张家口市 2019－2020 学年第一学期阶段测试卷
高三数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题；每题 5 分，共计 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项正确.
1.若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先解不等式确定集合 ，再由交集定义求得交集．
【 详 解 】 由 题 意 ， ， ∴
．
故选：C．
【点睛】本题考查集合 交集运算，求解时需选确定集合 中的元素，然后才可以求交集
运算．
2.在公差 不为零的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列通项公式表示出 再由等比数列性质可求得 ．
【详解】由题意 ， ，
∵ ， ， 成等比数列，
∴ ，即 ，解得 ．
的
1 1| 232 2
xA x − = A B =
( )1,4 [ )1,4 { }1,2,3 { }2,3
,A B
{ |1 5}A x x= ≤ ≤ { | 1 4} {0,1,2,3}B x N x= ∈ − < < =
{1,2,3}A B∩ =
,A B
d { }na 3 16a = 1a 3a 7a d =
1 8,a a d
1 3 2 16 2a a d d= − = − 7 3 4 16 4a a d d= + = +
1a 3a 7a
2
3 1 7a a a= 216 (16 2 )(16 4 )d d= − + 4d =故选：D．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质．属于基础题．
3.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由（ ）＋（ ）＝ ，用诱导公式求解．
【详解】 ．
故选：B．
【点睛】本题考查诱导公式，解题时需分析“已知角”和“未知角”的关系，确定选用什么公
式．
4.若直线 （ ， ）过点 ，则 的最小值等于（ ）
A. 9 B. 8 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
把 代入直线方程得 满足的等量关系，用“1”的代换把 凑配出基本不等式中的
定值，然后用基本不等式求最小值．
【详解】∵直线 （ ， ）过点 ，∴ ，
∴ ，当且仅当 ，即
时等号成立，∴ 的最小值为 9．
故选：A．
【点睛】本题考查基本不等式求最值，解题时要注意基本不等式求最值的条件：一正二定三
3sin 6 5
π α + = −
4cos 3
π α − =
4
5
3
5
4
5
− 3
5-
6
π α+ 4
3
π α− 3
2
π
4cos 3
π α − =
3 3cos( ( )] sin( )2 6 6 5
π π πα α− + = − + =
1x y
a b
+ = 0a > 0b > ( )1,2 2+a b
3 2 2+ 4 2 2+
(1,2) ,a b 2za b+
1x y
a b
+ = 0a > 0b > ( )1,2 1 2 1a b
+ =
1 2 2 2 2 22 ( 2 )( ) 5 5 2 9a b a ba b a b a b b a b a
+ = + + = + + ≥ + × = 2 2a b
b a
=
3a b= = 2+a b相等，常常需要凑配出定值，“1”的代换是常用凑配方法．
5.已知 ， ， ， ，则下列命题中必然成立的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】
由不等式的性质判断每一个命题是否正确，可举反例不等式不成立．
【详解】若 ，则 ，A 错； 满足 ，但是
，B 错；若 ，则 ，∴ ，C 正确； ， ，但 ，
D 错。
故选：C。
【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质成立的条件是解题基础．对不一定成立
的不等式可通过举反例说明．
6.已知点 为双曲线 ： 上的动点，点 ，点 .若 ，
则 （ ）
A. 27 B. 3 C. 3 或 27 D. 9 或 21
【答案】A
【解析】
【分析】
求出双曲线的半焦距 ，说明 是双曲线的焦点，根据双曲线的定义计算 ，但要由已
知条件确定 点是否可能在两支上．
【详解】由题意 ，则 ，∴ 是双曲线的焦点，
又 ，∴ 点在双曲线 左支上，
∴ ．
故选：A．
的
a b c d R∈
a b> 2 2ac bc> a b> c d> a b
c d
>
2 2ac bc> a b> a b> − c a c b− > +
0c = 2 2 0ac bc= = 2, 1, 10, 2a b c d= = = = ,a b c d> >
a b
c d
< 2 2ac bc> 2 0c > a b> 3, 2a b= = 3 2> − 3 2c c− < +
P C
2 2
136 64
x y− = ( )10,0A − ( )10,0B 15PA =
PB =
c ,A B PB
P
6, 8a b= = 36 64 10c = + = ,A B
15 2 10 12PA c a= < + = + P
2 15 2 6 27PB PA a= + = + × =【点睛】本题考查双曲线的定义，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，可用双曲线的定
义求解．注意双曲线的定义是 ，解题时如不能确定双曲线上的点在哪支上，
则两支都有可能．
7.已知菱形 的边长为 , ,点 是 上靠近 的四等分点,则
（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
选 取 和 为 基 底 , 菱 形 的 边 长 为 , 则 ,
,用基底 , ,分别表示 与 即可求得 .
【详解】画出几何图像:
选取 和 为基底, 菱形 的边长为
,点 是 上靠近 的四等分点
由
可得:
1 2 2PF PF a− =
ABCD 2 60BAD∠ = ° E BD D AE AC⋅ =
8
3
4
3 6 4 2 3+
AD AB ABCD 2 2AD AB= =
cos60 2AD AB AD AB °⋅ = ⋅ = AD AB AE AC AE AC⋅
AD AB ABCD 2
∴ 2AD AB= =
60BAD∠ = °
∴ cos60 2AD AB AD AB °⋅ = ⋅ =
BD AD AB= − E BD D
∴ ( )1 1 1 1
4 4 4 4ED BD AD AB AD AB−= = −=
AD AE ED= +
1 1 3 1
4 4 4 4AE AD ED AD AD AB AD AB = − = − =
− +
AC AB AD= +
故选:C.
【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用,考查数形结合思想,求解过程中要注意基底选择的
合理性,即一般是选择模和夹角已知的两个向量作为基底.
8.已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
因 为 函 数 , 判 断 的 奇 偶 性 和 单 调 性 , 即 可 求 解
,进而求得实数 的取值范围.
【详解】 则定义是 .
又 ,可得:
是奇函数.
则
∴ ( )3 1
4 4AE AC AD AB AB AD ⋅ = + ⋅
+
2 23 3 1 1
4 4 4 4AB AD AD AB AB AD⋅ + + += ⋅
2 23 1
4 4AB AD AD AB= ⋅ + +
3 12 4 44 4
= + ⋅ + ⋅
2 3 1 6= + + =
( ) x x
x x
e ef x e e
−
−
−= + 1 1
2 2
log 1 2log 0f m f m
+ − > ( ) ( ) ( )1 2 3f x f x f x= = 1 2,x x
1 2 6x x+ = 3x ( )1 2 3x x x+ ⋅
( ) 2
1
6 , 4
2 , 4x
x x xx
x−
− + > ( ) ( )1 2f x f x=由图像可知 在二次函数图像上且
由图可知, ,即
的取值范围是: .
故选:D.
【点睛】本题主要考查分段函数的图像与性质,考查了二次函数指数函数的性质以及数形结合
思想的应用,数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学
问题的一种重要思想方法,函数图像是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质.
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：本题共 4 小題，每题 5 分，共计 20 分.请把正确答案填写在答题纸
相应的位置上.
13.已知 的内角 , , 的对边分别为 , , ,且
, , ,则 的面积为______.
______.
【答案】 ；
【解析】
【分析】
将 化 简 可 得 : , 由 余 弦 定 理
,解得 ,结合已知,由三角面积公式 ,
即可求得 的面积.
【详解】
可得 即
1 2,x x 1 2 6x x+ =
3 24 log 9 1x< < + 3 24 3log 3 1x< < +
∴ ( ) 21 2 324 12 log 3 6x x x< < ⋅⋅ ++
∴ ( )1 2 3x x x+ ⋅ ( )224,6 12log 3+
ABC A B C a b c
( ) ( )2 2 24 2a b c a b c c ab+ + + + − = + 30B = ° 2a = ABC
3
( ) ( )2 2 24 2a b c a b c c ab+ + + + − = + 2 2 2a b c ab+ − = −
2 2 2 1cos 2 2
a b cC ab
+ −= = − 120C °∠ = 1 sin2ABCS a b C= ⋅ ⋅
ABC
( ) ( )2 2 24 2a b c a b c c ab+ + + + − = +
2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 4 2a b c ab bc ac a b c ab bc ac c ab∴ + + + + + + + + + − − = +
∴ 2 2 2 22 2 2 4 4 2a b c ab c ab+ + + = +
2 2 2a b ab c+ + = 2 2 2a b c ab+ − = −
可得:
又 ,故
是等腰三角形,
由三角形面积公式:
故答案为: .
【点睛】本题主要考查解三角形的问题,熟记余弦定理和三角形面积公式即可求解,属于基础题
型.
14.已知圆 ： 和点 ， 是圆上一点，线段 的垂直平分线交
于 点，则 点的轨迹方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义求轨迹方程．
【 详 解 】 ∵ 在 的 中 垂 线 上 ， ∴ ，
∴ ，
又 ，∴ 点轨迹是以 为焦点，实轴长为 6 的双曲线，∴ ，
，又 关于原点对称，
∴ 点轨迹方程为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查用双曲线的定义求轨迹方程，属于基础题．根据双曲线定义确定动点轨迹
是双曲线，然后求出 得标准方程，要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方程．
2 2 2 1cos 2 2
a b cC ab
+ −= = −
120C °∠ =
30B °Ð = 30A °∠ =
ABC∴ 2a b= =
1 1 3sin 2 2 32 2 2ABCS a b C= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
3
C ( )2 25 36x y+ + = ( )5,0B P BP CP
M M
2 2
19 16
x y− =
M BP MP MB=
6MC MB MC MP PC− = − = =
10 6BC = > M ,C B 5, 3c a= =
2 2 2 25 3 4b c a= − = − = ,C B
M
2 2
19 16
x y− =
2 2
19 16
x y− =
,a b15.已知 , , ,将 , , 按从小到大的顺序排列______.
【答案】 ；
【解析】
【分析】
根据指数函数 是减函数,可得: ,根据幂函数 是增函数可得:
,即可求得 , , 按从小到大关系.
【详解】 指数函数 是减函数
可得:
幂函数 是增函数
可得:
即:
有
综上所述,
故答案为: .
【点睛】本题考查比较数值大小,这类大小比较一般是借助中间值,与中间值比较后可得它们的
大小关系.
16.已知双曲线 ： （ ， ）的右焦点为 ， ， 是双曲线的一条渐
近线上关于原点对称的两点， 且线段 的中点 落在另一条渐近线上，则双
曲线 的离心率为______.
【答案】2
【解析】
【分析】
由 得 ，从而有 ，因此可得 坐标，于是有中
点 坐标，代入渐近线方程可得 的等式，转化后可求得离心率 ．
【 详 解 】 如 图 ， 设 在 渐 近 线 上 ， ∵ ， ∴ ， ∴
0.70.6a = 0.60.7b = ln 0.6c = a b c
c a b< <
0.6xy = 0.7 0.60 0.6 0.6< < 0.6y x=
0.6 0.60 0.6 0.7< < a b c
0.6xy =
0.7 0.60 0.6 0.6< <
0.6y x=
0.6 0.60 0.6 0.7< <
∴ 0.7 0.60.6 0.7< a b<
ln 0.6 0c = <
c a b< <
c a b< <
C
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > F A B
0AF BF⋅ = AF M
C
0AF BF⋅ = AF BF⊥ OA OB OF c= = = ,A B
M ,a c e
,A B by xa
= 0AF BF⋅ = AF BF⊥，
∴ ，而 ， 是 中点，∴ ，由已知 在渐近线
上，
∴ ， ， ，∴ ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查渐近线方程，考查向量的数量积与垂直的关系．解
题关键是寻找关于 的等式，然后转化后可求得 ．题中用到一个结论： 在渐近线
上在第一象限内的点，且 ．则有 ．
三、解答题：本题共 6 小题，共计 70 分.
17.若数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
【分析】
（1） ， 时，由 可得数列的递推关系，从而确定数列 是等比数
列，易得其通项公式；
OA OB OF c= = =
( , )A a b− − (c,0)F M AF ( , )2 2
c a bM
− − M by xa
= −
2 2
b b c a
a
−− = − × c a a− = 2c a= 2ce a
= =
, ,a b c ce a
= B
OB c= ( , )B a b
{ }na n nS 2 1n nS a= − *n N∈
{ }na
1
2 1
n
n
nb a +
−= { }nb n nT
12n
na -=
2 33 2n
n +−
1 1a S= 2n ≥ 1n n na S S −= − { }na（2）数列 是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得，因此用错位相减法求和．
【详解】（1）数列 前 项和为 ，且 ①，
当 时， ， ，
当 时， ②，
①－②得 ，即 （常数），
故数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 .
（2）由于 ，所以 ，
所以 ③， ④，
③－④得 ，整理得 .
【点睛】本题考查由 与 的关系求通项公式，考查错位相减法求数列的和．在由
时，要注意 ， 与它们的求法不同，要分类求解．数列求和问题中有两
类数列的求和法一定要掌握：数列 是等差数列，数列 是等比数列，则数列
的和的求法是裂项相消法，数列 的和的求法是错位相减法．
18.在 中,内角 , , 所对的边分别为 , , ,已知 .
（1）求角 的大小;
（2）若 ,求 的周长的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（ 1 ） 逆 用 二 倍 角 公 式 将 原 式 降 幂 , 将 化 简 为 :
的
{ }nb
{ }na n nS 2 1n nS a= −
1n = 1 1 12 1a S a= = − 1 1a =
2n ≥ 1 12 1n nS a− −= −
12n na a −=
1
2n
n
a
a −
=
{ }na
12n
na -=
12n
na -=
1
2 1 2 1
2n n
n
n nb a +
− −= =
2
1 3 2 1
2 2 2n n
nT
−= + +⋅⋅⋅+ 2 3 1
1 1 3 2 1
2 2 2 2n n
nT +
−= + +⋅⋅⋅+
2 1
1 1 1 1 1 2 122 2 2 2 2 2n n n
nT +
− = + +⋅⋅⋅+ − −
2 33 2n n
nT
+= −
nS na
1n n na S S −= − 2n ≥ 1a
{ }na { }nb
1
1{ }
n na a +
{ }n na b
ABC A B C a b c 23sin 2cos 02
A CB
+− =
B
3b = ABC
2
3B
π= (2 3,2 3+
23sin 2cos 02
A CB
+− =, 根据辅助角公式: ,( ),
即可求得角 的大小;
（2）由余弦定理 ,得 ,故
,可得 ,即可求得 的周长的取值范围.
【详解】（1）
可得
即
根据辅助角公式: ,( )
，
，由于 .
解得 .
（2）由余弦定理
得
即
由 得
解得: .当且仅当 时取等号;
又 得 ;
所以
周长的取值范围为
【点睛】本题主要考查由辅助角公式和余弦定理解三角形,解题关键是掌握辅助角公式:
,( ),考查了分析能力和计算能力,属于基础
题.
3sin cos 1B B+ = ( )2 2sin cos sina x b x a b x ϕ+ = + + tan b
a
ϕ =
B
2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ( )23 ac a c+ = +
( ) ( )2
23 3 4
a cac a c
++ = + ≤ + 2a c+ ≤ ABC
23sin 2cos 02
A CB
+− =
( )3sin cos 1 0B A C− + + =
( )3sin cos 1 0B B− − + =
( )2 2sin cos sina x b x a b x ϕ+ = + + tan b
a
ϕ =
3sin cos 1B B+ =
∴ 2sin 16B
π + = 0 B π< <
2
3B
π=
2 2 2 2 cosb a c ac B= + −
( )22 23 a c ac a c ac= + + = + −
( )23 ac a c+ = +
( )2
4
a cac
+≤ ( ) ( )2
23 3 4
a cac a c
++ = + ≤ +
2a c+ ≤ a c=
a c b+ > 3a c+ >
3 2a c< + ≤
∴ ABC (2 3,2 3+
( )2 2sin cos sina x b x a b x ϕ+ = + + tan b
a
ϕ =19.如图（1）,在直角梯形 中, , , ,过 点作
,垂足为 ,现将 沿 折叠,使得 ,如图（2）.
（1）求证:平面 平面 ;
（2）求二面角 的大小.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）根据已知求证 平面 ,即可求证:平面 平面 ;
（2）设平面 的法向量 和平面 的法向量 ,求出 和 ,根据 ,即可
求得二面角 的大小.
【详解】证明：（1） , ,
, ,
又 ,故: 平面 ,
平面 ,故:平面 平面 .
（2）以 为原点, 为 轴, 为 轴, 为 轴,建立空间直角坐标系,如图:
设 ,
, , , ,
ABCD AB CD∥ AB BC⊥ 2 2CD AB BC= = A
AE CD⊥ E ADE∆ AE DE EC⊥
DAB ⊥ DAE
D AB E− −
45°
AB ⊥ DAE DAB ⊥ DAE
DAB n ABE m n m cos
m n
m n
θ
⋅
=
⋅
D AB E− −
AE CD⊥ AB CD∥
∴ AE AB⊥
DE EC⊥ AB EC∥
∴ DE AB⊥
AE DE E= AB ⊥ DAE
AB Ì DAB DAB ⊥ DAE
E EA x EC y ED z
2DE EC ED= = =
∴ ( )2,0,0A ( )0,0,2D ( )0,0,0E ( )2,2,0B可得: , ,
设平面 的法向量 ,
则 ,取 ,得 ,
平面 的法向量 ,
设二面角 的大小为 ,
则 ,
,
二面角 的大小为 .
【点睛】本题考查立体几何的翻折问题和求二面角的计算,在处理翻折问题时,要注意翻折前后
相关直线的位置关系以及长度的变化,对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利
用向量的夹角公式求解.
20.已知抛物线 ： 上一点 到其焦点 的距离为 5.
（1）求 与 的值；
（2）设动直线 与抛物线 相交于 ， 两点，问：在 轴上是否存在与 的取
值无关的定点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理
由.
【答案】（1） , ； （2）存在点 .
【解析】
【分析】
（1）由抛物线 上点 的焦半径为 可求得 ，从而再
求得 ；
（2）假设设存在点 满足条件，令 ， ，条件 转
化为 ，即 ，整理得： ，由直线方程
( )2,0,2AD = − ( )0,2,0AB =
DAB ( ), ,n x y z=
2 2 0
2 0
n AD x z
n AB y
⋅ = − + =
⋅ = =
1x = ( )1,0,1n =
ABE ( )0,0,1m =
D AB E− − θ
1 2cos 22
m n
m n
θ
⋅
= = =
⋅
∴ 45θ = °
∴ D AB E− − 45°
C 2 2 ( 0)y px p= − > ( )4,R m− F
p m
( )2y k x= + C A B x k
M AMF BMF∠ = ∠ M
2p = 4m = ± ( )2,0M
2 2 ( 0)y px p= − > 0 0( , )R x y 02
pRF x= − p
m
( ),0M a ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AMF BMF∠ = ∠
AM BMk k= − 1 2
1 2
0y y
x a x a
+ =− − ( )( )1 2 1 24 0y y a y y+ + =与抛物线方程联立后消去 （注意讨论 的情形），得 的方程，由韦达定理得
，代入 它是与 无关的等式，从而可得 ．
【详解】（1）根据抛物线定义，点 到焦点的距离等于它到准线的距离，即
，解得 ，∴抛物线方程为 ，
点 在抛物线上，得 ，∴ .
（2）抛物线方程为： ，
当 ，直线只与抛物线有一个交点，显然不成立，
当 时，令 ， ，设存在点 满足条件，
即： ，
即 ，
整理得： ，
，整理得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，解的 ，
因此存在点 满足题意.
【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查直线与抛物线相交问题．对存在性命题，一般
是假设存在，然后根据这个存在性去推导计算，方法是设而不求思想方法．如果能求出定点，
说明真正存在，如果求不出说明假设错误，不存在定点满足题意．
21.已知椭圆 : （ ）的左,右焦点分别为 ， ,且
经过点 .
（1）求椭圆 的标准方程;
x 0k = y
1 2 1 2,y y y y+ ( )( )1 2 1 24 0y y a y y+ + = k a
( )4,R m−
4 52
p− + = 2p = 2 4y x= −
( )4,R m− ( ) ( )2 4 4m = − ⋅ − 4m = ±
2 4y x= −
0k =
0k ≠ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ),0M a
AMF BMF∠ = ∠ AM BMk k= −
1 2
1 2
0y y
x a x a
+ =− −
( )( )1 2 1 24 0y y a y y+ + =
( )
2
2
4
y k x
y x
= +
= −
2 4 8 0yy k
+ − =
1 2
4y y k
+ = − 1 2 8y y = −
( ) 44 8 0a k
− − =
4 8 0a − = 2a =
( )2,0M
C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > ( )1 2,0F − ( )2 2,0F
( )2,1M
C（2）若斜率为 的直线与椭圆 交于 , 两点,求 面积的最大值（ 为坐标原点）.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由椭圆的定义,可知 ,解得 ,由 ,
即可求得椭圆 的标准方程;
（2）设直线 的方程为 ,联立 ,消掉得 得:
, 根据韦达定理可得: , .根据弦长公
式求 ,由点 到直线 : 的距离,求得 的 边上的高,即可求
得 面积的最大值.
【详解】（1）由椭圆的定义,可知 .
解得 .
又 .
椭圆 的标准方程为 .
（2）设直线 的方程为 ,
联立 ,消掉得 得: .
,得 .
设 , ,
根据韦达定理可得: , .
2 C A B AOB O
2 2
14 2
x y+ = 2
( )2
1 22 2 2 1 1 4a AF AF= + = + + = 2a = 2 2 2a b c= +
C
l 2y x m= + 2 2
2
14 2
y x m
x y
= + + =
y
2 29 8 2 4 0x mx m+ + − = 1 2
8
9
mx x+ = − 2
1 2
2 4
9
mx x
−=
AB ( )0,0O l 2 0x y m− + = AOB AB
AOB
( )2
1 22 2 2 1 1 4a AF AF= + = + + =
∴ 2a =
( )22 2 2 2b a= − =
∴ C
2 2
14 2
x y+ =
l 2y x m= +
2 2
2
14 2
y x m
x y
= + + =
y 2 29 8 2 4 0x mx m+ + − =
2 264 72 144 0m m∆ = − + > 3 2 3 2m− < <
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
1 2
8
9
mx x+ = − 2
1 2
2 4
9
mx x
−=根据弦长公式得:
点 到直线 : 的距离:
当 即 , 时取等号;
面积的最大值为 .
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一
次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化
为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦
中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决.
22.已知函数 , .
（1）若 ,函数 在点 处切线方程为 ,求实
数 的值;
（2）证明 时, .
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（ 1 ） 因 为 , , 则 , 可 得
,故 ,即可求得实数 的值;
( )2
1 2 1 2 1 25 5 4AB x x x x x x= ⋅ − = ⋅ + −
( )22 2 2 1864 8 165 2 581 9 9
mm m −−= ⋅ − = ⋅
( )0,0O l 2 0x y m− + =
5
md =
∴ ( )22 181 1 2 52 2 9 5AOB
m mS AB d
−
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
( ) ( )2 22 18
3 2 3 29
m m
m
− ⋅
= − < <
22 2182 2 29
m m − +
≤ =
( )2 218 m m− = 2 9m = 3m = ±
∴ AOB 2
( ) x mf x e += ( ) 21 1
2 2g x ax ax= −
0m = ( ) ( ) ( ) ( )1F x g x x f x= + − ( )( )0, 0F 1y x= +
a
0m > ( ) 1f x x> +
2a = −
( ) x mf x e += ( ) 21 1
2 2g x ax ax= − ( ) ( )21 1 12 2
xF x ax ax x e= − + −
( ) ( )1 112 2
x x xF x ax a e x e ax a xe′ = − − + − = − − ( ) 10 2F a′ = − a（2） 时, , 故求证 ,即可求证 .
【详解】,
（1） , ,
,
,可得: ,
又 函数 在点 处切线方程为 ,故
,解得 ;
（2） 时, ,
下面求证:
令 ,则
可得:当 时, , 单调递增;
当 时, , 单调递减;
,
;即
而 ,
所以 ,得证.
时,
【点睛】本题主要考查了导数的应用,利用导数处理切线及利用导数求最值证明不等式,掌握导
数的相关知识是解本题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
0m > ( ) 0x m xf x e e+ += > 1xe x≥ + ( ) 1f x x> +
( ) x mf x e += ( ) 21 1
2 2g x ax ax= −
∴ ( ) ( )21 1 12 2
xF x ax ax x e= − + −
∴ ( ) ( )1 112 2
x x xF x ax a e x e ax a xe′ = − − + − = − − ( ) 10 2F a′ = −
( )F x ( )( )0, 0F 1y x= + ( )0 1F′ =
∴ 1 12 a− = 2a = −
0m > ( ) 0x m xf x e e+ += >
1xe x≥ +
( ) 1xh x e x= − − ( ) 1xh x e′ = −
0x > ( ) 0h x′ > ( )h x
0x < ( ) 0h x′ < ( )h x
∴ ( ) ( )min 0 0h x h= =
∴ ( ) 0h x ≥ 1xe x≥ +
0 1x m x xe e e x+ +> = ≥ +
1x me x+ > +
∴ 0m > ( ) 1f x x> +
微信/支付宝扫码支付