第 19 章单元检测卷
(满分：120 分，时间：90 分钟)
一、选择题(每题 3 分，共 30 分)
1．下列命题是真命题的是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．如图，矩形 OBCD 的顶点 C 的坐标为(1，3)，则对角线 BD 的长等于( )
A. 7 B．2 2 C．2 3 D. 10
(第 2 题图) (第 3 题图) (第 4 题图)
3．如图，在菱形 ABCD 中，∠C＝108°，AD 的垂直平分线交对角线 BD 于点 P，垂足为 E，
连结 AP，则∠APB 等于( )
A. 50° B．72° C. 70° D．80°
4．如图，菱形 OABC 的顶点 B 在 y 轴上，顶点 C 的坐标为(－3，2)，若反比例函数 y＝
k
x(x>0)
的图象经过点 A，则此反比例函数的表达式为( )
A．y＝
3
x(x>0) B．y＝－
3
x(x>0) C．y＝－
6
x(x>0) D．y＝
6
x(x>0)
5．已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中错误的有( )
①当 AB＝BC 时，它是菱形；②当 AC⊥BD 时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩
形；④当 AC＝BD 时，它是正方形．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6．如图，有一块矩形纸片 ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得 AD 边落在 AB 边上，折
痕为 AE，再将△AED 沿 DE 向右翻折，AE 与 BC 的交点为 F，则△CEF 的面积为( )
A.
1
2 B.
9
8 C．2 D．4
(第 6 题图)
7．如图，菱形 ABCD 的周长为 16，面积为 12，P 是对角线 BD 上一点，分别作 P 点到直线
AB，AD 的垂线段 PE，PF，则 PE＋PF 等于( )A．6 B．3 C．1.5 D．0.75
(第 7 题图) (第 8 题图)
8．如图所示，在正方形 ABCD 的内部，作等边三角形 BCE，则∠AEB 的度数为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
9．如图，四边形 ABCD 是菱形，AB＝5，AC＝6，AE⊥BC 于 E，则 AE 等于( )
A．4 B.
12
5 C.
24
5 D．5
(第 9 题图) (第 10 题图)
10．如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点(不与 A，B 重合)，对角线 AC，BD 相交于
点 O，过点 P 分别作 AC，BD 的垂线，分别交 AC，BD 于点 E，F，交 AD，BC 于点 M，N.下列
结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN＝BD；③PE2＋PF2＝PO2.其中正确的有( )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
二、填空题(每题 3 分，共 30 分)
11．在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，从(1)AB＝CD；(2)AB∥CD；(3)OA＝OC；(4)OB
＝OD；(5)AC⊥BD；(6)AC 平分∠BAD 这六个条件中，选取三个推出四边形 ABCD 是菱形．如
(1)(2)(5)⇒四边形 ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个：________⇒四边形 ABCD 是菱形；
________⇒四边形 ABCD 是菱形．
12．如图所示，矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，且 AE＝1，BE 的垂直平分线 MN 恰好过点
C，则矩形的一边 AB 的长为________．
(第 12 题图) (第 13 题图) (第 14 题图)
13．如图，四边形 ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过 O 点的三条直线将菱形分成阴
影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为 6 和 8 时，则阴影部分的面积为
________．
14．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AC 的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若 BC＝4，AE＝5，则四边形 ACBE 的周长是________．
15．如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E，F 分别在 BC 和 CD 上，
下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF.其中正确的结论是________．(填序
号)
(第 15 题图) (第 16 题图) (第 17 题图)
16．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上的一点，且 AE＝3，点 Q 为对角线 AC
上的动点，则△BEQ 的周长的最小值为________．
17．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，点 E 是 AD 上一点，把△ABE 沿 BE 折叠，使点 A
落在点 F 处，点 Q 是 CD 上一点，将△BCQ 沿 BQ 折叠，点 C 恰好落在直线 BF 上的点 P 处．若
∠BQE＝45°，则 AE＝________．
18．如图，正方形 ABCD 外有一点 M，连结 AM，BM，CM.若△AMB，△BMC 和正方形 ABCD 的面
积分别是 50 cm2，30 cm2 和 100 cm2，则 AM＝________cm.
19．如图，在△ABC 中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC
于 F，M 为 EF 的中点，则 AM 的最小值为____________．
(第 18 题图) (第 19 题图) (第 20 题图)
20．在平面直角坐标系中，正方形 A1B1C1O、正方形 A2B2C2C1、正方形 A3B3C3C2、正方形
A4B4C4C3、…、正方形 AnBnCnCn－1 按如图所示的方式放置，其中点 A1，A2，A3，A4，…，An 均
在一次函数 y＝kx＋b 的图象上，点 C1，C2，C3，C4，…，Cn 均在 x 轴上．若点 B1 的坐标为
(1，1)，点 B2 的坐标为(3，2)，则点 An 的坐标为________．
三、解答题(21 题 8 分，26 题 12 分，其余每题 10 分，共 60 分)
21．如图，在矩形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，AE 平分∠BAD，交 BC 于点 E，若∠CAE＝
15°，求∠BOE 的度数．(第 21 题图)
22．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的高，∠BAC 的平分线 AE 交 CD 于点 F，
交 BC 于点 E，过点 E 作 EG⊥AB 于 G，连结 GF.求证：四边形 CFGE 是菱形．
(第 22 题图)
23．如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，将△ADE 沿 AE 折叠至△AFE，
延长 EF 交 BC 于点 G，连结 AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)求 BG 的长．
(第 23 题图)24．如图①，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一点，点 E 在 BC 的延长线上，且 PE＝
PB.
(1)求证：△BCP≌△DCP；
(2)求证：∠DPE＝∠ABC；
(3)把正方形 ABCD 改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝58°，则∠DPE＝
________°.
(第 24 题图)
25．如图，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)过点 C 作 CG∥EA 交 AF 于点 H，交 AD 于点 G，若∠BAE＝30°，∠BCD＝130°，求∠AHC
的度数．
(第 25 题图)26．在▱ABCD 中，AC，BD 交于点 O，过点 O 作直线 EF，GH，分别交平行四边形的四条边于
E，F，G，H 四点，连结 EG，GF，FH，HE.
(1)如图①，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由；
(2)如图②，当 EF⊥GH 时，四边形 EGFH 的形状是________；
(3)如图③，在(2)的条件下，若 AC＝BD，四边形 EGFH 的形状是________；
(4)如图④，在(3)的条件下，若 AC⊥BD，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由．
(第 26 题图)
参考答案
一、1.A 2.D 3.B
4．D 分析：∵菱形 OABC 的顶点 B 在 y 轴上，顶点 C 的坐标为(－3，2)，∴点 A 的坐标为
(3，2)，∴
k
3＝2，解得 k＝6，∴y＝
6
x(x>0)．故选 D.
5．A 分析：①当 AB＝BC 时，它是菱形，正确；②当AC⊥BD 时，它是菱形，正确；③当∠ABC
＝90°时，它是矩形，正确；④当 AC＝BD 时，它是矩形，因此④是错误的．6．C 分析：∵AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得 AD 边落在 AB 边上，∴DB＝8－6＝2，∠EAD
＝45°.又∵将△AED 沿 DE 向右翻折，AE 与 BC 的交点为 F，∴AB＝AD－DB＝6－2＝4，△ABF
为等腰直角三角形，∴BF＝AB＝4，∴CF＝BC－BF＝6－4＝2，而 EC＝DB＝2，∴△CEF 的面
积＝
1
2×2×2＝2.
7．B 8.D 9.C
10．D 分析：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠PAE＝∠MAE＝45°.∵PM⊥AC，∴∠PEA＝
∠MEA.又∵AE＝AE，∴△APE≌△AME，故①正确；由①得 PE＝ME，∴PM＝2PE.同理 PN＝
2PF，又易知 PF＝BF，四边形 PEOF 是矩形，∴PN＝2BF，PM＝2FO，∴PM＋PN＝2FO＋2BF＝2BO
＝BD，故②正确；在 Rt△PFO 中，∵FO2＋PF2＝PO2，而 PE＝FO，∴PE2＋PF2＝PO2，故③正
确．
二、11.(1)(2)(6)；(3)(4)(5)（答案不唯一）
12. 3 分析：连结 EC.因为 FC 垂直平分 BE，所以 BC＝EC.又因为 AD＝BC，AE＝1，E 是 AD
的中点，所以 DE＝1，EC＝AD＝2，利用勾股定理可得 CD＝ 3.所以 AB＝ 3.
13．12 点拨：∵菱形的两条对角线的长分别为 6 和 8，∴菱形的面积＝
1
2×6×8＝24.∵O
是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝
1
2×24＝12.
14．18 分析：易证△AED≌△DBC，∴BD＝AE＝5，由勾股定理得 CD＝3，∴AC＝2CD＝6，
易得四边形 BCDE 是矩形，∴BE＝CD＝3，∴四边形 ACBE 的周长为 4＋6＋5＋3＝18.
15．①②
16．6 分析：连结 DE 交 AC 于点 Q′.∵四边形 ABCD 是正方形，∴点 B 与点 D 关于直线 AC
对称，∴DE 的长即为 BQ＋QE 的最小值，Q′是使△BEQ 的周长为最小值时的点．由勾股定理
得 DE＝ AD2＋AE2＝ 42＋32＝5，∴△BEQ 的周长的最小值＝DE＋BE＝5＋1＝6.
17．2 分析：由折叠知∠EBQ＝
1
2∠ABC＝45°.∵∠BQE＝45°，∴∠BEQ＝90°，BE＝EQ.易
证△BAE≌△EDQ，∴ED＝AB＝4，∴AE＝AD－ED＝6－4＝2.
18. 356 分析：作ME⊥AB，交 AB 的延长线于点 E.作 MG⊥BC，交 CB 的延长线于点 G.设 MG
＝m cm，ME＝n cm.由题意可知 AB＝10 cm，∵△ABM 和△BMC 的面积分别为 50 cm 2，30
cm2，∴10n＝50×2，10m＝30×2，∴n＝10，m＝6，∴AE＝16 cm.∴在 Rt△AME 中，AM＝
162＋102＝ 356(cm)．
19．2.4 分析：连结 AP.在△ABC 中，∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC
＝90°.又∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形 AFPE 是矩形，∴EF＝AP.∵M 是 EF 的中点，∴AM＝
1
2AP.根据直线外一点与直线上任一点所连的线段中，垂线段最短，可知当 AP⊥BC 时，AP 最
短，同样 AM 也最短．当 AP⊥BC 时，
1
2AB·AC＝
1
2BC·AP，即
1
2×6×8＝
1
2×10AP，∴AP＝4.8.∴AM 的最小值为
1
2×4.8＝2.4.
20．(2n－1 －1，2 n－1) 分析：本题运用从特殊到一般的思想.由题意，得点 A 1(0，1)，
A2(1，2)，A3(3，4)，A4(7，8)，…，根据以上总结规律，可得 An(2n－1－1，2n－1)．
三、21.解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AO＝BO＝
1
2AC＝
1
2BD.
∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠BAE＝45°.又∵∠CAE＝15°，∴∠BAC＝60°.
∴△AOB 是等边三角形，∴∠ABO＝60°，AB＝OB.
在 Rt△ABE 中，∵∠BAE＝45°，∴∠AEB＝90°－45°＝45°＝∠BAE，∴AB＝BE.∴OB＝
BE.∴∠BOE＝∠BEO.
又∵∠OBE＝∠ABC－∠ABO＝90°－60°＝30°，
∴∠BOE＝
1
2×(180°－30°)＝75°.
22．证明：由∠ACB＝90°，AE 平分∠BAC，EG⊥AB，
易证△ACE≌△AGE，
∴CE＝EG，∠AEC＝∠AEG.
∵CD 是 AB 边上的高，EG⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠EFC＝∠AEG，
∴∠EFC＝∠AEC，
∴FC＝EC，∴FC＝EG，
∴四边形 CFGE 是平行四边形．
又∵GE＝CE，∴四边形 CFGE 是菱形．
23．(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AD＝AB.
由折叠可知，AD＝AF，∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFG＝90°，AB＝AF.
∴∠B＝∠AFG＝90°.
又∵AG＝AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(H.L.)．
(2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.
设 BG＝FG＝x，则 GC＝6－x，
∵E 为 CD 的中点，
∴EF＝DE＝CE＝3，
∴EG＝x＋3，
在 Rt△CEG 中，由勾股定理，得 32＋(6－x)2＝(x＋3)2，解得 x＝2，
∴BG＝2.24．(1)证明：在正方形 ABCD 中，BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°.
在△BCP 和△DCP 中，
∵{BC＝DC，
∠BCP＝∠DCP，
PC＝PC，
∴△BCP≌△DCP(S.A.S.)．
(第 24 题答图)
(2)证明：如图，由(1)知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP＝∠CDP.
∵PE＝PB，
∴∠CBP＝∠E，
∴∠CDP＝∠E.又∵∠1＝∠2(对顶角相等)，
∴180°－∠1－∠CDP＝180°－∠2－∠E，即∠DPE＝∠DCE.∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠ABC，∴∠DPE＝∠ABC.
(3)58.
点拨：(3)小题的答案，可运用类比法求出，类比前面的推理，发现∠DPE＝∠ABC 仍然成
立．
25．(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D.
又∵E，F 分别是 BC，CD 的中点，∴BE＝DF.
在△ABE 和△ADF 中，
∵AB＝AD，∠B＝∠D，BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF(S.A.S.)．
(2)解：∵四边形 ABCD 是菱形，∠BCD＝130°，
∴∠BAD＝∠BCD＝130°.
由(1)得△ABE≌△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE＝30°.
∴∠EAH＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝130°－30°－30°＝70°.
∵AE∥CG，∴∠EAH＋∠AHC＝180°.
∴∠AHC＝180°－∠EAH＝180°－70°＝110°.
26．解：(1)四边形 EGFH 是平行四边形．
理由：∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，
∴点 O 是▱ABCD 的对称中心．∴EO＝FO，GO＝HO.
∴四边形 EGFH 是平行四边形．
(2)菱形.
(3)菱形.
(4)四边形 EGFH 是正方形．理由：
∵AC＝BD，AC⊥BD，
∴▱ABCD 是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC.
∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°.
∴∠BOG＝∠COF.
∴△BOG≌△COF.
∴OG＝OF，∴GH＝EF.
由(1)知四边形 EGFH 是平行四边形，
又∵EF⊥GH，EF＝GH.
∴四边形 EGFH 是正方形．
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