山东潍坊市一中2020届高三数学3月检测试卷（word版带答案）

高三数学试题 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题：(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．) 1．设函数 的定义域 A，函数 y=ln(1－x)的定义域为 B，则 A B= A．(1,2) B．(1,2] C．(−2,1) D．[−2,1) 2．对于 n 个复数 z1，z2，…zn，如果存在 n 个不全为零的实数 k1，k2，…kn，使得 k1 z1+k2z2+… knzn=0，就称 z1，z2，…zn 线性相关，若复数 z1=1+2i，z3=1－i，z3=－2 线性相关，则 k1：k2：k3 的值可以为 A．2:4:3 B．1:3:2 C．1:2:3 D．3:4:2 3．已知向量 = (1,1), =(4,3), =(x,2)，若 ，则 x 的值为 A．4 B．－4 C．2 D．－2 4、函数 的大致图象为 5．在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称．若 sinα= ，则 cos(α－β)= A． B． 24y x= −  a 2a b+  c b c ∥ 3 ( ) x x xf x e e−= − 1 3 7 9 − 7 9C． D． 6．下图是某地某月1 日至15 日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是 A．这 15 天日平均温度的极差为 15℃ B．连续三天日平均温度的方差最大的是 7 日，8 日，9 日三天 C．由折线图能预测 16 日温度要低于 19℃ D．由折线图能预测本月温度小于 25℃的天数少于温度大于 25℃的天数 7．围棋棋盘共 19 行 19 列，361 个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有 3613 种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得 出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即 1000052，下列最接近 的是(注： lg3≈0.477） A．10-26 B．10-35 C．10-36 D．10-25 8．已知抛物线 y2=2px 上不同三点 A，B，C 的横坐标成等差数列则下列说法正确的是 A．A，B，C 的纵坐标成等差数列 B．A，B，C 到 x 轴的距离成等差数列 C．A，B，C 到点 O(0,0)的距离成等差数列 2 3 − 2 3 361 52 3 10000D．A，B，C 到点 的距离成等差数列 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 9．设正实数 a，b 满足 a+b=1，则 A． 有最小值 4 B． 有最小值 C． 有最大值 1 D．a2+b2 有最小值 10．已知菱形 ABCD 中，∠BAD=60°，AC 与 BD 相交于点 O．将△ABD 沿 BD 折起，使顶 点 A 至点 M，在折起的过程中，下列结论正确的是 A．BD⊥CM B．存在一个位置，使△CDM 为等边三角形 C．DM 与 BC 不可能垂直 D．直线 DM 与平面 BCD 所成的角的最大值为 60° 11．已知双曲线 (a＞0，b,0)的左、右两个顶点分别是 A1,A2,左、右两个焦点分别 是 F1,F2,P 是双曲线上异于 A1,A2 的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有 A． B．直线 PA1，PA2 的斜率之积等于定值 C．使得△PF1F2 为等腰三角形的点 P 有且仅有 8 个 D．△PF1F2 的面积为 12．函数 f (x)在[a,b]上有定义,若对任意 x1，x2∈[a，b],有 ,则称 f（x）在[a, b]上具有性质 P.设 f(x)在[1,3]上具有性质 P,则下列选项是真命题的是 A. f ( x)在[1,3]上的图像是连续不断的 B.f(x2)在[1, ]上具有性质 P C.若 f (x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3]  D.对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. ,02 pF      1 1 a b + ab 1 2 a b+ 1 2 2 2 2 2 1x y a b − = 1 2 2PA PA a− = 2 2 b a 2 1 2tan 2 b A PA∠ 1 2 1 2 1( ) [ ( ) ( )]2 2 x xf f x f x + ≤ + 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]4 4 x x x xf f x f x f x f x + + + ≤ + + +13.如图所示，一名男生扔铅球，铅球上升高度 y(单位:m)与水平距离 x(单位:m)之间的关系是 ，则铅球落地时，铅球速度方向与地面所成的角是__________。 14．人的某一特征（如单双眼皮）是由他的一对基因决定的，以 D 表示显性基因，d 表示隐性 基因，则具有 DD 基因的人是显性纯合子表现为双眼皮，具有 dd 基因的人是隐性纯合子表现 为单眼皮，具有 Dd 基因的人为杂合子，显性纯合子与杂合子都显露显性基因决定的某一特征. 孩子从父母身上各得一个基因，假定父母都是杂合子.则一对双眼皮夫妇生一个双眼皮的男孩 概率是___________________。 15．记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，且 a1=1，S7=28．记 bn=[lgan]，其中[x]表示不超过 x 的 最大整数，如[0.90]=0，[lg99] =1，则=b2019b2020=___________。 16.已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1，动点 P 在正方体的表面上运动，且与点 A 的距 离 为 . 动 点 P 的 集 合 形 成 一 条 曲 线 ， 这 条 曲 线 在 平 面 CDD1C1 上 部 分 的 形 状 是 ___________ ， 整 条 曲 线 的 周 长 是 ________________ 四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 17．（10 分）已知等差数列{an}满足 a1= a2 +4 且 a18+a20=12，等比数列{bn}的首项为 2，公比 为 q. （1）若 q=3，问 b3 等于数列{an}中的第几项？ （2）若 q=2，数列{an}和{bn}的前 n 项和分别记为 Sn 和 Tn，Sn 的最大值为 M，试比较 M 与 T9 的大小. 18．（12 分）已知在△ABC中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c， =(sinA+cosC， sinA)， =（cosC－sinA，－sinC），若 (1)求角 B； (2)若 b=3，求△ABC 面积的最大值. 19．（12 分）在四棱锥 S—ABCD 中，底面 ABCD 为长方形，SB⊥底面 ABCD，其中 BS=2， 21 2 5 12 3 3y x x= − + + 2 3 3 p q 1 cos2 2 Bp q +=  BA=2，BC=λ，λ 的可能取值为：① ；② ；③ ；④ ； ⑤λ=3 （1）求直线 AS 与平面 ABCD 所成角的正弦值； （2）若线段 CD 上能找到点 E，满足 AE⊥SE,则 λ 可能的取值有几 种情况？请说明理由； （3）在（2）的条件下，当 λ 为所有可能情况的最大值时，线段 CD 上满足 AE⊥SE 的点有两个，分别记为 E1，E2，求二面角 E1－SB－E2 的大小. 第 19 题图 20．（12 分） 高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展，据统计， 在 2018 年这一年内从 A 市到 B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为 50 万人次．为了解乘客 出行的满意度，现从中随机抽取 100 人次作为样本．得到下表(单位：人次)： (1)在样本中任取 1 个，求这个出行人恰好不是青年人的概率； (II)在 2018 年从 A 市到 B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 2 人次，记其中老年人出行 的人次为 X．以频率作为概率．求 X 的分布列和数学期望； (III)如果甲将要从 A 市出发到 B 市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是 飞 机？并说明理由. 1 4 λ = 1 2 λ = 3 2 λ = 3 2 λ =21．（12 分）已知函数 f(x)=xlnx. （1）求 f(x)的单调区间与极值； （2）若不等式 对任意 x∈[1，3]恒成立，求正实数 λ 的取值范围. 22．（12 分）给定椭圆 (a＞b＞0)，称圆心在原点 O，半径为 的圆是 椭圆 C 的“卫星圆”.若椭圆 C 的离心率为 ，点 在 C 上． (I)求椭圆 C 的方程和其“卫星圆”方程； (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 的“卫星圆”上的一个动点，过点 P 作直线 l1,l2，使得 l1,l2 与椭圆 C 都只有 一个公共点，且 l1,l2 分别交其“卫星圆”于点 M，N，证明：弦长 为定值． 2 3ln( ) 032 2 xx x e x λλ+ − ≥ + 2 2 2 2: 1x yC a b + = 2 2a b+ 2 2 (2 2， ） MN高三数学试题答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B D A B C D AD ABD BC CD 二、填空题 13. 14. 0.375 15. 9 16.圆弧、 三、解答题 17.【解析】(1)因为等差数列{an}满足 a1= a2 +4 即 a2－a1 =－4,所以等差数列{an}的公差 d=−4 又 a18+a20=12 得 a1+17d+a1+19d=12,代入可得 a1=78 所以 an=a1+(n－1)d=78+(n－1)(－4)=－4n+82 ----------------------2 分 当等比数列{bn}的首项为 2,公比为 q. 当 q=3 时 bn=b1qn－1=2×3n－1 所以 b3=b1q2=2×32=18 -----------------------------4 分 所以当 18=－4n+82 时 解得 n=16 即 q=3 时 b3 等于数列{an}中的第 16 项 -----------------------------5 分 (2)等比数列{bn}的首项为 2,若 q=2 由 可得 ------------------------6 分 又等差数列{an}中 代入可得 ----------------------9 分 所以当 n=20 时，Sn 的最大值为 M=800 所以 M＜T9 ---------------------------10 分 18.【解析】（1）由题意知 4 π 5 3 6 π 1(1 )T 1 n n a q q −= − 9 10 9 2 (1 2 ) 2 2 10221 2T × −= = − =− 1 ( 1) 2n n n dS na −= + 2 2( 1)( 4)78 2 80 2( 20) 8002n n nS n n n − −= + = − + = − − + 2 2 2cos sin sin sin cosp q C A A C B= − − =  1－sin2C－sin2A－sinAsinC=1－sin2B， sin2A+sin2C+sinAsinC=sin2B ………………………………3 分 由正弦定理：a2+c2+ac=b2， a2+c2－b2=－ac=2accosB，∴ ∵0＜B＜π，∴ ………………………………………6 分 （2）由余弦定理：b2=a2+c2－2accosB， ∴9= a2+c2+ac≥3ac ∴ac≤3，当且仅当 a=c 时，(ac)max=3， ………………………………………10 分 ∴S△ABC= ………………………………………12 分 19.【解析】解： （1）因为 SB⊥底面 ABCD,所以∠SAB 即为直线 AS 与平面 ABCD 所成的角，在 Rt△SBA 中， sin∠SAB=sin45°= .……………2 分 （2）以 B 为坐标原点，以 BC、BA、BS 的方向分别为 x 轴、 y 轴 z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐 标 分别为： B(0,0,0)，A(0,2,0),D(λ,2,0),S(0,0,2). ……………4 分 设 ，所以， ……………6 分 因为 x∈[0,2], ，所以在所给的数据中，λ可以取①②③ ……………8 分 （3）由（2）知 ，此时， 或 ，即满足条件的点 E 有两个， 根据题意得，其坐标为 和 ), ……………9 分 因为 SB⊥平面 ABCD，所以 SB⊥BE1, SB⊥BE2, 1cos 2B = − 2 3B π= 1 3 3 3sin2 4 4ac B ac= ≤ 2 2 ( , ,0)(0 2)E x xλ ≤ ≤ ( , , 2), ( ,2 ,0)SE x EA xλ λ= − = − −  2 2(2 ) 0 (2 )SE EA x x x xλ λ⊥ ⇒ − + − = ⇒ = −  2 (2 ) [0,1]x xλ = − ∈ 3 2 λ = 1 2x = 3 2x = 1 3 1( , ,0)2 2E 2 3 3( , ,0)2 2E所以，∠ E1BE2 是二面角 E1−SB−E2 的平面角 .……………10 分 由 由题意得二面角 E1−SB−E2 为锐角， 所以二面角 E1−SB−E2 的大小为 30° ……………12 分 （用向量法也相应得分） 20.解：（Ⅰ）设事件：“在样本中任取 1 个，这个出行人恰好不是青年人”为 M，…1 分 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为 19，39，42，………2 分 所以在样本中任取 1 个，这个出行人恰好不是青年人的概率 …………………………3 分 （Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2. ………………4 分 因为在 2018 年从 A 市到 B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 1 人次，此人为老年人概率 是 ………………5 分 所以 ， ………………6 分 ， ………………7 分 .………………8 分 所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 P ………………9 分 故 .………………10 分 （Ⅲ）答案不唯一，言之有理即可. 如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下： 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为： 1 2 1 2 1 2 3 3 34 4cos , 21 3 BE BEBE BE BE BE + = = = ××      19 39 29( ) 100 50P M += = 15 1 75 5 = 0 2 2 1 16( 0) (1 )5 25P X C= = × − = 1 2 1 1 8( 1) (1 )5 5 25P X C= = × × − = 2 2 2 1 1( 2) ( )5 25P X C= = × = 16 25 8 25 1 25 16 8 1 2( ) 0 1 225 25 25 5E X = × + × + × = 52 10 12 5 11 0 116 52 12 11 15 × + × + × =+ +乘坐飞机的人满意度均值为： 因为 ，所以建议甲乘坐高铁从 A 市到 B 市 .………12 分 21.【解析】（1）f＇(x)=1+lnx，，定义域为(0，+∞)， f＇(x)＞0, ,f＇(x)＜0,0＜x＜ ∴f(x)的单减区间为 ，f(x)的单增区间为 ， ∴ ，无极大值 ………………………………4 分 （2） ∵ , ∴ ……………………………………6 分 ∵ ∴由（1）知 f (x)在 上单增，∴ ∴ ，即 …………………………………………7 分 令 ，则 ， 令 ， 4 10 14 5 7 0 22 4 14 7 5 × + × + × =+ + 116 22 15 5 ＞ 1x e ＞ 1 e 10, e      1 ,e  +∞   1 1 1 1( ) = lnf x e e e e   = = −  极小值 2 2 3ln 032 2 xx ex x x λλ + −   +  ≥ 2 2 23 3 30, ln2 2 2 xx x x x x x x eλλ   + + +       ＞ ∴ ≥ 2 3 ( )2 xf x x f eλ +  ≥ 2 03 2, 12 xx x e eλ+ =≥ ＞ 1 ,e  +∞   2 3 ,2 xx x λ+ ≥e 2 3ln 2x x xλ  +  ≤ 2 3ln( )2x x x λ + ≤ 2 3ln( )2( ) x x h x x + = 2 2 32 32 ln3 2 2( ) x x x x h x x +  − +  + =＇ 2 32 32( ) ln3 2 2 x k x x x x +  = − +  +则 ， ∴k(x)在[1,3]上单减， ， ， ∴ ，k(x0)=0 且在(1，x0)上，k(x)＞0，h＇(x)＞0，h(x)单增， 在(x0,3)上，k(x)＜0，h＇(x)＜0，h(x)单减 ……………………………………10 分 ∴ , ∴h(1)＞h(3)，∴0＜λ≤ ……………………………………12 分 22.解：(Ⅰ)由条件可得: 解得 ,b=2 所以椭圆的方程为 ， ···············3 分 卫星圆的方程为 ······················4 分 （II）①当 l1,l2 中有一条无斜率时，不妨设 l1 无斜率， 因为 l1 与椭圆只有一个公共点，则其方程为 或 ， 当 l1 方程为 时，此时 l1 与“卫星圆”交于点 和 ， 此时经过点 且与椭圆只有一个公共点的直线是 y=2 或 y=−2，即 l2 为 y=2 或 y=−2， ∴l1⊥l2 ∴线段 MN 应为“卫星圆”的直径，∴ ··········7 分 ②当 l1, l2 都有斜率时，设点 P(x0,y0)，其中 设经过点 P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为 y=t(x－x0)+y0, 2 2 2 3 3 3 3 92 2 2 31 12 2 2 2 4( ) 03 3 3 3 33 2 2 2 2 22 x x x x k x xx x x x x x xx  + + − − − = − = − =      + + + + ++           ＇ ＜ 7 5(1) ln 05 2k = − ＞ 5 27(3) ln 03 2k = − ＜ 0 (1,3)x∃ ∈ ( ) ( ){ }min( ) min 1 , 3h x h h= ( ) ( ) 327ln5 2721 ln , 3 ln2 3 2h h= = = 1 27ln3 2 2 2 2 2 4 2 1 c a a b  =  + = 2 2a = 2 2 18 4 x y+ = 2 2 12x y+ = 2 2x = 2 2x = − 2 2x = ( )2 2,2 ( )2 2, 2− ( )2 2,2 ( )2 2, 2− 4 3MN = 2 2 0 0 12x y+ =则 消去 y 得到 ……9 分 ∴ ···················10 分 ∴ …………………………11 分 所以 t1·t2=－1，满足条件的两直线 l1, l2 垂直. ∴线段 MN 应为“卫星圆”的直径，∴ 综合①②知：因为 l1, l2 经过点 P(x0,y0)，又分别交其卫星圆于点 M, N，且 l1, l2 垂直， 所以线段 MN 为卫星圆 的直径，∴ 为定值 …………12 分 0 0 2 2 ( ) 18 4 y tx y tx x y = + − + = ( ) ( ) ( )22 2 0 0 0 01 2 4 2 8 0t x t y tx x y tx+ + − + − − = ( )2 2 2 0 0 0 064 8 16 32 8 0x t x y t y∆ = − + + − = ( )22 00 1 2 2 2 0 0 32 8 1232 8 164 8 64 8 xyt t x x − −−⋅ = = = −− − 4 3MN = 2 2 0 0 12x y+ = 4 3MN =