河北省2020届高三理科数学上学期第三次联考试题（附解析Word版）

河北省 2020 届高三年级上学期第三次联考数学 （理科） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.设 ， ，若 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 ，得到 ，即可求解实数 的取值范围，得到答案。 【详解】由题意，集合 ， ， 因为 ，则 ，即实数 的取值范围是 。 故选：A。 【点睛】本题主要考查了利用集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟练集合的包含关 系，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 2.己知命题 p： ，则 为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先改存在量词为全称量词,再否定结论. 【详解】 : . 故选 C. 【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定,属于基础题. { }1 1A x x= − < < { }0B x x a= − > A B⊆ a ( , 1]−∞ − ( , 1)−∞ − [1, )+∞ (1, )+∞ A B⊆ 1a ≤ − a { }1 1A x x= − < < { } { }0B x x a x x a= − > = A B⊆ 1a ≤ − a ( , 1]−∞ − ,2 1000nn N∃ ∈ > p¬ ,2 1000nn N∀ ∈ < ,2 1000nn N∀ ∉ < ,2 1000nn N∀ ∈ ≤ ,2 1000nn N∀ ∉ ≤ p¬ ,2 1000nn N∀ ∈ ≤解题方法:先改量词,再否定结论. 3.己知复数 z 满足 （其中 i 为虚数单位），则 （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 i 的幂运算性质可得 ，再由复数的除法运算可求得 z，从而求出 . 【详解】 ，则 ， 所以， . 所以本题答案为 B. 【点睛】本题考查复数的乘除法和复数的模，解决复数问题，要通过复数的四则运算将复数 表示为一般形式，结合复数相关知识求解，考查计算能力，属于基础题. 4.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个 人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天 后到达目的地，请问第一天走了（ ） A. 24 里 B. 48 里 C. 96 里 D. 192 里 【答案】D 【解析】 【分析】 每天行走的步数组成公比为 的等比数列,根据前 6 项和为 378 列式可解得. 【详解】设第 天行走了 步,则数列 是等比数列,且公比 , 因为 , 所以 , 2019(1 )i z i− = − | |z = 1 2 2 2 2 2019i i= − | |z 2019(1 ) ii z i− = − = (1 ) 1 1 1 1 (1 )(1 ) 2 2 2 i i i iz ii i i + − += = = = − +− − + 2 21 1 2| | 2 2 2z    = − + =       1 2 n na { }na 1 2q = 1 2 3 4 5 6 378a a a a a a+ + + + + = 2 3 4 5 1(1 ) 378a q q q q q+ + + + + =所以 , 所以第一天走了 192 里. 故选 D 【点睛】本题考查了等比数列的前 项和公式中的基本量的计算,属于基础题. 5.已知函数 为偶函数，且对于任意的 ，都有 ,设 ， ， 则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先判断函数在 单调性，然后根据偶函数化简 ，然后比较 2， ， 的大小，比较 的大小关系. 【详解】若 ，则函数在 是单调递增函数， 并且函数是偶函数满足 ， 即 ， ， 在 单调递增， ， 即 . 故选 C. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数的单调性比较函数值的大小，意在考查函数性质 的应用，意在考查转化和变形能力，属于基础题型. 的 1 2 3 4 5 378 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 a = + + + + + 6 378 378 1921 11 ( ) 2(1 )2 64 11 2 = = = − − − n ( )f x ( )1 2, 0,x x ∈ +∞ 1 2 1 2 ( ) ( )f x f x x x − − ( )1 20 x x> ≠ (2)a f= 3(log 7)b f= 0.1( 2 )c f −= − b a c< < c a b< < c b a< < a c b< < ( )0, ∞+ ( ) ( )0.1 0.12 2f f− −− = 3log 7 0.12− , ,a b c ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 0f x f x x xx x − > ≠− ( )0, ∞+ ( ) ( )f x f x− = ( ) ( )0.1 0.12 2f f− −− = 0.10 2 1−< < 31 log 7 2< < ( )f x ( )0, ∞+ ( ) ( ) ( )0.1 32 log 7 2f f f−∴ < < c b a< y ϕ tanϕ = 3 3 3 3 3 − 3− y ( ) sin(2 )6f x x π= − ϕ 0ϕ > sin[2( ) ] sin(2 2 )6 6y x x π πϕ ϕ= + − = + − y 2 6 2k π πϕ π− = + k Z∈ 2 3 kπ πϕ = + k Z∈ 0ϕ > 0k = ϕ 3 π tan tan 33 πϕ = = 21( ) cos4f x x x= + ( )t f t（ ， ） k ( )k g t= 1( ) sin2f x x x′ = − ( )t f t（ ， ） 1( ) sin2k f t t t= ′ = −得出函数 ，利用函数的奇偶性和特殊的函数的值，即可求解。 【详解】由题意，函数 ，则 ， 则在点 处的切线的斜率为 ， 即 ，可得 ， 所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，排除 B、D 项， 又由当 时， ，排除 C 项， 只有选项 A 项符合题意。 故选：A。 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，函数图象的识别，以及函数的性质的应用，其中 解答利用导数的几何意义求得函数的解析式，结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查 了推理与运算能力，属于基础题。 8.已知两点 ， 以及圆 ： ，若圆 上存在点 ，满足 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可知：以 AB 为直径的圆与圆 有公共点，从而得出两圆 圆心距与半径的关系，列出不等式得出 的范围． 【详解】 ， 点 在以 ， 两点为直径的圆上， 该圆方程为： ，又点 在圆 上， 两圆有公共点． 两圆的圆心距 解得： 故选 D ( ) 1 sin2 tg t t−= 21( ) cos4f x x x= + 1( ) sin2f x x x′ = − ( )t f t（ ， ） 1( ) sin2k f t t t= ′ = − ( ) 1 sin2 tg t t−= ( ) ( )1 1( ) sin( ) s n )2 2( it tg tt t g t− = = −− − − − = − ( )g t 2t π= ( ) 1 si 1 02 2 4n2g t π π π== −− C P 0AP PB⋅ =  r [ ]3,6 [ ]3,5 [ ]4,5 [ ]4,6 ( ) ( )2 2 23 4 ( 0)x y r r− + − = > r  0AP PB⋅ =  ∴ P ( )1,0A − ( )1,0B 2 2 1x y+ = P C ∴ 2 23 4 5d = + = ∴ 1 5 1r r− ≤ ≤ + 4 6r≤ ≤【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，还考查了向量垂直的数量积表示，属于中档题． 9.在直角梯形 ABCD 中， ， ， ， ，E 是 BC 的中点，则 A. 32 B. 48 C. 80 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】 由向量的基本运算展开，再分别求数量积即可． 【详解】 ，由数量积的几何意义可得： 的 值 为 与 在 方 向 投 影 的 乘 积 ， 又 在 方 向 的 投 影 为 ， ，同理 ， ．故选 C. 【点睛】本题考查向量的数量积，正确理解向量的数量积是解本题的关键，属于基础题． 10.如图所示，正四面体 中, 是棱 的中点, 是棱 上一动点， 的最小 值为 ，则该正四面体的外接球表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将 侧 面 和 沿 边 展 开 成 平 面 图 形 为 菱 形 ,可 得 到 的 长 即 为 8AB = 4CD = / /AB CD AB AD⊥ ( )AB AC AE⋅ + =   ( )AB AC AE AB AC AB AE⋅ + = ⋅ + ⋅        AB AC⋅  AB AC AB AC AB 1 42 AB = 32AB AC∴ ⋅ =  8 6 48AB AE⋅ = × =  ( ) 32 48 80AB AC AE∴ ⋅ + = + =   ABCD E AD P AC BP PE+ 14 12π 32π 8π 24π ABC ACD AC ABCD BE的最小值,设 ,在 中,利用勾股定理可得 ,则棱长为 ,进而 可求得正四面体的外接球的表面积 【详解】将侧面 和 沿 边展开成平面图形,如图所示,菱形 , 在菱形 中,连接 ,交 于点 ,则 的长即为 的最小值,即 , 因为正四面体 ,所以 ,所以 , 因为 是棱 的中点,所以 ， 所以 , 设 ,则 , 所以 ,则 ,所以 , 则正四面体 的棱长为 , 所以正四面体的外接球半径为 , 所以该正四面体外接球的表面积为 , 故选：A 【点睛】本题考查线段和最短问题,考查外接球问题,考查运算能力 11.如图，已知函数 的图象与坐标轴交于点 ， 直线 交 的图象于另一点 ， 是 的重心.则 的外接圆的半径为 A. 2 B. C. D. 8 BP PE+ DE x= Rt BCE 2x = 2 2 ABC ACD AC ABCD ABCD BE AC P BE BP PE+ 14BE = ABCD AC AB= 120BCD∠ = ° E AD 30DCE∠ = ° 90BCE BCD DCE∠ = ∠ − ∠ = ° DE x= 2AB BC CD AD x= = = = 3CE x= 2 2 7 14BE BC CE x= + = = 2x = ABCD 2 2 6 2 2 34 × = ( )2 4 3 12S π π= = ( ) sin( )( 0,| | )2f x x πω ϕ ω ϕ= + > < 1, , ( ,0)2 −A B C BC ( )f x D O ABD∆ ACD∆ 57 6 57 3【答案】B 【解析】 分析：根据题意求出函数 的解析式，然后求出B、C 和 D 的坐标，再利用正弦定理求出 外接圆半径 R． 详解：∵ 是 的重心， ， ∴ ， ∴点 的坐标为 ， ∴函数 的最小正周期为 ， ∴ ， ∴ ． 由题意得 ， 又 ， ∴ ， ∴ ， 令 得 ， ∴点 的坐标为 ， ∴ ，故 ， ∴ ． 又点 是 的中点， ( )f x O ABD∆ 1 ,02C  −   2 1OA OC= = A ( )1,0 ( )f x 3T 2 32 = × = 2 3 πω = ( ) 2sin 3f x x π ϕ = +   1 2 1sin sin 02 3 2 3f π πϕ ϕ      − = × − + = − + =             2 πϕ < 3 πϕ = ( ) 2sin 3 3f x x π π = +   0x = ( ) 30 sin 3 2f π= = B 30, 2       tan 3BCO∠ = 3BCO π∠ = 2 3ACD π∠ = 1 ,02C  −   BD∴点 的坐标为 ， ∴ ． 设 的外接圆的半径为 ，则 ， ∴ ． 故选 B． 点睛：本题的综合性较强，考查学生分析问题和解决问题的能力．解题时首先要注意求解析 式中的 的方法，在求得函数的解析式后从而可得点 的坐标，然后再结合正弦定理求 解即可． 12.已知定义在 上的函数 关于 轴对称，其导函数为 ，当 时，不等式 .若对 ，不等式 恒成立，则正整 数 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】 构造函数 ，求出 ，由题可得 是在 上的奇函数且在 上为单调递增函数，将 转化成 ，利用 在 上为单调递增函数可得： 恒成 立，利用导数求得 ，解不等式 可得 ，问题得 解． 【详解】因为 ，所以 ， 令 ，则 ， 【 D 31, 2  − −    3 194 4 2AD = + = ACD∆ R 19 5722 2sin 3sin 3 ADR ACD π∠= = = 57 6R = ,ω ϕ ,B D R ( )f x y ( )f x′ 0x ≥ ( ) ( )1xf x f x′ > − x∀ ∈R ( ) ( ) 0x x xe f e e ax axf ax− + − > a 1 2 3 4 ( ) ( ) 1F x x f x= −   ( ) ( ) ( )' ' 1F x xf x f x= + − ( )F x R R ( ) ( ) 0x x xe f e e ax axf ax− + − > ( ) ( )1 1x xe f e ax f ax − > −    ( )F x R 0xe ax− > ( ) min lnxe ax a a a− = − ln 0a a a− > 0 a e< < ( ) ( )' 1xf x f x> − ( ) ( )' 1 0xf x f x− + > ( ) ( ) 1F x x f x= −   ( ) ( ) ( )' ' 1 0F x xf x f x= + − >又因为 是在 上的偶函数，所以 是在 上的奇函数， 所以 是在 上的单调递增函数， 又因为 ，可化为 ， 即 ，又因为 是在 上的单调递增函数， 所以 恒成立， 令 ，则 ， 因为 ，所以 在 单调递减，在 上单调递增， 所以 ，则 ， 所以 . 所以正整数 的最大值为 2. 故选 B 【点睛】本题主要考查了函数与导数的应用，函数的奇偶性、单调性、不等式恒成立等基础 知识，考查分析和转化能力，推理论证能力，运算求解能力，构造能力，属于难题．. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知双曲线 的右焦点为 ，则 到其中一条渐近线的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先求得双曲线焦点到渐近线的距离为 ，由此求得 到渐近线的距离. 【详解】对于任意双曲线 ，其中一个焦点 到渐近线 （即 ）的距离为 .又 ，焦点 到其中一条 渐近线的距离为 . 故填：2. ( )f x R ( )F x R ( )F x R ( ) ( )x x xe f e axf ax e ax− > − ( ) ( )1 1x xe f e ax f ax − > −    ( ) ( )xF e F ax> ( )F x R 0xe ax− > ( ) xg x e ax= − ( )' xg x e a= − 0a > ( )g x ( ),lna−∞ ( )ln ,a +∞ ( )min ln 0g x a a a= − > 1 ln 0a− > 0 a e< < a 2 2 14 yx − = F F 2 b F 2 2 2 2 1x y a b − = ( ),0F c± by xa = ± 0bx ay± = ( )22 0bc a bcd bcb a ± ×= = = + ± 2 4 2b b= ⇒ = F 2【点睛】本小题主要考查双曲线焦点到渐近线 距离，考查点到直线距离公式，属于基础题. 14. 的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题可得 ,利用被积函数的奇偶性和定积 分几何意义求解即可 【详解】由题, , 易知,被积函数 是奇函数,所以 , 对于 ,可知其图象为以原点为圆心,半径为 4 的半圆,所以 , 所以 故答案为： 【点睛】本题考查定积分的计算,考查几何法求定积分,考查定积分的性质的应用,考查运算能 力 15.已知数列 的前 项和 .若 是 中的最大值，则实数 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】 先由 求出 ，再由 是 中的最大值，即可求出结果. 的 ( )4 3 2 4 sin 16x x dx− + −∫ 8π ( )4 4 4 3 2 3 2 4 4 4 sin 16 sin 16x x dx xdx x dx − − − + − = + −∫ ∫ ∫ ( )4 4 4 3 2 3 2 4 4 4 sin 16 sin 16x x dx xdx x dx − − − + − = + −∫ ∫ ∫ 3siny x= 4 3 4 sin 0xdx − =∫ ( )216 0y x y= − ≥ 4 2 2 4 116 4 82x dx π π − − = × =∫ ( )4 3 2 4 sin 16 8x x dx π − + − =∫ 8π { }na n 2 2 1, 4 ( 1) , 5 n n nS n m n n  − ≤= − + − ≥ 5a { }na m 53,5  +∞   ( )2 2 1, 4 1 , 5 n n nS n m n n  − ≤= − + − ≥ na 5a { }na【详解】因为 ， 所以当 时， ； 当 时， 也满足上式； 当 时， ， 当 时， ， 综上， ； 因为 是 中的最大值， 所以有 且 ，解得 . 故答案为 【点睛】本题主要考查数列的概念以及简单表示法，熟记递推公式 即可，属于 基础题型. 16.设 为椭圆 : 的两个焦点． 为 上点， 的内心 I 的纵坐标 为 ，则 的余弦值为_____. 【答案】0 【解析】 【分析】 因为 的内心 I 的纵坐标为 ，所以可知道 的内切圆的半径为 ， 又由三角形的内切圆半径 ，可得到三角形的面积 ，接着根据焦点三角形的面积 确定 ，进而求出答案. 【详解】如图， ( )2 2 1, 4 1 , 5 n n nS n m n n  − ≤= − + − ≥ 2 4n≤ ≤ 1 1 2n n n na S S − −= − = 1n = 1 1 1a S= = 6n ≥ 1 2n n na S S n a−= − = − + 5n = 5 5 4 5 45a S S a= − = − 12 4 5 45 5 2 6 n n n a a n n a n − ≤ = − = − + ≥ ， ， ， 5a { }na 5 45 8a − ≥ 5 45 12a a− ≥ − + 53 5a ≥ 53,5  +∞  1n n na S S −= − 1 2,F F C 2 2 14 x y+ = M C 1 2MF F∆ 2 3− 1 2F MF∠ 1 2MF F∆ 2 3− 1 2MF F∆ 2 3− 2Sr = 周长 S 2 1 2 1tan 2  = ∠  S b F MF 1 2F MF∠由题意知 的内切圆的半径为 ，又由三角形的内切圆半径 ， 即 ， 又由焦点三角形 面积 ， 所以 ，所以 ，所以 . 【点睛】本题主要考查通过焦点三角形的面积公式 ，确定 的 余弦值，熟悉公式的运用是解决本题的关键. 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分 17. 分别为 的内角 的对边.已知 . （1）若 ，求 ； （2）已知 ，当 的面积取得最大值时，求 的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理，将 ，化角为边，即可求出 ，再利用正弦定 理即可求出 ； （2）根据 ，选择 ，所以当 的面积取得最大值时， 最大， 的 1 2MF F∆ 2 3− 2Sr = 周长 1 (2 3)(4 2 3) (2 3)(2 3) 12S = − + = − + = 2 1 2 1 2 1 1tan tan2 2S b F MF F MF   = ∠ = ∠       1 2 1tan 12 F MF ∠ =   1 2 2F MF π∠ = 1 2cos 0F MF∠ = 2 1 2 1tan 2  = ∠  S b F MF 1 2F MF∠ , ,a b c ABC , ,A B C ( )sin 4sin 8sina A B A+ = 1, 6b A π= = sin B 3C π= ABC ABC 1sin 8B = 5 13+ ( )sin 4sin 8sina A B A+ = a sin B 3C π= in1 2 sS ab C= ABC ab结合（1）中条件 ，即可求出 最大时，对应的 的值，再根据余弦定理求出边 ，进而得到 的周长． 【详解】（1）由 ，得 ， 即 . 因为 ，所以 . 由 ，得 . （2）因为 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立. 因为 的面积 . 所以当 时， 的面积取得最大值， 此时 ，则 ， 所以 的周长为 . 【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在 考查学生的转化能力和数学运算能力． 18.设数列 满足： ， . ⑴求 ； ⑵求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）当 时， ；当 时，得到 两式相减求得 ，进而可得 ； （2）由（1）知 ，利用乘公比错位相减法，即可求得 . 【详解】（1）由题意，数列 满足： ， ， 4 8a b+ = ab ,a b c ABC ( )sin 4sin 8sina A B A+ = ( )4 8a a b a+ = 4 8a b+ = 1b = 4a = 4 1 sinsin 6 B =π 1sin 8B = 4 8 2 4 4a b ab ab+ = ≥ = 4ab ≤ 4 4a b= = ABC 1 1sin 4 sin 32 2 3S ab C π= ≤ × × = 4 4a b= = ABC 2 2 24 1 2 4 1 cos 133c π= + − × × × = 13c = ABC 5 13+ { }na 2 1 2 32 1 1 1 1...3 3 3 nna a a a n−+ + + + = n∈ +N na { }na n nS ( ) 12 1 3n na n −= − × ( )1 3 1n nS n= − × + 1n = 1 1a = 2n ≥ ( )2 1 2 3 12 2 1 1 1... 13 3 3 nna a a a n−−+ + + + = − ( ) ( )12 1 3 , 2n n na n −= × ≥− na ( ) 12 1 3n na n −= − × nS { }na 2 1 2 32 1 1 1 1...3 3 3 nna a a a n−+ + + + = n∈ +N当 时， ； 当 时， 两式相减得： ， 解得 ， 当 时上式也成立，所以 . （2）由（1）知 ， 则 所以 两式相减得： 所以 . 【点睛】本题主要考查利用数列的递推公式求解数列的通项公式、以及“错位相减法”求和的应 用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键， 易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基 本计算能力等. 19.如图，矩形 ABCD 中，AD＝2AB＝4，E 为 BC 的中点，现将△BAE 与△DCE 折起，使得平 面 BAE 及平面 DEC 都与平面 ADE 垂直． （1）求证：BC∥平面 ADE； （2）求二面角 A﹣BE﹣C 的余弦值． 1n = 1 1a = 2n ≥ ( )2 1 2 3 12 2 1 1 1... 13 3 3 nna a a a n−−+ + + + = − ( )22 1 1 1 2 13 nn a n n n− = − − = − ( ) 12 1 3n na n −= − × ( )2n ≥ 1n = ( ) 12 1 3n na n −= − × ( ) 12 1 3n na n −= − × ( )0 1 2 11 3 3 3 5 3 ... 2 1 3n nS n −= × + × + × + + − × ( )1 2 33 1 3 3 3 5 3 ... 2 1 3n nS n= × + × + × + + − × ( )1 2 3 12 1 2(3 3 3 ... 3 ) 2 1 3n n nS n−− = + + + + + − − × ( )0 1 2 3 11 2(3 3 3 3 ... 3 ) 2 1 3n nn−= − + + + + + + − − × 1 31 2 1 3 n−= − + × − ( )2 1 3nn− − × 1 3 1n= − + − ( )2 1 3nn− − × ( )2 2 3 2nn= − × − ( )1 3 1n nS n= − × +【答案】(1)见解析;(2) 【解析】 【分析】 （1）过点 B 作 BM⊥AE 于 M，过点 C 作 CN⊥ED 于 N，连接 MN，证明 BC∥MN 即可； （2）以 E 为原点，ED 为 x 轴，EA 为 y 轴，建立空间直角坐标系 E−xyz，求出平面 CEB 的法 向量 ，平面 AEB 的法向量 ，计算 即可． 【详解】（1）过点 B 作 BM⊥AE，垂足为 M，过点 C 作 CN⊥ED 于 N，连接 MN，如图所示； ∵平面 BAE⊥平面 ADE，平面 DCE⊥平面 ADE， ∴BM⊥平面 ADE，CN⊥ADE， ∴BM∥CN； 由题意知 Rt△ABE≌Rt△DCE， ∴BM＝CN， ∴四边形 BCNM 是平行四边形， ∴BC∥MN； 又 BC⊄平面 ADE，MN⊂平面 ADE， ∴BC∥平面 ADE； （2）由已知，AE、DE 互相垂直，以 E 为原点，ED 为 x 轴，EA 为 y 轴，建立空间直角坐标 系 E−xyz，如图所示； 3 3 − n m cos ,m n< > 则 E（0，0，0），B（0， ， ），C（ ，0， ）， ， 设平面 CEB 的法向量为 ＝（x，y，z）， 则 ， 即 ， 令 y＝−1，则 z＝1，x＝1， ∴ ＝（−1，−1，1）； 设平面 AEB 的法向量为 ＝（x，y，z）， 则 ，易求得 ＝（1，0，0）， 又 ， 二面角 A−BE−C 的平面角的余弦值为 ． 【点睛】本题考查了空间几何体以及空间向量的应用问题，是中档题． 20.已知椭圆 的左焦点 ，直线 与 y 轴交于点 P. 且与椭圆交于 A，B 两点.A 为椭圆的右顶点，B 在 x 轴上的射影恰为 ． （1）求椭圆 E 的方程； （2）M 为椭圆 E 在第一象限部分上一点，直线 MP 与椭圆交于另一点 N，若 ， 求 取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （2）利用已知条件列出方程组，求解椭圆的几何量，然后求解椭圆 E 的方程． 的 2 2 2 2 (0, 2, 2), ( 2,0, 2)EB EC= =  n 0 0 n EB n EC  ⋅ =  ⋅ =   2 2 0 2 2 0 y z x z  + = + = n m 0 0 m EA m EB  ⋅ =  ⋅ =   m 1 1 0 0 3cos , 3| | | | 3 1 m nm n m n ⋅ − × + +< >= = = − × ×      3 3 − 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > 1F : 2 3 6 0l x y− − = 1F : P NPMA BS S λ=  λ 2 2 19 8 x y+ = 9 9 6 2λ< < +（2）利用三角形的面积的比值，推出线段的比值，得到 ． 设 MN 方程： ， ，联立方程，利用韦达定理，求出 ，解出 ，将 代入韦达定理，然后 求解实数 λ 的取值范围． 【详解】解： 与椭圆的一个交点 A 为椭圆的右顶点 . 又 轴，得到点 ， ， 椭圆 E 的方程为 ． （2）因为 所以 ，由（1）可知 ，设 MN 方程 ， ， 联立方程 ，得 ，得 ， 又 ，有 ，将其代入 化简可得： ，因为 M 为椭圆 E 在第一象限部分上一点，所以 ， ，则 且 ， 3PM PN λ= −  2y kx= − ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y ( ) ( )1 1 2 2, 2 , , 2PM x y PN x y= + = +  1 23x x λ= − 1 23x x λ= − :2 3 6 0l x y− − = (3,0)A∴ 1BF x⊥ 2 , bB c a  − −   2 2 2 2 3 3 32 6 0 2 2 1 a a bc ba ca b c = = ∴ − + − = ⇒ =    == + 2 2 19 8 x y+ = 1 sin 32 ( 3)1 1sin2 3 PA PM APMS PAM PM PM S PBN PN PNPB PN BPN λλ λ ⋅ ⋅ ∠ ⋅= = = ⇒ = >⋅⋅ ⋅ ∠   3PM PN λ= −  (0, 2)P − 2y kx= − ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 2 2 2 19 8 y kx x y = − + = ( )2 21 9 36 36 0k x kx+ − − = 1 2 2 1 2 2 36 9 8 ( )36 9 8 kx x k x x k  + = + ∗ − ⋅ = + ( ) ( )1 1 2 2, 2 , , 2PM x y PN x y= + = +  1 23x x λ= − (*) 2 2 2 (3 ) 108 9 8 k kλ λ− = + 2 3k > 2 2 2 108 108 (4,12)89 8 9 k k k ∴ = ∈+ + 2(3 )4 12 λ λ −< < 3λ >解得 【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及这些与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以 及计算能力，难度较大． 21.已知函数 ，其中 e 为自然对数的底数. （1）讨论函数 的单调性； （2）用 表示 中较大者，记函数 .若函数 在 上恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围. 【 答 案 】（1） 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 和 ， 单 调 递 减 区 间 为 ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由题可得 ,结合 的范围判断 的正负,即可求解； （2）结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解 【详解】（1） , ①当 时, , ∴函数 在 内单调递增； ②当 时,令 ,解得 或 , 当 或 时, ,则 单调递增, 当 时, ,则 单调递减, ∴函数 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 （2）（Ⅰ）当 时, 所以 在 上无零点； （Ⅱ）当 时, , ①若 ,即 ,则 是 的一个零点； 9 9 6 2λ< < + 3( ) 3 , ( ) 1 lnf x x ax e g x x= − + = − ( )f x max{ , }m n ,m n ( ) max{ ( ), ( )},( 0)h x f x g x x= > ( )h x ( )0, ∞+ ( )f x ( , )a−∞ − ( , )a +∞ ( , )a a− 2 1 3 ea +> ( ) 23 3f x x a′ = − a ( )f x′ ( ) 23 3f x x a′ = − 0a ≤ 0f x（ ）≥ ( )f x ∞ ∞（- ，+ ） 0a > ( ) 3( )( ) 0f x x a x a′ = + − = x a= − x a= x a< − x a> ( ) 0f x′ > ( )f x a x a− < < ( ) 0f x′ < ( )f x ( )f x ( , )a−∞ − ( , )a +∞ ( , )a a− (0,e)x∈ ( ) 0, ( ) ( ) 0,g x h x g x> > ( )h x (0, )e x e= 3( ) 0, ( ) 3g e f e e ae e= = − + 3( ) 3 0f e e ae e= − +  2 1 3 ea +  e ( )h x②若 ,即 ,则 不是 的零点 （Ⅲ）当 时, ,所以此时只需考虑函数 在 上零点的情况,因为 ,所以 ①当 时, 在 上单调递增。又 ，所以 （ⅰ）当 时, 在 上无零点； （ⅱ）当 时, ,又 ,所以此 时 在 上恰有一个零点； ②当 时,令 ,得 ,由 ,得 ；由 ,得 ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增, 因为 , ,所以此时 在 上恰有一个零 点, 综上, 【点睛】本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力, 考查分类讨论思想 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所 做的第一题计分. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 的极 坐标方程为 ， 点的极坐标为 ，在平面直角坐标系中，直线 经 过点 ，且倾斜角为 . 3( ) 3 0f e e ae e= − + > 2e 1 3a +< e ( )h x ( , )x e∈ +∞ ( ) 0 − 2a e ( ) 0, ( )f x f x′ > ( , )e +∞ 3( ) 3f e e ae e= − + 2e 1 3a +≤ ( ) 0, ( )f e f x ( , )e +∞ 2 2e 1 e3 a + < ≤ ( ) 0f e < 3 3 2(2 ) 8 6 8 6 0f e e ae e e e e= − + − + > ( )f x ( , )e +∞ 2a e> ( ) 0f x′ = x a= ± ( ) 0f x′ < e x a< < ( ) 0f x′ > x a> ( )f x ( , )e a ( , )a +∞ 3 3 3( ) 3 3 0f e e ae e e e e= − + < − + < 3 2 2 2 2(2 ) 8 6 8 6 2 0f a a a e a a e a e= − + > − + = + > ( )f x ( , )e +∞ 2 1 3 ea +> xOy O x C 2cos 4sin 0ρ θ θ− = P 3, 2 π     l P 60（1）写出曲线 的直角坐标方程以及点 的直角坐标； （2）设直线 与曲线 相交于 ， 两点，求 的值. 【答案】（1）曲线 的直角坐标方程为 ； 点的直角坐标为 （2） 【解析】 【分析】 （1）由极坐标与直角坐标的互化可得 的直角坐标方程为 ， 点的直角坐标为 ； （2）将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，利用直线的参数方程中 的几何意义 ，再求解即可. 【详解】解：（1）曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程为 ， 点的极坐标为： ，化为直角坐标为 . （2）直线 的参数方程为 ，即 （ 为参数）， 将 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得 ， 整理得： ， 显然有 ，则 ， ， ， ， 所以 . 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化，直线的参数方程及，直线的参数方程中 的几 何意义，属中档题. 选修 4-5：不等式选讲 C P l C A B 1 1 PA PB + C 2 4x y= P ( )0,3 6 6 C 2 4x y= P ( )0,3P l C t 1 2 1 2PA PB t t t t+ = + = − C 2 4x y= P 3, 2P π     ( )0,3P l cos 3 3 sin 3 x t y t π π  =  = + 1 2 33 2 x t y t  =  = + t l C 21 12 2 34 t t= + 2 8 3 48 0t t− − = > 0∆ 1 2 48t t⋅ = − 1 2 8 3t t+ = 1 2 1 2 48PA PB t t t t⋅ = ⋅ = ⋅ = 1 2 1 2PA PB t t t t+ = + = − ( )2 1 2 1 24 8 6t t t t= + − = 1 1 6 6 PA PB PA PB PA PB ++ = =⋅ t23.已知函数 （1）解不等式 ； （2）若不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）对 去绝对值符号，然后分别解不等式即可 （2）不等式 有解，则只需 ，求出 的最小值，然后解不等式即可. 【详解】（1）由已知得 当 时， 当 时， 当 时， 舍 综上得 的解集为 （2） 有解 ， 或 的取值范围是 . 【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有应用零点分段法解绝对 值不等式，根据不等式有解求参数的取值范围，属于简单题目. ( ) 2 1 4f x x x= + + − ( ) 6f x ≤ 2( ) 4 8f x x a a+ − < − a [ ]1,1− ( ), 1 (9, )−∞ − +∞ ( )f x 2( ) 4 8f x x a a+ − < − 2 min( ( ) 4 ) 8f x x a a+ − < − ( ) 4f x x+ − 13 3 2 1( ) 5 42 3 3 4 x x f x x x x x − + < − = + − ≤ ≤  − >  ， ， ， 2 1x < − 3 3 6 1x x− + ≤ ⇒ ≥ − 11 2x∴− ≤ < − 1 42 x− ≤ ≤ 5 6 1x x+ ≤ ⇒ ≤ 1 12 x∴− ≤ ≤ 4x > 3 3 6 3x x− ≤ ⇒ ≤ ( ) 6f x ≤ [ ]1,1− ( ) 4 2 1 2 8 9f x x x x+ − = + + − ≥ 2( ) 4 8f x x a a+ − < − 2 8 9a a∴ − > ( 9)( 1) 0a a− + > 1a∴ < − 9a > a∴ ( ), 1 (9, )−∞ − +∞