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济宁一中 2017 级高三一轮复习质量检测数学试题
考试时间：120 分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用 2B 铅笔涂在答题卡
中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试
卷上均无效，不予记分。
第 I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共 8 小题，共 40 分）
1. 在复平面上，复数2 + 4푖
1 + 푖 对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第四象限
2. 已知实数集 R，集合퐴 = {푥|1 < 푥 < 3}，集合퐵 = {푥|푦 = 1
푥 ― 2}，则퐴 ∩ (∁푅퐵) = ( )
A. {푥|1 < 푥 < 3} B. {푥|1 < 푥 ≤ 2} C. {푥|2 ≤ 푥 < 3} D. {푥|1 < 푥 < 2}
3. 过点푃(1,2)的直线与圆푥2 + 푦2 = 1相切，且与直线푎푥 + 푦 ― 1 = 0垂直，则实数 a 的
值为( )
A. 0 B. ― 4
3 C. 0 或4
3 D. 4
3
4. 某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为 8 的样本，他们的数学、物理
分数对应如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学分数 x 60 65 70 75 80 85 90 95
物理分数 y 72 77 80 84 88 90 93 95第 2 页，共 11 页
绘出散点图如下：
根据以上信息，判断下列结论：
①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③甲同学数学考了 80 分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了 60 分的乙同学
的物理成绩要高．
其中正确的个数为( )
A. 0 B. 3 C. 2 D. 1
5. 函数푓(푥) = 3푐표푠푥 + 1
푥 的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
6. 设푎 > 0，푏 > 0， 是 与 的等差中项，则2
푎 + 1
푏的最小值为( )
A. 2 2 B. 3 C. 4 D. 9
7. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它
是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三
角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边
形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，
则此点取自黑色部分的概率是( )
A. 3
16 B. 3
8 C. 1
4 D. 1
8第 3 页，共 11 页
8. 双曲线 的两顶点为퐴1，퐴2，虚轴两端点为퐵1，퐵2，两焦
点为퐹1，퐹2，若以퐴1퐴2为直径的圆内切于菱形퐹1퐵1퐹2퐵2，则双曲线的离心率是( )
A. 5 ―1 B. 3 + 5
2 C. 5 + 1
2 D. 3 +1
二、不定项选择题（本大题共 4 小题，共 20 分）
9. 等差数列{푎푛}是递增数列，满足푎7 = 3푎5，前 n 项和为푆푛，下列选择项正确的是( )
A. 푑 > 0 B. 푎1 < 0
C. 当푛 = 5时푆푛最小 D. 푆푛 > 0时 n 的最小值为 8
10. 已知函数 ，给出下列四个结论，其中正确的结论是( )
A. 函数푓(푥)的最小正周期是2휋；
B. 函数푓(푥)在区间[휋
8,5휋
8 ]上是减函数；
C. 函数푓(푥)的图象关于直线푥 = 휋
8对称；
D. 函数푓(푥)的图象可由函数푦 = 2sin 2푥的图象向左平移휋
4个单位得到
11. 已知函数푦 = 푓(푥)是 R 上的偶函数，对于任意푥 ∈ 푅，都有푓(푥 + 6) = 푓(푥) + 푓(3)成
立，当푥1,푥2 ∈ [0,3]，且푥1 ≠ 푥2时，都有푓(푥1) ― 푓(푥2)
푥1 ― 푥2
> 0，给出下列命题，其中所有正
确命题为( )
A. 푓(3) = 0
B. 直线푥 = ― 6是函数푦 = 푓(푥)的图象的一条对称轴
C. 函数푦 = 푓(푥)在[ ―9, ― 6]上为增函数
D. 函数푦 = 푓(푥)在[ ―9,9]上有四个零点
12. 如图，在正方体퐴퐵퐶퐷 ― 퐴1퐵1퐶1퐷1中，F 是棱퐴1퐷1上动点，
下列说法正确的是( )．
A. 对任意动点 F，在平面퐴퐷퐷1퐴1内存在与平面 CBF 平行
的直线
B. 对任意动点 F，在平面 ABCD 内存在与平面 CBF 垂直的直线
C. 当点 F 从퐴1运动到퐷1的过程中，FC 与平面 ABCD 所成的角变大
D. 当点 F 从퐴1运动到퐷1的过程中，点 D 到平面 CBF 的距离逐渐变小第 4 页，共 11 页
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13. 已知푒1，푒2为单位向量且夹角为휋
3，设푎 = 푒1 + 푒2，푏 = 푒2，푎在푏方向上的投影为
______ ．
14. 若(푥
2 ― 1
3 푥)푎的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是
______．
15. 如图，椭圆 的右焦点为 F，
过 F 的直线交椭圆于 A，B 两点，点 C 是点 A 关于
原点 O 的对称点，若퐶퐹 ⊥ 퐴퐵且퐶퐹 = 퐴퐵，则椭圆的
离心率为______ ．
16. 已知定义域为 R 的函数푓(푥)满足：当푥 ∈ ( ― 1,1]时，푓(푥) = { ― 푥
푥 + 1, ― 1 < 푥 ≤ 0
22―푥 ― 2,0 < 푥 ≤ 1 ，
且푓(푥 + 2) = 푓(푥)对任意的푥 ∈ 푅恒成立．若函数푔(푥) = 푓(푥) ― 푚(푥 + 1)在区间
[ ― 1,5]内有 6 个零点，则实数 m 的取值范围是______．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17. 已知{푎푛}是等差数列，{푏푛}是等比数列，且푏2 = 3，푏3 = 9，푎1 = 푏1，푎14 = 푏4．
(1)求{푎푛}的通项公式；
(2)设푐푛 = 푎푛 + 푏푛，求数列{푐푛}的前 n 项和．
18. 已知函数푓(푥) = cos2푥 ― sin2푥 + 1
2，푥 ∈ (0,휋)．
(1)求푓(푥)的单调递增区间；
(2)设 △ 퐴퐵퐶为锐角三角形，角 A 所对边푎 = 19，角 B 所对边푏 = 5，若푓(퐴) = 0，
求 △ 퐴퐵퐶的面积．第 5 页，共 11 页
19. 如图所示，直角梯形 ABCD 中，퐴퐷//퐵퐶，퐴퐷 ⊥ 퐴퐵，퐴퐵 = 퐵퐶 = 2퐴퐷 = 2，四边形
EDCF 为矩形，퐶퐹 = 3，平面퐸퐷퐶퐹 ⊥ 平面 ABCD．
(Ⅰ)求证：퐷퐹//平面 ABE；
(Ⅱ)求平面 ABE 与平面 EFB 所成锐二面角的余弦值；
(Ⅲ)在线段 DF 上是否存在点 P，使得直线 BP 与平面 ABE 所成角的正弦值为 3
4 ，
若存在，求出线段 BP 的长，若不存在，请说明理由．
20. 某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投 3 次，每次投篮的结果
相互独立.在 A 处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分，否则得 0 分.将学
生得分逐次累加并用 X 表示，如果 X 的值不低于 3 分就判定为通过测试，立即停
止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案：方案 1：先在 A
处投一球，以后都在 B 处投；方案 2：都在 B 处投篮.已知甲同学在 A 处投篮的命
中率为1
4，在 B 处投篮的命中率为4
5．
(Ⅰ)若甲同学选择方案 1，求他测试结束后所得总分 X 的分布列和数学期望퐸(푋)；
(Ⅱ)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由．第 6 页，共 11 页
21. 已知抛物线 C：푥2 = ―2푝푦经过点(2, ― 1)．
(Ⅰ)求抛物线 C 的方程及其准线方程；
(Ⅱ)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，
N，直线푦 = ―1分别交直线 OM，ON 于点 A 和点퐵.求证：以 AB 为直径的圆经过 y
轴上的两个定点．
已知函数푓(푥) = 푎푒2푥 +(푎 ― 2)푒푥 ―푥．
(1)讨论푓(푥)的单调性；
(2)若푓(푥)有两个零点，求 a 的取值范围．
济宁一中 2017 级高三一轮复习质量检测数学试题
答案
1.A2.B3.C4.D5.A6.D7.A8.C
9.ABD10.BC11.ABD12.AC
13.3
214.715. 6 ― 316.[2
5,2
3)
17.解：(1)设{푎푛}是公差为 d 的等差数列，{푏푛}是公比为 q 的等比数列，
由푏2 = 3，푏3 = 9，可得푞 = 푏3
푏2
= 3，
푏푛 = 푏2·푞푛―2 = 3·3푛―2 = 3푛―1；
即有푎1 = 푏1 = 1，푎14 = 푏4 = 27，
则푑 = 푎14 ― 푎1
13 = 2，第 7 页，共 11 页
则푎푛 = 푎1 +(푛 ― 1)푑 = 1 + 2(푛 ― 1) = 2푛 ― 1；
(2)푐푛 = 푎푛 + 푏푛 = 2푛 ― 1 + 3푛―1，
则数列{푐푛}的前 n 项和为：
[1 + 3 + … + (2푛 ― 1)] + (1 + 3 + 9 + … + 3푛―1)
=
2푛
2 ·푛 +
1 ― 3푛
1 ― 3
= 푛2 + 3푛 ― 1
2 ．
18.解：(1)函数푓(푥) = cos2푥 ― sin2푥 + 1
2 = 푐표푠2푥 + 1
2，푥 ∈ (0,휋)，
由2푘휋 ― 휋 ≤ 2푥 ≤ 2푘휋，푘 ∈ 푍，
解得푘휋 ― 1
2휋 ≤ 푥 ≤ 푘휋，푘 ∈ 푍，
当푘 = 1时，1
2휋 ≤ 푥 ≤ 휋，
可得푓(푥)的单调递增区间为[휋
2,휋)；
(2)设 △ 퐴퐵퐶为锐角三角形，
角 A 所对边푎 = 19，角 B 所对边푏 = 5，
若푓(퐴) = 0，即有푐표푠2퐴 + 1
2 = 0，
解得2퐴 = 2
3휋，即퐴 = 1
3휋，
由余弦定理可得푎2 = 푏2 + 푐2 ―2푏푐푐표푠퐴，
化为푐2 ―5푐 + 6 = 0，
解得푐 = 2或 3，
若푐 = 2，则푐표푠퐵 = 19 + 4 ― 25
2 × 19 × 2 < 0，
即有 B 为钝角，
∴ 푐 = 2不成立，
则푐 = 3，
△ 퐴퐵퐶的面积为푆 = 1
2푏푐푠푖푛퐴 = 1
2 × 5 × 3 × 3
2 = 15 3
4 ．
19.解：(Ⅰ)证明： ∵ 四边形 EDCF 为矩形，
∴ 퐷퐸 ⊥ 퐶퐷，
∵ 平面퐸퐷퐶퐹 ⊥ 平面 ABCD，
平面퐸퐷퐶퐹 ∩ 平面퐴퐵퐶퐷 = 퐶퐷，
퐷퐸 ⊂ 平面 EDCF，
∴ 퐷퐸 ⊥ 平面 ABCD．
由题意，以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，过 D 作平行于 AB 直线为 y 轴，
DE 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：第 8 页，共 11 页
则퐴(1,0，0)，퐵(1,2，0)，퐸(0,0， 3)，퐹( ― 1,2， 3)，
퐵퐸 = ( ― 1, ― 2, 3)，퐴퐵 = (0,2，0)，
设平面 ABE 的法向量为푛 = (푥,y，푧)，
∴ { ―푥 ― 2푦 + 3푧 = 0
2푦 = 0 , ∴ 푦 = 0，令푧 = 1，则푥 = 3，
所以平面 ABE 的法向量为푛 = ( 3,0，1)，
又퐷퐹 = ( ― 1,2， 3)，
∴ 퐷퐹 ⋅ 푛 = ― 3 +0 + 3 = 0，
∴ 퐷퐹 ⊥ 푛；
又 ∵ 퐷퐹⊄平面 ABE，
∴ 퐷퐹//平面 ABE；
(Ⅱ) ∵ 퐵퐸 = ( ― 1， ―2， 3)，퐵퐹 = ( ― 2,0， 3)，
设平面 BEF 的法向量为푚 = (푎,b，푐)，
∴ { ―푎 ― 2푏 + 3푐 = 0
―2푎 + 3푐 = 0 ,令푐 = 4，则푎 = 2 3,푏 = 3，
则平面 BEF 的法向量为푚 = (2 3, 3,4)，
设平面 ABE 与平面 EFB 所成锐二面角为휃，
∴ 푐표푠휃 = |푚 ⋅ 푛|
|푚| × |푛| = 10
31 × 2 = 5 31
31 ，
∴ 平面 ABE 与平面 EFB 所成锐二面角的余弦值是5 31
31 ；
(Ⅲ)设퐷푃 = 휆퐷퐹 = 휆( ― 1,2， 3)
= ( ― 휆,2휆, 3휆)，휆 ∈ [0,1]；
∴ 푃( ― 휆,2휆, 3휆)，
퐵푃 = ( ― 휆 ― 1,2휆 ― 2, 3휆)，
又平面 ABE 的法向量为푛 = ( 3,0，1)，设直线 BP 与平面 ABE 所成角为훼，
∴ sin훼 = |cos < 퐵푃，푛 > | = |퐵푃 ⋅ 푛|
|퐵푃| × |푛|
=
| 3( ― 휆 ― 1) + 3휆|
( ― 휆 ― 1)2 + (2휆 ― 2)2 + ( 3휆)2 × 2 = 3
4 ，
化简得8휆2 ―6휆 + 1 = 0，第 9 页，共 11 页
解得휆 = 1
2或휆 = 1
4；
当휆 = 1
2时，퐵푃 = ( ― 3
2, ― 1, 3
2 )， ∴ |퐵푃| = 2；
当휆 = 1
4时，퐵푃 = ( ― 5
4, ― 3
2, 3
4 )， ∴ |퐵푃| = 2；
综上，|퐵푃| = 2．
20.解：(Ⅰ)设甲同学在 A 处投中为事件 A，在 B 处第 i 次投中为事件퐵푖(푖 = 1,2)，
由已知푃(퐴) = 1
4,푃(퐵푖) = 4
5.푋的取值为 0，2，3，4．
则푃(푋 = 0) = 푃(퐴퐵1퐵2) = 푃(퐴)푃(퐵1)푃(퐵2) = 3
4 × 1
5 × 1
5 = 3
100，푃(푋 = 2) = 푃(퐴퐵1퐵2
) + 푃(퐴퐵1퐵2) = 3
4 × 4
5 × 1
5 + 3
4 × 1
5 × 4
5 = 6
25，
푃(푋 = 3) = 푃(퐴) = 1
4，푃(푋 = 4) = 푃(퐴퐵1퐵2) = 3
4 × 4
5 × 4
5 = 12
25，
X 的分布列为：
X 0 2 3 4
P
3
100
6
25
1
4
12
25
X 的数学期望为：퐸(푋) = 0 × 3
100 +2 × 6
25 +3 × 1
4 +4 × 12
25 = 315
100 = 3.15．
(Ⅱ)甲同学选择方案 1 通过测试的概率为푃1，选择方案 2 通过测试的概率为푃2，
则푃1 = 푃(푋 = 3) + 푃(푋 = 4) = 1
4 + 12
25 = 73
100 = 0.73，푃2 = 푃(퐵1퐵2) + 푃(퐵1퐵2퐵3) + 푃(퐵1
퐵2퐵3) = 4
5 × 4
5 + 1
5 × 4
5 × 4
5 + 4
5 × 1
5 × 4
5 = 112
125 = 0.896，
∵ 푃2 > 푃1，
∴ 甲同学选择方案 2 通过测试的可能性更大．
21.解：(Ⅰ)抛物线 C：푥2 = ―2푝푦经过点(2, ― 1).可得4 = 2푝，即푝 = 2，
可得抛物线 C 的方程为푥2 = ―4푦，准线方程为푦 = 1；
(Ⅱ)证明：抛物线푥2 = ―4푦的焦点为퐹(0, ― 1)，
设直线方程为푦 = 푘푥 ― 1，联立抛物线方程，可得푥2 +4푘푥 ― 4 = 0，
设푀(푥1,푦1)，푁(푥2,푦2)，
可得푥1 + 푥2 = ―4푘，푥1푥2 = ―4，
直线 OM 的方程为푦 = 푦1
푥1
푥，即푦 = ― 푥1
4 푥，
直线 ON 的方程为푦 = 푦2
푥2
푥，即푦 = ― 푥2
4 푥，第 10 页，共 11 页
可得퐴( 4
푥1
, ― 1)，퐵( 4
푥2
, ― 1)，
可得 AB 的中点的横坐标为2( 1
푥1
+ 1
푥2
) = 2 ⋅ ―4푘
―4 = 2푘，
即有 AB 为直径的圆心为(2푘, ― 1)，
半径为|퐴퐵|
2 = 1
2| 4
푥1
― 4
푥2
| = 2 ⋅ 16푘2 + 16
4 = 2 1 + 푘2，
可得圆的方程为(푥 ― 2푘)2 +(푦 + 1)2 = 4(1 + 푘2)，
化为푥2 ―4푘푥 + (푦 + 1)2 = 4，
由푥 = 0，可得푦 = 1或 ―3．
则以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点(0,1)，(0, ― 3)．
22.解：(1)由푓(푥) = 푎푒2푥 +(푎 ― 2)푒푥 ―푥，
则 ，
导函数中2푒푥 +1 > 0恒成立，
当푎 ≤ 0时，푎푒푥 ―1 < 0恒成立，
所以在푥 ∈ 푅上有 ，
所以푓(푥)在( ―∞, + ∞)上单调递减；
当푎 > 0时，令 0'/>， ，
令 ，解得 ，
∴ 在 上，푓(푥)单调递减，
在 上，푓(푥)单调递增．
综上可知：当푎 ≤ 0时，푓(푥)在 R 单调递减，
当푎 > 0时，푓(푥)在( ― ∞,ln1
푎)是减函数，在(ln1
푎, + ∞)是增函数；
(2)若푎 ≤ 0时，由(1)可知：푓(푥)最多有一个零点，
所以푎 ≤ 0不符合题意；
当푎 > 0时，푓(푥) = 푎푒2푥 +(푎 ― 2)푒푥 ―푥，
函数有两个零点，푓(푥)的最小值必须小于 0，
由(1)知， ，
푓(푥)푚푖푛 < 0，即 ，
令 ， 0'/>，
所以ℎ(푎)在(0, + ∞)上单调递增，
又因为ℎ(1) = 0，
此时解得0 < 푎 < 1．
接下来说明0 < 푎 < 1时푓(푥)存在两个零点：
当푥 < 0时，푎푒2푥 > 0，(푎 ― 2)푒푥 > 푎 ― 2，第 11 页，共 11 页
此时푓(푥) > 푎 ― 2 ― 푥，故푓(푎 ― 2) > 0，
又푓(푥)在 上单调递减， ，
故存在 ，使得푓(푥1) = 0，
当 时，易证 ―푥 > ― 푒푥，
此时푓(푥) > 푎푒2푥 + (푎 ― 3)푒푥 = 푎푒푥[푒푥 + (푎 ― 3)
푎 ]，
故 ，且满足 ，
又푓(푥)在 上单调递增， ，
故存在 使得푓(푥2) = 0，
所以当0 < 푎 < 1时，푓(푥)存在两个零点．
综上所述，a 的取值范围是(0,1)．
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