文科数学
测试范围：学科内综合．共 150 分，考试时间 120 分钟
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1．已知函数 ，集合 , ，则
（ ）
A． B．
C． D．
2．设 是虚数单位，若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．命题“ , ”的否定是 （ ）
A． , B． ,
C． , D． ,
4．已知 , ，若 ，则向量 在向量 方向的投影（ ）
A． B． C．1 D．3
5．在 中，“ ”是“ ”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 （ ）
A．
11
12 B．6 C．
11
2 D．
22
3
7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的
体积为 （ ）
A． B．
C． D．
2( ) 2f x x x= − { | ( ) 0}A x f x= ≤ { | '( ) 0}B x f x= ≤ A B =
[ 1,0]− [ 1,2]−
[0,1] ( ,1] [2, )−∞ +∞
i 1 iz = + 2z z+ =
1 i+ 1 i− 1 i− − 1 i− +
(0,1)x∀ ∈ lnxe x− >
(0,1)x∀ ∈ lnxe x− ≤ 0 (0,1)x∃ ∈ 0
0lnxe x− >
0 (0,1)x∃ ∈ 0
0lnxe x− < 0 (0,1)x∃ ∈ 0
0lnxe x− ≤
| | 3=a | | 2=b | | 3+ =a b a b
3− 1−
ABC△ sin sinA B> tan tanA B>
24 9 3π + 48 9 3π +
48 18 3π + 144 18 3π +8．函数 的单调递增区间是 （ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，若不等式组 所表示的平面区域被直线 分
为面积相等的两部分，则 的值为 （ ）
A． B．1 C．2 D．
10 ． 已 知 函 数 的 零 点 为 ， 若 存 在 实 数 使 且
，则实数 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线 (a＞0,b＞0)满足以下条件：①双曲线 的右焦点与抛物线
的焦点 重合；②双曲线 与过点 的幂函数 的图象交于点 ，
且该幂函数在点 处的切线过点 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是
（ ）
A． B． C． D．
12．若函数 有且只有一个零点，则实数 的取值范围为
（ ）
A．(－∞,0) B．(－∞,1) C．(0,＋∞) D．(1,＋∞)
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横线上．）
13．高三某班有 60 名学生，现采用系统抽样方法抽取 5 人做问卷调查，将这 60 名学生按
1, 2,…,60 随机编号，已知 27 号学生在样本中，则样本中编号最大的学生的编号是 ．
14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边
分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，
取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，
相减后余数被 4 除，所得的数作为“实”，1 作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、
“隅”指的是在方程 中，p 为“隅”，q 为“实”．即若 的大斜、中斜、小
斜分别为 ，则 .已知点 是 边 上一点，
，则 的面积为 ．
15．过直线 上一动点 向圆 引两条切线 ，切点
为 ， 若 ， 则 四 边 形 的 最 小 面 积 的 概 率
为 ．
16．三棱锥 中，点 是 斜边 上一点．给出下列四个命题：
①若 平面 ，则三棱锥 的四个面都是直角三角形；
②若 在平面 上的射影是斜边 的中点 ，则有 ；
cos2 3sin 2y x x= − ( [0, ])2x
π∈
[0, ]6
π
[0, ]3
π
[ , ]6 2
π π
[ , ]3 2
π π
4 4 0
2 10 0
5 2 2 0
x y
x y
x y
− +
+ −
− +
≤
≤
≥
1y ax= +
a
1
2
9
4
( ) 1 2xf x e x−= + − m n 2 3 0x ax a− − + =
1m n− ≤ a
[2,4] 7[2, ]3
7[ ,3]3 [2,3]
2 2
2 2: 1x yE a b
− = E
2 4y x= F E (4,2)P ( )f x xα= Q
Q F
3 1
2
+ 5 1
2
+ 3
2 5 1+
3 2( ) 1f x x ax x= − + + − a
2px q= ABC△
, ,a b c
22 2 2
2 2 21
4 2
a c bS a c
+ − = −
D ABC△ AB
8 153, 2, 45 ,tan 7AC BC ACD BCD += = ∠ = ° ∠ = ABC△
7y kx= + ( , )M x y 2 2: 2 0C x y y+ + = ,MA MB
,A B [1,4]k ∈ MACB [ 3, 7]S ∈
S ABC− P Rt ABC△ AB
SA ⊥ ABC S ABC−
S ABC AB P SA SB SC= =③若 ， 平面 ，则 面积的最小值为 3；
④ 若 ， 平 面 ， 则 三 棱 锥 的 外 接 球 体 积 为
．
其中正确命题的序号是 ．(把你认为正确命题的序号都填上)
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12 分）已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
18．（12 分）某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了 20
名男生和 20 名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数(本)，并根
据统计结果绘制出如图所示的茎叶图．
如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数(本)不低于 90 本，则称该学生为“书虫”．
（1）根据频率分布直方图填写下面 2×2 列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过 10%
的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？
男生 女生 总计
书虫
非书虫
总计
附：
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
1.323 2.072 2.706 3.814 5.024
（2）在所抽取的 20 名女生中，从过去一整年内课外阅读的书数(本)不低于 86 本的学生
中随机抽取两名，求抽出的两名学生都是“书虫”的概率．
1, 3, 4AC BC SC= = = SC ⊥ ABC SCP△
4, 4, 4AC BC SC= = = SC ⊥ ABC S ABC−
32 3π
{ }na n nS 4 6 18a a+ = 11 121S =
{ }na
4
( 1)( 5)n
n n
b a a
= + +
{ }nb n nT 3
4nT <
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2( )P k k≥
k19．（12 分）如图，己知边长为 2 的正三角形 所在的平面与菱形 所在的平面垂
直，且 ，点 是 上一点，且 (0＜k＜1)．
（1）当 时，证明： ；
（2）是否存在一个常数 ，使得三棱锥 的体积等于四棱锥 的体积的
，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
20．（12 分）已知 为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，
且过点 的直线 交椭圆于 两点， 的周长为 8．
（1）求椭圆 的方程；
（2）证明： ．
ABE ABCD
60DAB∠ = ° F BC BF kBC
=
1
2k = BD EF⊥
k D FEB− E ABCD−
1
3 k
1 2,F F
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
+ = > > 3(1, )2P
2F l ,A B 1AF B△
E
2 2
1 1 4
| | | | 3AF BF
+ =21．（12 分）已知函数 .
（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）若不等式 对任意的 , 都成立，求实数
的取值范围.
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写
清题号．
22．（10 分）选修 4—4 坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 (t 为参数).以原点为极点， 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 .
（1）写出直线 的普通方程，并把圆 的方程化为直角坐标方程；
（2）设直线 与圆 相交于 两点，求 ．
23．（10 分）选修 4—5 不等式选讲
已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围.
2( ) xf x e e= +
2
( )f x
e 2x =
2( ) ( )f x y f x y me x+ + − ≥ [0, )x∈ +∞ [0, )y∈ +∞
m
xOy l
1 32
1
x t
y t
= +
= +
x
C 2 cos( )4
πρ θ= −
l C
l C ,A B AB
( ) | 2|f x x= +
(2 ) ( 4) 2f x f x− − >
0a > ( ) ( ) 1f ax af x a+ +≥文科数学答案与解析
1．【答案】C【解析】 , ，
．故选 C．
2．【答案】A【解析】 复数 , , ，则 ，故选 A．
3．【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题“ , ”的否定是：
, ．故选 D．
4．【答案】B【解析】 ，
，向量 在向量 方向的投影为 ．故选 B．
5．【答案】D【解析】由正弦定理及大边对大角可得： ，而函数
在 上不是单调函数，所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，
故选 D.
6．【答案】D【解析】执行程序框图，可得 S=0，n=2，满足条件， ，n＝4，满足条件，
，n=6，满足条件， ，n＝8，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，
输出 S 的值为 ，故选 D．
7．【答案】C【解析】由已知中的三视图知圆锥底面半径为 ，圆锥的高
，圆锥母线 ，截去的底面弧的圆心角为 ，底面剩余部分的面
积为 ，故几何体的体积为：
，故选 C.
8 ． 【 答 案 】 D 【 解 析 】 因 为 ， 由
， 解 得 ， 即 函 数 的 增 区 间 为
，所以当 时，增区间为 ，选 D.
9．【答案】B【解析】作出不等式对应的平面区域，如图所示：
因为直线 过定点 ，所以要使表示的平面区域被直线 分为面积相等的两部分，则
直线 必过 的中点 ，由 得 ，故选 B．
2{ | 2 0} { | 0 2}A x x x x x= − =≤ ≤ ≤ { | 2 2 0} { | 1}B x x x x= − =≤ ≤
{ | 0 1}A B x x∴ = ≤ ≤
1 iz = + ∴ 1 iz = − 2 2(1 i) 2iz = + = 2 1 i 2i 1 iz z+ = − + = +
(0,1)x∀ ∈ lnxe x− >
0 (0,1)x∃ ∈ 0
0lnxe x− ≤
| | 3+ = a b 2 2 2( ) 2 3 2 3 2 cos , 4 3∴ + = + ⋅ + = + × × × < > + =a b a a b b a b
3cos , 3
∴ < >= −a b a b 3| | cos , 3 ( ) 13
< >= × − = −a a b
sin sin 2 2
a bA B a b A BR R
> ⇔ > ⇔ > ⇔ >
tany x= (0, )π sin sinA B> tan tanA B>
1
2S =
1 1 3
2 4 4S = + = 1 1 1 11
2 4 6 12S = + + =
11 22812 3
× =
2 26 33 ( ) 62r = + =
2 2(3 5) 3 6h = − = 2 26 6 6 2l = + = 120°
2 2 2 22 1 2 1sin120 6 6 sin120 24 9 33 2 3 2S r rπ π π= + ° = × + × × ° = +
1 1 (24 9 3) 6 48 18 33 3V Sh π π= = × + × = +
cos2 3sin 2y x x= − 2sin( 2 ) 2sin(2 )6 6x x
π π= − = − −
32 2 2 ,2 6 2k x k k
π π ππ π+ − + ∈Z≤ ≤ 5 ,3 6k x k k
π ππ π+ + ∈Z≤ ≤
5[ , ],3 6k k k
π ππ π+ + ∈Z 0k = [ , ]3 2
π π
1y ax= + (0,1)C 1y ax= +
1y ax= + (2,6), (4,2)A B (3,4)D 4 3 1a= + 1a =10．【答案】D【解析】因为 ，且 ，所以函数 单调递增且有惟一
的零点为 ，所以 ， ，问题转化为：使方程 在区间[0,2]上有解，
即
在区间[0,2]上有解，而根据“对勾函数”可知函数 在区间[0,2]的值域为 ，
，故选 D．
11．【答案】B【解析】依题意可得，抛物线 的焦点为 ，F 关于原点的对称点 ； ，
，所以 ， ，设 ，则 ，解得 ， ，
可得 ，又 ， ，可解得 ，故双曲线的离心率是
，故选 B．
12．【答案】B【解析】函数 有且只有一个零点，等价于关于 x 的方程 ax2=x3－x+1
有且只有一个实根．显然 ，
方程 有且只有一个实根．
设函数 ，则 ．
设 ，h(x)为增函数，
又 h(1)=0． 当 x＜0 时，g′(x)＞0， 为增函数；
当 0＜x＜1 时，g′(x)＜0， 为减函数；
当 x＞1 时，g′(x)＞0， 为增函数； 在 x=1 时取极小值 1．
当 趋向于 0 时， 趋向于正无穷大；当 趋向于负无穷大时，
趋向于负无穷大；又当 趋向于正无穷大时，
趋向于正无穷大． 图象大致如图所示：
方程 只有一个实根时，实数 a 的取值范围为 ，故选 B．
13．【答案】51【解析】样本间距为 60÷5=12，则样本中编号最大的学生的编号是 .故答案为
51．
14．【答案】 【解析】 ，所以
，由余弦定理可知 ，得 .根据“三斜求
积术”可得 ，所以 .
' 1( ) 1 0xf x e −= + > (1) 0f = ( ) 1 2xf x e x−= + −
1m = 1 1n− ≤ 0 2n∴ ≤ ≤ 2 3 0x ax a− − + =
2 23 ( 1) 2( 1) 4 41 21 1 1
x x xa xx x x
+ + − + += = = + + −+ + +
41 21y x x
= + + −+ [2,3]
2 3a∴ ≤ ≤
2 4y x= (1,0)F ( 1,0)− 2 4α=
1
2
α =
1
2( )f x x x= = 1'( )
2
f x
x
= 0 0( , )Q x x 0
00
1
12
x
xx
= + 0 1x = ∴ (1,1)Q
2 2
1 1 1a b
− = 1c = 2 2 2c a b= + 5 1
2a
−=
1 5 1
25 1
2
ce a
+= = =
−
3 2( ) 1f x x ax x= − + + −
0x ≠
∴
2
1 1a x x x
= − +
2
1 1( )g x x x x
= − +
3
2 3 3
1 2 2'( ) 1 x xg x x x x
+ −= + − =
3 2( ) 2, ( ) 3 1 0h x x x h x x′= + − = + ＞
∴ ( )g x
( )g x
( )g x ∴ ( )g x
x ( )g x x
( )g x x
( )g x ∴ ( )g x
∴
2
1 1a x x x
= − + ( ,1)−∞
27 12 2 51+ × =
3 15
4
tan tantan tan( ) 151 tan tan
ACD BCDACB ACD BCD ACD BCD
∠ + ∠∠ = ∠ + ∠ = = −− ∠ ∠
1cos 4ACB∠ = − 2 2 2 2 cos 16AB AC BC AC BC ACB= + − ⋅ ∠ = 4AB =
22 2 2
2 2 21 4 2 3 1354 24 2 16S
+ − = × − =
3 15
4S =15．【答案】 【解析】由圆的方程得 ，所以圆心为 ，半径为 ，四边形的
面积 ，若四边形 的最小面积 ，所以 的最小值为 ，
而 ，即 的最小值 ，此时 最小为圆心到直线的距离，此时
，因为 ，所以 ，所以 的概率为
．
16．【答案 】① ②④ 【解 析】对 于① ，因 为 平面 ， 所以 , , ，又
， 平面 ，所以 ，故四个面都是直角三角形， ①正确；
对于②，由 在平面 上的射影是斜边 的中点 ，可得 平面 ，连接 ，有 SA2＝SP2＋
PA2，SB2＝SP2＋PB2，SC2＝SP2＋PC2，因为 P 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中点，所以 PA＝PB＝PC，故
SA=SB=SC， ②正确；
对于③，当 平面 时， .当 时， 取得最小值，
由等面积可得此时 长度为 ，所以 的最小值是 ； ③不正确；
对于④，若 ， 平面 ， 三棱锥 的外接球可以看作棱长为 4 的
正方体的外接球， ， ， 体积为 ，故④正确，
故答案为①②④．
17．【解析】
（1）设数列 的公差为 d， , ，
, , ，
.（6 分）
（2）由（1）可知 ，
数列 的前 项和为
，
， ，
， .（12 分）
18．【解析】
（1）由已知数据得：
男生 女生 总计
书虫 1 5 6
非书虫 19 15 34
总计 20 20 40
15 7
3
− 2 2( 1) 1x y+ + = (0, 1)− 1r =
2 MBCS S= △ MACB [ 3, 7]S ∈ MBCS△
3 7[ , ]2 2MBCS ∈△
1
2MBCS r MB=△ MB min [ 3, 7]MB ∈ MC
2 2 2 2
2
1 7 [ 1 ( 3) , 1 ( 7) ]
1
d
k
+= ∈ + +
+ 0k > [ 7, 15]k ∈ [1,4]k ∈
15 7
3
−
SA ⊥ ABC SA AC⊥ SA AB⊥ SA BC⊥
BC AC⊥ ∴ BC ⊥ SAC BC SC⊥ ∴
S ABC AB P SP ⊥ ABC CP
∴
SC ⊥ ABC 1 1 4 22 2SCPS SC CP CP CP= × × = × × =△ CP AB⊥ CP
CP 1 3 3
2 2
× = SCPS△
32 32
× = ∴
4, 4, 4AC BC SC= = = SC ⊥ ABC ∴ S ABC−
∴ 2 2 22 4 4 4 4 3R = + + = 2 3R = ∴ 34 (2 3) 32 33V π π= =
{ }na 4 6 52 18a a a+ = = 5 9a∴ =
1 11
11 6
11( ) 11 1212
a aS a
+= = = 6 11a∴ = 6 5 11 9 2d a a∴ = − = − =
5 ( 5) 9 2( 5) 2 1na a n d n n∴ = + − = + − = −
4 4 1 1 1 1( )( 1)( 5) (2 1 1)(2 1 5) ( 2) 2 2n
n n
b a a n n n n n n
= = = = −+ + − + − + + +
∴ { }nb n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( ) ( ) ( )]2 3 2 4 3 5 1 1 2nT n n n n
= − + − + − + + − + −− + +
1 1 1 1 3 1 1 1(1 ) ( )2 2 1 2 4 2 1 2n n n n
= + − − = − ++ + + + *n∈N
1 1 01 2n n
∴ + >+ +
3
4nT∴ 2( ) 2x y x yg x e e e+ −= + + 2 22x y x ye e e me x+ −+ + ≥
2( )g x me x≥
2 2 2 2( ) 2 ( ) 2 2 2 2 2x y x y x y y x y y xg x e e e e e e e e e e e e e+ − − −= + + = + + × × + = + ≥ 0y =
∴ 2 22 2xe e me x+ ≥
2 2
2 2
2 2 2x xe e e e me x e x
+ += ⋅ ≥ (0, )x∈ +∞
2
( )
xe eh x x
+=
2 2
2 2
( ) ( 1)'( )
x x xxe e e x e eh x x x
− + − −= =
'( ) 0h x = 2( 1) 0xx e e− − =
2( ) ( 1) xm x x e e= − − '( ) ( 1)x x xm x e x e xe= + − =
0x > '( ) 0xm x xe= > ( )m x∴ (0, )+∞
2 2(2) (2 1) 0m e e= − − = 2( 1) 0xx e e∴ − − = 2x =
(2, )x∈ +∞ '( ) 0h x > ( )h x (0,2)x∈ '( ) 0h x < ( )h x
∴ 2x = ( )h x
2 2
2(2) 2
e eh e
+= = ∴ 2
2
2 2m ee
× =≤
∴ m ( ,2]−∞（1）将直线 l 的参数方程 (t 为参数)消去参数 ，
可得直线 l 的普通方程为 ，即 ．
由 ，得 ，所以 ,
得 ，即 ．（5 分）
（2）由 得 ，
将其代入 ，得 ，
， ，
．（10 分）
23．【解析】
（1）)函数 = ，
当 时，不等式即 ，求得 ， ；
当 时，不等式即 ，求得 ， ；
当 时，不等式即 ，求得 ， ．
综上所述，不等式的解集为 或 ．（5 分）
（2）当 时,
不等式 恒成立， ，
或 ，解得 或 ，
实数 的取值范围为 .（10 分）
1 32
1
x t
y t
= +
= +
t
1 11 ( )23
y x− = − 2 2 3 2 3 1 0x y− + − =
2 cos( )4
πρ θ= − cos sinρ θ θ= + 2 cos sinρ ρ θ ρ θ= +
2 2x y x y+ = + 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y− + − =
1 32
1
x t
y t
= +
= +
1 3
2 2
11 2
x m
y m
= +
= +
(m为参数）
2 21 1 1( ) ( )2 2 2x y− + − = 2 1 1 02 4m m+ − =
1 2
1
2m m∴ + = − 1 2
1
4m m = −
∴ 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4AB m m m m m m m m= − = − = + − 21 1 5( ) 4 ( )2 4 2
= − − × − =
(2 ) ( 4) | 2 2 | | 2 |f x f x x x− − = + − −
4, 1
3 , 1 2
4, 2
x x
x x
x x
− − < −
− 6x < − 6x∴ < −
1 2x− 2
3x > 2 23 x∴ < <
2x≥ 4 2x + > 2x > − ∴ 2x≥
2{ | 3x x > 6}x < −
0a >
( ) ( ) | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | ( 2) ( 2 ) | | 2 2 |f ax af x ax a x ax ax a ax ax a a+ = + + + = + + + + − + = −≥|
( ) ( ) 1f ax af x a+ +≥ | 2 2 | 1a a∴ − +≥
2 2 1a a∴ − +≥ 2 2 1a a− − −≤ 3a≥ 10 3a< ≤
∴ a 1(0, ] [3, )3
+∞
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