2020 级沧州市一诊试题理科数学
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化简集合 后根据集合的交集运算可得答案.
【详解】因为集合 . ,
所以 .
故选:C
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合的交集运算,属于基础题.
2.复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的四则运算法则计算出复数 ,再根据复数的概念得到虚部.
【详解】因为 ,
所以 ,
所以复数 的虚部为 .
{ }2 2 3 0A x x x= − − ≤ { }0 7B x Z x= ∈ < < A B =
{ }1,2,3 { }0 7x x< <
{ }1,2 { }1
,A B
1 3{ | }A x x= − ≤ ≤ {1,2}B =
{1,2}A B =
z 11 (2 3 )z ii
− = + z
1
13- 1
13i−
5
13
− 1
7
−
z
11 (2 3 )z ii
− = +
11 1 ( 2 3)( 1)
2 3 2 3 (2 3)( 2 3)
i i iiz i i i i
− − − − −= = = =+ − − − −
5 5 1
9 4 13 13
i i
− = −+
z 1
13-故选:A
【点睛】本题考查了复数的四则运算,复数的概念,属于基础题.
3."0 ( ) 0g x′ > ( )g x (0, )+∞
( ) (0) 1g x g≥ = cos 1x ≤ (0) cos0g =
cosxe x x− ≥ ( ) 0f x ≥
( )f x (0, )π ( )f x′ sin 1 0xae x= + − = (0, )π
( ) 0f x′ = 1 sin
x
xa e
−= 1 sin( ) , (0, )x
xh x xe
π−= ∈
2 sin( ) 1sin cos 1 4( ) x x
xx xh x e e
π− −− −′ = = ( ) 0h x′ =
2x
π=
0 2x
π< < ( ) 0h x′ < ( )h x (0, )2
π
2 x
π π< < ( ) 0h x′ > ( )h x ( , )2
π π
1(0) 1, ( ) 0, ( )2h h h ee
π
π
π π −= = = = 0 1e π−< <
0 a e π−< < 1 sin
x
xa e
−= (0, )π
a 0 a e π−< <
( )g x cos x
sin 1 0xae x+ − =主题举办一次有奖消费活动，此商家先把某品牌酒重新包装，包装时在每瓶酒的包装盒底部
随机印上“中"国"“梦”三个字样中的一个，之后随机装箱（1 箱 4 瓶），并规定：若顾客购买的
一箱酒中的四瓶酒底部所印的字为同一个字，则此顾客获得一等奖，此箱洒可优惠 36 元；若
顾客购买的一箱酒的四瓶洒底部集齐了“中"“国"二字且仅有此二字，则此顾客获得二等奖，此
箱洒可优惠 27 元；若顾客购买的一箱酒中的四瓶酒的底部集齐了“中”“国"“梦”三个字，则此
顾客获得三等奖，此箱酒可优惠 18 元（注：每箱单独兑奖，箱与箱之间的包装盒不能混）.
（1）①设 为顾客购买一箱酒所优惠的钱数，求 的分布列；
②若不计其他损耗，商家重新包装后每箱酒提价 a 元，试问 a 取什么范围时才能使活动后的
利润不会小于搞活动之前？
（2）若顾客一次性购买 3 箱酒，并都中奖，可再加赠一张《我和我的祖国》电影票，顾客小
张一次性购买 3 箱酒，共优惠了 72 元，试问小张能否得到电影票，概率多大？
【答案】（1）①分布列见解析；② 时，搞活动后的利润不会小于搞活动之前；（2）能，
.
【解析】
【分析】
(1)分析题意得到 的所有可能取值后,利用古典概型的概率公式求得概率后可得分布列和期望,
根据期望值可得答案;
(2)分析题意得到小张能得到电影票和不能得到电影票的情况后,根据古典概型概率公式可以得
到答案.
【详解】(1)① 的所有可能取值为 36,27,18,0,
,
,
,
,
ξ ξ
14a ≥
304
311
ξ
ξ
4
3 1( 36) 3 27P ξ = = =
1 1 2
2 4 4
4
14( 27) 3 81
C C CP ξ += = =
1 2 2
3 4 2
4
4( 18) 3 9
C C AP ξ = = =
28( 0) 81P ξ = =则 的分布列为:
36 27 18 0
P
②因为 .
所以当 时,搞活动后的利润不会小于搞活动之前.
(2)因为 ,
所以若三箱酒中两箱中一等奖,另一箱不中奖,则小张不能得到电影票;
若三箱酒中两箱中二等奖,另一箱中三等奖,或一箱中一等奖,两箱中三等奖,则小张能得到电影
票,概率设为 ,
则 .
∴能，得到电影票的概率为 .
【点睛】本题考查了利用古典概型概率公式求概率,求分布列,求数学期望,属于中档题.
（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则
按所做的第一题计分.
选修 4-4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以 O 为极点， 轴
的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ，
（1）写出曲线 的直角坐标方程；
ξ
ξ
1
27
14
81
4
9
28
81
1 14 4 28( ) 36 27 18 0 1427 81 9 81E ξ = × + × + × + × =
14a ≥
72 36 2 27 2 18 36 18 2= × = × + = + ×
P
2 1
3 3
2 2 1
3 3 3
14 14 4 1 4 4
30481 81 9 27 9 9
1 1 28 14 14 4 1 4 4 311
27 27 81 81 81 9 27 9 9
C C
P
C C C
× × × + × × ×
= =
× × × + × × × + × × ×
304
311
xOy l
2
2
21 2
x t
y t
=
= +
t x
2 2
1 : (1 sin ) 8C ρ θ+ = 2 : 2sin .C ρ θ=
1 2,C C（2）设点 ， 与 相交于 A，B 两点，与 相交于 C，D 两点，证明：
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用极坐标与直角坐标互化公式可得曲线 , 的直角坐标方程;
(2) 把直线 的参数方程代入 后利用韦达定理和参数 的几何意义可得答案.
【详解】(1)曲线 化成直角坐标方程为 ,即 ,
曲线 化成直角坐标方程为 ,即 .
(2)证明:经分析,曲线 是以 圆心, 为直径的圆,所以 ,
把直线 的参数方程代入 ,得 ,
整理得 ,设方程的两根为 ,则 ,
所以 ,
所以 .
【点睛】本题考查了极坐标方程化直角坐标方程,考查了直线参数方程中参数的几何意义,属于
中档题.
选修 4-5：不等式选讲
23.已知函数 ， .
（1）若 a=1，求不等式 的解集；
（2）函数 与直线 围成的封闭图形为三角形，且三角形的面积最大为 ，
求正数 a 的值.
【答案】（1） ；（2）1.
(0,1)M l 1C 2C
2| | .MA MB CD⋅ =
( )2 2
221, 1 18 4
x y x y+ = + − =
1C 2C
l 2 22 8x y+ = t
1C 2 22 8x y+ =
2 2
18 4
x y+ =
2C 2 2 2 0x y y+ − = 22 ( 1) 1yx + − =
2C (0,1)M CD | | 2CD =
l 2 22 8x y+ = 2 22 2( ) 2(1 ) 82 2t t+ + =
23 4 2 12 0t t+ − = 1 2,t t 1 2 4t t = −
1 2 1 2| | | | | | | | | | 4MA MB t t t t⋅ = ⋅ = ⋅ =
2| | | | | |MA MB CD⋅ =
( ) | 1|f x x= + ( ) 2g x x a= −
( ) ( ) 0f x g x− ≥
( ) ( )y f x g x= + y m= 3
2
[ ]0,2【解析】
【分析】
(1)通过两边平方去绝对值后,解一元二次不等式可得答案;
(2)将函数化为分段函数后,通过求封闭三角形的最大值可得答案.
【详解】(1)不等式 ,即 ,
两边平方得 ,解得 ,
所以不等式的解集为 .
(2) ,
设 ,因为 ,所以 ,
所以当 时,封闭三角形的面积最大.
令 ,得 ,设 ,
所以封闭三角形 的面积为 ,
解得 (舍)或 .
所以正数 .
【点睛】本题考查了含两个绝对值的不等式的解法,两边平方是解题关键,考查了根据面积求参
数,属于中档题.
( ) ( ) 0f x g x− ≥ | 1| | 2 1|x x+ ≥ −
2 2 21 2 4 1 4 , 2 0x x x x x x+ + ≥ + − − ≤ 0 2x≤ ≤
[0,2]
3 1, 1
1, 1 2
3 1 , 2
x a x
ay x a x
ax a x
− + − ≤ −
= − + + − < 2 12
aa+ > +
2m a= +
3 1 1 2x a+ − = + 2 1
3
ax
+= 2 1( ,2 )3
aC a
+ +
ABC 1 2 1( 1)2 3
a + + 3(2 1)2 2
aa⋅ + − − =
5a = − 1a =
1a =
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