文科数学
测试范围：学科内综合．共 150 分，考试时间 120 分钟
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1．已知全集 ，集合 , ，
则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 是虚数单位， ，则复数 对应复平面内的点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
4．已知夹角为 的向量 满足 ，且 ，则向量 的关系是( )
A．互相垂直 B．方向相同 C．方向相反 D．成 角
5．公差不为零的等差数列 中， 成等比数列，则
（ ）
A． B． C． D．
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
7．已知 满足 ，则
（ ）
A． B． C．3 D．
8．运行如图所示的程序算法，若输入 的值为 20，则输出的结果为（ ）
{ 1,0,1,2,3,4,5,6}U = − { 1,2,3,5,6}A = − {0, 4,5}B =
( )U A B =
{0, 1,4}− { 2,5,6}− {0,4} { 1,4}−
i 20172i 3i1 iz = −+ z
2 0( )
2 0x
x xf x
x
+ >=
≤
( ( 2))f f − =
3
2
5
4
θ ,a b ( ) 2⋅ + =a a b | | 2| | 2= =a b ,a b
120°
{ }na 3 6 7, ,a a a 4
6
a
a
=
7
2
− 7
3
2
13
− 13
7
9 182
π + 9 362
π + 18 18π + 18 36π +
α 2sin( )4 6
πα + =
2tan 1
2tan
α
α
+ =
9
8
9
8
− 3−
mA．20 B．10 C．0 D．
9．随着新政策的实施，海淘免税时代于 2016 年 4 月 8 日正式结束，新政策实施后，海外购
物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响，某网站调查了喜欢海淘的 1000 名网友，
其态度共有两类：第一类是会降低海淘数量，共有 400 人，第二类是不会降低海淘数量，
共有 600 人，若从这 1000 人中按照分层抽样的方法抽取 10 人后进行打分，其打分的茎叶
图如下图所示，图中有数据缺失，但已知“第一类”和“第二类”网民打分的均值相等，
则“第一类”网民打分的方差为 （ ）
A．159 B．179 C．189 D．209
10．若不等式组 所表示的平面区域的面积为 4，则 的取值范
围是 （ ）
A． B． C．[－4,2] D．
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线的右支
上，点 为 的中点， 为坐标原点， ，则该双曲线的离心率为
（ ）
A． B．2 C． D．
12 ． 已 知 函 数 与 函 数 的 交 点 个 数 为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在题中的横线上.）
10−
2 0
2 0
0
x y
kx y
y
+ −
− +
≥
≥
≥
( 0)k < 2z x y= −
[0,6] [ 2,4]− [ 4,6]−
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1 2,F F M
N 2F M O 2| | | | 2ON NF b− =
2 5
2
6
2
3
3
3 +1 0( )
3 +1 0
x x xf x
x x x
−= − + (0, 3)F − y x=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 25 12 13 ,6 8 10 ,7 24 25 ,8 15 17 ,28 96 100+ = + = + = + = + =
m
m
m
A B A B+ =
ABC△ , ,A B C , ,a b c 3 cos 3 cos 5 sinb C c B a A+ = A
2a
bc
a
b c+
{ }1na − 1
2
{ }na n nS
2 2 1 2 2 3
1
log ( 1)log ( 1)n
n n
b a a+ +
= − − { }nb n nT
ABCD PD ⊥ ABCD CE ⊥ ABCD
CE AB= PD CEλ=
PE AD⊥
C BDE− 1V PABED 2V 1
2
1
3
V
V
= λ降雨情况进行统计，气象部门对当地 20 日~28 日 9 天记录了其中 100 小时的降雨情况，
得到每小时降雨情况的频率分布直方图如下：
若根据往年防汛经验，每小时降雨量在 时，要保持二级警戒，每小时降雨量在
时，要保持一级警戒.
（1）若从记录的这 100 小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取 10 小时进行深度
分析.
①求一级警戒和二级警戒各抽取多少小时；
②若从这 10 个小时中任选 2 个小时，则这 2 个小时中恰好有 1 小时属于一级警戒的概率.
（2）若以每组的中点代表该组数据值，求这 100 小时内的平均降雨量.
20．（12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点
在椭圆 上，且 的面积为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过原点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，求 .
[75,90)
[90,100)
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = ( 0)a b> > 1 2,F F 2 2 2( , )3 3P
C 1 2PF F△ 2 2
3
C
O 2 2 2( ) ( )x a y b a− + − = ,A B 1 1F A F B⋅ 21．（12 分）已知函数 .
（1）若 在 处的切线与直线 垂直，求 的极值；
（2）设 与直线 交于点 ，抛物线 与直线 交于点 ，
若对任意 ，恒有 ，试分析 的单调性.
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写
清题号．
22．（10 分）选修 4—4 坐标系与参数方程
已知直线 的参数方程为 （其中 为参数），以原点为极点，以 轴为极轴建
立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （ 为常数，且 ），直线 与曲线
交于 两点.
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若点 的直角坐标为 ，且 ，求实数 的取值范围.
23．（10 分）选修 4—5 不等式选讲
已知函数 (其中 m 为常数).
（1）若 ，求实数 m 的取值范围；
（2）求证： 对任意实数 恒成立.
( ) ln 1f x x mx= − +
( )y f x= 2x = 2 3 2017 0x y− + = ( )y f x=
( )y f x= x n= 1( , )A n y 2y x= x n= 2( , )B n y
1n > 1 2y y< ( )y f x=
l
21 2
22 2
x t
y t
= − −
= +
t x
C 2 sinmρ θ= m 0m＞ l C
,A B
2AB = m
P ( 1,2)− 4PA PB⋅ ＞ m
( ) | |f x x m= −
(0) (2) 3f f+ ≤
2 2
2 2
36 1 4( )( )( 1) (3) a bf f a b
+ +− + ≤ , ,a b m文科数学答案与解析
1．【答案】C【解析】由条件可得 ，故 .
2．【答案】D【解析】 ，对应复平面内的点的坐标为(1,－2)，
在第四象限.
3．【答案】A【解析】 ，故 .
4．【答案】C【解析】由 可得 ，即 ，即 ，所
以 ，即 ，所以 方向相反.
5 ．【答 案 】 B 【 解 析 】 设 的 公 差 为 d(d ≠ 0), 由 成 等 比 数 列 可 得 ， 即
，即 ，故 .
6．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，其中半圆柱的底面半径
为 3，高为 1，故其体积为： .
7．【答案】B【解析】由 可得 ，即 ，平方可得
，即 ，故 .
8．【答案】B【解析】该框图的运行结果是：
.
9．【答案】B【解析】抽取的网民中，“第一类”抽取 4 人，缺失一个数字，设为 ，“第二类”抽取 6 人，
则 ，解之得 ，其两组数的均值都是 65，则“第一类”
网民打分的方差为：
.
10．【答案】D【解析】画出不等式组对应的平面区域如图所示.图中点 ，
故阴影部分的面积为 ，解之得 ，由图易得 在点 处取得最大值 6，在点
处取得最小值－4，故 的取值范围是 .
11．【答案】C【解析】由 为 的中点，所以 ，且 ，故 ，
， 故 ， 设 双 曲 线 的 焦 距 为 2c ， 由 可 得
，故双曲线的离心率为 .
12．【答案】D【解析】当 时， ，则 ，由 可得 (舍去)或
；当 时， ，当 时， ，故 在(0,1)上单调递减，在 上单调
递增.当 时，则 ，且 ，故 的图象关于 y 轴对称.因此，在同一坐
{0,1,4}U A = ( )U A B = {0,4}
2017i ii
2 31z = −+
2 (1 )= 3i i i i 1 i =1 i2 23
− − = + − −
2 1( 2) 2 4f −− = = ( ( 2))f f − = 1 1 3( ) 24 4 2f = + =
( ) 2⋅ + =a a b 2 2+ ⋅ =a a b 2| | | | | | cos 2θ+ ⋅ ⋅ =a a b 4 2cos 2θ+ =
cos 1θ = − θ π= ,a b
{ }na 3 6 7, ,a a a 2
6 3 7a a a=
2
1 1 1( 5 ) ( 2 )( 6 )a d a d a d+ = + + 12 13a d= − 4
6
13 +6 7
13 10 3
a d d
a d d
−= =− +
21 9( 3 1 1 6 6) 182 2V
ππ= × × + × × = +
2sin( )4 6
πα + = 2 2(sin cos )2 6
α α+ = 1sin cos 3
α α+ =
11 2sin cos 9
α α+ = 8sin2 9
α =−
2
2 2
sin 1tan 1 1 1 9cos
2sin2tan 2sin cos sin2 8
cos
α
α α
αα α α α
α
++ = = = = −
20 ( 20 19) ( 18 17) ( 2 1) 0 10S = + − + + − + + + − + − =
m
56 60 88 52 58 66 68 70 76
4 6
m + + + + + + + += 56m =
2 2 2 21[2(56 65) (60 65) (88 65) ] 1794s = − + − + − =
2(2,0), ( ,0), (0,2)A B Ck
−
1 2( 2) 2 42 k
× − − × = 1
3k = − z (6,0)B
(0,2)C z [ 4,6]−
N 2MF 1//ON MF 1
1| | | |2ON MF= 1 2 60F MF∠ = °
2 1 2
1| | | | (| | | |)2ON NF MF MF a− = − = 2a b= 2 24a b=
2 2 2 24 4( )a b c a= = − 5
2e =
0x≥ 3( ) 3 +1f x x x= − 2'( ) 3 3f x x= − '( ) 0f x = 1x = −
1x = 1x > '( ) 0f x > 0 1x< < '( ) 0f x < ( )f x (1, )+∞
0x < 0x− > 3( ) 3 +1 ( )f x x x f x− = − + = ( )f x标系中画出函数 与曲线 的图象如图所示.
由图可知，它们有 5 个交点.
13．【答案】 【解析】由条件可知 1 是方程 的实根，故 ，即 ，不等式为
，解集为 ，即 ，所以 .
14．【答案】 【解析】由抛物线的焦点坐标可得 ，故抛物线方程为 ，把 代入
抛物线方程可得 或 ，故弦的中点坐标为 .
15．【答案】246【解析】由 ，而 ，则“由 17 生成的这种勾股数”为： ，
由 ，则“由 20 生成的这种勾股数”为： ，则 .
16．【答案】 【解析】由 及正弦定理可得 ，
即 ，由 可得 ，而 是锐角，所以 ，则
，
则 ，当且仅当 时， 取得最小值 ，
故 ，故 ，所以， .
17．【解析】
（1）由条件可得 , ，
.（6 分）
（2）由（1）可知
,
则 .（12 分）
18．【解析】
（1） 是正方形， , 平面 , ，
而 平面 , 平面 ，
又 平面 , .（6 分）
（2）设 ，则 ，则 ，
，
( )y f x= ( )y g x=
5
2
− 2 1=0ax x+ + 1 1 0a + + = 2a = −
22 1>0x x− + + 1( ,1)2
− 1
2m = − 5
2m a+ = −
( 6, 6)− − 6p = 2 12x y= − y x=
0
0
x
y
=
=
12
12
x
y
= −
= −
( 6, 6)− −
217 289= 289 144 145= + 17,144,145
220( ) =1002 20,99,101 145 101 246A B+ = + =
10
10 3 cos 3 cos 5 sinb C c B a A+ = 23sin cos 3sin cos 5sinB C C B A+ =
23sin( ) 5sinB C A+ = sin( ) sin 0B C A+ = > 3sin 5A = A 4cos 5A =
2 2 2 2 2 82 cos 5a b c bc A b c bc= + − = + −
2 2
2 2 2
8
85
5
b c bca b c
bc bc bc
+ − += = − 2 8 2
5 5
bc
bc
− =≥ b c=
2a
bc
2
5
2 22
5a b= 10
5a b= 10
10
a
b c
=+
1
11 2n na −− =
1
1 12n na −∴ = +
2 3 1
1 1 1 11 2 2 2 2n nS n−∴ = + + + + + + 1
11 12= 21 21 2
n
nn n −
−
+ = − +
−
2 2 1 2 2 3
1
log ( 1)log ( 1)n
n n
b a a+ +
= − −
2 22 2 2
1= 1 1log log2 2n n+⋅
1= ( 2 )( 2 2)n n− − −
1 1 1 1 1= = ( )4 ( 1) 4 1n n n n
⋅ −+ +
1 1 1 1 1 1(1 )4 2 2 3 1nT n n
= − + − + + − +
1 1= (1 )4 1 4( 1)
n
n n
− =+ +
ABCD AD CD∴ ⊥ PD ⊥ ABCD AD PD∴ ⊥
, ,PD CD D PD CD= ⊂ PDCE AD∴ ⊥ PDCE
PE ⊂ PDCE PE AD∴ ⊥
AB a= AD CE a= = 2 3
1
1 1 1( )3 2 6C BDE B CDEV V V a a a− −= = = × =
2 2 3
2
1 1 1 1 1( ) +3 2 3 2 3B PDE P ABDV V V a a a a aλ λ λ− −= + = × × × × =由 可得 ，故 .（12 分）
19．【解析】
（1）①由频率分步直方图可知，属于一级警戒的频率为：(0.04+0.02)×5=0.3，
则属于二级警戒的频率为 1－0.3=0.7.
所以，抽取的这 10 个小时中，属于一级警戒的有 3 小时，
属于二级警戒的有 7 小时.（3 分）
②设抽取的这 10 小时中，属于一级警戒的 3 小时分别为 1,2,3，
属于二级警戒的分别为 4,5,6,7,8,9,0.则从中抽取 2 小时的不同情况有：
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(1,0)，
(2,3),(2,4),(3,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(2,0)，
………………………………
(8,9),(8,0)，
(9,0).
共 9+8+7+…+2+1=45 种不同情况，其中恰好有 1 小时属于一级警戒的情况有：
7+7+7=21 种不同情况，故所求概率为 .（8 分）
（2）这五组数据对应的频率分别为：0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.
故这 100 小时的平均降雨量为：
0.05×77.5+0.35×82.5+0.3×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87.25 .（12 分）
20．【解析】
（1）设椭圆 的焦距为 2c，
由 的面积为 可得 , ，
则 ，由点 在椭圆 上可得 ，
解之得 ，故椭圆 的方程为 .（6 分）
（2）过原点且斜率不存在的直线显然与圆 相切，切点为 ,
设过原点 的直线为 ，即 ，
由圆心 到直线 的距离恰好等于圆的半径 可得
，解之得 ，
由 可得 ，即 ，
, ，即点 , ，
.（12 分）
21．【解析】
（1）由 可得 ，由条件可得 ，即 .
则 , ，
令 可得 .当 时， ，当 时， .
1
2
1
3
V
V
=
3
3
1
16
1 3
3
a
aλ
= 3= 2
λ
21 7
45 15P = =
(mm)
C
1 2PF F△ 2 2
3
1 2 2 2 222 3 3c× × = 1c∴ =
2 2 1a b= + 2 2 2( , )3 3P C 2 2
2 8 19( 1) 9b b
+ =+
1b = C
2
2 12
x y+ =
2 2( 2) ( 1) 2x y− + − = (0,1)A
O y kx= 0kx y− =
( 2,1) 0kx y− = 2
2
| 2 1| 2
1
k
k
− =
+
2
4k = −
2 2( 2) ( 1) 2
2
4
x y
y x
− + − =
= −
29 3 2 1 08 2
x x− + = 23 2( 1) 04 x − =
∴ 2 2
3x = 1
3y = − 2 2 1( , )3 3B − ∴ 1 1
2 2 1(1,1), ( 1, )3 3F A F B= = + −
∴ 1 1
2 2 1 2( 2 1)13 3 3F A F B
+⋅ = + − =
( ) ln 1f x x mx= − + 1'( )f x mx
= − 1 3'(2) 2 2f m= − = − 2m =
( ) ln 2 1f x x x= − + 1'( ) 2f x x
= − 1 2x
x
−= ( 0)x >
'( ) 0f x = 1
2x = 10 2x< < '( ) 0f x > 1
2x > '( ) 0f x
2ln 1x mx x− + < ln 1xm xx x
> + − 1x >
ln 1( ) xg x xx x
= + −
2
2 2 2
1 ln 1 (ln )'( ) 1x x xg x x x x
− − += − − =
1x > 2ln 0x x+ > '( ) 0g x <
∴ ( )g x (1, )+∞ ( ) (1) 0g x g< = ∴ 0m≥
1'( ) 0f x mx
= − > ( )f x (0, )+∞
0m > 1'( ) 0f x mx
= − = 1x m
=
10 x m
< < '( ) 0f x > 1x m
> '( ) 0f x <
∴ ( )f x 1(0, )m
1( , )m
+∞
C 2 2 sinmρ ρ θ=
2 2 2x y my+ = 2 2 2( )x y m m+ − =
l 1 0x y+ − = (0, )m l | 1|
2
md
−=
2 21| | 2 ( ) 2
2
mAB m
−= − = 2 2 3 0m m+ − = 0m > 1m =
P l
21 2
22 2
x t
y t
= − −
= +
2 2 2x y my+ =
2 (3 ) 2 4 5 0t m t m+ − − + = ,A B 1 2,t t
22(3 ) 4( 4 5) 0m m∆ = − − − + > 1 2m < − − 2 1m > −
1 2| | | | | | | 4 5 | 4PA PB t t m⋅ = = − + > 9
4m > 1
4m <
0m > ∴ 9( , )4
+∞
(0) (2) | | | 2 | 3f f m m+ = + − ≤
0m < 2 3m m− + − ≤ 1
2m −≥ 1 02 m− 2 3m m+ − ≤ 5
2m≤ 52 2m< ≤
1 5[ , ]2 2
−
( 1) (3)f f− + | 1| | 3| | ( 1) ( 3) | 4m m m m= + + − + − − =≥
∴ 36 360 9( 1) (3) 4f f
< =− + ≤
2 2
2 2
1 4( )( )a b a b
+ +
2 2
2 2
45 5 2 4 9b a
a b
= + + + =≥对任意实数 恒成立.（10 分）∴ 2 2
2 2
36 1 4( )( )( 1) (3) a bf f a b
+ +− + ≤ , ,a b m
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