张家口市 2019－2020 学年第一学期阶段测试卷
高三数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题；每题 5 分，共计 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项正确.
1.若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先解不等式确定集合 ，再由交集定义求得交集．
【 详 解 】 由 题 意 ， ， ∴
．
故选：C．
【点睛】本题考查集合的交集运算，求解时需选确定集合 中的元素，然后才可以求交集
运算．
2.在公差 不为零的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列通项公式表示出 再由等比数列性质可求得 ．
【详解】由题意 ， ，
∵ ， ， 成等比数列，
∴ ，即 ，解得 ．
1 1| 232 2
xA x − = A B =
( )1,4 [ )1,4 { }1,2,3 { }2,3
,A B
{ |1 5}A x x= ≤ ≤ { | 1 4} {0,1,2,3}B x N x= ∈ − < < =
{1,2,3}A B∩ =
,A B
d { }na 3 16a = 1a 3a 7a d =
1 8,a a d
1 3 2 16 2a a d d= − = − 7 3 4 16 4a a d d= + = +
1a 3a 7a
2
3 1 7a a a= 216 (16 2 )(16 4 )d d= − + 4d =故选：D．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质．属于基础题．
3.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由（ ）＋（ ）＝ ，用诱导公式求解．
【详解】 ．
故选：B．
【点睛】本题考查诱导公式，解题时需分析“已知角”和“未知角”的关系，确定选用什么公
式．
4.若直线 （ ， ）过点 ，则 的最小值等于（ ）
A. 9 B. 8 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
把 代入直线方程得 满足的等量关系，用“1”的代换把 凑配出基本不等式中的
定值，然后用基本不等式求最小值．
【详解】∵直线 （ ， ）过点 ，∴ ，
∴ ，当且仅当 ，即
时等号成立，∴ 的最小值为 9．
故选：A．
【点睛】本题考查基本不等式求最值，解题时要注意基本不等式求最值的条件：一正二定三
3sin 6 5
π α + = −
4cos 3
π α − =
4
5
3
5
4
5
− 3
5-
6
π α+ 4
3
π α− 3
2
π
4cos 3
π α − =
3 3cos( ( )] sin( )2 6 6 5
π π πα α− + = − + =
1x y
a b
+ = 0a > 0b > ( )1,2 2+a b
3 2 2+ 4 2 2+
(1,2) ,a b 2za b+
1x y
a b
+ = 0a > 0b > ( )1,2 1 2 1a b
+ =
1 2 2 2 2 22 ( 2 )( ) 5 5 2 9a b a ba b a b a b b a b a
+ = + + = + + ≥ + × = 2 2a b
b a
=
3a b= = 2+a b相等，常常需要凑配出定值，“1”的代换是常用凑配方法．
5.已知 ， ， ， ，则下列命题中必然成立的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】
由不等式 性质判断每一个命题是否正确，可举反例不等式不成立．
【详解】若 ，则 ，A 错； 满足 ，但是
，B 错；若 ，则 ，∴ ，C 正确； ， ，但 ，
D 错。
故选：C。
【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质成立的条件是解题基础．对不一定成立
的不等式可通过举反例说明．
6.已知点 为双曲线 ： 上的动点，点 ，点 .若 ，
则 （ ）
A 27 B. 3 C. 3 或 27 D. 9 或 21
【答案】A
【解析】
【分析】
求出双曲线 半焦距 ，说明 是双曲线的焦点，根据双曲线的定义计算 ，但要由已
知条件确定 点是否可能在两支上．
【详解】由题意 ，则 ，∴ 是双曲线的焦点，
又 ，∴ 点在双曲线的左支上，
∴ ．
故选：A．
的
的
a b c d R∈
a b> 2 2ac bc> a b> c d> a b
c d
>
2 2ac bc> a b> a b> − c a c b− > +
0c = 2 2 0ac bc= = 2, 1, 10, 2a b c d= = = = ,a b c d> >
a b
c d
< 2 2ac bc> 2 0c > a b> 3, 2a b= = 3 2> − 3 2c c− < +
P C
2 2
136 64
x y− = ( )10,0A − ( )10,0B 15PA =
PB =
c ,A B PB
P
6, 8a b= = 36 64 10c = + = ,A B
15 2 10 12PA c a= < + = + P
2 15 2 6 27PB PA a= + = + × =【点睛】本题考查双曲线的定义，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，可用双曲线的定
义求解．注意双曲线的定义是 ，解题时如不能确定双曲线上的点在哪支上，
则两支都有可能．
7.已知菱形 的边长为 2， ，点 满足 ，则
（ ）
A. B. C. 6 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
把 也用 表示，后求数量积．
【详解】∵ 是菱形，∴ ＝ ，
∴
．
故选：C．
【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题时选取 为基底，其他向量用基底表示后再
参与运算．
8.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断函数 的奇偶性与单调性，然后利用这两个性质化函数不等式为对数不等式，再解
之．
1 2 2PF PF a− =
ABCD 60BAD∠ = ° E 3 1
4 4AE AD AB= + AE AC⋅ =
8
3
4
3 4 2 3+
AC ,AB AD
ABCD AC AB AD+
3 1( ) ( )4 4AE AC AD AB AB AD⋅ = + ⋅ + 2 23 1
4 4AD AB AD AB= + ⋅ +
2 23 12 2 2 cos60 24 4
= × + × × °+ × 6=
,AB AD
( ) x xf x e e−= − 1 1
2 2
log 1 2log 0f m f m
+ − 1 2( ) ( )f x f x> −
1 2( ) ( )f x f x> 1 2( ) ( )f x f x> f
D ABC− AD ⊥ ABC 3AD = 1AB = 2BC = 6DC =
8π 6π 4π 8 6π
AD ⊥ ABC AD AC⊥ AC AB BC⊥
BC BD⊥ CD O , , ,A B C D
AD ⊥ ABC AC ⊂ ABC AD AC⊥ AD BC⊥
2 2 6 3 3AC DC AC= − = − =
2 2 2AB BC AC+ = AB BC⊥ AD AB A∩ = BC ⊥ ABD BC BD⊥
CD O ,OA OB OA OC OD OB= = = O D ABC−
6
2
264 ( ) 62S π π= × =球【点睛】本题考查球的表面积，考查三棱锥的外接球问题，解题关键是确定球心位置．本题
中利用直角三角形斜边中点到三顶点距离相等确定球心．一般棱锥的外接球球心在过各面外
心与该面垂直的直线上．
10.过抛物线 ： （ ）的焦点 的直线交该抛物线于 、B 两点，若
， 为坐标原点，则 （ ）
A. B. C. 6 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
过 作准线的垂线，垂足分别为 ， 是准线与抛物线对称轴的交点，作
于 ， 交轴于 ，利用 ， ，及平行线截线段成比例可求得结
论．
【详解】如图，过 作准线的垂线，垂足分别为 ， 是准线与抛物线对称轴的交点，
作 于 ， 交轴于 ，
由抛物线定义知 ， ，设 ，则 ，
由刚才的作图知 是矩形， ，∴ ，又 ，∴
，∴ ， ，∴ ， ，
∴ ．
故选：D．
C 2 2x py= 0p > F A
5 AF BF= O | |
| |
AF
OF
=
5
4
3
4
6
5
,A B ,M N K AD BN⊥
D AD E AM AF= BN BF=
,A B ,M N K
AD BN⊥ D AD E
AM AF= BN BF= =AF a , 5AM a BF BN a= = =
AMND DN AM FK a= = = 4BD a= //FE BD
EF AF
ED AB
=
4 6
EF a
a a
= 2
3EF a= 2 5
3 3FK a a a= + = 1 5
2 6OF FK a= =
6
5 5
6
AF a
OF a
= =【点睛】本题考查抛物线 焦点弦性质，解题时过 作准线的垂线，利用抛物线的定义，
得 ， ，利用平行线截线段成比例求解，方法简单易懂．
11.定义在 上的运算： ，若不等式 对 恒
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由新定义把不等式 转化为 ，然后由不等
式恒成立求得 的范围．
【详解】由题意 ，即 对
恒成立，
当 时， ，∴ ，解得 或 ．
故选：A
【点睛】本题考查新定义，考查不等式恒成立问题，解题关键是利用新定义把“新不等式”转化
为我们熟悉的不等式，然后转化为求函数的最值并解不等式得参数范围．
12.已知函数 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
的 ,A B
AM AF= BN BF=
R ( )* 1x y x y= − ( ) ( ) 21 * 3 5x x a a+ − < − ( )2,5x∈
a
( ] [ ), 1 6,−∞ − ∪ +∞ ( ) ( ), 1 6,−∞ − +∞
( ) ( ),2 3,−∞ +∞ ( ] [ ),2 3,−∞ ∪ +∞
( ) ( ) 21 * 3 5x x a a+ − < − 2( 1)[1 ( 3)] 5x x a a+ − − < −
a
( ) ( ) 2( 1)[1 ( 3)3 ] 51 * x x ax ax + − − '( ) 0, ( )g x g x<
ln 2x = ( ) (ln 2) 1 ln 2g x g= = − +极大值
1 2x x+ ln 2 1−
1 2( ) ( )f x f x= 1 2x x< 2
12 xx e− = 1 2x x+
ABC∆ A B C a b c ( )2 2a b c ab+ = + 30B = °
2a = ABC∆
3【分析】
已知条件利用余弦定理求得 ，然后由三角形内角和可得 ，再由等腰三角形得 ，再由三
角形面积公式求得面积．
【 详 解 】 ∵ ， ∴ ， ∴ ，
，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式．解三角形中有三类公式：正弦定理、余弦定
理、三角形面积公式，掌握这些公式是解题基础．
14.已知圆 ： 和点 ， 是圆上一点，线段 的垂直平分线交
于 点，则 点的轨迹方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义求轨迹方程．
【 详 解 】 ∵ 在 的 中 垂 线 上 ， ∴ ，
∴ ，
又 ，∴ 点轨迹是以 为焦点，实轴长为 6 的双曲线，∴ ，
，又 关于原点对称，
∴ 点轨迹方程为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查用双曲线的定义求轨迹方程，属于基础题．根据双曲线定义确定动点轨迹
C A b
( )2 2a b c ab+ = + 2 2 2a b c ab+ − = −
2 2 2 1cos 2 2
a b cC ab
+ −= = −
120C = °
30A = ° 2b a= =
1 1sin 2 2sin120 32 2ABCS ab C∆ = = × × ° =
3
C ( )2 25 36x y+ + = ( )5,0B P BP CP
M M
2 2
19 16
x y− =
M BP MP MB=
6MC MB MC MP PC− = − = =
10 6BC = > M ,C B 5, 3c a= =
2 2 2 25 3 4b c a= − = − = ,C B
M
2 2
19 16
x y− =
2 2
19 16
x y− =是双曲线，然后求出 得标准方程，要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方程．
15.已知双曲线 ： （ ， ）的右焦点为 ， ， 是双曲线的一条渐
近线上关于原点对称的两点， 且线段 的中点 落在另一条渐近线上，则双
曲线 的离心率为______.
【答案】2
【解析】
【分析】
由 得 ，从而有 ，因此可得 坐标，于是有中
点 坐标，代入渐近线方程可得 的等式，转化后可求得离心率 ．
【 详 解 】 如 图 ， 设 在 渐 近 线 上 ， ∵ ， ∴ ， ∴
，
∴ ，而 ， 是 中点，∴ ，由已知 在渐近线
上，
∴ ， ， ，∴ ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查渐近线方程，考查向量的数量积与垂直的关系．解
题关键是寻找关于 的等式，然后转化后可求得 ．题中用到一个结论： 在渐近线
上在第一象限内的点，且 ．则有 ．
,a b
C
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > F A B
0AF BF⋅ = AF M
C
0AF BF⋅ = AF BF⊥ OA OB OF c= = = ,A B
M ,a c e
,A B by xa
= 0AF BF⋅ = AF BF⊥
OA OB OF c= = =
( , )A a b− − (c,0)F M AF ( , )2 2
c a bM
− − M by xa
= −
2 2
b b c a
a
−− = − × c a a− = 2c a= 2ce a
= =
, ,a b c ce a
= B
OB c= ( , )B a b16.已知 ， ， 分别满足以下三个方程： ； ； ，则 ，
， 的大小关系为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据方程的根，确定 的范围，从而得大小关系．
【 详 解 】 由 题 意 ， ∴ ； ， ∴ ； ，
， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查比较实数的大小，实质是考查方程根的分布，本题中方程的解只要通过函
数值的正负及函数定义域即可确定各自的取值范围，从而得出它们的大小关系．
三、解答题：本题共 6 小题，共计 70 分.
17.若数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
【分析】
（1） ， 时，由 可得数列的递推关系，从而确定数列 是等比数
列，易得其通项公式；
（2）数列 是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得，因此用错位相减法求
和．
【详解】（1）数列 的前 项和为 ，且 ①，
当 时， ， ，
a b c 1
2
logxe x= 1 ln xx
= ( )lnxe x= − a
b c
c a b< <
, ,a b c
1
2
log 0ae a= > 0 1a< < 1 ln 0bb
= > 1b > ln( )ce c= −
0c− > 0c <
c a b< <
c a b< <
{ }na n nS 2 1n nS a= − *n N∈
{ }na
1
2 1
n
n
nb a +
−= { }nb n nT
12n
na -=
2 33 2n
n +−
1 1a S= 2n ≥ 1n n na S S −= − { }na
{ }nb
{ }na n nS 2 1n nS a= −
1n = 1 1 12 1a S a= = − 1 1a =当 时， ②，
①－②得 ，即 （常数），
故数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 .
（2）由于 ，所以 ，
所以 ③， ④，
③－④得 ，整理得 .
【点睛】本题考查由 与 的关系求通项公式，考查错位相减法求数列的和．在由
时，要注意 ， 与它们的求法不同，要分类求解．数列求和问题中有两
类数列的求和法一定要掌握：数列 是等差数列，数列 是等比数列，则数列
的和的求法是裂项相消法，数列 的和的求法是错位相减法．
18.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
.
（1）求角 大小；
（2）若 ，求 的面积的最大值.
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
【分析】
（1）降幂后由诱导公式得 ，由两角和的正弦公式转化一个角的一个三角
函数后可求得 ；
（2）由余弦定理写出 的关系式，结合基本不等式求得 的最大值，从而得三角形面积的
的
2n ≥ 1 12 1n nS a− −= −
12n na a −=
1
2n
n
a
a −
=
{ }na
12n
na -=
12n
na -=
1
2 1 2 1
2n n
n
n nb a +
− −= =
2
1 3 2 1
2 2 2n n
nT
−= + +⋅⋅⋅+ 2 3 1
1 1 3 2 1
2 2 2 2n n
nT +
−= + +⋅⋅⋅+
2 1
1 1 1 1 1 2 122 2 2 2 2 2n n n
nT +
− = + +⋅⋅⋅+ − −
2 33 2n n
nT
+= −
nS na
1n n na S S −= − 2n ≥ 1a
{ }na { }nb
1
1{ }
n na a +
{ }n na b
ABC∆ A B C a b c
23sin 2cos 02
A CB
+− =
B
3b = ABC∆
2
3
π 3
4
3sin cos 1B B+ =
B
,a c ac最大值．
【详解】（1） 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
.
所以 ，
故 ，由于 .
解得 .
（2）由余弦定理
得
即 ，当且仅当 时取等号；
的面积 ，最大值为 ．
【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式，考查降幂公式、诱导公式、两角和的正弦公
式等。考查的知识点较多，属于中档题．
19.如图（1），在直角梯形 中， ， ， ，过 点
作 ，垂足为 ，现将 沿 折叠，使得 .取 的中点 ，连接
， ， ，如图（2）.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若三棱锥 的体积为 ，求 .
【答案】（1）见解析； （2） .
【解析】
【分析】
ABC∆ A B C a b c
23sin 2cos 02
A CB
+− =
3sin cos 1B B+ =
2sin 16B
π + = 0 B π< <
2
3B
π=
2 2 2 2 cosb a c ac B= + −
2 23 2 3a c ac ac ac ac= + + ≥ + =
1ac ≤ a c=
ABC∆ 1 1 3 3sin 12 2 2 4ABCS ac B∆ = ≤ ⋅ ⋅ = 3
4
ABCD / /AB CD AB BC⊥ 2 2CD AB BC= = A
AE CD⊥ E ADE∆ AE DE EC⊥ AD F
BF CF EF
DAB ⊥ DAE
E FBC− 2
3 AB
2AB =（ 1 ） 折 叠 过 程 中 保 持 不 变 ， 再 由 从 而 可 证 得
，于是有 平面 ，从而证得面面垂直；
（2）三棱锥换底有 ，只要设 ，则三角形 面积为 ， 到平
面 的距离等于 的一半为 ，这样棱锥的体积就用 表示出来了，由此可解得 ．
【详解】（1）∵ ， ，∴ ；
∵ ， ，∴ ；
又 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 .
（2）∵ 是 的中点，设 ，则 ，
∴
所以 ，即 .
【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查棱锥的体积．证面面垂直，根据其判定定理就是要
证线面垂直，从而只要证得两个线线垂直即可，一定要抓住定理的所有条件，缺一为可．三
棱锥的体积注意常常用换底法，换底后高易求，底面积也易得，这样体积易表示出来．
20.已知抛物线 ： 上一点 到其焦点 的距离为 5.
（1）求 与 的值；
（2）设动直线 与抛物线 相交于 ， 两点，问：在 轴上是否存在与 的取
值无关的定点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理
由.
【答案】（1） , ； （2）存在点 .
【解析】
【分析】
（1）由抛物线 上点 的焦半径为 可求得 ，从而再
求得 ；
（2）假设设存在点 满足条件，令 ， ，条件 转
,AE DE AE EC⊥ ⊥ / /EC AB
,AB AE AB DE⊥ ⊥ AB ⊥ DAE
E FBC F EBCV V− −= AB x= EBC 21
2 x F
EBC DE 2
x x x
AE CD⊥ AB CD∥ AE AB⊥
DE EC⊥ AB EC∥ DE AB⊥
AE DE E= AB ⊥ DAE
AB Ì DAB DAB ⊥ DAE
F AD AB x= BC CE DE x= = =
1 1
3 2E FBC F BCE BCEV V S DE− − ∆= = ⋅ 21 1 1
3 2 2x x= ⋅ 31
12 x= 2
3
=
2x = 2AB =
C 2 2 ( 0)y px p= − > ( )4,R m− F
p m
( )2y k x= + C A B x k
M AMF BMF∠ = ∠ M
2p = 4m = ± ( )2,0M
2 2 ( 0)y px p= − > 0 0( , )R x y 02
pRF x= − p
m
( ),0M a ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AMF BMF∠ = ∠化为 ，即 ，整理得： ，由直线方程
与抛物线方程联立后消去 （注意讨论 的情形），得 的方程，由韦达定理得
，代入 它是与 无关的等式，从而可得 ．
【详解】（1）根据抛物线定义，点 到焦点的距离等于它到准线的距离，即
，解得 ，∴抛物线方程为 ，
点 在抛物线上，得 ，∴ .
（2）抛物线方程为： ，
当 ，直线只与抛物线有一个交点，显然不成立，
当 时，令 ， ，设存在点 满足条件，
即： ，
即 ，
整理得： ，
，整理得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，解的 ，
因此存在点 满足题意.
【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查直线与抛物线相交问题．对存在性命题，一般
是假设存在，然后根据这个存在性去推导计算，方法是设而不求思想方法．如果能求出定点，
说明真正存在，如果求不出说明假设错误，不存在定点满足题意．
21.已知椭圆 ： （ ）的左，右焦点分别为 ， ，
AM BMk k= − 1 2
1 2
0y y
x a x a
+ =− − ( )( )1 2 1 24 0y y a y y+ + =
x 0k = y
1 2 1 2,y y y y+ ( )( )1 2 1 24 0y y a y y+ + = k a
( )4,R m−
4 52
p− + = 2p = 2 4y x= −
( )4,R m− ( ) ( )2 4 4m = − ⋅ − 4m = ±
2 4y x= −
0k =
0k ≠ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ),0M a
AMF BMF∠ = ∠ AM BMk k= −
1 2
1 2
0y y
x a x a
+ =− −
( )( )1 2 1 24 0y y a y y+ + =
( )
2
2
4
y k x
y x
= +
= −
2 4 8 0yy k
+ − =
1 2
4y y k
+ = − 1 2 8y y = −
( ) 44 8 0a k
− − =
4 8 0a − = 2a =
( )2,0M
C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > ( )1 2,0F − ( )2 2,0F且经过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若斜率为 2 的直线与椭圆 交于 ， 两点，且 ，求该直线的方程.
【答案】（1） ； （2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）由椭圆定义得 ．求得 后，再由 求得 ，得椭圆方程；
（2）设出直线方程为 ，同时设交点坐标 ， ，由直线方程与椭
圆方程联立消元后中得 ，再由直线与圆锥曲线相交的弦长公式可求得 ．
【详解】（1）由椭圆的定义，可知 .
解得 .
又 .
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，
联立 ，得 .
，得 .
设 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： .
( )2,1M
C
C A B 2AB =
2 2
14 2
x y+ = 3 1102 10y x= − 3 1102 10y x= +
1 22a AF AF= + a 2 2 2b a c= − b
2y x m= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
1 2 1 2,x x x x+ m
( )2
1 22 2 2 1 1 4a AF AF= + = + + =
2a =
( )22 2 2 2b a= − =
C
2 2
14 2
x y+ =
l 2y x m= +
2 2
2
14 2
y x m
x y
= + + =
2 29 8 2 4 0x mx m+ + − =
2 264 72 144 0m m∆ = − + > 3 2 3 2m− < <
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
1 2
8
9
mx x+ = − 2
1 2
2 4
9
mx x
−=
( )2
1 2 1 2 1 25 5 4AB x x x x x x= ⋅ − = ⋅ + −
2 264 8 165 281 9
m m −= ⋅ − =
3 110
10m = ±∴直线 的方程为： 或 .
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交的弦长问题．在已知椭圆的两焦
点及椭圆上一点坐标时，用椭圆的定义求得长轴长 ，然后易得 ，从而得椭圆方程．直线
与椭圆相交于两个点 ，则相交弦长为 ．本题采用设
而不求法求解．
22.已知函数 的极大值为 16，极小值为－16.
（1）求 和 的值；
（2）若过点 可作三条不同的直线与曲线 相切，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ； （2） .
【解析】
【分析】
（1）求出导函数 ，确定极大值和极小值，由题意可求得 ；
（2）设切点 ，切线方程为 ，即
，由切线过点 ，得 ，
从而此方程有 3 个实数根，问题转化为函数 有 3 个零点，再由导数
研究 的极大值和极小值可得出结论．
【详解】（1）函数 ，
.
可得：函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
∴ 时函数 取得极大值 16， 时函数 取得极小值－16.
∴ ， ，
联立解得： ， ，
（2）由（1）可知 ，设切点 ，
l 3 1102 10y x= − 3 1102 10y x= +
2a b
y kx m= + 1 1 2 2( , ),( , )x y x y 2
1 21 k x x+ −
( ) ( )3 3 0f x x ax b a= − + >
a b
( )1,M m ( )y f x= m
4a = 0b = ( )12, 11− −
'( )f x ,a b
( )( )0 0,P x f x ( ) ( )( )0 0 0y f x f x x x′− = −
( )2 3
0 03 4 2y x x x= − − ( )1,M m ( )2 3 3 2
0 0 0 03 4 2 2 3 12m x x x x x= − − = − + −
( ) 3 22 3 12g x x x m= − + +
( )g x
( ) ( )3 3 0f x x ax b a= − + >
( ) ( )( )23 3 3f x x a x a x a′ = − = + −
( )f x ( ), a−∞ − ( ),a +∞ ( ),a a−
x a= − ( )f x x a= ( )f x
( ) 3 16f a a a a a b− = − + + = ( ) 3 16f a a a a a b= − + = −
4a = 0b =
( ) 3 12f x x x= − ( )( )0 0,P x f x则切线方程为 ，即 ，
因为切线过点 ，所以 ，
由于有 3 条切线，所以方程有 3 个实数根，
设 ，则只要使 有 3 个零点，
令 ，解得 或 ，
当 ， 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 时， 取极大值， 时， 取极小值，
所以要是曲线 与 轴有 3 个交点，当且仅当 ，即 ，
解得 ，即实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，考查导数的几何意义，考查用导数研究函数零点
个数问题，本题对计算能力的要求较高，属于难题．
( ) ( )( )0 0 0y f x f x x x′− = − ( )2 3
0 03 4 2y x x x= − −
( )1,M m ( )2 3 3 2
0 0 0 03 4 2 2 3 12m x x x x= − − = − + −
( ) 3 22 3 12g x x x m= − + + ( )g x
( ) 26 6 0g x x x′ = − = 1x = 0x =
( ),0x∈ −∞ ( )1,+∞ ( ) 0g x′ > ( )g x
( )0,1x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x
0x = ( )g x 1x = ( )g x
( )g x x (0) 0
(1) 0
g
g
>
+
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