2020中考专题突破：反比例函数

备考 2020 年中考小专题专项突破训练：反比例函数 1．（2019•海珠区一模）如图，双曲线 与直线 y2＝k2x+b 相交于 A（1，m+2），B（4，m﹣1），点 P 是 x 轴上一动 点． （1）当 y1＞y2 时，直接写出 x 的取值范围； （2）求双曲线 与直线 y2＝k2x+b 的解析式； （3）当△PAB 是等腰三角形时，求点 P 的坐标． 解：（1）∵点 A（1，m+2），B（4，m﹣1）是反比例函数和 直线的交点坐标， ∴0＜x＜1 或 x＞4； （2）∵A（1，m+2），B（4，m﹣1）是反比例函数 y1＝ 上， ∴ ，解得 ∴A（1，4），B（4，1） ∵点 A，B 在直线 y2＝k2x+b 上，∴ ，解得 ∴双曲线的解析式为 ，直线的解析式为 y＝﹣x+5； （3）设点 P（a，0）， 则 PA2＝（a﹣1）2+42，AB2＝18，PB2＝（a﹣4）2+12 ①当 PA＝PB 时，（a﹣1）2+42＝（a﹣4）2+12 解得 a＝0， ∴P1（0，0）， ②当 PA＝AB 时，（a﹣1）2+42＝18， 解得 ， ， ∴ ， ， ③当 PB＝AB 时，（a﹣4）2+12＝18， 解得 ， ， ∴ ， ， 综上述，P1 （0，0）， ， ， ， ． 2．（2019•番禺区一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函 数 y＝mx+1（m≠0）的图象与反比例函数 y＝ 的图象交于 第一、三象限内的 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 M 在 x 轴负半轴上，四边形 OCMB 是平行四边形，点 A 的坐标为（ ，n）． （1）写出点 B、C 的坐标，并求一次函数的表达式； （2）连接 AO，求△AOB 的面积； （3）直接写出关于 x 的不等式 mx 的解集． 解：（1）当 x＝0 时，y＝mx+1＝1， 则 C 的坐标为（0，1）， ∴OC＝1， ∵四边形 OCMB 是平行四边形， ∴BM∥OC，且 BM⊥x 轴， ∴BM＝1，故可设 B（h，﹣1）， ∵B（h，﹣1）在反比例函数 y＝ 的图 象上， ∴﹣1＝ ，∴h＝﹣1，即 B 的坐标为（﹣1，﹣1） 把 B（﹣1，﹣1）代入 y＝mx+1 中得﹣1＝m×（﹣1）+1，解 得 m＝﹣2 ∴一次函数解析式为 y＝2x+1． （2）连接 OA， 点 A（ ，n）在直线 y＝2x+1 上，n＝2× +1＝2． 则 A（ ，2）， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝ ×1× + ×1×1＝ ； （3）∵mx ， ∴mx+1＜ ∴当 x＜﹣1 或 0＜x＜ 时，mx ， ∴不等式 mx 的解集为 x＜﹣1 或 0＜x＜ ．3．（2019•南昌一模）如图在平面直角坐标系中反比例函数 y ＝ 的图象经过点 P（4，3）和点 B（m，n）（其中 0＜m＜ 4），作 BA⊥x 轴于点 A，连接 PA、OB，过 P、B 两点作直 线 PB，且 S△AOB＝S△PAB （1）求反比例函数的解析式； （2）求点 B 的坐标． 解：（1）把 P（4，3）代入 y＝ 得 k＝4×3＝12， ∴反比例函数解析式为 y＝ ； （2）∵S△AOB＝S△PAB， ∴P 点到 AB 的距离等于 OA， 而 P 点到 y 轴的距离为 4，AB⊥x 轴，∴点 O 和点 P 到 AB 的距离都是 2， 即 B 点的横坐标为 2， 当 x＝2 时，y＝ ＝6， ∴B（2，6）． 4．（2019•河南模拟）小明在研究矩形面积 S 与矩形的边长 x，y 之间的关系时，得到下表数据： x 0.5 1 1.5 2 3 4 6 12 y 12 6 4 3 2 1 0.5 结果发现一个数据被墨水涂黑了 （1）被墨水涂黑的数据为　1.5　． （2）y 与 x 之间的函数关系式为　y＝ 　，且 y 随 x 的增 大而　减小　． （3）如图是小明画出的 y 关于 x 的函数图象，点 B、E 均在 该函数的图象上，其中矩形 OABC 的面积记为 S1，矩形 ODEF 的面积记为 S2，请判断 S1 和 S2 的大小关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，DE 交 BC 于点 G，反比例函数 y＝ 的图象经过点 G 交 AB 于点 H，连接 OG、OH，则四边形 OGBH 的面积为　4　．解：（1）从表格可以看出 xy＝6， ∴墨水盖住的数据是 1.5； 故答案为 1.5； （2）由 xy＝6，得到 y＝ ，y 随 x 的增大而减少； 故答案为 y＝ ；减少； （3）S1＝OA•OC＝k＝6，S2＝OD•OF＝k＝6， ∴S1＝S2； （4）∵S 四边形 OCBA＝OA•OB＝6，S△OCG＝ OD•OG＝ ×2＝1， S△OCG＝ OA•OH＝ ×2＝1， ∴S 四边形 OGBH＝S 四边形 OCBA﹣S△OCG﹣S△OAH＝6﹣1﹣1＝4； 故答案为 4； 5．（2019•庆云县一模）如图，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上，AD＝2AB，直线 AB 的解析式为 y＝﹣2x+4， 双曲线 y＝ （x＞0）经过点 D，与 BC 边相交于点 E．（1）填空：k＝　40　； （2）连接 AE、DE，试求△ADE 的面积； （3）若点 D 关于 x 轴的对称点为点 F，求直线 CF 的解析 式． 解：（1）如图， 针对于直线 AB 的解析式为 y＝﹣2x+4， 令 x＝0，则 y＝4， ∴B（0，4）， ∴OB＝4，令 y＝0，则﹣2x+4＝0， ∴x＝2， ∴A（2，0）， ∴OA＝2， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠OAB+∠GAD＝90°， ∵∠OAB+∠OBA＝90°， ∴∠OBA＝∠GAD， 过点 D 作 DG⊥x 轴于 G， ∴∠AGD＝∠BOA＝90°， ∴△AOB∽△DGA， ∴ ，∴ ＝ ， ∴DG＝4，AG＝8， ∴OG＝OA+AG＝10， ∴D（10，4）， ∵点 D 在反比例函数 y＝ （x＞0）的图象上， ∴k＝40， 故答案为 40； （2）由（1）知，OA＝2，OB＝4， 根据勾股定理得，AB＝2 ， ∴AD＝2AB＝4 ， ∴S△ADE＝ AD•AB＝ ×4 × ＝20； （3）由（1）知，A（2，0），D（10，4）， ∴点 A 到 D 是向右移动 10﹣2＝8 个单位，再向上移动 4， ∴点 B 到点 C 是向右移动 8 个单位，再向上移动 4， ∵B（0，4）， ∴C（8，8）， ∵点 F 是点 D 关于 x 轴对称， ∴点 F（10，﹣4），设直线 CF 的解析式为 y＝kx+b， ∴ ， ∴ ， ∴直线 CF 的解析式为 y＝﹣6x+56． 6．（2019 春•江都区校级月考）如图，一次函数 y＝x+4 的图 象与反比例函数 y＝ （x＜0）（k 为常数，k≠0）的图象 交于 A、B（﹣3，a）两点，与 x 轴交于点 C． （1）求此反比例函数解析式； （2）请直接写出不等式 ﹣x﹣4≥0 的解集是　x≤﹣3 或 ﹣1≤x＜0　． （3）若点 D 在 x 轴上，且 S△ACD＝ S△BOC，求点 D 的坐 标．解：（1）由已知点 B（﹣3，a）在一次函数 y＝x+4 上， ∴a＝1， ∴B（﹣3，1）， 又∵点 B 在反比例函数上， ∴k＝﹣3， ∴反比例函数解析式 y＝ ； （2）两函数的交点： ＝x+4， ∴x＝﹣1，x＝﹣3， ∴交点 A（﹣1，3） 不等式 ﹣x﹣4≥0 的解集可以看做不等式 ≥x+4 的解集， 观察函数图象，x≤﹣3 或﹣1≤x＜0； 故答案为 x≤﹣3 或﹣1≤x＜0； （3）S△ACD＝ ×CD×3＝ CD；S△BOC＝ ×CO×1＝ CO； ∵S△ACD＝ S△BOC， ∴CD＝ CO， 设 D（m，0） ∵C（﹣4，0）， ∴|m+4|＝ ×4， ∴m＝2 或 m＝﹣10； ∴D（2，0）或 D（﹣10，0）； 7．（2019•南充模拟）反比例函数 在第二象限的图象与矩 形 OABC 的边交于 D，E，BE＝2CE，点 B 的坐标是（﹣6， 3）． （1）求 k 的值； （2）求线段 DE 的解析式． 解：（1）根据题意得：点 E 的横坐标为：﹣6× ＝﹣2， 即点 E 的坐标为：（﹣2，3）， 把点 E（﹣2，3）代入 y＝ 得： 3＝ ， 解得：k＝﹣6， （2）反比例函数的解析式为 y＝﹣ ， 把 x＝﹣6 代入得： y＝1， 即点 D 的坐标为：（﹣6，1）， 设线段 DE 的解析式为：y＝kx+b， 把点 D（﹣6，1），点 E（﹣2，3）代入得： ， 解得： ， 即线段 DE 的解析式为：y＝ ． 8．（2019•瑶海区一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝x+1 的图象与反比例函数图象交于点 A 和点 B， 两个点的横坐标分别为 2、﹣3． （1） 求反比例函数的解析式； （2）若 P 是 y 轴上一点，且 满足△PAB 的面积是 5，直接写 出点 P 的坐标． 解：（1）∵y＝x+1，点 A 和点 B 的横坐标分别为 2、﹣3， ∴A（2，3），B（﹣3，﹣2）， ∴反比例函数的解析式为 ； （2）∵y＝x+1， ∴C（0，1）， ∵△PAB 的面积等于 5， ∴ ×PC×2+ ×PC×3＝5， 解得：PC＝2， ∴点 P 的坐标是（0，3）或（0，﹣1）．9．（2019•虞城县一模）如图直线 1： y＝ax+b 交 x 轴于 A （3，0）点，交 y 轴于 B（0，﹣3）点，交反比例函数 y＝ 上于第一象限的点 P，点 P 的横坐标是 4． （1）求反比例函数 y＝ 的函数解析式． （2）过点 P 作直线 l 的垂线 l1，交反比例函数 y＝ 的图象 于点 C，求△OPC 的面积． 解：（1）将 A（3，0），B（0，﹣3）分别代入 y＝ax+b 中 可得： ，解得： ，∴直线 1：y＝x﹣3， ∵直线交反比例函数于第一象限的点 P，点 P 的横坐标是 4， ∴P（4，1）， ∴反比例函数的函数解析式为 ； （2）设直线 PC 交 y 轴于点 F，作 PE⊥y 轴于点 E， ∵l1⊥l，∠OBA＝45°， ∴∠EFP＝45°， ∴EF＝PE＝4， ∴OF＝4+1＝5， ∴F（0，5）， 设直线 l1 的解析式为 y＝ex+f， 将 P（4，1）和 F（0，5）代入得： y＝﹣x+5， 解方程组 得： 点 C 的坐标为（1，4）， ∵F（0，5） ，C（1，4），P（4，1），B（0，﹣3）， ∴△OPC 的面积＝△FPB 的面积﹣△OFC 的面积﹣△OPB 的面积＝ ． 10．（2019•青岛一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一 次函数 y1＝ax+b（a，b 为常数，且 a≠0）与反比例函数 y2 ＝ （m 为常数，且 m≠0）的图象交于点 A（﹣4，2），B （2，n）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）连接 OA，OB， 求△AOB 的面积． （3）直接写出当 0＜y1＜y2 时，自变量 x 的取值范围． 解：（1）∵A（﹣4，2）， ∴将 A 坐标代入反比例函数解析式 y2＝ 中，得 m＝﹣8， ∴反比例函数解析式为 y＝ ； 将 B 坐标代入 y＝ ，得 n＝﹣4， ∴B 坐 标（2，﹣4），将 A 与 B 坐标代入一次函数解析式中，得 ，解得 ， ∴一次函数解析式为 y1＝﹣x﹣2； （2）一次函数解析式为 y1＝﹣x﹣2，即 x+y1+2＝0， 点 O 到直线 AB 的距离 h＝ ， ∵点 A（﹣4，2）、点 B（2，﹣4）， ∴AB＝ ， △AOB 的面积为 ； （3）直线 y1＝﹣x﹣1 与 x 轴的交点坐标为（﹣1，0）， 故当 0＜y1＜y2 时，自变量 x 的取值范围为﹣4＜x＜﹣1． 11．（2019•安徽一模）如图，反比例函数 y＝ （k＞0）的 图象与一次函数 y＝ x 的图象交于 A、B 两点（点 A 在第 一象限）．若点 A 的横坐标为 4． （1）求 k 的值． （2）根据图象，直接写出当 ＞ x 时，x 的取值范围，解：（1）∵点 A 一次函数 y＝ x 的图象上， ∴把 x＝4 代入正比例函数 y＝ x， 解得 y＝3，∴点 A（4，3）， ∵点 A 与 B 关于原点对称， ∴B 点坐标为（﹣4，﹣3）， 把点 A（4，2）代入反比例函数 y＝ ； （2）由交点坐标，根据图象可得当 ＞ x 时，x 的取值范 围为：x＜﹣4 或 0＜x＜4． 12．（2019•北京一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直 线 l：y＝kx﹣1（k≠0）与函数 y＝ （x＞0）的图象交于 点 A（3，2）． （1）求 k，m 的值； （2）将直线 l 沿 y 轴向上平移 t 个单位后，与 y 轴交于点 C，与函数 y＝ （x＞0）的图象交于点 D． ①当 t＝2 时，求线段 CD 的长； ②若 ≤CD≤2 ，结合函数图象，直接写出 t 的取值范 围． 解：（1）将点 A（3，2）的坐标分别代入 y＝kx﹣1 和 y＝ 中，得 2＝3k﹣1， ， ∴k＝2，m＝3×2＝6； （2）①∵直线 y＝kx﹣1 与 y 轴交于点 C（0，﹣1）， ∴当 t＝2 时，C（0，1）． 此时直线解析式为 y＝x+1，代入函数 中，整理得，x （x+1）＝6， 解得 x1＝﹣3（舍去），x2＝2，∴D（2，3）， ∴CD＝2 ． ②当 时，点 C 的坐标为（0，6）， ∴2≤t≤6． 13．（2019•洛龙区二模）如图，在 Rt△ABO 中，∠OAB＝90 °，点 A 在 y 轴正半轴上，AB＝ OA，点 B 的坐标为（x， 3），点 D 是 OB 上的一个动点，反比例函数 的图象经过点 D，交 AB 于点 C，连接 CD． （1）当点 D 是 OB 的中点时，求反比例函数的解析式； （2）当点 D 到 y 轴的距离为 1 时，求△CDB 的面积． 解：在 Rt△ABO 中，∠OAB＝90°，点 B 的坐标为（x，3）， ∴OA＝3，AB＝x， ∵AB＝ OA＝4， ∴B（4，3）， ∵点 D 是 OB 的中点， ∴D 点坐标为（2， ），∵反比例函数 的图象经过点 D， ∴k＝2× ＝3， ∴反比例函数的解析式为：y＝ ； （2）设直线 OB 的解析式为 y＝ax， ∵B（4，3）， ∴3＝4a，解得，a＝ ， ∴直线 OB 的解析式为 y＝ x， ∵点 D 到 y 轴的距离为 1， ∴D 点的横坐标为 1，代入 y＝ x 得，y＝ ， ∴D（1， ）， ∵反比例函数 的图象经过点 D， ∴k＝1× ＝ ， ∴反比例函数的解析式为：y＝ ，把 y＝3 代 入得，3＝ ， 解得 x＝ ， ∴C（ ，3）， ∴BC＝3﹣ ＝ ， ∴S△CDB＝ × （3﹣ ）＝ ． 14．（2019•滕州市模拟）如图，一次函数 y＝kx+b 与反比例 函数 y＝ 的图象在第一象限交于点 A（4，3），与 y 轴的 负半轴交于点 B，且 OA＝OB． （1）求一次函数 y＝kx+b 与反比例函数 y＝ 的表达式； （2 ）已知点 C 在 x 轴上，且△ABC 的面积是 8，求此时点 C 的坐标； （3）请直接写出不等式 0＜ ＜kx+b 中的解集．解：（1）∵点 A（4，3）在反比例函数 y＝ 的图象上， ∴a＝4×3＝12， ∴反比例函数解析式为 y＝ ； ∵∵OA＝ ，OA＝OB，点 B 在 y 轴负半轴上， ∴点 B（0，﹣5）． 把点 A（4，3）、B（0，﹣5）代入 y＝kx+b 中， 得 ，解得： ， ∴一次函数的解析式为 y＝2x﹣5； （2）设点 C 的坐标为（m，0），令直线 AB 与 x 轴的交点为 D，如图 1 所示．令 y＝2x﹣5 中 y＝0，则 x＝ ， ∴D（ ，0）， ∴S△ABC＝ CD•（yA﹣yB）＝ |m﹣ ||×[3﹣（﹣5）]＝8， 解得：m＝ 或 m＝ ． 故当△ABC 的面积是 8 时，点 C 的坐标为（ ，0）或（ ， 0）； （3）观察图象，由点 A 的坐标可知，不等式 0＜ ＜kx+b 中的解集为 x＞4． 15．（2019•锦江区校级模拟）如图，直线 y＝2x+6 与反比例函数 y＝ （￿＞0）的图象交于点 A（1，m），与 x 轴交 于点 B，平行于 x 轴的直线 y＝n（0＜n＜6）交反比例函数 的图象于点 M，交 AB 于点 N，连接 BM． （1）求 m 的值和反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当 x＞0 时，不 等式 2x+6 ＜0 的解集； （3）当 n 为何值时，△BMN 的面积最大？最大值是多少？ 解：（1）∵直线 y＝2x+6 经过点 A（1，m）， ∴m＝2×1+6＝8， ∴A（1，8）， ∵反比例函数经过点 A（1，8）， ∴k＝8， ∴反比例函数的解析式为 y＝ ；（2）不等式 2x+6 ＜0 的解集为 0＜x＜1； （3）由题意，点 M，N 的坐标为 M（ ，n），N（ ， n）， ∵0＜n＜6， ∴ ＜0， ∴ ＞0 ∴S△BMN＝ |MN|×|yM|＝ ＝ （n﹣3）2+ ， ∴n＝3 时，△BMN 的面积最大，最大值为 ． 16．（2019•长清区一模）如图所示，在平面直角坐标系中， 一次函数 y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数 y2＝ （m≠0） 的图象交于 A、B 两点，过点 A 作 AD⊥x 轴于 D，AO＝5，tan ∠AOD＝ ，且点 B 的坐标为（n，﹣2）． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出 y1＞y2 时，x 的取值范围； （3）在 x 轴上是否存在一点 E，使△AOE 是等腰三角形？若 存在，请求出所有符合条件的 E 点坐标；若不存在，请说明 理由． 解：（1）在 Rt△AOD 中，设 AD＝4a，则 OD＝3a，OA＝5a， ∴5a＝5， ∴a＝1，AD＝4，OD＝3， ∴点 A 的坐标为（﹣3，4）． ∵点 A（﹣3，4）在反比例函数 y2＝ （m≠0）的图象上， ∴m＝﹣3×4＝﹣12， ∴反比例函数的解析式为 y2＝ ． ∵点 B（n，﹣2）在反比例函数 y2＝ 的图象上， ∴n＝ ＝6， ∴点 B 的坐标为（6，﹣2）． 将 A（﹣3，4），B（6，﹣2）代入 y1＝kx+b，得：，解得： ， ∴一次函数的解析式为 y1＝﹣ x+2． （2）观察函数图象，可知；当 x＜﹣3 或 0＜x＜6 时，一次 函数图象在反比例函数图象上方， ∴当 y1＞y2 时，x＜﹣3 或 0＜x＜6． （3）分三种情况考虑（如图所示）： ①当 AO＝AE 时，DE＝DE1＝3， ∴点 E1 的坐标为（﹣6，0）； ②当 OE＝OA 时，OE2＝OE3＝5， ∴点 E2 的坐标为（﹣5，0），点 E3 的坐标为（5，0）； ③当 EA＝EO 时，设 DE4＝t，则 AE4＝ ，OE4＝3+t， ∴16+t2＝（3+t）2， 解得：t＝ ， ∴OE4＝ ， ∴点 E4 的坐标为（﹣ ，0）． 综上所述：点 E 的坐标为（﹣6，0），（﹣5，0），（5， 0）或（﹣ ，0）．