=2AD=2×2=4。 在 ΔACD 和 ΔEBD 中， ∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD， ∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE， 从而 BE=AC=3。 在 ΔABE 中，因 AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°， ∴BD= = = ，故 BC=2BD=2 。 例 4．如图 5，已知 ΔABC 中，AD 是∠BAC 的 平分线，AD 又是 BC 边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。 证明：延长 AD 到 E，使 DE=AD。 仿例 3 可证： ΔBED≌ΔCAD， 故 EB=AC，∠E=∠2， 又∠1=∠2， ∴∠1=∠E， ∴AB=EB，从而 AB=AC，即 ΔABC 是等腰三角形。 （四）、直角三角形斜边中线的性质 例 5．如图 6，已知梯形 ABCD 中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥ BD，求证：AC=BD。 证明：取 AB 的中点 E，连结 DE、CE，则 DE、CE 分别为 RtΔABD，RtΔABC 斜边 AB 上的中线，故 DE=CE= AB，因此∠CDE=∠DCE。 ∵AB//DC， ∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2， ∴∠1=∠2， 在 ΔADE 和 ΔBCE 中， ∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE， ∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，从而梯形 ABCD 是等腰梯形，因此 AC=BD。（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线 例 6．如图 7，ΔABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平 分∠ABC 交 AC 于点 D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求 证：BD=2CE。 证明：延长 BA，CE 交于点 F，在ΔBEF 和 ΔBEC 中， ∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°， ∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而 CF=2CE。 又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。 在 ΔABD 和 ΔACF 中 ， ∵ ∠ 1= ∠ 3 ， AB=AC ， ∠ BAD= ∠ CAF=90°， ∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。 注：此例中 BE 是等腰 ΔBCF 的底边 CF 的中线。 （六）中线延长 口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。 题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点 连结，便可得到全等三角形。 例一：如图 4-1：AD 为△ABC 的中线， 且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF>EF。 证明：廷长 ED 至 M，使 DM=DE，连 接 CM，MF。在△BDE 和△CDM 中， 14 −图 A B C D E F M 1 2 34BD=CD（中点定义） ∠1=∠5（对顶角相等） ED=MD（辅助线作法） ∴△BDE≌△CDM（SAS） 又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知） ∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定义） ∴∠3+∠2=90° 即：∠EDF=90° ∴∠FDM=∠EDF=90° 在△EDF 和△MDF 中 ED=MD（辅助线作法） ∠EDF=∠FDM（已证） DF=DF（公共边） ∴△EDF≌△MDF（SAS） ∴EF=MF（全等三角形对应边相等） ∵在△CMF 中，CF+CM>MF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE+CF>EF 上题也可加倍 FD，证法同上。 注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍 此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。 例二：如图 5-1：AD 为△ABC 的中线，求证：AB+AC>2AD。分析：要证 AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD， 所以有 AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左边比要证结论多 BD+ CD，故不能直接证出此题，而由 2AD 想到要构造 2AD，即加倍中 线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，CE ∵AD 为△ABC 的中线（已知） ∴BD=CD（中线定义） 在△ACD 和△EBD 中 BD=CD（已证） ∠1=∠2（对顶角相等） AD=ED（辅助线作法） ∴△ACD≌△EBD（SAS） ∴BE=CA（全等三角形对应边相等） ∵在△ABE 中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边） ∴AB+AC>2AD。 练习： 1 如图，AB=6，AC=8，D 为 BC 的中点，求 AD 的取值范围。 A B C D E 15 −图 B A D C 862 如 图 ，AB=CD ，E 为 BC 的 中 点 ，∠ BAC= ∠ BCA ，求证： AD=2AE。 3 如图，AB=AC，AD=AE，M 为 BE 中点，∠BAC=∠DAE=90 °。求证：AM⊥DC。 4，已知△ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为 直角边各向外作等腰直角三角形，如图 5-2，求证 EF=2AD。 5．已知：如图 AD 为△ABC 的中线，AE= EF，求证：BF=AC D M C D E D A D B D B E C D A A B CD E F 25 −图 A B D C E F五 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别 在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形 相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形 全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质 解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等， 构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．D CB A E D F CB A 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线， 利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是 角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思 维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特 定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三 角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、 倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原 三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． （一）、倍长中线（线段）造全等 1：（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3， 则中线 AD 的取值范围是_________. 2：如图，△ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DE⊥DF，D 是 中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小. 3：如图，△ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.中考应用 （09 崇文二模）以 的两边 AB、AC为腰分别向外作等腰 Rt 和等腰 Rt ， 连接 DE，M、N分别是 BC、 DE 的中点．探究：AM 与 DE 的位置关系及数量关系． （1）如图① 当 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系 是 ， 线段 AM 与 DE 的数量关系是 ； （2）将图①中的等腰 Rt 绕点 A 沿逆时针方向旋转 (0< AD+AE. AP BP BP APO E D CB A （四）、借助角平分线造全等 1：如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD 2：（06 郑州市中考题）如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，DG⊥B C 且平分 BC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理 由；（2）如果 AB= ，AC= ，求 AE、 BE 的 长. 中考应用 （06 北京中考）如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该 图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作 全等三角形的方法，解答下列问题： ED CB A a b E D G F CB AN M E F A C B A F E D CB A （1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并 写出 FE 与 FD 之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其 它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请 证明；若不成立，请说明理由。 （五）、旋转 1：正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上 的一点，BE+DF=EF，求∠EAF 的度数. 2：D 为等腰 斜边 AB 的中点，DM⊥DN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。 （1） 当 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。 （2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。 Rt ABC∆ MDN∠ (第 23 题图) O P A M N E B C DF A C E F B D 图① 图② 图③3.如图， 是边长为 3 的等边三角形， 是等腰三角形， 且 ，以 D 为顶点做一个 角，使其两边分别交 AB 于点 M， 交 AC 于 点 N ， 连 接 MN ， 则 的 周 长 为 ； 中考应用 （ 07 佳 木 斯 ） 已 知 四 边 形 中 ， ， ， ， ， ， 绕 点旋转，它的两边分 别交 （或它们的延长线）于 ． 当 绕 点 旋 转 到 时 （ 如 图 1 ）， 易 证 ． 当 绕 点旋转到 时，在图 2 和图 3 这两种情况下， 上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 ， 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． （西城 09 年一模）已知:PA= ,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧. B C D N M A ABC∆ BDC∆ 0120BDC∠ = 060 AMN∆ ABCD AB AD⊥ BC CD⊥ AB BC= 120ABC = ∠ 60MBN = ∠ MBN∠ B AD DC， E F， MBN∠ B AE CF= AE CF EF+ = MBN∠ B AE CF≠ AE CF， EF 2 （图 1） A B C D E F M N （图 2） A B C D E F M N （图 3） A B C D E F M N(1)如图,当∠APB=45°时,求 AB 及 PD 的长; (2)当∠APB 变化,且其它条件不变时,求 PD 的最大值,及相应∠A PB 的大小. （09 崇文一模）在等边 的两边 AB、AC 所在直线上分别有 两点 M、N，D 为 外一点，且 , ,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之 间的数量关系及 的周长 Q 与等边 的周长 L 的关系． 图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时， BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 ； （II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DM DN 时，猜 想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时， ABC∆ ABC °=∠ 60MDN °=∠ 120BDC AMN∆ ABC∆ = L Q ≠若 AN= ，则 Q= （用 、L 表示）． 六 梯形的辅助线 口诀： 梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出 高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点 全等造。 通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形， 是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已 知条件。常见的几种辅助线的作法如下： 作法 图形 平移腰，转 化为三角形、平 行四边形。 平移对角线。 转化为三角形、 平行四边形。 延长两腰， 转化为三角形。 x x A B C D E A B C D E A B C D E（一）、平移 1、平移一腰： 例 1. 如图所示，在直角梯形 ABCD 中，∠ A ＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求 CD 的长. 解：过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E. 又 AB∥CD，所以四边形 BCDE 是平行四边形. 所以 DE＝BC＝17，CD＝BE. 在 Rt△DAE 中，由勾股定理，得 AE2＝DE2－AD2，即 AE2＝172－152＝64. 所以 AE＝8. 所以 BE＝AB－AE＝16－8＝8. 即 CD＝8. 作高，转化 为直角三角形和 矩形。 中位线与腰 中点连线。 A B C D E F A B C D E F A B CD A B CD E例 2 如图，梯形 ABCD 的上底 AB=3，下底 CD=8，腰 AD=4， 求另一腰 BC 的取值范围。 解：过点 B 作 BM//AD 交 CD 于点 M， 在△BCM 中，BM=AD=4， CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5， 所以 BC 的取值范围是： 5－4CF。即 BF>CE。 在 Rt△BDF 和 Rt△CAE 中 由勾股定理得 BD>AC cmEFBCFCBE 1)(2 1 =−==∴ cmBEAE 33 == 2342 )( cmAEBCADS ABCD =×+=梯形 A B C D D E D F D（五）、作中位线 1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。 例 13 如图，在梯形 ABCD 中，AB//DC，O 是 BC 的中点，∠AOD =90°，求证：AB＋CD=AD。 证：取 AD 的中点 E，连接 OE，则易知 OE 是梯形 ABCD 的中 位线，从而 OE= （AB＋CD）① 在△AOD 中，∠AOD=90°，AE=DE 所以 ② 由①、②得 AB＋CD=AD。 2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线 中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。 例 14 如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，E、F 分别是 BD、AC 的中点，求证：（1）EF//AD；（2） 。 证：连接 DF，并延长交 BC 于点 G，易证△AFD≌△CFG 则 AD=CG，DF=GF 2 1 ADOE 2 1= )(2 1 ADBCEF −=由于 DE=BE，所以 EF 是△BDG 的中位线 从而 EF//BG，且 因为 AD//BG， 所以 EF//AD，EF 3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三 角形达到解题的目的。 例 15、在梯形 ABCD 中，AD∥BC， ∠BAD=900，E 是 DC 上 的中点，连接 AE 和 BE，求∠AEB=2∠CBE。 解：分别延长 AE 与 BC ，并交于 F 点 ∵∠BAD=900 且 AD∥BC ∴∠FBA=1800－∠BAD=900 又∵AD∥BC ∴∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等) ∠AED=∠FEC （对顶角相等） DE=EC （E 点是 CD 的中点） ∴△ADE≌△FCE （AAS） ∴ AE=FE 在△ABF 中∠FBA=900 且 AE=FE ∴ BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） BGEF 2 1= ADBCCGBCBG −=−= )(2 1 ADBC −=∴ 在△FEB 中 ∠EBF=∠FEB ∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE 例 16、已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB⊥BC，E 是 CD 中点，试问：线段 AE 和 BE 之间 有怎样的大小关系？ 解：AE=BE，理由如下： 延长 AE，与 BC 延长线交于点 F． ∵DE=CE，∠AED=∠CEF， ∠DAE=∠F ∴△ADE≌△FCE ∴AE=EF ∵AB⊥BC， ∴BE=AE． 例 17、已知：梯形 ABCD 中，AD//BC，E 为 DC 中点，EF⊥AB 于 F 点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形 ABCD 的面积． 解：如图，过 E 点作 MN∥AB，分别交 AD 的延长线于 M 点， 交 BC 于 N 点． ∵DE=EC，AD∥BC ∴△DEM≌△CNE 四边形 ABNM 是平行四边形 A B D C E F A B C D E F M N∵EF⊥AB， ∴S 梯形 ABCD=S□ABNM=AB×EF=15cm2． 【模拟试题】（答题时间：40 分钟） 1. 若等腰梯形的锐角是 60°，它的两底分别为 11cm，35cm， 则它的腰长为__________cm. 2. 如图所示，已知等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝60°，AD ＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 3. 如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝ 15，则梯形 ABCD 的面积为（ ） A. 130 B. 140 C. 150 D. 160 *4. 如图所示，在等腰梯形 ABCD 中，已知 AD∥BC，对角线 AC 与 BD 互相垂直，且 AD＝30，BC＝70，求 BD 的长. A B C D A B CD E5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于 60°，它的两底分别为 15 cm 和 49cm，求它的腰长. 6. 如图所示，已知等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC⊥BD，AD ＋BC＝10，DE⊥BC 于 E，求 DE 的长. 7. 如图所示，梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝ 8，求 AB 的长. **8. 如图所示，梯形 ABCD 中，AD∥BC，（1）若 E 是 AB 的中 点，且 AD＋BC＝CD，则 DE 与 CE 有何位置关系？（2）E 是∠ADC A B C D A B C D A B C D E A B CD与∠BCD 的角平分线的交点，则 DE 与 CE 有何位置关 1．圆中作辅助线的常用方法： （1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。 （2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中 点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。 （3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结 此点与直径端点得到 90 度的角或直角三角形。 （4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。 （5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图 1，圆 O 中，BD ⊥OA 于 D，经常是：①如图 1（上）延长 BD 交圆于 C，利用垂径 定理。 ② 如图 1（下）延长 AO 交圆于 E，连结 BE， BA，得 Rt△ABE。 图 1（上） 图 1（下） （6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径， A B C D E（7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的 切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的 相等关系。 （8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之 得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以 得到结果。 （9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量 关系去证明。 （10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个 直角三角形去解决。 例题 1：如图 2，在圆 O 中，B 为 的中点，BD 为 AB 的延长线，∠ OAB=500，求∠CBD 的度数。 解：如图，连结 OB、OC 的圆 O 的半径，已 知∠OAB=500 ∵B 是弧 AC 的中点 ∴弧 AB=弧 BC ∴AB==BC 又∵OA=OB=OC ∴△AOB≌△BOC（S.S.S） 图 2 ∴∠OBC=∠ABO=500 ∵∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800 ∴∠CBD=1800 - 500- 500∴∠CBD=800 答:∠CBD 的度数是 800. 例题 2:如图 3,在圆 O 中,弦 AB、CD 相交于点 P， 求证：∠APD 的度数= （弧 AD+弧 BC）的度数。 证明：连接 AC，则∠DPA=∠C+∠A ∴∠C 的度数= 弧 AD 的度数 ∠A 的度数= 弧 BC 的度数 ∴ ∠ APD= （ 弧 AD+ 弧 BC ） 的 度 数 。 图 3 一、造直角三角形法 1.构成 Rt△,常连接半径 例 1. 过⊙O 内一点 M ,最长弦 AB = 26cm,最短 弦 CD = 10cm ,求 AM 长; 2.遇有直径,常作直径上的圆周角 例 2. AB 是⊙O 的直径,AC 切⊙O 于 A,CB 交⊙ O 于 D,过 D 作⊙O 的切线,交 AC 于 E. 求证:CE = AE; 3.遇有切线,常作过切点的半径 例 3 .割线 AB 交⊙O 于 C、D,且 AC=BD,AE 切⊙O 于 E,BF 切⊙O 于 F. 求证:∠OAE = ∠OBF; 4.遇有公切线,常构造 Rt△(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差, 另一直角边为公切线长) 2 1 2 1 2 1 2 1A C B O1 P 例 4 .小 ⊙O1 与大⊙O2 外切于点 A,外公切线 BC、DE 分别和⊙O1、⊙ O2 切于点 B、C 和 D、E，并相交于 P，∠P = 60°。 求证：⊙O1 与⊙O2 的半径之比为 1：3； 5．正多边形相关计算常构造 Rt△ 例 5.⊙O 的半径为 6,求其内接正方形 ABCD 与内接正六边形 AEFCGH 的公共部分的面积. 二、欲用垂径定理常作弦的垂线段 例 6. AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AE⊥CD 于 E,BF⊥CD 于 F.(1)求 证:EC = DF; (2)若 AE = 2,CD=BF=6,求⊙O 的面积; 三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形 例 7. AB 是⊙O 直径,弦 CD⊥AB,M 是 上一点,AM 延长线交 DC 延长线于 F. 求证: ∠F = ∠ACM; 四、切线的综合运用 1．已知过圆上的点，常_________________ 例 8.如图， 已知：⊙O1 与⊙O2 外切于 P，AC 是过 P 点的割线交⊙O1 于 A，交⊙O2 于 C，过点 O1 的 直线 AB ⊥BC 于 B.求证： BC 与⊙O2 相切. 例 9.如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF 交 ⊙O 于 E，过 E 点作直线与 AF 垂直交 AF 延长线 于 D 点，且交 AB 于 C 点． 求证：CD 与⊙O 相切于点 E． 2.两个条件都没有,常___________________ 例 10. 如图，AB 是半圆的直径， AM⊥MN，BN⊥MN，如果 ACAM+BN＝AB，求证: 直线 MN 与半圆相切； 例 11.等腰△ABC 中,AB=AC,以底边中点 D 为圆心的圆切 AB 边于 E 点. 求证:AC 与⊙D 相切; 例 12．菱形 ABCD 两对角线交于点 O，⊙O 与 AB 相切。 求证：⊙O 也与其他三边都相切； 五、两圆相关题型 1．两圆相交作_____________________ 例 13.⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B，过 A 点作直线交⊙O1 于 C 点、交⊙ O2 于 D 点，过 B 点作直线交⊙O1 于 E 点、交⊙O2 于 F 点. 求证:CE∥DF; 2.相切两圆作________________________ 例 14. ⊙O1 与⊙O2 外切于点 P,过 P 点的直线分别交⊙O1 与⊙O2 于 A、B 两点，AC 切⊙O1 于 A 点，BC 交⊙O2 于 D 点。 求证：∠BAC = ∠BDP； 3．两圆或三圆相切作_________________ 例 15.以 AB=6 为直径作半⊙O,再分别以 OA、OB 为直径在半⊙O 内作半⊙O1 与半⊙O2，又⊙O3 与三个半圆两两相切。 求⊙O3 的半径； 4．一圆过另一圆的圆心，作____________ 例 16.两个等圆⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点，且⊙O1 过点 O2， 过 B 点作直线交⊙O1 于 C 点、交⊙O2 于 D 点. 求证：△ACD 是等边三角形； 六、开放性题目 例 17．已知：如图，以 的边 为直径的 交边 于点 ， 且过点 的切线 平分边 ． （1） 与 是否相切？请说明理由； （2）当 满足什么条件时，以点 ， ， ， 为顶点的四边形 ABC△ AB O AC D D DE BC BC O ABC△ O B E D C E BOA D （第 23 题）C E BOA D 是平行四边形？并说明理由．