2019～2020学年高二下学期第四次在线检测
数学
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．）
1．在 的展开式中，含 项的系数为（ ）
A．28 B．56 C．70 D．8
2．设 ，则 的值是（ ）
A．665 B．729 C．728 D．63
3．如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公
寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
4．若多项式 ，则 （ ）
A．9 B．10 C．-9 D．-10
5．以圆 x2+y2﹣2x﹣2y﹣1=0 内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为（ ）
A．76 B．78 C．81 D．84
6．某餐厅并排有 7 个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，要求两端座位不能
坐人，并且连续空座至多有 2 个，则不同的坐法有（ ）
A．24 种 B．36 种 C．48 种 D．56 种
7．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5 人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他
相邻，则不同坐法的总数为（ ）
A．60 B．72 C．84 D．96
8．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件 “甲击中靶”，事件 “乙击中靶”，事件 “靶未被击中”，
事件 “靶被击中”，事件 “恰一人击中靶”，对下列关系式（ 表示 的对立事件， 表示 的对立事
件）：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，
⑥ ，⑦ ．其中正确的关系式的个数是（ ）
A． B． C． D．
9 ． 设 集 合 ， 那 么 集 合 A 中 满 足 条 件
“ ”的元素的个数为 ( )
A．60 B．100 C．120 D．130
( )81 x+ 2x
( )6 2 6
0 1 2 62 x a a x a x a x− = + + + + 1 2 6a a a+ +…+
( )2 10
0 1 1x x a a x+ = + + ( ) ( )9 10
9 101 1a x a x+ + + + + 9a =
A = B = E =
F = G = A A B B
E AB= F AB= F A B= + G A B= + G AB AB= +
( ) ( )1P F P E= − ( ) ( ) ( )P F P A P B= +
3 4 5 610．（多选题）对于二项式 ，以下判断正确的有（ ）
A．存在 ，展开式中有常数项；
B．对任意 ，展开式中没有常数项；
C．对任意 ，展开式中没有 的一次项；
D．存在 ，展开式中有 的一次项.
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．12 题两空分别得 2,3 分）
11．在抛掷一颗骰子的试验中，事件 表示“不大于 4 的偶数点出现”，事件 表示“小于 5 的点数出现”，则事件
发生的概率为________（ 表示 的对立事件）．
12．市内某公共汽车站有 7 个候车位(成一排), 现有甲，乙，丙，丁，戊 5 名同学随机坐在某个座位上候车,则甲，
乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为______；（用数字作答）3 位同学相邻，另 2 位同学也相邻，但
5 位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为______.（用数字作答）
13 ． 已 知 ， 则
_________．
14．化简 ．
三、解答题（本题共 2 小题，每小题 15 分，共 30 分．）
15．已知数列 满足 ， ， 表示不超过 的最大整数（如 ，记 ，
数列 的前 项和为 .
①若数列 是公差为 1 的等差数列，求 ；
②若数列 是公比为 的等比数列，求 ．
16．已知 … ， ．记 ．
（1）求 的值；
（2）化简 的表达式，并证明：对任意的 ， 都能被 整除．
( )3 *1 n
x n Nx
+ ∈
*n N∈
*n N∈
*n N∈ x
*n N∈ x
A B
A B+ B B
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 96 2 1002
0 1 2 1001 1 1 1 1x x a a x a x a x− + = + + + + +…+ + 2 100
1 2 1002 2 2a a a+ +…+ =
0 2 2 4 3 6
2018 2018 2018 20182018
1 ( 3 3 32 C C C C− + − 1008 2016 1009 2018
2018 20183 3 )=C C+⋅⋅⋅+ −
{ }na 1
1a k
= *2k k N≥ ∈， [ ]na na [ ]1.6 1= [ ]n nb a=
{ }nb n nT
{ }na 4T
{ }na 1k + nT
( )2 1 2
0 1 21 nx a a x a x++ = + + + 2 1
2 1
n
na x +
++ *n N∈ ( )
0
2 1
n
n n kk
T k a −=
= ∑ +
2T
nT *n N∈ nT 4 2n +周练 4 参考答案
1．在 的展开式中，含 项的系数为（ ）
A．28 B．56 C．70 D．8
【答案】A
【解析】试题分析： 的展开式的通项公式为： ，所以含 项的系数为
.
考点：二项式定理.
2．设 ，则 的值是
A．665 B．729 C．728 D．63
【答案】A
【解析】
分析：由二项式定理可知 均为正数， 均为负数，可得
把 代入已知式子计
数可得结果．
详解：因为 ，
由二项式定理可知 ，均为正数， 均为负数，
令 时，
当 时， ，
所以
故选 A．
点睛：本题主要考查了二项展开式的系数和的问题，其中恰当的赋值是解答的关键，着重考
查了推理与计算能力，属于基础题．
3．如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位
于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最
短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】B
【解析】
解：从 E 到 F，每条东西向的街道被分成 2 段，每条南北向的街道被分成 2 段，
从 E 到 F 最短的走法，无论怎样走，一定包括 4 段，其中 2 段方向相同，另 2 段方向相同，
每种最短走法，即是从 4 段中选出 2 段走东向的，选出 2 段走北向的，故共有 C42C22＝6 种走
法．
同理从 F 到 G，最短的走法，有 C31C22＝3 种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 6×3＝18 种走法．
故选 B．
4．若多项式 ，则 （ ）
A．9 B．10 C．-9 D．-10
【答案】D
【解析】
，
，根据已知条件得 的系数为 0， 的系数为 1
( )81 x+ 2x
( )81 x+ 1 8
r r
rT C x+ = 2x
( )6 2 6
0 1 2 62 x a a x a x a x− = + + + + 1 2 6a a a+ +…+ ( )
0 2 4 6,, ,a a a a 1 3 5, ,a a a 0 1 2a a a+ +
6
6 0 1 2 3 4 5 6 (2 1) 729a a a a a a a a+ + = − + − + − + = + = 1, 0x x= − =
6 2 6
0 1 2 6(2 )x a a x a x a x− = + + + +
0 2 4 6,, ,a a a a 1 3 5, ,a a a
1x = − 6
0 1 2 6 0 1 2 3 4 5 6 (2 1) 729a a a a a a a a a a a+ + + + = − + − + − + = + =
0x = 6
0 2 64a = =
1 2 6 665a a a+ + + =
( )2 10
0 1 1x x a a x+ = + + ( ) ( )9 10
9 101 1a x a x+ + + + + 9a =
( ) ( )90 1 10 10 0 1 9 9
10 9 9 9 9 91 ... 1 [ ... ]n
n nx C C x C x a x a C C x C x+ = + + ⇒ + = + + ( )10
10 1a x + =
0 1 9 9 10 10
10 10 10 10 10( ... )a C C x C x C x+ + + +
9x 10x 故选 D.
5．以圆 x2+y2﹣2x﹣2y﹣1=0 内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为（ ）
A．76 B．78 C．81 D．84
【答案】A
【解析】
圆的方程化成标准形式，得(x−1)2+(y−1)2=3
∴圆心 C(1,1),半径 r=
满足横坐标与纵坐标均为整数的点，且在圆内的点有
(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)，
(2,0),(2,1),(2,2)共 9 个点
9 个点中任取 3 个,共有 种取法，其中三点共线的情况共有 8 种
∴这 9 个点能构成三角形的个数为 84−8=76 个
本题选择 A 选项.
6．某餐厅并排有 7 个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，
要求两端座位不能坐人，并且连续空座至多有 2 个，则不同的坐法有（ ）
A．24 种 B．36 种 C．48 种 D．56 种
【答案】C
【解析】
因为 7 个座位两端座位不能坐人，
所以甲、乙、丙可以在剩余的 个位子有顺序的就坐，坐法有 种，
因为连续空座至多有 个，
所以出现连续 个空座的情况为最左端的 个为空座，
甲、乙、丙三人坐在第 、 、 个位子上，第 个位子是最右端，只能空着，
则这种情况为 ，
同理，连续 个空座的情况为最右端的 个为空座，这种情况为 ，
所以，满足要求的坐法有 种.
故选：C.
7．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5 人坐成一排.若小明的父
母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为
A．60 B．72 C．84 D．96
【答案】C
【解析】
根据题意，可分三种情况讨论：
①若小明的父母只有一人与小明相邻且父母不相邻时，
先在其父母中选一人与小明相邻，有 种情况，
将小明与选出的家长看出一个整体，考虑其顺序 种情况，
当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，
有 种安排方法，此时有 种不同坐法；
②若小明的父母的只有一人与小明相邻且父母相邻时，
将父母及小明看成一个整体，
小明在一端，有 种情况，考虑父母之间的顺序，有 种情况，则这个整体内部有
种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有 种情况，
此时有 种不同坐法；
9 9
99 9 10 10
10
1010 10
100
11
aa C a C
aa C
= − ⋅ + ⋅ = ⇒ ⇒ =⋅ =
3
3
9 84C =
5 3
5 60A =
2
3 3
4 5 6 7
3
3 6A =
3 3 3
3 6A =
3 3
5 32 48A A− =
1
2 2C =
2
2 2A =
2 2
2 3 12A A× = 2 2 12 48× × =
2 2 2 2 4× =
3
3 6A =
2 2 6 24× × =③小明的父母都小明相邻，即小明在中间，父母在两边，
将 人看成一个整体，考虑父母的顺序，有 种情况，
将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有 种情况，
此时，共有 种不同坐法；
综上所述，共有 种不同的坐法，故选 C.
点睛：本题考查了排列、组合的综合应用问题，关键是根据题意，认真审题，进行不重不漏
的分类讨论，本题的解答中，分三种情况：①小明的父母中只有一个人与小明相邻且父母不
相邻；②小明的父母有一个人与小明相邻且父母相邻；③小明的父母都与小明相邻，分别求
解每一种情况的排法，即可得到答案。
8．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件 “甲击中靶”，事件 “乙击中靶”，事件
“靶未被击中”，事件 “靶被击中”，事件 “恰一人击中靶”，对下列关系式（ 表
示 的对立事件， 表示 的对立事件）：① ，② ，③ ，④
，⑤ ，⑥ ，⑦ ．其中正确
的关系式的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由 题 可 得 ： ① ， 正 确 ； ② 事 件 “ 靶 被 击 中 ” ， 表 示 甲 乙 同 时 击 中 ，
，所以②错误；
③ ，正确，④ 表示靶被击中，所以④错误；⑤ ，正确；⑥
互为对立事件， ，正确；⑦ ，所以⑦不正
确．
正确的是①③⑤⑥．
故选：B
9 ． 设 集 合 ， 那 么 集 合 A 中 满 足 条 件
“ ”的元素的个数为 ( )
A．60 B．100 C．120 D．130
【答案】D
【解析】
集合 A 中满足条件“ ”
中取 0 的个数为 2,3,4.
则集合个数为：
故答案选 D
【点睛】
本题考查了排列组合的应用，根据中取 0 的个数分类是解题的关键.
10．对于二项式 ，以下判断正确的有（ ）
A．存在 ，展开式中有常数项；
B．对任意 ，展开式中没有常数项；
C．对任意 ，展开式中没有 的一次项；
D．存在 ，展开式中有 的一次项.
【答案】AD
【解析】
设二项式 展开式的通项公式为 ，
3 2
2 2A =
3
3 6A =
2 6 12× =
48 24 12 84+ + =
A = B =
E = F = G = A
A B B E AB= F AB= F A B= +
G A B= + G AB AB= + ( ) ( )1P F P E= − ( ) ( ) ( )P F P A P B= +
3 4 5 6
E AB= F = AB
F AB AB AB= + +
F A B= + A B+ G AB AB= + ,E F
( ) ( )1P F P E= − ( ) ( ) ( ) ( )P F P A P B P AB= + −
( )3 *1 n
x n Nx
+ ∈
*n N∈
*n N∈
*n N∈ x
*n N∈ x
( )3 *1 n
x n Nx
+ ∈ 1rT +则 ，
不妨令 ，则 时，展开式中有常数项，故答案 A 正确，答案 B 错误；
令 ，则 时，展开式中有 的一次项，故 C 答案错误，D 答案正确。
故答案选 AD
二填空题
11．在抛掷一颗骰子的试验中，事件 表示“不大于 4 的偶数点出现”，事件 表示“小于 5 的
点数出现”，则事件 发生的概率为________（ 表示 的对立事件）．
【答案】
【解析】
由题意，可知抛掷一颗骰子，基本事件的个数共有 6 个，
则事件 A 表示“不大于 4 的偶数点出现”的概率为 ，
事件 B 表示“小于 5 的点数出现”的概率为 ，则 ，
∵ 与 互斥，∴ ．
12．市内某公共汽车站有 7 个候车位(成一排), 现有甲，乙，丙，丁，戊 5 名同学随机
坐在某个座位上候车,则甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为______；（用
数字作答）3 位同学相邻，另 2 位同学也相邻，但 5 位同学不能坐在一起的不同的坐
法种数为______.（用数字作答）
【答案】 480 720
【解析】甲，乙相邻用捆梆法有 种，然后从 4 个位置中选两个安排甲，乙，戊有
种排法，最后用插空法安排丙，丁 2 人，即从 5 个空档中插入 2 人，有 种.故甲，
乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为 .
3 人相邻另 2 人也相邻，但 5 位同学不能坐在一起，即要把 5 人分成 3，2 两组，每组
的人要相邻，两组的人要互不相邻，先捆梆有 种，把两组排列有 种，再把
两个空位插入有 3 种，共有 .
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序
限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
13 ． 已 知 ， 则
__________．
【答案】
【解析】
令 可得 ；
令 ，可得 ，
所以 .
故答案为：0
14．化简 ．
【答案】
3 4
1
1= ( ) ( )r n r r r r n
r n nT C x C xx
− −
+ =
4n = 1r =
3n = 1r = x
A B
A B+ B B
2
3
2 1( ) 6 3P A = =
4 2( ) 6 3P B = = 1( ) 3P B =
A B
1 1 2( ) ( ) 3 3 3( )P A B P A P B+ = + = + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 96 2 1002
0 1 2 1001 1 1 1 1x x a a x a x a x− + = + + + + +…+ +
2 100
1 2 1002 2 2a a a+ +…+ =
0
1x = − 0 0a =
1x = ( ) ( )2 962 100 2
0 1 2 1002 2 2 1 1 1 1 0a a a a+ + +…+ = − + =
2 100
1 2 1002 2 2 0a a a+ +…+ =
0 2 2 4 3 6
2018 2018 2018 20182018
1 ( 3 3 32 C C C C− + − 1008 2016 1009 2018
2018 20183 3 )=C C+⋅⋅⋅+ −
1
2
−【解析】
分析：利用二项式逆定理即可.
详解：
（展开式实部）
（展开式实部）
.
故答案为： .
三、解答题
15．已知数列 满足 ， ， 表示不超过 的最大整数（如 ，
记 ，数列 的前 项和为 ）.
①若数列 是公差为 1 的等差数列，求 ；
②若数列 是公比为 的等比数列，求 ．
【答案】6
【解析】
① 若数列 是公差为 的等差数列，且 ， ，则
，所以 ，则
；…………..5.
② 若数列 是公比为 的等比数列，且 ， ，则
， 则
，…………………………………………8
0 2 2 4 3 6 1008 2016 1009 2018
2018 2018 2018 2018 2018 20182018
1 3 3 3 ... 3 32 C C C C C C − + − + + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 6 2016 20180 2 4 6 2016 2018
2018 2018 2018 2018 2018 20182018
1 3 3 3 ... 3 32 C C i C i C i C i C i = + + + + + +
( )2018
2018
1 1 32 i= −
2018
2018
1 2 cos sin2 3 3i
π π = −
2018
2018
1 20182 cos2 3
π= ⋅ ⋅
1
2
= −
1
2
−
{ }na 1
1a k
= *2k k N≥ ∈， [ ]na na [ ]1,6 1=
[ ]n nb a= { }nb n nT
{ }na 4T
{ }na 1k + nT
( )
2
1 1nk kn
k
+ − −
{ }na 1 1
1a k
= *2k k N≥ ∈，
1 1 ( 1, )na n n nk
= + − ∈ − [ ] 1n nb a n= = −
4 0 1 2 3 6T = + + + =
{ }na 1k + 1
1a k
= *2k k N≥ ∈，
1 1 1 2 1 3
1 2
1 1( 1) ( 1)n n n n
n n na k k C k C kk k
− − − −
− −= ⋅ + = ⋅ + + +⋅⋅⋅+
2 1 3 1
1 1
n n k
n n nb k C k C− − −
− −= + +⋅⋅⋅+
2 2 1 3 1
1 10 1 ( 2) ( 3 3) ( )n n k
n n nT k k k k C k C− − −
− −= + + + + + + +⋅⋅⋅+ + +⋅⋅⋅+
2 2 2 2 3 3 3 2
3 4 1 4 5 1[1 2 3 ( 1)] (1 · ) (1 ) n
n nn C C C k C C C k −
− −= + + +⋅⋅⋅+ − + + + +⋅⋅+ + + + +⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅+
3 4 2 2( 1) )2
n n
n n n
n n C k C k C k −−= + + +⋅⋅⋅+
2 2 3 3
2
1 ( )n n
n n nC k C k C kk
= + +⋅⋅⋅+；…………………………….15
16 ． 已 知 … ， ． 记
．
（1）求 的值；
（2）化简 的表达式，并证明：对任意的 ， 都能被 整除．
【答案】(1)30；(2)证明见解析.
【解析】
试 题 分 析 ： （ 1 ） 由 二 项 式 定 理 ， 得 ， ； （ 2 ）
，进而可得到结论.
解析：
由二项式定理，得 （i=0，1，2，…，2n+1）．
（1） ；………………….3
（2）∵
∴
．
∴ ．
∵
∴ 能被 整除．……………………………………………12
2
1 [(1 ) 1]nk nkk
= + − −
( )2 1 2
0 1 21 nx a a x a x++ = + + + 2 1
2 1
n
na x +
++ *n N∈
( )
0
2 1
n
n n kk
T k a −=
= ∑ +
2T
nT *n N∈ nT 4 2n +
2 1Ci
i na += 2 2 1 03 5T a a a= + +
( ) ( )( ) ( )1
2 2 2 1 2 1 2 12 1 C C 2 1 C C 2 2 1 Cn n n n n
n n n n n nT n n n−
− − −= + = + + = +
2 1Ci
i na +=
2 1 0
2 2 1 0 5 5 53 5 C 3C 5C 30T a a a= + + = + + =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )1
2 1 2
2 1 ! 2 1 2 !1 C 1 2 1 C1 ! ! ! !
n k n k
n n
n n nn k n k nn k n k n k n k
+ + +
+
+ + ⋅+ + = + + ⋅ = = ++ + − + −
( ) ( ) ( ) 1
2 1 2 1
0 0 0
2 1 2 1 C 2 1 C
n n n
n k n k
n n k n n
k k k
T k a k k− + +
− + +
= = =
= + = + = +∑ ∑ ∑
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
2 1 2 1 2 1
0 0 0
2 1 2 1 C 2 1 C 2 1 C
n n n
n k n k n k
n n n
k k k
n k n n k n+ + + + + +
+ + +
= = =
= + + − + = + + − + ∑ ∑ ∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1
2 2 1 2 2
0 0
1 12 2 1 C 2 1 C 2 2 1 2 C 2 1 2 2 1 C2 2
n n
n k n k n n n n
n n n n
k k
n n n n n+ + + +
+
= =
= + − + = + ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ = +∑ ∑
( ) ( )( ) ( )1
2 2 1 2 1 2 12 1 C 2 1 C C 2 2 1 Cn n n n
n n n n nT n n n−
− − −= + = + + = +
*
2 1Cn
n N− ∈
nT 4 2n +
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