宁夏2020届高三数学（文）下学期第一次模拟试卷（word版带答案）

2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题卷 (第一次模拟考试) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知集合 ，则 = A． B． C． D． 2．复数 ，若复数 ， 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 A．5 B．-5 C． D． 3．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在 上是单调增函数的是 A． B． C． D． 4．已知向量 , ,其中 ，且 ，则 与 的夹角是 A． B． C． D． 5．为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的 2000 名居民进行模排，各年龄 段男、女生人数如下表．已知在小区的 居民中随机抽取 1 名，抽到 20 岁-50 岁女居民的概率是 0.19．现用分层抽样的方法在全小区抽取 64 名居民，则应在 50 岁以上抽取的女居民人数为 1 岁——20 岁 20 岁——50 岁 50 岁以上 女生 373 X Y 男生 377 370 250 A．24 B．16 C．8 D．12 6．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视 图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的 长分别为 2 和 6，高为 2，则该刍童的体积为 A． B． C．27 D．18 }623|{},04|{ 2 > 5 3 c 2 3 θ nS { }na n 1 8a = 3 22( 3)S a= + { }na 1 2n nT a a a=  nT 1 1 1ABC A B C− 1 3, 2,AB AC AA BC D= = = = BC F 1CC 2CF = 1B F ⊥ ADF 1FD B D⊥ 1B ADF−吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 1 植株死亡 合计 20 （2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取 3 株，求这 3 株中恰有 1 株“植株存活”的 概率. 参考数据： ，其中 20.（12 分） 已知动点 到定点 的距离比 到定直线 的距离小 1. （1）求点 的轨迹 的方程； （2）过点 任意作互相垂直的两条直线 ，分别交曲线 于点 和 .设线段 ， 的中点分别为 ，求证：直线 恒过一个定点； （3）在（2）的条件下，求 面积的最小值. 21.（12 分） 已知函数 ． （1）若函数 在 上是减函数，求实数 的最小值； （2）若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围． (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记 分。 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分) 在 直 角 坐 标 系 中 ， 曲 线 的 参 数 方 程 为 为 参 数 ），曲 线 ． （1）在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 的极坐标方程； 2( ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 P K k k ≥ 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )f x ( )1,+∞ a 2 1 2, [ , ]x x e e∈ ( ) ( )1 2f x f x a′≤ + a 1C M ( )1,0F M 2x = − M C F 1 2,l l C ,A B ,M N AB MN ,P Q PQ FPQ∆ ( ) ln xf x axx = − xOy 1 1 cos: (sin xC y α αα = +  = 2 2 2 : 12 xC y+ = O x 1 2,C C（2）若射线 与 的异于极点的交点为 ，与 的交点为 ，求 ． 23．[选修 4-5：不等式选讲] 已知关于 的不等式 有解，记实数 的最大值为 . （1）求 的值； （2）正数 满足 ，求证 . x 2 3 1x x m− − + ≥ + m M M , ,a b c 2a b c M+ + = 1 1 1a b b c + ≥+ + ( 0)6 πθ ρ= ≥ 1C A 2C B AB 2020 届高三第一次模拟数学(文科)试题参考答案 一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D B C B A D A B C D 二．填空题：13.-5 ；14.0；15. ； 16. 或 三．解答题： 17.解：（1）设 的公比为 ，由题意得： 所以 ，即 则 -----6 分 所以 . （2） ------9 分 当 或 4 时， 取得最大值，且 .-----12 分 18.（1）证明：因为 是 的中点，所以 ， 在直三棱柱 中，因为 底面 ， 底面 ，所以 , 因为 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 .------- 3 分 在矩形 中，因为 ， 所以 ，所以 ，所以 , （或通过计算 ，得到 为直角三角形） 所以 ，因为 ，所以 平面 --------6 分 （2）解：因为 平面 ， , 因为 是 的中点，所以 ，在 中， , 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 .-----12 分 19. 解析：(1) 由题意可得“植株存活”的 13 株，“植株死亡”的 7 株；“吸收足量”的 15 株，“吸收不足 量”的 5 株，填写列联表如下： 吸收足量 吸收不足量 合计 3 2 12 π 5 12 π { }na q 1 3 2 6a a a+ = + 28 8 8 6q q+ = + 24 4 1 0q q− + = 1 2q = 1 418 22 n n na − − = × =   ( ) ( )7 3 2 1 4 2 1 2 2 2 n n n n nT a a a − + + + + −= = = 3n = nT ( )max 64nT = ,AB AC D= BC AD BC⊥ 1 1 1ABC A B C− 1BB ⊥ ABC AD ⊂ ABC 1AD B B⊥ 1BC B B B∩ = AD ⊥ 1 1B BCC 1B F ⊂ 1 1B BCC 1AD B F⊥ 1 1B BCC 1 1 11, 2C F CD B C CF= = = = 1 1Rt DCF FC B∆ ≅ ∆ 1 1CFD C B F∠ = ∠ 0 1 90B FD∠ = 1 15, 10FD B F B D= = = 1B FD∆ 1B F FD⊥ AD FD D∩ = 1B F ⊥ ADF AD ⊥ 1B DF 2 2AD = D BC 1CD = 1Rt B BD∆ 11, 3BD CD BB= = = 2 2 1 1 10B D BD BB= + = 1FD B D⊥ 1Rt CDF BB D∆ ∼ ∆ 1 1 DF CD B D BB = 1 10103 3DF = × = 1 1 1 1 10 10 210 2 23 3 2 3 9B ADF ADFV S AD− ∆= × = × × × × =植株存活 12 1 13 植株死亡 3 4 7 合计 15 5 20 …………………………………………………………………………………………………4 分 所以不能在犯错误概率不超过 1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关.………8 分 (2)样本中“制剂吸收不足量”有 5 株，其中“植株死亡”的有 4 株， 存活的 1 株. 设事件 :抽取的 3 株中恰有 1 株存活 记存活的植株为 ,死亡的植株分别为 则选取的 3 株有以下情况： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 种，其中恰有一株植株存活的情况有 6 种 所以 （其他方法酌情给分.）………………………………12 分 20．解：（Ⅰ）由题意可知：动点 到定点 的距离等于 到定直线 的距离.根据抛 物线的定义可知，点 的轨迹 是抛物线. ∵ ，∴抛物线方程为： --------3 分 （Ⅱ）设 两点坐标分别为 ，则点 的坐标为 . 由题意可设直线 的方程为 . 由 ，得 . . 因为直线 与曲线 于 两点，所以 . 所以点 的坐标为 .由题知,直线 的斜率为 ，同理可得点 的坐标为 . ---- ---------5 分 当 时，有 ，此时直线 的斜率 . 所以，直线 的方程为 ，整理得 . 于是，直线 恒过定点 ； 635.6934.5515713 )13412(20 2 2 1l C ,A B ( )1 2 1 2 1 22 4 42 , 2x x y y k x xk k + = + + = + − = P 2 2 21 ,k k  +   2l 1 k − Q ( )21 2 , 2k k+ − 1k ≠ ± 2 2 21 1 2kk + ≠ + PQ 2 2 2 2 2 2 11 1 2 PQ k kkk kkk + = = −+ − − PQ ( )2 22 1 21 ky k x kk + = − −− ( )2 3 0yk x k y+ − − = PQ ( )3,0E当 时，直线 的方程为 ，也过点 . 综上所述，直线 恒过定点 .---------8 分 （Ⅲ）可求得 .所以 面积 . 当且仅当 时，“ ”成立，所以 面积的最小值为 4.-----12 分 21．解：已知函数 的定义域为 ． （Ⅰ）因为 在 上为减函数，故 在 上恒成立，即当 时， ． 又 ， 故当 ，即 时， ． 所以 ，于是 ，故 的最小值为 ． ………………………5 分 （Ⅱ）命题“若存在 使 成立”等价于“当 时，有 ” ． 由（Ⅰ）知，当 时， ，所以 ． 故问题等价于：“当 时，有 ” ①当 时，由（Ⅱ）知， 在 上为减函数， 则 ，故 ．……………8 分 ②当 ， 时， ，由（Ⅰ）知，函数 在 上是减函数， ，所以 ，与 矛盾，不合题意． 综上，得实数 的取值范围 ． …………………12 分 22、解析： （Ⅰ）曲线 为参数）可化为普通方程: ，………2 分 ( ) ( )0,1 1,+∞ ( )f x ( )1,+∞ ( ) ( )2 ln 1 0 ln xf x a x −′ = − ≤ ( )1,+∞ ( )1,x∈ +∞ ( )max 0f x′ ≤ ( ) ( ) 2 2 2 ln 1 1 1 1 1 1( ) ( )ln ln ln 2 4ln xf x a a ax x xx −′ = − = − + − = − − + − 1 1 ln 2x = 2x e= ( )max 1 4f x a′ = − 1 04 a− ≤ 1 4a ≥ a 1 4 2 1 2, [ , ]x x e e∈ ( ) ( )1 2f x f x a′≤ + 2[ , ]x e e∈ min max( ) ( )f x f x a′≤ + 2[ , ]x e e∈ max 1( ) 4f x a′ = − max 1( ) 4f x a′ + = 2[ , ]x e e∈ ( )min 1 4f x ≤ 1 4a ≥ ( )f x 2,e e   ( ) ( ) 2 2 2 min 1 2 4 ef x f e ae= = − ≤ 2 1 1 2 4a e ≥ − 1 4a < 2[ , ]x e e∈ ( ) 1 ln ln 4 x xf x ax xx x = − > − 1( ) ln 4 xx xx ϕ = − 2[ , ]e e 2 2 2 2 min ( ) ( ) 2 4 4 e e ex eϕ ϕ= = − = ( ) 2 min 1 4 4 ef x > > 1 4a < a 2 1 1[ , )2 4e − +∞ 1k = ± PQ 3x = ( )3,0E PQ ( )3,0E 2EF = FPQ∆ 1 2 12 2 42S FE k kk k    = + = + ≥          1k = ± = FPQ∆ ( )f x 1 1 cos: (sin xC y α αα = +  = 2 2( 1) 1x y− + =由 可得曲线 的极坐标方程为 ，………3 分 曲线 的极坐标方程为 ．………5 分 （Ⅱ）射线 与曲线 的交点 的极径为 ，………6 分 射 线 与 曲 线 的 交 点 的 极 径 满 足 ， 解 得 ，………8 分 所以 ．………10 分 23、解析： ， ………2 分 若不等式 有解，则满足 ，………3 分 解得 .∴ . ………5 分 （2）由（1）知正数 满足 ， ∴ ………7 分 ………9 分 （当且仅当 时，取等号.）………10 分 A B 2 3 ( 2) ( 3) 5x x x x− − + ≤ − − + = 2 3 1x x m− − + ≥ + 1 5m + ≤ 6 4m− ≤ ≤ 4M = , ,a b c 2 4a b c+ + = 1 1 1 1 1[( ) )]( )4 a b b ca b b c a b b c + = + + + ++ + + + , 2a c a b= + = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 1C 2cosρ θ= 2C 2 2(1 sin ) 2ρ θ+ = ( 0)6 πθ ρ= ≥ 1C 1 2cos 36 πρ = = ( 0)6 πθ ρ= ≥ 2C 2 2 2 (1 sin ) 26 πρ + = 2 2 10 5 ρ = 1 2 2 103 5AB ρ ρ= − = − 1)22(4 1)2(4 1 =+ +⋅+ ++≥+ +++ ++= cb ba ba cb cb ba ba cb