承德一中 2019--2020 学年度第一学期第 3 次月考
高三文科数学试卷
一、选择题（每小题 5 分）
1.集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解不等式 可得集合 A，解 可得集合 B，进而得到集合 A,B 的并集．
【详解】由题得 ， ，则有 ，故选
D．
【点睛】本题考查求集合的并集，属于基础题．
2.复数 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数共轭的概念得到 ，再由复数的除法运算得到结果即可.
【详解】
虚部为-1，
故选 A.
【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属
于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对
应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.
{ } { }11 3 2 4xA x x B x， += − ≤ = ≥ A B =
[ ]0 2， ( )1 3， [ ]1 4，
[ )2− + ∞，
3 1 3x− ≤ − ≤ 1 22 2x+ ≥
{ }| 2 4A x x= − ≤ ≤ { }|1B x x= ≤ { }| 2A B x x∪ = ≥ −
1 21z i z i= + =， i 1
2
z
z
1− i i−
__
1z
1
1
2
11 , 1 ,z iz i iz i
−= − = = − −3.已知 是两个命题，那么“ 是真命题”是“ 是假命题”的（ ）
A. 既不充分也不要必要条件 B. 充分必要条件
C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件
【答案】C
【解析】
【分析】
由充分必要条件及命题的真假可得：“p∧q 是真命题”是“￢p 是假命题”的充分不必要条
件，得解
【详解】因为“p∧q 是真命题”则命题 p，q 均为真命题，所以￢p 是假命题，
由“￢p 是假命题”，可得p 为真命题，但不能推出“p∧q 是真命题”，
即“p∧q 是真命题”是“￢p 是假命题”的充分不必要条件，
故选 C．
【点睛】本题考查了充分必要条件及命题的真假，属简单题．
4.某工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号，编号分
别为 001，002，…，599，600 从中抽取 60 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行：
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90
56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96
08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89
23 45
若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取 3 个数据，则得到的第 6 个样本编号为（ ）
A. 522 B. 324 C. 535 D. 578
【答案】D
【解析】
【分析】
根据随机抽样的定义进行判断即可．
【详解】第 行第 列开始的数为 （不合适）， ， （不合适）， ， ，
， （不合适）， （不合适）， ， （重复不合适），
则满足条件 6 个编号为 ， ， ， ， ，的
p q， p q∧ p¬
6 6 808 436 789 535 577
348 994 837 522 535 578
436 535 577 348 522 578则第 6 个编号为
本题正确选项：
【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．
5.下表是某个体商户月份 x 与营业利润 y（万元）的统计数据：
月份 x 1 2 3 4
利润 y（万元） 4.5 4 3 2.5
由散点图可得回归方程 ，据此模型预测，该商户在 5 月份的营业利润为（ ）
A. 1.5 万元 B. 1.75 万元 C. 2 万元 D. 2.25 万元
【答案】B
【解析】
【分析】
由表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入回归方程求得 a，然后取 x＝5 求得 y 值即
可．
【详解】由表格中的数据求得 ， ，
∴样本点的中心的坐标为（2.5，3.5），代入回归方程 ，
得 3.5＝﹣0.7×2.5+a，计算得 a＝5.25．∴y＝﹣0.7x+5.25，
当 x＝5，可得 y＝﹣0.7×5+5.25＝1.75 万元．即该商户在 5 月份的营业利润为 1.75 万元．
故选：B．
【点睛】本题考查了线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，属
于基础题．
6.阿基米德（公元前 287 年—公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他
利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆
的对称轴，焦点在 轴上，且椭圆 的离心率为 ，面积为 ，则椭圆 的方程为（ ）
A. B.
578
D
0.7y x a= − +
1 2 3 4 2.54x
+ + += = 4.5 4 3 2.5 3.54y
+ + += =
0.7y x a= − +
C
y C 7
4
12π C
2 2
19 16
x y+ =
2 2
13 4
x y+ =C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用已知条件列出方程组，求出 a，b，即可得到椭圆方程．
【详解】由题意可得： ，解得 a＝4，b＝3，
因为椭圆的焦点坐标在 y 轴上，所以椭圆方程为： ．
故选 A．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
7.如图所示， 中，点 是线段 的中点， 是线段 的靠近 的三等分点，则
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的加减运算求解即可
【 详 解 】 据 题 意 ，
．
2 2
118 32
x y+ =
2 2
14 36
x y+ =
2 2 2
12
7
4
ab
c
a
a b c
π π=
=
= +
2 2
116 9
y x+ =
ABC∆ D BC E AD A
AC =
4
3 AD BE+ 5
3 AD BE+
4 1
3 2AD BE+ 5 1
3 2AD BE+
2 5
3 3AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE= − = + = + + = + + = + 故选 B．
【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题
8.已知定义在 上的函数 ，设两曲线 与
在公共点处的切线相同，则 值等于（ ）
A. 5 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求得 和 的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，
代入 求得 的值.
【详解】 ，令 ，解得 ，这就是切点的横坐标，代
入 求得切点的纵坐标为 ，将 代入 得 .故选 D.
【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问
题关键点在于切点和斜率.属于基础题.
9.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点 在正视图上的对应点为 ，点
在俯视图上的对应点为 ，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图知该几何体是直四棱锥，找出异面直线 PA 与 BC 所成的角，再计算所成角的余弦
( )0 + ∞， ( ) ( )2 6ln 4x m g xf xx x= + = −， ( )y f x=
( )y g x= m
3− 5−
( )f x ( )g x
( )f x m
( ) ( ) 12 , 4f x x g x x
′ ′= = − 62 4x x
= − 1x =
( )g x 4− ( )1, 4− ( )f x 1 4, 5m m+ = − = −
P P
、 、A B C 、 、A B C PA BC
5
5
10
5
2
2
5
2值．
【详解】由三视图知，该几何体是直四棱锥 P﹣ABCD，且 PD⊥平面 ABCD，如图所示；
取 CD 的中点 M，连接 AM、PM，则 AM∥BC，∴∠PAM 或其补角是异面直线 PA 与 BC 所成
的角，
△PAM 中，PA＝2 ，AM＝PM ，
∴cos∠PAM ，又异面直线所成角为锐角
即 PA 与 BC 所成角的余弦值为 ．
故选 B．
【点睛】本题考查了异面直线所成的角计算问题，可以根据定义法找角再求值，也可以用空
间向量法计算，是基础题．
10.如图，在平面直角坐标系 中，质点 间隔 3 分钟先后从点 ，绕原点按逆时针
方向作角速度为 弧度/分钟的匀速圆周运动，则 与 的纵坐标之差第 4 次达到最大值时，
运动的时间为（ ）
A. 37.5 分钟 B. 40.5 分钟 C. 49.5 分钟 D. 52.5 分钟
2 5=
2 10
55
= =
10
5
xOy M N， P
6
π
M N
N【答案】A
【解析】
【详解】分析：由题意可得：yN= ，yM= ，
计算 yM﹣yN= sin ，即可得出．
详解：由题意可得：yN= ，yM=
∴yM﹣yN= yM﹣yN= sin ，
令 sin =1，解得： =2kπ+ ，x=12k+ ，
k=0，1，2，3．
∴M 与 N 的纵坐标之差第 4 次达到最大值时，N 运动的时间=3×12+ =37.5（分钟）．
故选 A．
点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计
算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的
点坐标和这一点的旋转角之间的关系.
11.已知点 、 、 、 均在球 上， ， ，若三棱锥 体
积的最大值为 ，则球 的表面积为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：设 的外接圆的半径为 ， ， ， ，
， ， 三棱锥 的体积的最大值为 ，
到平面 的最大距离为 ，设球的半径为 ，则 ， ， 球
sin cos6 2 6x x
π π π − = −
( )x+3 sin6 2 6 x
π π π − =
2 6 4x
π π +
sin cos6 2 6x x
π π π − = −
( )cos x+3 sin6 2 6 x
π π π − =
2 6 4x
π π +
6 4x
π π + 6 4x
π π + 2
π 3
2
3
2
A B C D O 3AB BC= = 3AC = D ABC−
3 3
4
O
36π 16π 12π 16
3
π的表面积为 ，故选 B．
考点：球内接多面体．
【思路点睛】本题考查球的半径，考查球的体积的计算，首先要从题目中分析出主要信息，
进而求出球的半径．确定 到平面 的最大距离是关键．确定 ，
，利用三棱锥 的体积的最大值为 ，可得 到平面 的最大
距离，再利用勾股定理，即可求出球的半径，即可求出球 的表面积．
12.定义在 上函数 满足 ，且对任意的不相等的实数 有
成立，若关于 x 的不等式
在 上恒成立，则实数 m 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合题意可知 是偶函数,且在 单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函
数与原函数的单调性关系,构造新函数 ,计算最值,即可.
【详解】结合题意可知 为偶函数,且在 单调递减,故
可以转换为
对应于 恒成立,即
即 对 恒成立
即 对 恒成立
R ( )f x ( ) ( )f x f x− = [ )1 2, 0,x x ∈ +∞
( ) ( )1 2
1 2
0f x f x
x x
− >， F A F FA
C P Q， APQ∆ 60° C
4
3
2 2 2 0
1 1 12 120PF PF FF PF FFcos= + − ⋅
4
3e =
4
3三、解答题
17.已知数列 等差数列， ，且 依次成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为 d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首
项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）求得 bn （ ），运用裂项相消求和可得 Sn，解方程可得 n．
【详解】解：（1）设数列{an}为公差为 d 的等差数列，
a7﹣a2＝10，即 5d＝10，即 d＝2，
a1，a6，a21 依次成等比数列，可得
a62＝a1a21，即（a1+10）2＝a1（a1+40），
解得 a1＝5，
则 an＝5+2（n﹣1）＝2n+3；
（2）bn （ ），
即有前 n 项和为 Sn （ ）
（ ） ，
由 Sn ，可得 5n＝4n+10，
解得 n＝10．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，
以及方程思想和运算能力，属于基础题．
18.如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直， ， ，
， ， 为 的中点．
为{ }na 7 2 10a a− = 1 6 21a a a， ，
{ }na
1
1
n
n n
b a a +
= { }nb n nS 2
25nS = n
2 3na n= + 10n =
1
2
= 1 1
2 3 2 5n n
−+ +
( )( )1
1 1 1
2 3 2 5 2n na a n n+
= = =+ +
1 1
2 3 2 5n n
−+ +
1
2
= 1 1 1 1 1 1
5 7 7 9 2 3 2 5n n
− + − + + −+ +
1
2
= 1 1
5 2 5n
− + ( )5 2 5
n
n
= +
2
25
=
AD CD⊥ AB CD∥
2AB AD= = 4CD = M CE（1）求证：BM∥平面 ADEF；
（2）求证：平面 BDE⊥平面 BEC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）取 DE 中点 N，连接 MN，AN，由三角形中位线定理得，四边形 ABMN 为平行四边形，
即 BM∥AN，再由线面平行的判定定理即可得到 BM∥平面 ADEF；
（2）由已知中正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD
＝2，CD＝4，我们易得到 ED⊥BC，解三角形 BCD，可得 BC⊥BD，由线面垂直的判定定理，
可得 BC⊥平面 BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面 BDE⊥平面 BEC．
【详解】（1）取 DE 中点 N，连接 MN，AN，在△EDC 中，M，N 分别为 EC，ED 的中点
∴MN∥CD，且 MN＝ CD，由已知 AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，∴MN∥AB，且 MN＝AB
∴四边形 ABMN 为平行四边形，∴BM∥AN，又∵AN⊂平面 ADEF，BM⊄平面 ADEF，
∴BM∥平面 ADEF.
（2）∵ADEF 为正方形，∴ED⊥AD，又∵平面 平面 ，且平面 平
面 ，且 ED⊂平面 ADEF，
∴ED⊥平面 ABCD，∴ED⊥BC，在直角梯形 ABCD 中，AB＝AD＝2，CD＝4，可得 BC＝
2 ，
在△BCD 中，BD＝BC＝2 ，CD＝4，∴BC⊥BD，∴BC⊥平面 BDE，
又∵BC⊂平面 BEC，∴平面 BDE⊥平面 BEC
1
2
ADEF ⊥ ABCD ADEF
ABCD AD=
2
2【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间中直线
与平面平行和空间的判定、性质、定义是解答本题的关键，属于基础题．
19.已知抛物线 ，点 为抛物线 的焦点，点 在抛物线
上，且 ，过点 作斜率为 的直线 与抛物线 交于 两点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）求△ 面积的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
(1)利用抛物线性质:到焦点距离等于到准线距离,代入即得答案.
(2)设直线方程和焦点坐标，联立方程，利用韦达定理得到两根关系，把所求面积分为左右两
部分相加，用 k 表示出来，最后求出函数的最值得到答案．
【详解】解：（1）点 A 到准线距离为： ，到焦点距离 ，所以 ，
，
（2）将 代入抛物线， ，
设直线 ，设 ，联立方程：
恒成立
2: 2 ( 0)C y px p= > F C (1, )( 0)A m m > C
2FA = F 1( 2)2k k≤ ≤ l C ,P Q
C
APQ
2 4y x= 5,8 5
12
p + 2FA = 1 22
p + =
2p = 2 4y x=
(1, )( 0)A m m > 2m =
: ( 1)l y k x= − 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y
2 4
( 1)
y x
y k x
=
= −
⇒ 2 2( 1) 4k x x− = ⇒ 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + =
2 2 4(2 4) 4 0k k∆ = + − ≥
2
1 2 2
1 2
2 4
1
kx x k
x x
++ =
=连接 AF，则
当 时， 有最小值为
当 时， 有最大值为
所以答案为
【点睛】本题考查了抛物线的性质，弦长公式及面积的最值，利用图形把面积分为左右两部
分可以简化运算，整体难度较大，注重学生的计算能力．
20.某商店销售某海鲜，统计了春节前后 50 天海鲜的需求量 ，（ ，单位：公斤），
其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货 1 次，商店每销售 1 公斤可获利 50 元；若供大
于求，剩余的削价处理，每处理 1 公斤亏损 10 元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售 1
公斤可获利 30 元.假设商店每天该海鲜的进货量为 14 公斤，商店的日利润为 元.
（1）求商店日利润 关于需求量 的函数表达式；
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.
①求这 50 天商店销售该海鲜日利润的平均数；
②估计日利润在区间 内 概率.
【答案】(1) (2) ①698.8 元 ②0.54
【解析】
【分析】
的
2 1 2 1
1 12 ( 1) 2 (1 )2 2APQ AFP AFQS S S x x x x∆ ∆ ∆= + = × × − + × × − = −
2
APQS ∆ = 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 4 2
(2 4) 4 1( ) ( ) 4 4 (2 ) 4( 2)2
kx x x x x x kk k
+− = + − = − = + − ≤ ≤
2k = APQS∆ 5
1
2k = APQS∆ 8 5
5,8 5
x 10 20x≤ ≤
y
y x
[ ]580 760，
30 280,14 20
60 140,10 14
x xy x x
+ ≤ ≤= − ≤ − > 2 1 0ax x+ − ≤ a
( ) ( )( )1 2
x
ax xf x e
′ + −= −
0a > ( )
( )1 2
x
a x xaf x e
′
+ − = − ( ) 0f x′ = 1
1x a
= − 2 2x = 1 2x x<
( )1, 2,x a
∈ −∞ − ∪ +∞
( ) 0f x′ < 1 ,2x a
∈ −
( ) 0f x′ >
( )f x 1 ,2a
−
1, a
−∞ −
( )2,+∞
0a = ( ) 2
x
xf x e
= −′ − ( )f x ( ),2−∞
( )2,+∞③当 时，令 ，解得 ， ，并且 ，
当 时， ；当 时， .
所以 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ；
综上：当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 和 ；
当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
当 时， 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .
（2）由 及（1）知，
①当 时， ，不恒成立，因此不合题意；
②当 时， 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是
.
，得 ， ，
当 时，要使 ，则当 时， 恒成立，
即 ，故 ，所以 .
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，极值，恒成立等问题，也考查了分类讨论
的思想，解不等式，属于中档题.
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 中，点 ，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线
1 02 a− < < ( ) 0f x′ = 1 2x = 2
1x a
= − 1 2x x<
( ) 1,2 ,x a
∈ −∞ ∪ − +∞
( ) 0f x′ > 12,x a
∈ −
( ) 0f x′ <
( )f x ( ),2−∞ 1 ,a
− +∞
12, a
−
0a > ( )f x 1 ,2a
−
1, a
−∞ −
( )2,+∞
0a = ( )f x ( ),2−∞ ( )2,+∞
1 02 a− < < ( )f x ( ),2−∞ 1 ,a
− +∞
12, a
−
( )0 0f =
0a ≥ ( ) 2
4 12 1 1af e
+= + >
1 02 a− < < ( )f x ( ),2−∞ 1 ,a
− +∞
12, a
−
( ) ( ) 2
4 1= 2 1 1af x f e
+= + ≤
极大值
1
4a −≤ ( ) 1
21= 1 1 0af x f e ea
− − = − > − > 极小值
1x a
> − ( ) 2 1 1 1x
axx xf e
+ −= + ≤ 1 2x a
> − > 2 1 0ax x+ − ≤
2
2
1 1 1 1 1
2 4a x x x
≤ − = − −
1
4a −≤ 1 1
2 4a− < ≤ −
xOy ( 1, 3)P − − l
21 ,2
23 2
x t
y t
= − +
= − +
t的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 与曲线
相交于 ， 两点.
（1）求曲线 与直线 交点的极坐标（ ， ）；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1） ， .（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系，把直线 与曲线 的参数方程化为直角坐标方程，再联立直线与圆
的普通方程，求得交点坐标，化为极坐标即可．
（2）先求得曲线 的普通方程，再将直线的参数方程与抛物线的普通方程联立，利用直线参
数的几何意义结合一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．
【详解】（1）直线 的普通方程为 ，曲线 的普通方程为 .
联立 ，解得 或 ，
所以交点的极坐标为 ， .
（2）曲线 的直角坐标方程为 ，
将 ，代入得 .
设 ， 两点对应的参数分别为 ， ，则有 ，
所以 ，
解得 .
1C cos ,
1 sin
x
y
α
α
=
= − +
α x
2C 2cos 2 cos 0aρ θ θ ρ+ − = ( 0)a > l
2C A B
1C l 0ρ > [0,2 )θ π∈
| | | | 22PA PB⋅ = a
32, 2
π
72, 4
π
1a =
l 1C
2C
l 2y x= − 1C 2 2( 1) 1x y+ + =
2 2
2
( 1) 1
y x
x y
= −
+ + =
0
2
x
y
=
= −
1
1
x
y
=
= −
32, 2
π
72, 4
π
2C 2 2y ax=
21 ,2
23 2
x t
y t
= − +
= − +
2 2 2(3 ) 4 18 0t a t a− + + + =
A B 1t 2t 1 2 4 18t t a= +
1 2 1 2| | | | 4 18 22PA PB t t t t a⋅ = ⋅ = = + =
1a =【点睛】本题考查的知识要点：参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了
直线的参数方程的应用，考查了一元二次方程根和系数关系的应用及运算能力和转化能力，
属于基础题型．
23.已知函数 .
（1）若函数 的最小值为 2，求实数 的值；
（2）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) 或 . (2)
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值不等式可得 =2，即可得出 的值.
（2）不等式 在 上恒成立等价于 在 上恒成立，故
的解集是 的子集，据此可求 的取值范围.
【详解】解：（1）因为 ，
所以 .令 ，得 或 ，解得 或 .
（2）当 时， .
由 ，得 ，即 ，即 .
据题意， ，则 ，解得 .
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】（1）绝对值不等式指： 及 ，我们
常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.
（2）解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式
法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对
值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．
( ) | | | 3| ( )f x x a x a= − + + ∈R
( )f x a
[0,1]x∈ ( ) | 5 |f x x≤ + a
1a = − 5a = − [ 1,2]−
min( ) | 3|f x a= + a
( ) | 5 |f x x≤ + [ ]0,1 | | 2x a− ≤ [ ]0,1 | | 2x a− ≤
[ ]0,1 a
( ) | | | 3| | ( ) ( 3) | | 3|f x x a x x a x a= − + + ≥ − − + = +
min( ) | 3|f x a= + | 3| 2a + = 3 2a + = 3 2a + = − 1a = − 5a = −
[0,1]x∈ ( ) | | 3,| 5 | 5f x x a x x x= − + + + = +
( ) | 5 |f x x≤ + | | 3 5x a x x− + + ≤ + | | 2x a− ≤ 2 2a x a− ≤ ≤ +
[0,1] [ 2, 2]a a⊆ − + 2 0
2 1
a
a
− ≤
+ ≥ 1 2a− ≤ ≤
a [ 1,2]−
a b a b a b− ≤ + ≤ + a b a b a b− ≤ − ≤ +
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