山西省大同市2020届高三数学（文）模拟考试试题（word版带答案）

数学（文科）试卷 (满分 150 分，答题时间 120 分钟) 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设 ，则 （ ） A． B． C． D． 2. 已知集合 ， ， ，则 的元素个数为（ ） A． B． C． D． 3. 已知 ， ，则（ ） A． B． C． D． 4. 2019 年 10 月 1 日，为了庆祝中华人民共和国成立 周年，小明、小红、小金三人以国 庆为主题各自独立完成一"幅十字绣赠送给 当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福 齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对 三人进行了问话，得到回复如下: 小明说:“鸿福齐天”是我制作的； 小红说:“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说:“兴国之路”不是我制作的. 若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A．小明 B．小红 C. 小金 D．小金或小明 5. 函数 在 上的图像大致为（ ） ( )( )2 5 3z i i= + − z = 5 29 290 2 70 4 35 8{ | }3U x Z x= ∈ − < < 21,3,4,7{ }UC M = − , 2 1,2,4,5,{ 7}N = − −, M N∩ 1 2 3 4 4 5 4 46, 21a b log= = 2.91 3c  =    a b c> > a c b> > b c a> > c a b> > 70 ( ) 2sin cos 20 x x xf x x += 2 ,0 0 ]2[ ) (π π∪− ,A． B． C. D． 6. 为了了解公司 名员工对公司食堂组建的需求程度，将这些员工编号为 ， 对这些员工使用系统抽样的方法等距抽取 人征求意见，有下述三个结论: ①若 号员工被抽到，则 号员工也会被抽到； ②若 号员工被抽到，则 到 号的员工中被抽取了 人； ③若 号员工未被抽到，则 号员工一定未被抽到. 其中正确的结论个数为（ ） A． B． C. D． 7. 已知向量 ，若 ，则 与 夹角的余弦值为（ ） A． B． C. D． 8. 若 ，则 （ ） A． B． C. D． 9. 框图与程序是解决数学问题的重要手段.实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后， 可以制作框图，编写程序，得到解决.例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的 程序框图，其中输入 ，则图中空 白框中应填入（ ） 800 1,2,3,... 800 100 25 105 32 1 100 10 88 10 0 1 2 3 ( ),1 , 1( ,2)a m b= = −  ( )2a b b− ⊥   a b 2 13 13 − 2 13 13 6 13 65 − 6 13 65 ) 3,(tan a β+ = 2tanβ = ( ) 3sin 2 sin a a π π  −   =+ 1 7 7 1 7 − 7− 1 2 3 4 5 6 715, 16, 18, 20, 22, 24 25x x x x x x x= = = = = = =,A． B． C. D． 10.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 .若 线段 与双曲线 的一条渐近线垂直，垂足为 ，且 的面积是 的 倍， 则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C. D． 11. 在 中，角 所对的边分别为 .若 时，则 的面积为（ ） A． B． C. D． 12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 ， 在椭圆 上，其中 ，若 ， ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ） 6 7 Si S> =, 6 7 Si S≥ =, 6 7i S S> =, 6 7i S S≥ =, ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > 1 2F F, 1(0 )M m， 2F M C N 2NOF MON 2 C 2 3 5 2 6 2 ABC , ,A B C , ,a b c 7, 2 , 3 2tanC c a b= = = ABC 3 7 3 7 2 3 7 4 3 7 8 ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 1 2F F, 1 1( ),P x y 1 1,( )Q x y− − C 1 10, 0x y> > 2=2PQ OF 1 1 3 3 QF PF ≥ CA． B． C. D． 第Ⅱ卷（非选择题， 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 曲线 在 处的切线方程为 ． 14. 设 为正项等比数列 的前 项和，若 ，则 ． 15. 函数 在 上的值域为 ． 16. 已知四棱锥 中的外接球 的体积为 ， 平面 ，四边 形 为 矩 形 ， 点 在 球 的 表 面 上 运 动 ， 则 四 棱 锥 体 积 的 最 大 值 为 ． 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 17. 由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济 损失，现将 地区 家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示. 求 的值； 求 地区 家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数以及中位数； 6 10, 2  −   (0, 6 2−  2 , 3 12  −   (0, 3 1−  2 2 x x xy e += ( )0,0 nS { }na n 2 44, 20S S= = na = ( ) 260 2 2 3sinf x tan sin x x= + [ ],2 π π P ABCD- O 36π 3PA PA= ⊥, ABCD ABCD M O M ABCD− A 200 ( )1 a ( )2 A 200不经过计算，直接给出 地区 家实体店经济损失的平均数 与 的大小关系. 18. 记 为等差数列 的前 项和，且 . 求数列 的通项公式以及前 项和 ； 记数列 的前 项和为 ，求满足 的最小正整数 的值. 19. 四棱锥 如图所示，其中四边形 是直角梯形， 平面 与 交于点 ，直线 与平面 所成角的余弦值为 ，点 在线段 上. 若直线 平面 ，求 的值； 若 ，求点 到平面 的距离. 20. 已知函数 判断函数 在 上的单调性； 若 ，求证:当 时， 21. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆 上. 若线段 的中点坐标为 ，求直线 的斜率； 若 三点共线，直线 与椭圆 交于 两点，求 面积的最大值. 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上。 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 ( )3 A 200 x 6000 nS { }na n 10 154, 30a S= = ( )1 { }na n nS ( )2 { }42 na na+ + n nT 0nT > n S ABCD− ABCD , ,AB AD AD DC SA⊥ ⊥ ⊥ 1, ,2ABCD DA DC AB AC= = BD G SC ABCD 2 5 5 M SA ( )1 / /SC MBD SM MA ( )2 1DA = A SCD ( ) sin xf x x π −= ( )1 ( )f x (0 )2π， ( )2 0 a π< < ,( )0x π∈ ( ) 1f x aln x > 2 2: 15 xC y+ = 1 2,F F ,M N C ( )1 MN ( 12, 3) MN ( )2 , ,M N O 1NF C N P, PMN在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以原点为极 点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 求曲线 的极坐标方程以及曲线 的直角坐标方程； 若直线 与曲线 、曲线 在第一象限交于 两点，且 ，点 的坐标为 ，求 的面积. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知 . 求证: . 若 ，求证: . xOy 1C 2 2 2 x cos y sin θ θ = +  = θ x 2C 2 2 2 4= 4cos a sin a ρ + ( )1 1C 2C ( )2 :l y kx= 1C 2C ,P Q 2OP OQ= M (2 )0， MPQ 0 0 0a b c> > >, , ( )1 ( )4 4 4 2 2 4 2 2 ab a b a a b b a b + − + ≥ + ( )2 1abc = 3 3 3a b c ab bc ac+ + ≥ + +文科数学参考答案和评分标准 一、选择题 1.【答案】 【命题意图】本题考查复数的运算、复数的概念，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 【解析】依题意， ，故 ，故选 . 2. 【答案】 【命题意图】本题考查集合的表示、集合的运算，考查推理论证能力以及化归与转化思想. 【解析】依题意， ，则 ，故 ，则 的元素个数为 ，故选 . 3．【答案】 【命题意图】本题考查指对数的大小比较，考查推理论证能力以及化归与转化思想. 【解析】依题意 ， 故选 . 4. 【答案】 【命题意图】本题考查推理与证明，考查推理论证能力以及分类讨论思想. 【解析】依题意，三个人制作的所有情况如下所示: 鸿福齐天 小明 小明 小红 小红 小金 小金 国富民强 小红 小金 小金 小明 小红 小明 兴国之路 小金 小红 小明 小金 小明 小红 若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则 满足；若小金的说法正确，则 满足.故天“鸿福齐天”的制作者是小红，故选 . 5. 【答案】 【命题意图】本题考查函数的图像与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想. B ( )( )2 5 3 6 2 15 5 11 13z i i i i i= + − = − + + = + 121 169 290z = + = B C { }2, 1,0,1,2,3,4,5,6,7U = − − { }1,0,2,5,6M = − 1, }5{ 2,M N∩ −= M N∩ 3 C B 1 04 4 5 5 4 4 46 6 6 1, 1 0,21a b log log= = > = = < = 2.9 01 10 13 3c    < = < =       B B 1 2 3 4 5 6 4 3 B A【解析】依题意， ，故函数 为偶函数， 图像关于 轴对称，排除 ；而 ，排除 ，排除 .故 选 . 6. 【答案】 【命题意图】本题考查系统抽样，考查数学建模能力以及必然与或然思想. 【解析】依题意，将这 人分为 组，每组 人，即分段间隔为 ；因为 ，故①正确； 若 号员工被抽到，则 到 号的员工中被抽取的号码为 .共计 人，故②错误；若 号员工未被抽到，则 号员工可能被抽到，故③错误.故选 . 7. 【答案】 【命题意图】本题考查向量的坐标运算、向量的数量积应用，考查运算求解能力以及化归与 转化思想. 【解析】依题意， ，而 ，即 ，解得 ， 则 ，故选 . 8. 【答案】 【命题意图】本题考查诱导公式、两角差的正切公式，考查运算求解能力以及化归与转化思 想. 【解析】 ， ，故选 . 9. 【答案】 【命题意图】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归与转化思想. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2sin cos sin cos 20 20 x x x x x xf x f xx x − − −− = + = + =− ( )f x y C 2 ( 0) 20f ππ = − < 2 ( ); 2 05B f ππ = > D A B 800 100 8 8 105 25 108 − = 32 1 100 8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,88,96 12 88 10 B B ( )2 2, 3a b m− = + −  ( )2 0a b b− ⋅ =   2 6 0m − − =- 8m = − ( ) 10 2 13, 135 65 cos a b = = ⋅   B B ( ) ( ) ( ) 7a1 t n 1tan a tantana tan a tan a β ββ β β β += + − = =+  + - ( ) 3sin cos 12 7sin sin tan a a a a a π π  −  −  == = =+ − B A【解析】程序框图是为了计算 个数的方差，即输出的 ，观察可知，选 . 10. 【答案】 【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及数形结合思想. 【解析】不妨设 即为双曲线的焦点到渐近线的距离，故 ，因为 的面积是 的 倍，故 ，不妨设 ，则直线 ， 故 .而，则 ，则 .即 ，故 ， 故选 . 11. 【答案】 【命题意图】本题考查解三角形，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 【解析】因为 ，且 ，解得 ， ， 而 ， ，所以 ， ，故 因为 ， ，故 ，故 ，故选 . 12. 【答案】 【命题意图】本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力以及数形结合思想. 【解析】设 ，由 知 ，由 在椭圆 上， 可知四边形 为矩形， ； 由 ，可得 7 ( ) ( ) ( )22 2 7 2 1 1 20 20 ... 207S x x x= − + − + + −   A B 20,m NF> 2NF b= 2NOF MON 2 2 2 2 3MOF NOFS S=   0m > ( )2 : aMF y x cb = − − acm b = 2 22 3MF NF= 2 2 2 22 3a c c bb + = 2 23a c= 3ce a = = B B sintan 7cos CC C = = 2 2 1sin C cos C+ = 14 4sinC = 2cos 4C = 2c a= sin sin a c A C = 1 14 2 8sinA sinC= = 5 2 8cosA = ( ) ( ) 3 7[ ] 8sinB sin A C sin A C sinAcosC cosAsinCπ= − + = + = + = sin sin a b A B = 3 2b = 2a = 1 1 14 3 72 3 22 2 4 2ABCS absinC= = × × × =  B C 1 2,PF n PF m= = 1 10. 0x y> > m n< ( ) ( )1 1 1 1, , ,P x y Q x y− − C 22PQ OF= 1 2PFQF 1 2QF QF= 1 1 3 3 OF PF ≥ 3 13 m n ≤ ( ) 2 2 2 4 3 4 32 c a c ≤ − ( )2 2 2 2 4 2 3 3 1 2 3 c a ≤ = − = − + 3 1ce a = ≤ − 2 3 12 e< ≤ − C 2y x= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2x x x x x e e x x xy e e + − + + +′ −= = ' 2x ok y −= = 2y x= 12 3 n+ n { }na q 1q ≠ 4 24 2 2 1 1 51 S q qS q −= = + =− 2q = ± 0na > 2q = 2 1 2 13 4S a a a= + = = 1 4 3a = 1 14 223 3 n n na + −= ⋅ = 6 3 3[ ],2− + ( ) ( )3 2 3 2 3 2 3f x sin x in x= − − + = 3 2 3 2 3 (6 2 34)sin x cos x sin x π− + = − + ,2x π π ∈   3 72 ,4 4 4x π π π − ∈  故 ，故 16. 【答案】 【命题意图】本题考查组合体与球，考查空间想象能力以及数形结合思想. 【解析】依题意， ，将四棱锥 补成长方体，可知外接球 的直径为长方体的体对角线，设长方体的长、宽、高分别为 ，且 ，由于 ，又 ，当且仅当 时等号成立，此时 ，，要使得四棱锥 的体积最大，只需点 为平面 的中心 与球心 所在的直线与球的交点，又 ，故 体积的最大值为 . 三、解答题 17.【命题意图】本题考查频率分布直方图、样本的数字特征，考查运算求解能力以及必然 与或然思想. 【解析】 依题意. ， 解得 . 由图可知， 地区 家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数为 ， 第一块小矩形的面积 ，第二块小矩形的面积 ， 故所求中位数在 之间，故所求中位数为 18. 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式.前 项和公式、等比数列的前 项和公式. 考查运算求解能力以及函数与方程思想. 【解析】 记数列 的公差为 ， 2sin 2 1,4 2x π   − ∈ −      6 [ ]sin 2 3 6 3,2 34x π − − ∈ − +   81 4 34 36 33 R Rπ π= => = P ABCD− , ,a b c 3c = 2 2 27a b+ = 2 2 2a b ab+ ≥ 3 6 2a b= = ( )max 27 2ab = M ABCD− M ABCD 'O O 2 2 2 2 27 3' 92 4 2 a bOO R  += − = − =    M ABCD− 1 27 3 813 32 2 4  × × + =   ( )1 ( )0.00015 0.0002 0.0006 2000 1a+ + + × = 0.00009a = ( )2 A 200 3000 1 0.3S = 2 0.4S = [ )2000,4000 0.5 0.32000 30000.0002 −+ = ( )3 6000.x < n n ( )1 { }na 15 8 8, 30 15 30 2d S a a= ⇒ = ⇒ =故 ， 故 ， 依题意， 当 时， 当 时， 当 时， 当 时， 当 时， ， ，所以 19. 【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、空间几何体的结构特征、空间想象能力以 及数形结合思想. 【解析】 连接 . 因为 ，故 设 ，得 因为 平面 ，平面 平面 平面 ， 故 ，故 在平面 内作 于点 ， 10 8 110 8 a ad −= =− ( )10 10 4 10 6na a n d n n= + − = + − = − ( ) ( ) 2 1 1 1 1152 2 2 2n n n d n n n nS na n − −= + − + = − ( )2 1 22 6 2na n na n+ −+ = − + ( ) ( ) ( )1 0 2 11 2 15 4 6 2 2 2 2 2 n n n n nT n − − − −= − − +⋅⋅⋅+ − + + +⋅⋅⋅+ = + 1n = 1 1 1 10 2 1 02T − × + −= < 2n = 2 2 2 9 2 1 02T − × + −= < 3n = 3 3 3 8 2 1 02T − × + −= < 4n = 4 4 4 7 2 1 02T − × + −= < 5n ≥ ( )11 152 n n − ≥ − 2 1 31 2 2 n − ≥ 0nT > ( )1 MG ,AB AD AD DC⊥ ⊥ / /AB CD 1, 2DC AB= = 2AG AB GC DC = = / /SC MBD SAC ∩ ,MBD MG SC= ⊂ SAC / /SC MG 1 2 SM CG MA AG = = ( )2 SAD AN SD⊥ N因为 平面 ，所以 ， 又 ，得 平面 . 因为 平面 ，所以 . 又 ，所以 平面 . 因为直线 与平面 所成角的余弦值为 即 又 ，故 则 ，而 ，得 ，即点 到平面 的距离为 20. 【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查推理论证能力以及函数与方程思 想. 【解析】 依题意， 令 ，则 ， 故当 时， ，当 时， 故 ，故 在 上恒成立， 故 ， 即函数 在 上单调递减. SA ⊥ ABCD DC SA⊥ ,DC AD SA AD A⊥ ∩ = DC ⊥ SAD AN ⊂ SAD CD AN⊥ SD CD D∩ = AN ⊥ SCD SC ABCD 2 5 5 2 5 5sin ASC∠ = 2AC = 10 2SC = 2 2SA = 1,AD SA AD= ⊥ 6 2SD = 3 3AN = A SCD 3 3 ( )1 ( ) 2 cos sinx x xf x x π− + −= ( ) sing x xcosx x π= − + − ( )'g x xsinx= ,( )0x π∈ ( )' 0g x > ,( )2x π π∈ ( )' 0g x < ( ) max ( 0)g x g π=  = ( ) 0g x ≤ (0,2 )π ( )' 0f x ≤ ( )f x (0,2 )π依题意， 下面证明:①当 时， ；②当 时， ； 事实上， ，则 ，所以 在 上单调 递增， 故 ，则 ， 又 ，则 令 ，则 由 ，得 的极小值点为 .若 .则 则 ，故 ， 若 ，即 ，则 在 上单调递减.故 . 综上所述，当 时， ， 则 ， 21. 【命题意图】本题考查直线与椭圆的关系、基本不等式，考查运算求解能力以及化归与 转化思想. 【解析】设 .则 ， 两式相减，可得 即 解得 ，即直线 的斜率为 显然直线 的斜率不为 ，设直线 ， 联立 ，消去 整理得 ， ( )2 ( ) 1 sin 0xf x aln alnxx x x π> ⇔ + − > ,( )0x π∈ sin0 1x x < < 0 a π< < 1alnxx π + > ( )h x x sinx= − ( )' 1 cos 0h x x= − > ( ) sinh x x x= − (0, )π ( ) ( )0 0h x h> = 0x sinx− > 0, 0x sinx> > sin0 1x x < < ( ) lnx xxs a π += ( ) 2 2' a axs x x x x π π−= − = ( )' 0s x = ( )s x ox a π= ( )0,ox a π π= ∈ 1 a π< < 0 0 0 1( )s x alnx a aln ax a π π= + = + > > ( ) 1s x alnxx π= + > 0x a π π= ≥ 0 1a< ≤ ( )s x (0, )π ( ) 1( 1)s x s alnπ π> = + > 0 a π< < ln 1a xx π + > sinln 0xa xx x π + − > ( ) 1f x aln x > ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 2 2 2 21 2 1 21, 15 5 x xy y+ = + = ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 05 x x x x y y y y + − + + − = ( ) ( )1 2 1 24 2 05 3 x x y y− −− = 1 2 1 2 6 5 y y x x − = −− MN 6 5 − ( )2 1NF 0 ( ) ( )1 1 1 2 2: 2, , , ,NF x my N x y P x y= − 2 2 2 5 5 x my x y = −  + = x ( )2 25 4 1 0m y my+ − − =显然 ，故 故 的面积 令 ，其中 22. 【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐 标的几何意义，考查推理论证能力以及数形结合思想. 【解析】 依题意，曲线 即 ， 故 ，即 因为 ，故 ， 即 ，即 . 将 ，代入 ，得 ， 将 ，代入 ，得 ， 由 ，得 .即 解得 .则 又 ，故 ， 故 的面积 23. 【命题意图】本题考查证明不等式的方法、基本不等式，考查推理论证能力以及化归与 转化思想. 【解析】 要证 即证 ， ( )220 1 0m= + > 1 2 1 22 2 4 1,5 5 my y y ym m −+ = =+ + PMN 2 1 1 2 2 1 4 5 12 2 2 5PMN OPN mS S OF y y m ⋅ += = × × × − = +  2 1m t+ = 2 4 5 4 5 4 51, 544 42 PMN tt S t t tt t ≥ = = ≤ =+ + ⋅  ( )1 ( )2 2 1 : 2 4,C x y− + = 2 2 4 0x y x+ − = 2 4 0cosρ ρ θ− = 4cosρ θ= 2 2 2 4 4cos a sin a ρ = + 2 2 2 24 4cos a sin aρ ρ+ = 2 24 4x y+ = 2 2 14 x y+ = ( )2 0 θ θ= 2 2 2 4 4cos a sin a ρ = + 2 2 0 4 1 3Q sin ρ θ= + 0 θ θ= 4cosρ θ= 04p cosρ θ= 2OP OQ= 2p Q ρ ρ= ( )2 0 2 0 164 1 3cos sin θ θ= + 2 2 3Osin θ = 2 1cos 3O θ = 00 2 πθ< < 0 4 34cos 3p ρ θ= = 2 0 4 2 3 1 3 3Q sin ρ θ= =+ MPQ ( )1 2 2 2 3MPQ OMQ OMP p Q OS S S OM sinρ ρ θ= − = ⋅ ⋅ − ⋅ =    ( )1 ( )4 4 4 2 2 4 2 2 ab a b a a b b a b + − + ≥ + ( )( ) ( )2 2 4 2 2 4 4 4a b a a b b ab a b+ − + ≥ +即证 ， 即证 ， 即证 ， 即证 ， 该式显然成立，当且仅当 时等号成立， 故 由基本不等式得 ， 当且仅当 时等号成立. 将上面四式相加，可得 ， 即 . 6 6 5 5a b a b ab+ ≥ − 6 6 5 5 0a b a b ab+ − + ≥ ( ) ( )5 5 0a a b a b b− − − ≥ ( )5 5( ) 0a b a b− − ≥ a b= ( )4 4 4 2 2 4 2 2 ab a b a a b b a b + − + ≥ + ( )2 3 3 3 3a b c abc+ + ≥ 3 3 3 3 3 31 3 , 1 3 , 1 3a b ab b c bc a c ac+ + ≥ + + ≥ + + ≥ 1a b c= = = 3 3 3 3 3 3 3 3a b c abc ab bc ac+ + + ≥ + + + 3 3 3a b c ab bc ac+ + ≥ + +