高三文科数学试题（一）
一、单选题
1.设集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解分式不等式 ，得集合 A，再计算函数 的定义域，得集合 B，求集
合 A 与集合 B 的交集可得答案
【 详 解 】 因 为 ， 即 ， 得 ， 令 ， 得
，所以 ，选择 D
【点睛】用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，
明白集合的类型，常借助数轴来解决数集间的关系
2.复数 (其中 ， 为虚数单位)，若复数 的共轭复数的虚部为 ，则复数
在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简复数 z，再求得其共轭复数，令其虚部为 ，解得 ，代入求解即可.
详解】由题意得 ，【
1 02
xA x x
−=
{ | 2}x x > 3 22x x
< D(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
4.在 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：由平面向量基本定理 = ，进而可计算
详解：
故选 D.
点睛：本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量的基本定理，属于基础题。
5.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：
三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数 被 除
余 ,被 除余 ，被 除余 ，求 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出 的结果为（ ）
A. 53 B. 54 C. 158 D. 263
【答案】A
【解析】
ABC∆ AD AB⊥ 3CD DB= 1AD = =AC AD⋅
1 2 3 4
AC AB BC= + 4AB BD+ AC AD⋅
( ) ( ) ( )( ) ( ) 2
4 4 4 3 4 3 4AC AD AB BC AD AB BD AD AB AD AB AD AD AB AD AD AB AD= + = + = + − = − = − =
n 3
2 5 3 7 4 n n按 程 序 框 图 知 的 初 值 为 ， 代 入 循 环 结 构 ， 第 一 次 循 环 ， 第 二 次 循 环
，推出循环， 的输出值为 ，故选 A.
6.数列 ， 满足 ，则数列 的前 项和为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件求解出 ， 的通项公式，然后写出 的通项并考虑求和.
【详解】因为 ，所以 是等差数列， 是等比数
列，则： ， ，所以 ，故 是首项为 ，公比为 的
等比数列，可得前 项和为： ，
故选：D.
【点睛】本题考查等差等比数列的判断以及等比数列前 项和的公式，难度较易.
7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
n 263 158n =
53,53 105n = < n 53
{ }na { }nb 1
1 1 11, 2,n
n n
n
ba b a a n Nb
++
+= = − = = ∈ { }
nab n
14 (4 1)3
n− − 4 (4 1)3
n − 11 (4 1)3
n− −
1 (4 1)3
n −
{ }na { }nb { }
nab
1
1 1 11, 2,n
n n
n
ba b a a n Nb
++
+= = − = = ∈ { }na { }nb
2 1na n= − 12n
nb −= (2 1) 1 12 4n
n n
ab − − −= = { }
nab 1 4
n ( )1 (1 4 ) 1 4 11 4 3
n
n⋅ − = −−
n【答案】B
【解析】
【分析】
先由几何体的三视图还原几何体可知，该几何体为一个三棱柱截去了四分之一，进而可根据
体积公式求解.
【详解】由题意可得：该几何体为一个三棱柱截去了四分之一，如图所示，
大三棱柱的底面边长分别为 3 和 4，且底面为直角三角形，三棱柱的高为 2，
所以 .
故选 B
【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及几何体的体积，熟记体积公式即可，属于常考题
型.
8.已知函数 的部分图像如图所示，其中 ， ，
，且 ，则 在下列区间中具有单调性的是（ ）
3 1V 4 3 2 94 2
= × × × × =
( ) 2sin( )( 0)f x xω ϕ ω= + > ( ,0)M m ( ,2)N n
( ,0)P π 0mn < ( )f xA. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得到三角函数的周期满足 ，然后取周期接近 和接近 ，分别排除 D、
A、C，即可得出结果.
【详解】因为 ，所以 异号，根据题意可得 ，
又 ，所以 且 ，即 ；
①当周期无限接近 时，图中的最低点自左向右无限接近 ，所以 在区间 上
先减后增，不单调，故 D 错；
②当周期无限接近 又小于 时，图中最高点 的横坐标大于 0 小于 ，所以 在
区间 上先增后减，不单调，故 A 错；
图中最低点的横坐标大于 小于 ， 在区间 上先减后增，不单调，故 C 错；
因此选 B
【点睛】本题主要考查三角函数图像和性质，熟记正弦型函数的图像和性质即可，属于常考
题型.
9.对于函数 和 ，设 ， ，若存在 ， ，使
得 ，则称 与 互为“零点相邻函数”．若函数 与
互为“零点相邻函数”，则实数 a 的取值范围为（ ）
0, 4
π
2,4 3
π π
3,2 4
π π
2 ,3
π π
4
3T
ππ < < π 4
3
π
0mn < m n、 0 0m n，
( ),0P π T π> 3
4
T π< 4
3T
ππ < <
π 3
4
π ( )f x 2 ,3
π π
4
3
π 4
3
π
N 4
π ( )f x
0, 4
π
2
π 3
4
π ( )f x 3,2 4
π π
( )f x ( )g x ( ){ | 0}x f xα ∈ = ( ){ | 0}x g xβ ∈ = α β
1α β− ( )f x ( )g x ( ) 1 2xf x e x−= + −
( ) 2 3g x x ax a= − − +A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先得出函数 f（x）＝ex﹣1+x﹣2 零点为 x＝1．再设 g（x）＝x2﹣ax﹣a+3 的零点为 β，根据函
数 f（x）＝ex﹣1+x﹣2 与 g（x）＝x2﹣ax﹣a+3 互为“零点关联函数”，利用新定义的零点关联
函数，有|1﹣β|≤1，从而得出 g（x）＝x2﹣ax﹣a+3 的零点所在的范围，最后利用数形结合法
求解即可．
【详解】函数 f（x）＝ex﹣1+x﹣2 的零点为 x＝1．
设 g（x）＝x2﹣ax﹣a+3 的零点为 β，
若函数 f（x）＝ex﹣1+x﹣2 与 g（x）＝x2﹣ax﹣a+3 互为“零点关联函数”，
根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1，
∴0≤β≤2，如图
由于 g（x）＝x2﹣ax﹣a+3 必过点 A（﹣1，4），
故要使其零点在区间[0，2]上，则 或 ，
解得 2≤a≤3，
故选：D
【点睛】本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的
的
[ ]2,4 72, 3
7 ,33
[ ]2,3
( )
( )
0 0
2 0
0
0 22
g
g
a
>
> ∆ ≥
≤ ≤
( ) ( )0 2 0g g⋅ ≤零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用
10.已知双曲线 的左、右顶点分别为 ， ， 为双曲线左支上一点，
为等腰三角形且其外接圆的半径为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意知等腰 中， ，设 ，则 ，其中
必为锐角．
∵ 外接圆的半径为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
设点 P 的坐标为 ，则 ，
故点 P 的坐标为 ．
由点 P 在椭圆上得 ，整理得 ，
∴ ．选 C．
点睛：
本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和
要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中 之间的数量关系，其中通过解三角形得到点
P 的坐标是解题的突破口．在得到点P 的坐标后根据点在椭圆上可得 间的关系，最后根据
离心率的定义可得所求．
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > A B P
ABP∆ 5a
15
5
15
4
15
3
15
2
ABP∆ | | 2AB AP a= = ABP APB θ∠ = ∠ = 1 2F AP θ∠ =
θ
ABP∆ 5a
22 5 sin
aa θ=
5sin 5
θ = 2 5cos 5
θ =
25 2 5 4 2 5 3sin 2 2 ,cos2 2 ( ) 15 5 5 5 5
θ θ= × × = = × − =
( , )x y 11 8cos2 , sin 25 5
a ax a AP y APθ θ= + = = =
11 8( , )5 5
a a
2 2
2 2
11 8( ) ( )5 5 1
a a
a b
− =
2
2
2
3
b
a
=
2
2
151 3
c be a a
= = + =
,a c
,a b11.已知在正四棱柱 （底面是正方形的直棱柱）中， ， ，
点 ， ， ， 在球 上，球 与 的另一个交点为 ，且 ，则球 的表面
积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
连结 ， ，易证得 是矩形，则三棱柱 是球 的内接直三棱柱，∵
， ，∴ ，即 ，又 ，∴ ，
，∴球 的半径 ，球 表面积为： ，
故选 B.
12.已知关于 的方程 恰有四个不同的实数根，则当函数 时，
实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数判断 的单调性和极值，得出方程 的根分布情况，从而得出方程
1 1 1 1ABCD A B C D− 2AB = 1 2 3AA =
A B C D O O 1BA E 1AE BA⊥ O
6π 8π 12π 16π
EF DF BCEF ABE DCF− O
2AB = 1 2 3AA = 1tan 3ABA∠ = 1 60ABA∠ = ° 1AE BA⊥ 3AE =
1BE = O 2 21 2 1 3 22R = + + = O ( )224 4 2 8Rπ π π= =
x 2[ ( )] ( ) 1 0f x kf x− + = 2( ) kf x x e=
k
( , 2) (2, )−∞ − +∞
2
2
4 ,4
e
e
+ +∞
2
8 ,2e
2
2
42, 4
e
e
+
( )f x ( )f x t=恰有四个不同的实数根等价于关于 的方程 在 上
有一个解，在 上有一个解，利用二次函数的性质列不等式可求出 的范围.
【详解】
，
令 ，解得 或 ，
当 或 时， ；当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时，函数 取得极大值 ，
当 时，函数 取得极小值 ，
作出 的大致函数图象如图所示，
令 ，则当 或 时，关于 的方程 只有一个解；
当 时，关于 的方程 有两个解；
当 时，关于 的方程 有三个解，
恰有四个零点，
关于 的方程 在 上有一个解，
在 上有一个解，
显然 不是方程 的解，
( ) ( )2f x kf x 1=0− + t 2 1 0t kt− + = 2
40, e
{ }2
4 , 0e
+∞ k
( ) ( )2' 2 2x xf x xe x e x x= + = +
( )' 0f x = 0x = 2x = −
∴ 2x < − 0x > ( )' 0f x > 2 0x− < < ( )' 0f x <
( )f x∴ ( ), 2−∞ − ( )2,0− ( )0, ∞+
∴ 2x = − ( )f x ( ) 2
42f e
− =
0x = ( )f x ( )0 0f =
( )f x
( )f x t= 0t = 2
4t e
> x ( )f x t=
2
4t e
= x ( )f x t=
2
40 t e
< < x ( )f x t=
( ) ( ) ( )2 1g x f x kf x= − +
∴ t ( ) 2 1 0h t t kt= − + = 2
40, e
{ }2
4 , 0e
+∞
0t = 2 1 0t kt− + =关于 的方程 在 和 上各有一个解，
，解得 ，
即实数 的取值范围是 ，故选 B.
【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接
根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将
参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面
直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数
的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数
零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题 .
二、填空题
13.若直线 上存在点 满足约束条件 ，则实数 的取值范围为
_______．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意，由 ，可求得交点坐标为 ，要使直线 上存在点
满足约束条件 ，如图所示，可得 ，则实数 m 的取值范围 ．
∴ t 2 1 0t kt− + = 2
40, e
2
4 ,e
+∞
4 2
4 16 4 1 02
kh e e e
∴ = − + +
k
2
2
4 e
e 4
+ + ∞
，
( ) ( ),y g x y h x= =
( ),y a y g x= =
2y x= ( , )x y
3 0
2 3 0
x y
x y
x m
+ − ≤
− − ≤
≥
m
( ,1]−∞
2{ 3 0
y x
x y
=
+ − = (1,2) 2y x= ( , )x y
3 0,
{ 2 3 0,
,
x y
x y
x m
+ − ≤
− − ≤
≥
1m ≤ ( ,1]−∞考点：线性规划．
14.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的年广告支出 （单位：万元）与年
销售额 （单位：万元）进行了初步统计，如下表所示.
年广告支出 /万元 2 4 5 6 8
年销售额 /万元 30 40 50 70
经测算，年广告支出 与年销售额 满足线性回归方程 ，则 的值为
_____．
【答案】60
【解析】
【分析】
根据表中数据先求出 的平均数，以及 的平均数，再由回归直线必然过样本中心，即可求出
结果.
【详解】由题意可得 ， ，
又回归直线必过样本中心， ，
所以 ，解得 .
故答案为 60
【点睛】本题主要考查回归分析，熟记回归直线的特征即可，属于基础题型.
m
t
m
t p
m t 6.5 17.5t m= + p
m t
2 4 5 6 8 55m
+ + + += = 30 40 50 70 190
5 5
p pt
+ + + + += =
6.5 17 5ˆ .t m= +
190 6.5 5 17.55
p+ = × + 60p =15.已知数列 的前 项和 .若 是 中的最大值，则实数
的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先由 求出 ，再由 是 中的最大值，即可求出结果.
【详解】因为 ，
所以当 时， ；
当 时， 也满足上式；
当 时， ，
当 时， ，
综上， ；
因为 是 中的最大值，
所以有 且 ，解得 .
故答案为
【点睛】本题主要考查数列的概念以及简单表示法，熟记递推公式 即可，属于
基础题型.
16.如图， ， 分别是椭圆 的左、右顶点，圆 的半径为 2，过点 作圆 的
{ }na n 2
2 1, 4
( 1) , 5
n
n
nS
n m n n
− ≤= − + − ≥ 5a { }na m
53,5
+∞
( )2
2 1, 4
1 , 5
n
n
nS n m n n
− ≤= − + − ≥ na 5a { }na
( )2
2 1, 4
1 , 5
n
n
nS n m n n
− ≤= − + − ≥
2 4n≤ ≤ 1
1 2n
n n na S S −
−= − =
1n = 1 1 1a S= =
6n ≥ 1 2n n na S S n a−= − = − +
5n = 5 5 4 5 45a S S a= − = −
12 4
5 45 5
2 6
n
n
n
a a n
n a n
− ≤
= − =
− + ≥
，
，
，
5a { }na
5 45 8a − ≥ 5 45 12a a− ≥ − + 53
5a ≥
53,5
+∞
1n n na S S −= −
1A 2A
2
2 14
x y+ = 1A 2A 1A切线，切点为 ，在 轴的上方交椭圆于点 ，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】
先连结 ，可得 是边长为 2 的等边三角形，由此求出 的方程，联立
直线方程求出 点横坐标，再由圆 与直线 相切于点 ，求出直线 的方程，联立直
线与椭圆方程求出 点横坐标，最后由 即可求出结果.
【详解】
连结 ，可得 是边长为 2 的等边三角形，所以 ，
可得直线 的斜率 ，直线 的斜率为 ，
因此，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
设 ，
由 解得 ，
因为圆 与直线 相切于点 ，所以 ，因此 ，
P x Q
2
PQ
QA
=
3
4
1PO PA、 1POA 1PA PO、
P 1A 2PA P 2PA
Q
22
Q P
A Q
x xPQ
QA x x
−= −
1PO PA、 1POA 1 1 60PAO POA∠ ∠= = °
1PA 1 60 3k tan= ° = PO 2 120 3k tan= ° = −
1PA ( )3 2y x= + PO 3y x= −
( )P m n，
( )3 2
3
y x
y x
= +
= −
1m = −
1A 2PA P 2 1PA PA⊥ 2 190 30PA O PAO∠ ∠= °− = °故直线 的斜率 ，因此直线 的方程为 ，代入椭圆
方程 ，消去 得 ，解得 或 ，
因为直线 交椭圆于 与 点，设 ，可得 ，
由此可得 .
故答案为
【点睛】本题主要考查椭圆 简单性质，通常需要联立直线与椭圆方程，结和椭圆的性质求
解，属于常考题型.
三、解答题
17.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，
点 在线段 上，且 ， ， .
（1）求角 的大小；
（2）求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（ 1 ） 根 据 ， 利 用 正 弦 定 理 可 得
， 由 两 角 和 的 正 弦 公 式 结 合 诱 导 公 式 可 得
， 从 而 得 ， 进 而 可 得 结 果 ； （ 2 ） 设 ，
， 在 中 ， 在 中 ， 在 中 ， 结 合
，利用余弦定理列方程组求得 ，根据三角形面积公
式可得结果.
的
2PA 3150 3k tan= ° = − 2PA ( )3 23y x= − −
2
2 14
x y+ = y 27 16 4 0x x− + = 2x = 2
7x =
2PA ( )2 2,0A Q ( ),Q s t 2
7s =
22
2 1 37
22 42 7
Q P
A Q
x xPQ s m
QA x x s
+− −= = = =− − −
3
4
ABC∆ A B C a b c cos cos 2cosa C c A Bb
+ =
D AC 2AD DC= 2 3BC = 3BD =
B
ABC∆
3B
π= 9 5 3 32
−
cos cos 2cosa C c A Bb
+ =
sin cos sin cos 2sin cosA C C A B B+ =
sin 2sin cosB B B= 1cos 2B = AB x=
3 ( 0, 0)AC z x z= > > ABD∆ CBD∆ ABC∆
cos cosBDA BDC∠ = − ∠ 3 5 2 3x = −【详解】（1）根据 可得 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
即 ，∴ .
又∵ ，∴ .
（2）设 ， .
在 中，由余弦定理可得 .
在 中，由余弦定理可得 .
由于 ，故 ，
即 ，
整理可得 .①
在 中，由余弦定理可知 .
代入①式整理可得 .所以 .
据此可知 的面积 .
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积的应用，属于中档题. 本题主要
考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）
；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条
件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 等特殊角的三角
函数值，以便在解题中直接应用.
cos cos 2cosa C c A Bb
+ = cos cos 2 cosa C c A b B+ =
sin cos sin cos 2sin cosA C C A B B+ =
( )sin 2sin cosA C B B+ = ( )sin 2sin cosB B Bπ − =
sin 2sin cosB B B= 1cos 2B =
0 B π< <
3B
π=
AB x= 3 ( 0, 0)AC z x z= > >
ABD∆ ( )2 29 2cos 2 3 2
z xBDA z
+ −∠ = × ×
CBD∆
29 12cos 2 3
zBDC z
+ −∠ = × ×
180BDA BDC∠ + ∠ = ° cos cosBDA BDC∠ = − ∠
( )2 2 29 2 9 12
2 3 2 2 3
z x z
c z
+ − + −= −× × × ×
2 23 6 0z x+ − =
ABC∆ 2 212 2 3 9x x z+ − =
2 4 3 33 0x x+ − = 3 5 2 3x = −
ABC∆ ( )1 3 5 2 3 2 3sin2S B= − × ( )3 9 53 5 2 3 3 32 2
= − = −
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2 2
cos 2
b c aA bc
+ −=
30 ,45 ,60o o o18.如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 交点， ，
（I）证明：平面 平面 ；
（II）若 ， 三棱锥 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积.
【答案】（1）见解析（2）3+2
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由四边形 ABCD 为菱形知 AC BD，由 BE 平面 ABCD 知 AC BE，由
线面垂直判定定理知 AC 平面 BED，由面面垂直的判定定理知平面 平面 ；
（Ⅱ）设 AB= ，通过解直角三角形将 AG、GC、GB、GD 用 x 表示出来，在 AEC 中，
用 x 表示 EG，在 EBG 中，用 x 表示 EB，根据条件三棱锥 的体积为 求出
x，即可求出三棱锥 的侧面积.
试题解析：（Ⅰ）因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC BD，
因为 BE 平面 ABCD，所以 AC BE，故 AC 平面 BED.
又 AC 平面 AEC，所以平面 AEC 平面 BED
（Ⅱ）设 AB= ，在菱形 ABCD 中，由 ABC=120°，可得 AG=GC= ,GB=GD= .
因为 AE EC，所以在 AEC 中，可得 EG= .
由 BE 平面 ABCD，知 EBG 为直角三角形，可得 BE= .
由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积 .故 =2
BE ABCD⊥ 平面
AEC ⊥ BED
120ABC∠ = ,AE EC⊥ E ACD− 6
3
5
⊥ ⊥ ⊥
⊥ AEC ⊥ BED
x Rt∆
Rt∆ E ACD− 6
3
E ACD−
⊥
⊥ ⊥ ⊥
⊂ ⊥
x ∠ 3
2
x
2
x
⊥ Rt∆ 3
2
x
⊥ ∆ 2
2 x
31 1 6 6
3 2 24 3E ACDV AC GD BE x− = × ⋅ ⋅ = = x从而可得 AE=EC=ED= .
所以 EAC 的面积为 3， EAD 的面积与 ECD 的面积均为 .
故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 .
考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理
能力；运算求解能力
【此处有视频，请去附件查看】
19.到 2020 年，我国将全面建立起新的高考制度，新高考采用 模式，其中语文、数学、
英语三科为必考科目，满分各 150 分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合
自己的兴趣、爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 6 门科目中自选 3
门（6 选 3）参加考试，满分各 100 分.为了顺利迎接新高考改革，某学校采用分层抽样的方
法从高一年级 1000 名（其中男生 550 名，女生 450 名）学生中抽取了 名学生进行调查.
（1）已知抽取的 名学生中有女生 45 名，求 的值及抽取的男生的人数.
（2）该校计划在高一上学期开设选修中 “物理”和“地理”两个科目，为了解学生对这两
个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这
两个科目中必须选择一个科目，且只能选择一个科目），得到如下 列联表.
选择“物理” 选择“地理” 总计
男生 10
女生 25
总计
（i）请将列联表补充完整，并判断是否有 以上的把握认为选择科目与性别有关系.
（ii）在抽取的选择“地理”的学生中按性别分层抽样抽取 6 名，再从这 6 名学生中抽取 2
名，求这 2 名中至少有 1 名男生的概率.
的
6
∆ ∆ ∆ 5
3+2 5
3 3+
n
n n
n
2 2×
99%附： ，其中 .
0.05 0.01
3.841 6.635
【答案】(1) ，55 人 (2) （i）见解析；（ii）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得 求解即可得出 的值，进而可得抽取的男生人数；
（2）
（i）根据题中数据先完善列联表，再由题中公式，求出 的值，结合临界值表即可的结果；
（ii）先由题易知抽取的选择“地理”的 6 名学生中，有 2 名男生，分别记为 ， ，4 名女
生，分别记为 ， ， ， ；用列举法分别列举出“6 名学生中随机抽取 2 名”和“其中至
少有 1 名男生”所包含的基本事件，基本事件个数比即是所求概率.
【详解】解：（1）由题意得 ，解得 ，
则抽取的男生的人数为 .
（2）（i）
选择“物理” 选择“地理” 总计
男生 45 10 55
女生 25 20 45
总计 70 30 100
则 ，
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
2
0( )P K k≥
0k
100n = 3
5
45
1000 450
n = n
2k
A B
a b c d
45
1000 450
n = 100n =
100550 551000
× =
2
2 100 (45 20 25 10) 8.1289 6.63555 45 70 30K
× × − ×= = >× × ×所以有 以上的把握认为送择科目与性别有关系.
（ii）由题易知抽取的选择“地理”的 6 名学生中，有 2 名男生，分别记为 ， ，4 名女生，
分别记为 ， ， ， .
从 6 名学生中随机抽取 2 名，有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， 共 15 种情况，其中至少有 1 名男生的有 ， ， ， ，
， ， ， ， 共 9 种情况，
故所求概率为 .
【点睛】本题主要考查分层抽样、独立性检验以及古典概型的问题，需要考生熟记分层抽样
特征、独立性检验的思想、以及古典概型的计算公式，属于常考题型.
20.已知焦点在 轴上的抛物线 过点 ，椭圆 的两个焦点分别为 ， ，其中 与
的焦点重合，过点 与 的长轴垂直的直线交 于 ， 两点，且 ，曲线 是
以坐标原点 为圆心，以 为半径的圆.
（1）求 与 的标准方程；
（2）若动直线 与 相切，且与 交于 ， 两点，求 的面积 的取值范围.
【答案】(1) 的标准方程为 . 的标准方程为 .(2)
【解析】
【分析】
（1）先由已知设抛物线 的方程为 ，根据抛物线 过点 ，即可求出
抛物线方程，得出 坐标，再由题意可得 ，进而可求出椭圆方程；又曲线
是以坐标原点 为圆心，以 为半径的圆，根据 坐标坐标得出 的值，即可写出圆
的标准方程；
（2）先由直线 与 相切，得圆心 到直线 的距离为 1，因此 ，根
据题意分类讨论：当直线 的斜率不存在和斜率存在两种情况，结合韦达定理和弦长公式，分
99%
A B
a b c d
AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab
ac ad bc bd cd AB Aa Ab Ac
Ad Ba Bb Bc Bd
9 3
15 5
=
y 1C (2,1) 2C 1F 2F 2F
1C 1F 2C 2C A B 3AB = 3C
O 2OF
2C 3C
l 3C 2C M N OMN∆ S
2C
2 2
14 3
y x+ = 3C 2 2 1x y+ = 3 2 6,2 3
1C 2 2 ( 0)x py p= > 1C ( )2,1
2F
22 3bAB a
= = 3C
O 2OF 2F 2OF
l 3C O l 1 12 2
MNS MN= × × =
l别求出 的范围即可.
【详解】解：（1）由已知设抛物线 的方程为 ，
则 ，解得 ，即 的标准方程为 .
则 ，不妨设椭圆 的方程为 ，
由 ，得 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，
故 的标准方程为 .
易知 ，所以 的标准方程为 .
（2）因为直线 与 相切，所以圆心 到直线 的距离为 1.所以 .
当直线 的斜率不存在时，其方程为 ，易知两种情况所得到的 的面积相等.
由 ，得 .
不妨设 ， ，则 ，
此时 .
当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，
则 ，即 .
由 ，得 ，
所以 恒成立.
S
1C 2 2 ( 0)x py p= >
4 2p= 2p = 1C 2 4x y=
( )2 0,1F 2C
2 2
2 2 1( 0)y x a ba b
+ = > >
2 2
2 2 1
1
y x
a b
y
+ =
= −
2bx a
= ±
22 3bAB a
= =
2 2 1a b= + 2a = 3b =
2C
2 2
14 3
y x+ =
2 1OF = 3C 2 2 1x y+ =
l 3C O l 1 12 2
MNS MN= × × =
l 1x = ± OMN∆
2 2
14 3
1
y x
x
+ =
=
2 6
3y = ±
2 61, 3M
2 61, 3N
−
4 6
3MN =
2 6
2 3
MNS = =
l y kx m= +
2
1
1
m
k
− =
+
2 2 1m k= +
2 2
14 3
y x
y kx m
+ =
= +
( )2 2 23 4 6 3 12 0k x kmx m+ + + − =
( )( )2 2 2 236 4 3 4 3 12k m k m∆ = − + − ( ) ( )2 2 248 4 3 48 2 3 0k m k= + − = + >设 ， ，
则 ， .
所以
.
令 ，则 ，
所以
，
令 ，则 ，
易知 区间 上单调递减，所以 .
综上， 的面积 的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查圆锥曲线的综合，以及直线与圆锥曲线的位置关系，通常需要联立直
线与曲线方程，结合韦达定理与弦长公式等求解，属于常考题型.
21.已知函数 ， .
（1）若关于 的不等式 对 恒成立，求 的取值范围.
（2）设函数 ，在（1）的条件下，试判断 在区间 上是否存在极值.若
存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）当 时， 在 上不存在极值；当 时，
( ),M MM x y ( ),N NN x y
2
6
3 4M N
kmx x k
−+ = +
2
2
3 12
3 4M N
mx x k
−= +
( ) ( )22 2 2 2
22 2 2
2 2 2 2
48 2 31 1 6 3 12 1 2 3 1 2 31 4 1 4 12 2 2 3 4 3 4 2 3 4 3 4M N M N
kMN km m k kS k x x x x k kk k k k
+− − + + = = + + − = + − × = + = + + + +
( )23 4 4k t t+ = ≥ 2 4
3
tk
−=
2
2
2 3 2 1
3
t tS t
− −=
22 3 1 1 23 t t
= − − +
1 'mt
= 1' 0, 4m ∈
2' ' 2y m m= − − + 10, 4
3 2 6
2 3S≤ <
OMN∆ S 3 2 6,2 3
( ) ln 1af x x x
= + − a R∈
x ( ) 1f x x> − + [1, )x∀ ∈ +∞ a
( )( ) f xg x x
= ( )g x 2[1,e ]
(1, )+∞
2
ea ≥ ( )g x 2[1,e ] 1 2
ea< − − + 2( ) 1 2m x x nx x x= − − + ( )m x
[1, )+∞ max( ) (1) 1m x m= = 1a > ( )g x
( ) 2 1 2h x x x nx a= − −
( ) 1f x x> − + 1 1 1anx xx
+ − > − +
21 2a x nx x x> − − + [1, )+∞
2( ) 1 2m x x nx x x= − − + 1x ≥
'( ) 1 2 1m x x nx x= − − +
[1, )x∈ +∞ 1 0, 2 1 0nx x− ≤ − + <
[1, )x∈ +∞ '( ) 1 2 1 0m x nx x= − − + <
( )m x [1, )+∞
[1, )x∈ +∞ max( ) ( ) (1) 1m x m x m≤ = =
1a > a (1, )+∞
2
1 1( ) nx ag x x x x
= − + 2[1, ]x e∈
2 2
1 1 1'( ) nxg x x x
−= + 3 3
2 2 1 2a x x nx a
x x
− −− =
( ) 2 1 2h x x x nx a= − − '( ) 2 (1 1 ) 1 1h x nx nx= − + = −
'( ) 0h x = x e=
1 x e≤ < '( ) 0h x > 2e x e< ≤ '( ) 0h x <
( )h x [1,e) 2(e,e ]且 ， ， ．
据（Ⅰ），可知 ．
（ⅰ）当 ，即 时， 即 ．
∴ 在 上单调递减．
∴当 时， 在 上不存在极值．
（ⅱ）当 ，即 时，
则必定 ，使得 ，且 ．
当 变化时， ， ， 的变化情况如下表：
- 0 + 0 -
- 0 + 0 -
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
∴当 时， 在 上的极值为 ，且 ．
∵ ．
设 ，其中 ， ．
∵ ，∴ 在 上单调递增， ，当且仅当 时
取等号．
∵ ，∴ ．
∴当 时， 在 上的极值 ．
(1) 2 2h a= − ( ) 2h e e a= − 2( ) 2h e a= −
2( ) (1) 0h e h< <
( ) 2 0h e e a= − ≤
2
ea ≥ ( ) 0h x ≤ '( ) 0g x ≤
( )g x 2[1,e ]
2
ea ≥ ( )g x 2[1,e ]
( ) 0h e > 1 2
ea< <
2
1 2, [1, ]x x e∃ ∈ 1 2( ) ( ) 0h x h x= = 2
1 21 x e x e< < < <
x ( )h x '( )g x ( )g x
x 1(1, )x 1x 1 2( , )x x 2x 2
2( , )x e
( )h x
'( )g x
( )g x
1 2
ea< < ( )g x 2[1,e ] 1 2( ), ( )g x g x 1 2( ) ( )
(0, )x∈ +∞ ( ) 0f x b+ > k b+
1 ,13
( )1 k 1= x 2x 1 0− − >时不等式恒成立，化为 恒成立；画出 与
在 上的图象，利用数形结合法求得 k、b 的取值范围，从而求得
的最小值．
【详解】解: 当 时，不等式化为 ，
即 ，或 ，或 ；
解得 ，或 ，或 ；
综上，原不等式的解集为 ；
时，不等式 恒成立，
可化为 恒成立；
画出 与 的图象，如图所示：
由图象知当 ，且 时， 的图象始终在 的上方，
，即 最小值为 这时 ，
【点睛】本题考查了零点分段法求绝对值不等式的解集，考查了不等式恒成立问题，也考查
了数形结合思想的应用，是中档题．
的
( ) ( )2 x 0, ∞∈ + k x b | 2x 1+ > − y 2x 1= −
y k x b= + ( )x 0, ∞∈ + k b+
( )1 k 1= x 2x 1 0− − >
{ x 0
x 2x 1 0
≤
− + − >
10 2
2 1 0
x
x x
<
1
2
2 1 0
x
x x
≥
− + >
x ∈ 1 1x3 2
< < 1 x 12
≤ <
1 ,13
( ) ( )2 x 0, ∞∈ + ( )f x b 0+ >
k x b | 2x 1+ > −
y 2x 1= − y k x b= +
k 2≥ b 1≥ y k x b= + y 2x 1= −
k b 3∴ + ≥ k b+ 3( k 2= b 1).=
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