理科数学
测试范围：学科内综合．共 150 分，考试时间 120 分钟
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1．已知 是虚数单位， ，且 的共轭复数为 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．3
2．已知全集为 ，集合 , ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知夹角为 的向量 满足 ，且 ，则向量 的关系是( )
A．互相垂直 B．方向相同 C．方向相反 D．成 角
5．公差不为零的等差数列 中， 成等比数列，则
（ ）
A． B． C． D．
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
7．已知 满足 ，则
（ ）
A． B． C．3 D．
8．运行如图所示的程序算法，若输入 的值为 20，则输出的结果为（ ）
i 20172i 3i1 iz = −+ z z z z⋅ =
3 5
R 2{ | 2 }A x x x= < { | lg ( + 4) 1}B x x= <
( )A B =R
[ 3,2]− [ 3,6)−
[ 3,0] [2,+ )− ∞ [ 3,0] [2,6)−
1, 0( )
2 , 0x
x xf x
x
+ >=
≤
( ) 2f a < a
( ,3)−∞ ( ,2)−∞ (1,2) (0,3)
θ ,a b ( ) 2⋅ + =a a b | | 2| | 2= =a b ,a b
120°
{ }na 3 6 7, ,a a a 4
6
a
a
=
7
2
− 7
3
2
13
− 13
7
9 182
π + 9 362
π + 18 18π + 18 36π +
α 2sin( )4 6
πα + =
2tan 1
2tan
α
α
+ =
9
8
9
8
− 3−
mA．20 B．10 C．0 D．
9．随着新政策的实施，海淘免税时代于 2016 年 4 月 8 日正式结束，新政策实施后，海外购
物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响，某记者调查了身边喜欢海淘的 10 位朋
友，其态度共有两类：第一类是会降低海淘数量，共有 4 人，第二类是不会降低海淘数量,
共有 6 人.若该记者计划从这 10 人中随机选取 5 人按顺序进行采访，则“第一类”的人数
多于“第二类”，且采访中“第二类”不连续进行的不同采访顺序有 （ ）
A．3840 B．5040 C．6020 D．7200
10．若不等式组 所表示的平面区域的面积为 4，则 的取值范
围是 （ ）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线的右支
上，点 为 的中点， 为坐标原点， ,
, 的面积为 ，则该双曲线的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数 ，函数 ，
若方程 恰好有 4 个实数根，则实数 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横线上．）
10−
2 0
2 0
0
x y
kx y
y
+ −
− +
≥
≥
≥
( 0)k < 2
1
x yz x
+= −
2[ 2, ]5
− 12[ 2, ]5
−
12( ,0] [ , )5
−∞ +∞
12( , 2] [ , )5
−∞ − +∞
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1 2,F F M
N 2F M O 2| | | | 2ON NF b− =
2 60ONF∠ = ° 1 2F MF△ 2 3
2 2
14 2
x y− =
2 2
14 4
x y− =
2 2
18 2
x y− =
2 2
18 4
x y− =
3
| 2| 1, 0( )
3 +1, 0
x xf x
x x x
− −= − + −= + − ≤
( ) ( )f x g x= m
3(ln2, )2 (ln2,4) (ln3,2) (ln3 1,1)−13 ． 在 讨 论 勾 股 定 理 的 过 程 中 ，《 九 章 算 术 》 提 供 了 许 多 整 勾 股 数 ， 如
，等等.其中最大
的数称为“弦数”，后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若勾股数组中的某一个
数 是确定的奇数(大于 1)，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构
成一组勾股数，称之为“由 生成的一组勾股数”.则“由 17 生成的这组勾股数”的“弦
数”为 .
14．已知抛物线 的焦点坐标为 ，则直线 与抛物线围成的封闭
图形的面积为 .
15．已知 的最大值为 ，则 的最小值
为 .
16． 设数列 的前 项和为 ，已知对于任意正整数 ，都有 ，若 存 在 正
整 数 ， 使 得 ， 则 实 数 的 取 值 范 围
是 .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12 分） 的内角 的对边分别为 ，
若 ，且 为锐角．
（1）求 的值；
（2）当 取得最小值时，求 的值．
18．(12 分)如图， 是正方形， 平面 ， 平面 ，
, ．
（1）求证: ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求 的值．
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 25 12 13 ,6 8 10 ,7 24 25 ,8 15 17 ,28 96 100+ = + = + = + = + =
m
m
2 2 ( 0)x py p= − > (0, 3)F − y x=
( ) sin cosf x a x b x= + ab
4 4
2 2
1 9 1a b
a b
+ ++
{ }na n nS n +3n na S n+ =
0n 0
2
0(6 )(1 ) 4n
mn a− − ≥ m
ABC△ , ,A B C , ,a b c
3 cos 3 cos 5 sinb C c B a A+ = A
cos A
2 23a b
bc
+
cos B
ABCD PD ⊥ ABCD CE ⊥ ABCD
CE AB= PD CEλ= (1 3)λ< <
PE AD⊥
P BE D− − 1
3
λ19．(12 分)2016 年 5 月 20 日以来，广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的
降雨情况进行统计，气象部门对当地 20 日~28 日 9 天内记录了其中 100 小时的降雨情况，
得到每小时降雨情况的频率分布直方图如下：
若根据往年防汛经验，每小时降雨量在 时，要保持二级警戒，每小时降雨量在
时，要保持一级警戒.
（1）若以每组的中点代表该组数据值，求这 100 小时内每小时的平均降雨量；
（2）若从记录的这 100 小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取 10 小时进行深度
分析.再从这 10 小时中随机抽取 3 小时，求抽取的这 3 小时中属于一级警戒时间的分布列
与数学期望.
20．（12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，
且 在椭圆 上运动，当点 恰好在直线 l: 上时，
的面积为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）作与 平行的直线 ，与椭圆交于 两点，且线段 的中点为 ，若
的斜率分别为 ，求 的取值范围.
[75,90)
[90,100)
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = ( 0)a b> > 1 2,F F 2
2
P C P 2y x=
1 2PF F△ 2 2
3
C
l 1l ,A B AB M 1 2,MF MF
1 2,k k 1 2k k+21．（12 分）已知函数 .
（1）若 在 处的切线与直线 垂直，求 的极值；
（2）若函数 的图象恒在直线 的下方.
①求实数 的取值范围；
②求证:对任意正整数 ，都有 .
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写
清题号．
22．（10 分）选修 4—4 坐标系与参数方程
已知直线 的参数方程为 （其中 为参数），以原点为极点，以 轴为极轴建
立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （ 为常数，且 ），直线 与曲线
交于 两点.
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若点 的直角坐标为 ，且 ，求实数 的取值范围.
23．（10 分）选修 4—5 不等式选讲
已知函数 (其中 m 为常数).
（1）若 ，求实数 m 的取值范围；
（2）求证： 对任意实数 恒成立.
( ) ln(2 1) (2 1) 1f x x m x= − − − +
( )y f x= 2x = 3 2017 0x y− + = ( )y f x=
( )y f x= 1y =
m
1n > 4 ( 1)ln[(2 )!] 5
n nn
+<
l
21 2
22 2
x t
y t
= − −
= +
t x
C 2 sinmρ θ= m 0m＞ l C
,A B
2AB = m
P ( 1,2)− 4PA PB⋅ ＞ m
( ) | |f x x m= −
(0) (2) 3f f+ ≤
2 2
2 2
36 1 4( )( )( 1) (3) a bf f a b
+ +− + ≤ , ,a b m理科数学答案与解析
1．【答案】C【解析】 ，则 ，故 .
2．【答案】D【解析】由条件可得 ，则 ，而 ,
故 .
3．【答案】A【解析】当 时， 成立；当 时，由 ，故 ，综上可知，实
数 的取值范围是 .
4．【答案】C【解析】由 可得 ，即 ，
即 ，所以 ，即 ，所以 方向相反.
5．【答案】B【解析】设 的公差为 ，由 成等比数列可得 ，
即 ，即 ，故 .
6．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，其中半圆柱的底面半径
为 3，高为 1，故其体积为： .
7．【答案】B【解析】由 可得 ，即 ，平方可得
，即 ，故 .
8．【答案】B【解析】该框图的运行结果是：
.
9．【答案】B【解析】“第一类”抽取 3 人的采访顺序有 种；“第一类”抽取 4 人的采访顺序有
种，故不同的采访顺序有 .
10．【答案】D【解析】画出不等式组对应的平面区域如图所示.
图中点 ，故阴影部分的面积为
，解之得 , ，
设点 , ，则 m 的几何意义是点 与点
连线的斜率.而 , ，由图可知， 或 ，
故 的取值范围是 .
11．【答案】C【解析】由 为 的中点，所以 ，且 ，故 ，
，故 ，设双曲线的焦距为 2c，在 中，
由余弦定理可得
, ，
的面积为 ，
，双曲线的方程为 .
12．【答案】D【解析】当 时， ，
则 ，由 可得 或
（舍去）.当 时， ，当 时，
，故 在 上单调递增，在
上单调递减.因此，在同一坐标系中画出函数
与曲线 的图象如图所示.
由图可知，若函数 与 恰好有 4 个公共点，则
20172i 3i1 iz = −+
2i(1 i) 3i i 1 3i 1 2i(1 i)(1 i)
−= − = + − = −+ − 1 2iz = + 5z z⋅ =
(0,2)A = ( ,0] [2, )A = −∞ +∞R [ 3,6)B = −
( )A B =R [ 3,0] [2,6)−
0a≤ 2 1 2a 1 2a + < 0 3a< <
a ( ,3)−∞
( ) 2⋅ + =a a b 2 2+ ⋅ =a a b 2| | | | | | cos 2θ+ ⋅ ⋅ =a a b
4 2cos 2θ+ = cos 1θ = − θ π= ,a b
{ }na ( 0)d d ≠ 3 6 7, ,a a a 2
6 3 7a a a=
2
1 1 1( 5 ) ( 2 )( 6 )a d a d a d+ = + + 12 13a d= − 4
6
13 +6 7
13 10 3
a d d
a d d
−= =− +
21 9( 3 1 1 6 6) 182 2V
ππ= × × + × × = +
2sin( )4 6
πα + = 2 2(sin cos )2 6
α α+ = 1sin cos 3
α α+ =
11 2sin cos 9
α α+ = 8sin2 9
α =−
2
2 2
sin 1tan 1 1 1 9cos
2sin2tan 2sin cos sin2 8
cos
α
α α
αα α α α
α
++ = = = = −
20 ( 20 19) ( 18 17) ( 2 1) 0 10S = + − + + − + + + − + − =
3 2 3 2
4 6 3 4C C A A
4 1 5
4 6 5C C A 3 2 3 2 4 1 5
4 6 3 4 4 6 5+ 5040C C A A C C A =
2(2,0), ( ,0), (0,2)A B Ck
−
1 2( 2) 2 42 k
× − − × = 1
3k = − 2
1
x yz x
+= −
22 1
y
x
+= + −
( , )P x y 2
1
ym x
+= − P
(1, 2)D − 2
5DBk = 4DCk = − 4m −≤ 2
5m≥
z 12( , 2] [ , )5
−∞ − +∞
N 2MF 1//ON MF 1
1| | | |2ON MF= 1 2 60F MF∠ = °
2 1 2
1| | | | (| | | |)2ON NF MF MF a− = − = 2a b= 1 2MF F△
2 2 2
1 2 1 24 | | | | 2 | | | | cos60c MF MF MF MF= + − ⋅ °
2
1 2 1 2(| | | |) | | | |MF MF MF MF= − + ⋅ 2
1 24 | | | |a MF MF= + ⋅ 2 2 2
1 2| | | | 4 4 4MF MF c a b∴ ⋅ = − =
1 2F MF∴△ 2
1 2
1 | | | | sin60 3 2 32 MF MF b⋅ ⋅ ° = =
2 2 22, 4 8b a b∴ = = =
2 2
18 2
x y− =
0f x ( )f x ( 1,0)− ( , 1)−∞ −
( )y f x=
( )y g x=
( )y f x= ( )y g x=，即 ，解之得 .
13．【答案】145【解析】由 ，而 ，则这组勾股数中的“弦数”为 145.
14．【答案】24【解析】由抛物线的焦点坐标可得 ，故抛物线方程为 ，把 代入抛物线
方程可得 或 ，故直线与抛物线围成的封闭图形的面积为
.
15．【答案】17【解析】 ，最大值为 ，故
，整理可得 ，则
,
当且仅当 时，取得等号，故 的最小值为 17.
16．【答案】 【解析】由 ① 可得 ②
由②－①可得 ，即 ，
由 可得 , ，
所以, 是首项为 1，公比为 的等比数列，所以， ，
即 ，所以， ，设 ，
则 ，当 ，即 时， 递增，
当 ，即 时， 递减，故 的最大值为 .
故 ，故实数 m 的取值范围是 .
17．【解析】
（1）由 及正弦定理可得
，即 ，
由 可得 ，而 是锐角，所以 .（5 分）
（2）由余弦定理可得 ，
则 ，
当且仅当 时， 取得最小值 .（9 分）
此时 ，所以 ，
.（12 分）
18．【解析】
（1） 是正方形， , 平面 , ，
而 平面 , 平面 ，
又 平面 , .（6 分）
（2）如图，以 为原点，以 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.
(0) 1
g
g
−
1
m
m
− + −
ln3 1< 0 7n< < ( )f n
7 7n ( )f n ( )f n 1(7) (8) 64f f= =
2 1
4 64
m ≤ 1 1[ , ]4 4
−
3 cos 3 cos 5 sinb C c B a A+ =
23sin cos 3sin cos 5sinB C C B A+ = 23sin( ) 5sinB C A+ =
sin( ) sin 0B C A+ = > 3sin 5A = A 4cos 5A =
2 2 2 2 2 82 cos 5a b c bc A b c bc= + − = + −
2 2
2 2 2 2
843 4 85
5
b c bca b b c
bc bc bc
+ −+ += = − 4 8 12
5 5
bc
bc
− =≥
2c b=
2a
bc
12
5
2
2 2 2 28 94 25 5
ba b b b= + − × = 3 5
5
ba =
∴
2
2 2
2 2 2
9 +4 2 55cos 2 53 52 25
b b ba c bB ac b b
−+ −= = =
× ×
ABCD AD CD∴ ⊥ PD ⊥ ABCD AD PD∴ ⊥
, ,PD CD D PD CD= ⊂ PDCE AD∴ ⊥ PDCE
PE ⊂ PDCE PE AD∴ ⊥
D , ,DA DC DP设 ，则 , .则 ，
, , .
设平面 和平面 的法向量分别为 .
由条件可得 ，即 ，令 ，故 .
同理可得 .
由条件可得 ，
即 ，解之得 或 (舍去). .（12 分）
19．【解析】
（1）这五组数据对应的频率分别为：0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.故这 100 小时的平均降雨量为：
0.05×77.5+0.35×82.5+0.3×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87.25 .（3 分）
（2）由频率分步直方图可知，属于一级警戒的频率为：(0.04+0.02)×5=0.3,
则属于二级警戒的频率为 1－0.3=0.7.所以，抽取的这 10 个小时中，
属于一级警戒的有 3 小时，属于二级警戒的有 7 小时.（6 分）
从这 10 小时中抽取 3 小时，用 表示一级警戒的小时数， 的取值可能为 0,1,2,3.
则 , , , .
所以， 的分布列为：
0 1 2 3
则 的期望值为： （小时）.（12 分）
20．【解析】
（1）由 可得 , .
根据对称性，不妨设点 在第一象限，则点 的坐标为 ，
设椭圆的焦距为 2c，由条件可得 ，即 ，
由椭圆的离心率可得 ，所以， , ，所以， , ，
，解之得 ，故 .故椭圆 的方程为 .（6 分）
（2）设直线 的方程为 .由 可得 ，
由条件可得 ，即 ，所以， ，或 .
设 ，则 .
则 , .则 ，
.
1AB = 1CE = PD λ= (0,0,0), (0,0, ), (1,1,0), (0,1,1)D P B Eλ
( 1,0,1)BE = − (1,1,0)DB = ( 1, 1, )BP λ= − −
PBE DBE 1 1 1 1 2 2 2 2( , , ), ( , , )x y z x y z= =n n
1
1
0
0
BE
BP
⋅ = ⋅ =
n
n
1 1
1 1 1
0
0
x z
x y zλ
− + =
− − + = 1 1x = 1 (1, 1,1)λ= −n
2 (1, 1,1)= −n
1 2
1 2 2
1 2
| | |1 ( 1) 1| 1| cos , | | | | | 31 ( 1) 1 3
λ
λ
⋅ − − +< > = = =⋅ + − + ⋅
n nn n n n
2 8 +12=0λ λ− =2λ =6λ ∴ =2λ
(mm)
ξ ξ
3
7
3
10
7( 0) 24
CP C
ξ = = =
1 2
3 7
3
10
21( 1) 40
C CP C
ξ = = =
2 1
3 7
3
10
7( 2) 40
C CP C
ξ = = =
3
3
3
10
1( 3) 120
CP C
ξ = = =
ξ
ξ
P 7
24
21
40
7
40
1
120
ξ 7 21 7 10 1 2 3 0.924 40 40 120Eξ = × + × + × + × =
2 2
2 2 1
2
x y
a b
y x
+ =
=
2 2
2
2 24
a bx a b
= +
2 2
2
2 2
4
4
a by a b
= +
P P 2 2 2 2
2( , )
4 4
ab ab
a b a b+ +
2 2
1 2 2 222 34
abc
a b
× × =
+ 2 2
2
34
abc
a b
=
+
2
2
c
a
=
2
2
1
2
c
a
=
2 2
2
1
2
a b
a
− = 2a b= c b=
∴
3
2 2
2 2
34 2
b
b b
=
× + 1b = 2a = C
2
2 12
x y+ =
1l 2y x m= + ( 0)m ≠
2
2 12
2
x y
y x m
+ =
= +
2 29 8 2 2 0x mx m+ + − =
2 264 36(2 2) 0m m∆ = − − > 3 3m− < < 3 0m− < < 0 3m< <
1 1 2 2 0 0( , ), ( , ), ( , )A x y B x y M x y
2
1 2 1 2
8 2 2,9 9
m mx x x x
−+ = − =
1 2
0
4
2 9
x x mx
+= = − 0 02 9
my x m= + = 0 0
1 2
0 0
,1 1
y yk kx x
= =+ −
∴ 0 0
1 2
0 01 1
y yk k x x
+ = ++ −
0 0
2
0
2
1
x y
x
= − 2
42 9 9
16 181
m m
m
− × ×
=
−
2
2
8
81 16
m
m
= −当 时， ，且 在 和 上的取值范围相同，
故只需求 在 上的取值范围.
而 在 和 上随 的增大而增大.
的取值范围是 .（12 分）
21．【解析】
（1）由 可得 ，
由条件可得 ，即 .
则 , ，
令 可得 ，当 时， ，当 时， .
在 上单调递减，在 上单调递增，
的极大值为 ，无极小值.（4 分）
（2）①由条件可知：只需 ，即 在 上恒成立.
即 ，而 , , 恒成立.
令 ，则 ，令 可得 .
当 时 ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
故 的最大值为 , ，即实数 的取值范围是 .（8 分）
②由①可知, 时， ，即 对任意的 恒成立.
令 ，则 . ，
即 , .（12 分）
22．【解析】
（1）曲线 的极坐标方程可化为 ，
化为直角坐标系下的普通方程为： ，即 .
直线 的普通方程为： ，而点 到直线 的距离为 ，
由条件可得 ，即 ，结合 可得 .（5 分）
（2）显然点 在直线 上,把 代入 并整理可得
，设点 对应的参数分别为 .
则 ，解之得 或 .
则 ，解之得 或 .
而 , 实数 m 的取值范围是 .（10 分）
23．【解析】
（1）由条件可知 ，
①当 时， ，解之得 ，所以， ；
②当 时， ，恒成立，所以， ；
0m ≠ 1 2
2
8
81 16
k k
m
+ =
− 1 2k k+ ( 3,0)m∈ − (0,3)m∈
1 2k k+ (0,3)m∈
1 2k k+ 9(0, )4m∈ 9( ,3)4m∈ m
∴ 1 2k k+ 8( , ) (0, )7
−∞ − +∞
( ) ln(2 1) (2 1) 1f x x m x= − − − + 2'( ) 22 1f x mx
= −−
2 1'(2) 23 3f m= − = − 1
2m =
3( ) ln(2 1) 2f x x x= − − + 2 (2 3)'( ) 1=2 1 2 1
xf x x x
− −= −− −
1( )2x >
'( ) 0f x = 3
2x = 3
2x > '( ) 1
2
ex
+> '( ) 0g x <
∴ ( )g x 1 1( , )2 2
e + 1( , )2
e + +∞
( )g x 1 1( )2
eg e
+ = ∴ 1m e
> m 1( , )e
+∞
2
5m = ln(2 1) 2
2 1(m )m x ∗= − ∈N 2ln 5
mm < 2ln1 ln 2 ln3 ln(2 ) 1 2 3 25n n+ + + + < + + + +（ ）
2 1 2ln1 ln 2 ln3 ln(2 ) 5
n nn
++ + + + < （ ）
∴ 2 (2 1) 4 ( 1)ln[(2 )!] 5 5
n n n nn
+ +< <
C 2 2 sinmρ ρ θ=
2 2 2x y my+ = 2 2 2( )x y m m+ − =
l 1 0x y+ − = (0, )m l | 1|
2
md
−=
2 21| | 2 ( ) 2
2
mAB m
−= − = 2 2 3 0m m+ − = 0m > 1m =
P l
21 2
22 2
x t
y t
= − −
= +
2 2 2x y my+ =
2 (3 ) 2 4 5 0t m t m+ − − + = ,A B 1 2,t t
22(3 ) 4( 4 5) 0m m∆ = − − − + > 1 2m < − − 2 1m > −
1 2| | | | | | | 4 5 | 4PA PB t t m⋅ = = − + > 9
4m > 1
4m <
0m > ∴ 9( , )4
+∞
(0) (2) | | | 2 | 3f f m m+ = + − ≤
0m < 2 3m m− + − ≤ 1
2m −≥ 1 02 m− 2 3m m+ − ≤ 5
2m≤ 52 2m< ≤
1 5[ , ]2 2
−
( 1) (3)f f− + | 1| | 3| | ( 1) ( 3) | 4m m m m= + + − + − − =≥
∴ 36 360 9( 1) (3) 4f f
< =− + ≤ 2 2
2 2
1 4( )( )a b a b
+ +
2 2
2 2
45 5 2 4 9b a
a b
= + + + =≥
∴ 2 2
2 2
36 1 4( )( )( 1) (3) a bf f a b
+ +− + ≤ , ,a b m
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