数学（文科）试题
（考试时间：150 分钟 总分：150 分）
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.已知 ,则复数 在复平面上所对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. ，则（ ）
A. B. C. D.
4.工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号，编号分
别为 001，002，…，599，600 从中抽取 60 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行：
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取 3 个数据，则得到的第 6 个样本编号（ ）
A.522 B.324 C.535 D. 578
5.函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6.阿基米德（公元前 287 年—公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，
他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆
的对称轴，焦点在 轴上，且椭圆 的离心率为 ，面积为 ，则椭圆 的方程为
（ ）
A. B. C. D.
7.已知 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示， 中，点 是线段 的中点， 是线段 的靠近 的三等分点，
则 （ ）
A B. C. D.
C y C 7
4
12π C
4 3cos( ) si 5
π n6a a− + = 7πsin( )6a +
1
2
3
2
4
5
− 1
2
−
ABC∆ D BC E AD A
AC =
4
3 AD BE+ 5
3 AD BE+ 4 1
3 2AD BE+ 5 1
3 2AD BE+
{ }2 2 0A x R x x= ∈ − − < { }1,0,1−=B A B =
{ }1,0,1− { }1,0− { }0,1 { }0
( ) izi 43 =− ( )为虚数单位i z
5.04.0
4 4.0,4,4.0log === pnm
pnm −
≤−=
0,3
0,22
xxf
xxf
x ( ) =2020f14.若实数 满足约束条件 ，则 的最小值为 ．
15. 在 锐 角 中 ， 内 角 所 对 的 边 为 ， ，
，则 的最大值为 。
16.如图，在直角梯形 中， , , ， ，
为 中点，现将 沿 折起，使得平面 平面 ,连接 ,设
为 中点，动点 在平面 和平面 上运动，且始终满足 ,则点
形成的轨迹长度为 。
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分 12 分）
已知数列 为等差数列， ，且 依次成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
18.（本小题满分 12 分）
某校高三学年统计学生的最近 20 次数学周测成绩(满分 150 分),现有甲、乙两位同学的 20 次
成绩如下列茎叶图所示:
（1）根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数,并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充
完整;
（2）根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值,
给出结论即可);
（3）现从甲、乙两位同学的不低于 140 分的成绩中任意选出 2 个成绩,设事件 为“其中 2
个成绩分别属于不同的同学”,求事件 发生的概率.
19.（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 中， 是正三角形，四边形 是菱形，点 是 的中
点．
{ }na 7 2 10a a− = 1 6 21a a a， ，
{ }na
yx,
≤+
≤−
≥+−
2
03
02
yx
yx
yx
y-xz 32=
ABC∆ CBA ,, cba ,, 2=a
( )( ) ( ) BbcACac sin3sinsin −=+− bc
ABCD BCAD // 22
1 == BCAD °=∠ 90ABC °=∠ 45C
E BC CDE∆ DE ⊥CDE ABED BCAC、
M CE P CBE CDE MPAM ⊥ P
1
1
+
=
nn
n aab { }nb n nS
A
A
S ABCD− ABS△ ABCD E BS（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 平面 ， ， ，求三棱锥 的体积.
20.（本小题满分 12 分）
已知抛物线 ，点 为抛物线 的焦点，点 在抛物线
上，且 ，过点 作斜率为 的直线 与抛物线 交于 两点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）求 面积的取值范围。
21. （本小题满分 12 分）
已知函数 .
（1）若函数 在 处的切线方程为 ，求 ， 的值；
（2）若 ， ，求函数 的零点的个数.
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题
号。
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 .以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建
立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 (t 为参数).
（1）若 ，求曲线 的直角坐标方程以及直线 l 的极坐标方程;
（2）设点 ，曲线 与直线 l 交于 两点，求 的最小值.
23．(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
已知函数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）设不等式 的解集为 ，若 ，求实数 的取值范围．
( ) ( )1
3f x x a a= − ∈R
/ /SD ACE
ABS ⊥ ABCD 2AB = 120ABC∠ = ° E ASD−
( )02: 2 >= ppxyC F C ( )( )0,1 >mmA C
2=FA F
≤≤ 22
1 kk l C QP、
C
APQ∆
2( ) ( 2) ( 2)xf x a x e b x= − + −
( )f x (0, (0))f 5 2 0x y− − = a b
1a = b R∈ ( )f x
6cosρ θ=
2 cos
1 sin
x t
y t
α
α
= +
= − +
2
πα = C
( )1,2 −P C BA、 2 2PA PB+
2a = ( )1 13x f x− + ≥
( )1
3x f x x− + ≤ M 1 1,3 2 M ⊆ a高三文科数学答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B D A A C B D B C A
二、填空题:
13、 14、 15、 16、
三、解答题:
17. （1） （2）
解：（1）设等差数列 的公差为
由 得
即 ……………………………………（2 分）
由 成等比数列，得 ……………………………………（3 分）
即 ，解得 ……………………………………（4 分）
……………………………………（6 分）
（2） = …………………（8 分）
……………………………………（12 分）
18.（1）甲的成绩的中位数是 119,乙的成绩的中位数是 128,
…………………………（4 分）
（2）从茎叶图可以看出,乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高,乙同学的成绩比甲
4
7− 6− 348+
3
52
32 += nan 2510 +=
n
nSn
{ }na d
1027 =− aa ( ) 106 11 =+−+ dada
2,105 == dd
2161 ,, aaa 211
2
6 aaa ⋅=
( ) ( )4010 11
2
1 +=+ aaa 51 =a
( ) 32215 +=×−+=∴ nnan
( )( )5232
11
1 ++==
+ nnaab
nn
n
+−+ 52
1
32
1
2
1
nn
+−+++
−+
−=∴
52
1
32
1...9
1
7
1
7
1
5
1
2
1
nnSn
+−=
52
1
5
1
2
1
n 2510 +=
n
n同学的成绩更稳定集中.……………………………………（4 分）
（3）甲同学的不低于 140 分的成绩有 2 个,设为 乙同学的不低于 140 分的成绩有
3 个,设为 ,现从甲乙两位同学的不低于 140 分的成绩中任意选出 2 个成绩有:
共 10 种,其中 2 个成绩分属不
同 同 学 的 情 况 有 : 共 6 种 , 因 此 事 件 A 发 生 的 概 率
.……………………………………（4 分）
19．（1）证明见解析；（2） .
（1）连接 ，设 ，连接 .…………………………（1 分）
因为四边形 是菱形，
所以点 是 的中点.…………………………………………………………（2 分）
又因为 是 的中点，所以 是三角形 的中位线，
所以 ，……………………………………………………………………（3 分）
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .…………………………………………………………（5 分）
（2）因为四边形 是菱形，且 ，
所以 .
又因为 ，所以三角形 是正三角形.……………………………（6 分）
取 的中点 ，连接 ，则 .…………………………………（7 分）
又平面 平面 ，
平面 ，
平面 平面 ，
所以 平面 .…………………………………………（9 分）
在等边三角形 中，
.而 的面 .
所以 .……………………………（12 分）
20.（1） ；（2）
解：（1）点 A 到准线距离为： ，到焦点距离 ，………………（2 分）
所以 ， ， ………………（4 分）
（2）将 代入抛物线， ，
2 4y x= 5,8 5
12
p + 2FA =
1 22
p + = 2p = 2 4y x=
(1, )( 0)A m m > 2m =
ba、
edc 、、
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )edecdcebdbcbeadacaba ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ebdbcbeadaca ,,,,,,,,,,,
( )
5
3
10
6 ==AP
1
2
BD AC BD O= OE
ABCD
O BD
E BS OE BDS
/ /SD OE
SD ⊂ ACE OE ⊂ ACE
/ /SD ACE
ABCD 120ABC = ∠
1 602ABD ABC∠ = ∠ =
AB AD= ABD
AB F SF DF AB⊥
ABS ⊥ ABCD
DF ⊂ ABCD
ABS ∩ ABCD AB=
DF ⊥ ABS
ABD
sin 2sin 60 3DF BD ABD= ∠ = = ASE∆ 1 3sin2 2ASES SA SE ASE∆ = ⋅ ⋅ ∠ =
1
3E ADS D AES ASEV V S DF− − ∆= = ⋅ 1 3 133 2 2
= × × =设直线 ，设 ，联立方程：
…………（6 分）
恒成立
………………………………………………（8 分）
连接 AF，则
…………………
………………（10 分）
当 时， 有最小值为
当 时， 有最大值为
所以答案 ………………………………（12 分）]
21.解析:（1） 的导数为 ，…………………（1 分）
， ，解得 ………………（4 分）
（2） ，易得 有一个零点为 ………………（5 分）
令 ，
（Ⅰ）若 ，则 ，无零点，所以函数 只有一个零点；………（6 分）
（Ⅱ）若 ，则
① ，则 所以 单调递增，而 ，
，
所以 有一个零点，所以 有两个零点；………………………………………（8 分）
: ( 1)l y k x= − 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y
2 4
( 1)
y x
y k x
=
= −
⇒ 2 2( 1) 4k x x− = ⇒ 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + =
2 2 4(2 4) 4 0k k∆ = + − ≥
2
1 2 2
1 2
2 4
1
kx x k
x x
++ =
=
2 1 2 1
1 12 ( 1) 2 (1 )2 2APQ AFP AFQS S S x x x x∆ ∆ ∆= + = × × − + × × − = −
2
APQS ∆ =
2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 4 2
(2 4) 4 1( ) ( ) 4 4 (2 ) 4( 2)2
kx x x x x x kk k
+− = + − = − = + − ≤ ≤
2k = APQS∆ 5
1
2k = APQS∆ 8 5
为 5,8 5
( )f x ( ) ( 1) 2 ( 2)xf x a x e b x′ = − + −
(0) 4 5f a b′ = − − = (0) 2 4 2f a b= − + = − 1a b= = −
( ) ( 2) ( 2)xf x x e b x = − + − ( )f x 2x =
( ) ( 2)xg x e b x= + −
0b = ( ) 0xg x e= > ( )f x
0b ≠ ( ) bexg x +='
0b > ( ) 0g x′ > ( )g x
11( ) 1 2 0bg e bb
−− = − − <
2(2) 0g e= >
( )g x ( )f x② ，由 ，知 ， ，所以 在 单
调递减，
在 单调递增；所以函数 的最小值为 …
（9 分）
（ⅰ）当 即 时， ，所以
无零点，所以 函数只有一个零点
（ⅱ）当 时，即 ，所以 有一个零点，所以函数 有两个零点
（ⅲ）当 时，即 时， ，所以 有两个零点，所以函数
有三个零点………………………………………………………………（11 分）
综上，当 或 时，函数 只有一个零点；当 或 时，函数
有两个零点；当 时，函数 有三个点………………………………（12 分）
（利用函数图像的交点个数讨论酌情给分）
22.（1）曲线 C: ，将 .代入得 x2+y2-6x＝0
即曲线 C 的直角坐标方程为(x-3)2+y2＝9.
直线 l: ，(t 为参数)，所以 x＝2，故直线 l 的极坐标方程为 ……5 分
（2）联立直线 l 与曲线 C 的方程得
即
设点 对应的参数分别为 t1，t2，则
因为
当 时取等号，所以 的最小值为 14.-----------------10 分
23．解：（1）当 时，原不等式可化为 ， …………………1 分
①当 时， ，解得 ，所以 ； ……………………2 分
②当 时， ，解得 ，所以 ； …………3 分
0b < ( ) 0xg x e b′ = + = xe b= − ln( )x b= − ( )g x ( ],ln( )b−∞ −
(ln( ), )b− +∞ ( )g x [ ]min( ) (ln( )) ln( ) 3g x g b b b= − = − −
ln( ) 3 0b− − < 3 0e b− < < [ ]min( ) (ln( )) ln( ) 3 0g x g b b b= − = − − >
( )g x ( )f x
ln( ) 3 0b− − = 3eb −= ( )g x ( )f x
ln( ) 3 0b− − > 3eb −< min( ) 0g x < ( )g x
( )f x
0b = 3 0e b− < < ( )f x 0b > 3b e= − ( )f x
3b e> − ( )f x
2 6 cosρ ρ θ= cos , sinx yρ θ ρ ϑ= =
2
1
x
y t
=
= − + cos 2ρ θ =
( ) ( ) 91sin1cos 22 =−+− αα tt
2 2 (cos sin ) 7 0t t α α− + − =
BA、 1 2 1 22(cos sin ), 7t t t tα α+ = + = −
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) 2 4(cos sin ) 14 4sin 2 18 14PA PB t t t t t t α α α+ = + = + − = + + = + ≥
sin 2 1α = − 2 2PA PB+
2a = 3 1 2 3x x− + − ≥
1
3x ≤ 1 3 2 3x x− + − ≥ 0x ≤ 0x ≤
1 23 x< < 3 1 2 3x x− + − ≥ 1x ≥ 1 2x≤
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