数学（理科）试题
（考试时间：150 分钟 总分：150 分）
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.已知 ,则复数 在复平面上所对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. , , ，则( )
4．如图， 为等腰直角三角形， ， 为斜边 的高， 为线段 的中
点，则 （ ）
A． B． C． D．
5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行
业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业者岗位分布条形
图，则下列结论中不一定正确的是（ ）
注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980—1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前
出生．
A．互联网行业从业人员中 90 后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20％
C．互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多
6.已知 是双曲线 上的三个点， 经过原点 ， 经过右
焦点 ，若 且 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
7.函数 ，则不等式 的解集为（ ）
{ }2 2 0A x R x x= ∈ − − < { }1,0,1−=B A B =
{ }1,0,1− { }1,0− { }0,1 { }0
( ) izi 43 =− ( )为虚数单位i z
4log 0.4m = 0.44n = 0.50.4p =
.A m n p< < .B m p n< < .C p m n< < .D n p m< <
, ,A B C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > AB O AC
F BF AC⊥ 2 AF CF=
3
5
3
17
2
17
4
9
2
2( ) logf x x x= + 0)3()1( = ≤ ( ) exg x = e x
( ( )) 0g f x m− = 1x 2x 1 2x x< 2 1x x−
1 (1 ln 2)2
+ 1 ln 22
+ 1 ln 2− 1 (1 ln 2)2
−
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填在横
线上。
13．已知 ，若幂函数 为奇函数，且在 上递
减，则 ____．
14. 函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为____．
15. 有 4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省 4 个地方旅游， 假设每
名同学均从这 4 个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为
_______
16．如图，三棱锥 A－BCD 中，AC＝AD＝BC＝BD＝10，AB＝8，
CD ＝12 ，点 P 在侧面 ACD 上，且到直线 AB 的距离为 ，
则 PB 的最大值是________．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内。
17．已知公差不为 0 的等差数列 满足 ， 是 的等比中项.
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ,求数列 的前 项的 .
18．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ，
.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 是 的中点， 是棱 上一点，且 平面 ，求二面角
1 12 1 1 2 32 2
α ∈ − − − ， ， ，，，， ( ) af x x= ( )0 + ∞，
a =
( ) cosxf x e x= (0, (0))f
21
}{ na 93 =a 2a 71,aa
}{ na
}{ nb )7(
1
+=
n
n anb }{ nb n nS
P ABCD− ABCD 1= =PA AB
2PB PD= =
BD ⊥ PAC
E PC F PD / /BE ACF F AC D− −
的余弦值.
19. 已知椭圆 的一个焦点坐标为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）已知点 ，过点 的直线 （与 轴不重合）与椭圆 交于 两点，直
线 与直线 相交于点 ，试证明：直线 与 轴平行．
20．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一
块地的 个坑进行播种，每个坑播 3 粒种子，每粒种子发芽的概率均为 ，且每粒
种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，
否则要补播种．
（1）当 取何值时，有 3 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
（2）当 时，用 表示要补播种的坑的个数，求 的分布列与数学期望．
21.（本小题 12 分）
已知函数 ， 是 的导函数.
（1）证明：当 时， 在 上有唯一零点；
（2）若存在 ，且 时， ，证明： .
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题
号。
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 .以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建
立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 (t 为参数).
（Ⅰ）若 ，求曲线 的直角坐标方程以及直线 l 的极坐标方程;
（Ⅱ）设点 ，曲线 与直线 l 交于 两点，求 的最小值.
23．(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
2 2
2 2: 1( 0)5
x yC bb b
+ = > (2,0)
C
(3,0)E (1,0) l x C ,M N
ME 5x = F FN x
*( )n n N∈ 1
2
n
4n = X X
1( ) sin ln 12 2
mf x x x x= − − + ( )f x′ ( )f x
2m = ( )f x′ (0, )+∞
1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2f x f x= 2
1 2x x m<
6cosρ θ=
2 cos
1 sin
x t
y t
α
α
= +
= − +
2
πα = C
( )1,2 −P C BA、 2 2PA PB+
已知函数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）设不等式 的解集为 ，若 ，求实数 的取值范围．
( ) ( )1
3f x x a a= − ∈R
2a = ( )1 13x f x− + ≥
( )1
3x f x x− + ≤ M 1 1,3 2 M ⊆ a
数学（理科）答案
一、选择题：
题
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B B D B C D B C A D
二、填空题
13． 14. 15． 16．
三、解答题：
17．（1）设等差数列 的公差为 ，则
解得 或 （舍去），
.
（2） ,
.
18．（1）证明：∵ ， .
∴ ， ，
∴ ， ， ， 平面
∴ 平面 ，而 平面
∴ ． 又∵ 为正方形，
1−
4
π 9
16 57
1PA AB AD= = = 2PB PD= =
2 2 2PA AB PB+ = 2 2 2PA AD PD+ =
PA AB⊥ PA AD⊥ AB AD A∩ = ,AB AD ⊂ ABCD
PA ⊥ ABCD BD ⊂ ABCD
PA BD⊥ ABCD
∴ ， ， 平面
∴ 平面 ．
（2）解：如图，连接 ，取 的中点 ，
设 ，连接 ，则 ，
从而 平面 ，平面 与 的交点即为 ．
以 、 、 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
， ， ，
，
平面 即平面 ，设其法向量为 ，
则 即 令 ，得 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
∴ .
因为二面角 为锐二面角，故所求余弦值为 ．
19． （Ⅰ）由题意可知 所以 .所以椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）①当直线 的斜率不存在时，此时 轴.设 ，直线 与 轴相交于
点 ，易得点 是点 和点 的中点，又因为 ，
AC BD⊥ PA AC A∩ = ,PA AC ⊂ .PAC
BD ⊥ PAC
ED ED M
AC BD O∩ = OM BE OM
BE ACM ACM PD F
OB OC OE , ,x y z O xyz−
20, ,02OC
=
10,0, 2OE =
2 ,0,02OD
= −
2 1,0,2 4 4
OE ODOM
+= = −
ACF ACM ( ), ,n x y z =
0,
0,
n OC
n OM
⋅ =
⋅ =
0,
2 0,
y
x z
=− + =
1x = ( )1,0, 2n =
ACD ( )0,0,1m =
2 6cos , 33
m nm n
m n
⋅= = =
F AC D− − 6
3
2 2
2,
5 .
c
a b
=
=
2 25, 1a b= = C
2
2 15
x y+ =
l MN x⊥ ( )1,0D 5x = x
G ( )3,0E ( )1,0D ( )5,0G MD DN=
所以 ，所以直线 轴.
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 .
因为点 ，所以直线 的方程为 .
令 ，所以 .
由 消去 得 .显然 恒成立.
所以
因为
，
所以 .所以直线 轴.综上所述，所以直线 轴.
20．（1）当 或 时，有 3 个坑要补播种的概率最大，最大概率为 ； （2）见解
（1）将有 3 个坑需要补种表示成 n 的函数，考查函数随 n 的变化情况，即可得到 n 为何值
时有 3 个坑要补播种的概率最大．（2）n＝4 时，X 的所有可能的取值为 0，1，2，3，4．分
别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可．
（1）对一个坑而言，要补播种的概率 ，
有 3 个坑要补播种的概率为 .
FG DN= //FN x
l l ( )( )1 0y k x k= − ≠ ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y
( )3,0E ME ( )1
1
33
yy xx
= −−
5x = ( )1 1
1 1
25 33 3F
y yy x x
= − =− −
( )
2 2
1 ,
5 5
y k x
x y
= −
+ =
y ( ) ( )2 2 2 21 5 10 5 1 0k x k x k+ − + − = 0∆ >
( )22
1 2 1 22 2
5 110 , .5 1 5 1
kkx x x xk k
−
+ = =+ +
( ) ( )( ) ( )2 1 1 2 1 11
2 2
1 1 1
3 2 1 3 2 12
3 3 3F
y x y k x x k xyy y y x x x
− − − − − −− = − = =− − −
( )
( )2 2
2 2
1 2 1 2
1 1
5 1 103 55 1 5 13 5
3 3
k kk k kk x x x x
x x
−
− × ++ + − + + = =− −
2 2 2
2
1
5 1 6 5 1 05 1 3
k k k k
k x
− − + += ⋅ =+ −
2 Fy y= //FN x //FN x
5n = 6n = 5
16
3 3
0 1
3 3
1 1 1
2 2 2P C C = + =
3 1
2
n
nC
欲使 最大，只需 ，
解得 ，因为 ，所以
当 时， ；当 时， ；
所以当 或 时，有 3 个坑要补播种的概率最大，最大概率为 .
（2）由已知， 的可能取值为 0，1，2，3，4. ，
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
的数学期望 .
21（1）证明：当 时， ， .
当 时， 为增函数，且 ，
，∴ 在 上有唯一零点；
当 时， ，
∴ 在 上没有零点.
综上知， 在 上有唯一零点.
（2）证明：不妨设 ，由 得
，
∴ .
设 ，则 ，故 在 为增函数，
3 1
2
n
nC
1
3 3
1
1
3 3
1
1 1
2 2
1 1
2 2
n n
n n
n n
n n
C C
C C
−
−
+
+
≥
≥
5 6n≤ ≤ *n N∈ 5,6,n =
5n =
5
3
5
1 5
2 16C = 6n =
6
3
6
1 5
2 16C =
5n = 6n = 5
16
X 14, 2X B ∼
X
X
P 1
16
1
4
3
8
1
4
1
16
X 14 22EX = × =
2m = 1( ) sin ln 12f x x x x= − − + 1 1( ) 1 cos2f x x x
′ = − −
(0, )x π∈ ( )f x′ 1 3 3 31 03 4 4f
π
π π
′ = − − = − ( )f x′ (0, )π
[ , )x π∈ +∞ 1 1( ) 1 cos2f x x x
′ = − − 1 1 1 11 02 2x π− − − >
( )f x′ [ , )π +∞
( )f x′ (0, )+∞
1 20 x x< < ( ) ( )1 2f x f x= 1 1 1
1 sin ln 12 2
mx x x− − +
2 2 2
1 sin ln 12 2
mx x x= − − +
( ) ( )2 1 2 1 2 1
1ln ln sin sin2 2
m x x x x x x− = − − −
( ) sing x x x= − ( ) 1 cos 0g x x′ = − ( )g x (0, )+∞
∴ ，从而 ，
∴ ，∴ ，
下面证明： .
令 ，则 ，即证明 ，只要证明 .（*）
设 ，则 ，∴ 在 单调递减.
当 时， ，从而（*）得证，即 .
∴ ，即 .
22.（1）曲线 C: ，将 .代入得 x2+y2-6x＝0
即曲线 C 的直角坐标方程为(x-3)2+y2＝9.
直线 l: ，(t 为参数)，所以 x＝2，故直线 l 的极坐标方程为 ……5 分
（2）联立直线 l 与曲线 C 的方程得
即
设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则
因为
当 时取等号，所以 的最小值为 14.-----------------10 分
22．解：（1） 依题意，直线 的直角坐标方程为 ，
的直角坐标方程为 ． ……………………………………………………………2 分
由 得 ，
因为 ，……………………………………………3 分
2 2 1 1sin sinx x x x− > − 2 1 2 1sin sinx x x x− > −
( )2 1ln ln2
m x x− ( ) ( )2 1 2 1 2 1
1 1sin sin2 2x x x x x x= − − − > − 2 1
2 1ln ln
x xm x x
−> −
2 1
1 2
2 1ln ln
x x x xx x
− >−
2
1
xt x
= 1t > 1
ln
t tt
− > 1ln 0tt
t
−− <
1( ) ln th t t
t
−= − ( )2
1
( ) 0
2
t
h t
t t
−
′ = − < ( )h t (1, )+∞
1t > ( ) (1) 0h t h< = 2 1
1 2
2 1ln ln
x x x xx x
− >−
1 2m x x> 2
1 2x x m<
2 6 cosρ ρ θ= cos , sinx yρ θ ρ ϑ= =
2
1
x
y t
=
= − + cos 2ρ θ =
2 2( cos sin ) ( sin 1) 9t tα α α+ + − =
2 2 (cos sin ) 7 0t t α α− + − =
1 2 1 22(cos sin ), 7t t t tα α+ = + = −
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) 2 4(cos sin ) 14 4sin 2 18 14PA PB t t t t t t α α α+ = + = + − = + + = + ≥
sin 2 1α = − 2 2PA PB+
1l 3
3y x=
2l 3y x=
=2 3 cos 2sinρ θ θ+ 2 =2 3 cos 2 sinρ ρ θ ρ θ+
2 2 2, cos , sinx y x yρ ρ θ ρ θ= + = =
所以 ， ……………………………………………………………4 分
所以曲线 的参数方程为 （ 为参数）…………………………5 分
（2）联立 得 ，…………………………6 分
同理， ．……………………………………7 分
又 ，………………………………………………………………8 分
所以 ，………………9 分
即 的面积为 ． ………………………………………………………10 分
2 2( 3) ( 1) 4x y− + − =
C 3 2cos
1 2sin
x
y
α
α
= + = +
α
6
=2 3 cos 2sin
πθ
ρ θ θ
=
+
1 4OA ρ= =
2 2 3OB ρ= =
6AOB
π∠ =
1 1 1sin 4 2 3 2 32 2 2AOBS OA OB AOB∆ = ∠ = × × × =
AOB∆ 2 3
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