河南、河北两省重点高中 2020 届高三阶段性考试（三）
数学（理科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 ，集合 ， ，
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求括号中 ，再求 即可
【详解】因为 ， ，所以 ， .
答案选 D
【点睛】本题考察集合交并补的基本运算，求解补集时，看清原集与补集的关系是正确解题
的前提
2.复数 的虚部为（ ）．
A. B. 1
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简复数得到答案.
详解】
虚部为-1
故答案选 A
【点睛】本题考查了复数的代数运算，考查计算能力，属于简单题型.
【
{ }0,1,2,3,4,5,6U = { |1 4, }A x x x= ∈N { }| 6 2 33,xB x x= < < ∈N
( )U A B =
{ }0,5,6 { }0,5 { }1 { }5
U A ( )U A B∩
{ }1,2,3,4A = { }3,4,5B = { }0,5,6U A = ( ) { }5U A B∩ =
32i
1 iz = +
1−
i− i
32i 2i 2 2i 1 i1 i 1 i 2z
− − −= = = = − −+ +3.在公比为 2 的等比数列 中，前 n 项和为 ，且 ，则 （ ）
A. 5 B. 9 C. 17 D. 33
【答案】C
【解析】
【分析】
可由公式 ，表示出 ，再进行求解
【详解】由 ， ，所以 ，所以
.
答案选 C
【点睛】本题考查等比数列通项公式和前 n 项和公式的基本用法，需记住
4.已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，首先求出 ，然后利用向量平行的坐标运算，写出 的关系式，计算
求解即可.
【详解】因为 ， ，且 ，所以
， ．
【点睛】本题考查向量的加法、减法运算，以及向量平行的坐标运算，属于基础题.
5.已知 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
{ }na nS 7 62 1− =S S 1 5a a+ =
1 1n nS a qS+ = + 7 62S S−
1 1n nS a qS+ = + 7 6 1 6 6 12 2 1S S a qS S a− = + − = = 4
5 2 16a = =
1 5 17a a+ =
m
n m m nS S q S+ = +
( )1,1m λ= + ( )2,2n λ= + ( ) ( )2 2m n m n+ −
λ =
1−
2 , 2m n m n+ − λ
2m n+ ( )3 4,4λ= + 2m n− ( )3, 3λ= − − − (2 ) / /( 2 )m n m n+ −
( ) ( ) ( )3 3 4 4 3 0λ λ− ⋅ + − ⋅ − − = 0λ =
sin2 cosα α=
2
kπα ≠ k ∈Z cos2 =α
3
4
3
4
− 1
2
1
2
−观察 ，可将 表示成 ，再进行化简，结合二倍角公式进行求
值
【详解】由 ，则 ，因为 ， ，故 ，
所以 .
答案选 C
【点睛】三角恒等变换是常考类型，考生需熟记二倍角公式的基本形式
，解题时需从公式的基本形式去分析
如本题中
6.“ ”是“ ， ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
把题设 ， 进行化简，求出 的范围，再根据充分必要条件进行判断即
可
【详解】必要性：设 ，当 时， ，所以 ，
即 ；
当 时， ，所以 ，即 .故 或 .
充分性：取 ，当 时， 成立.
答案选 A
【点睛】对于充分必要条件的判断的一般思路为：对于每一个命题进行化简，去伪存真，若
最终判断问题为范围问题，则可简单记为：小范围推大范围成立；大范围推小范围不成立
7.函数 的部分图像如图所示，将 的图像向右平移
个单位长度后得函数 的图像，则 （）
sin2 cosα α= sin2α 2sin cosα α
sin2 cosα α= 2sin cos cosα α α=
2
kπα ≠ k Z∈ 1sin 2
α =
2 1cos2 1 2sin 2
α α= − =
sin 2α = 2sin cosα α
cos2 =α 2 2 2 2cos sin 1 2sin 2cos 1α α α α− = − = −
2 1cos2 1 2sin 2
α α= − =
1a < − 0x∃ ∈R 0sin 1 0+ ( ) [ ]1 ,1f x a a∈ − + 1 0a− <
1a >
0a < ( ) [ ]1 ,1f x a a∈ + − 1 0a+ < 1a < − 1a > 1a < −
0 2x
π= 1a < − 0sin 1 0a x + <
( ) ( ) ( )sin 1 0 2f x x
πω ϕ ω ϕ= + + > ω 2ω = ( ) sin 2 16f x x
π = + +
( )f x
4
π ( )g x
( ) sin 2 1 sin 2 14 6 3g x x x
π π π = − + + = − + 运算。函数平移左加右减，注意平移的时候是 整体变化，如果有系数记得加括号。
8.函数 是 R 上的奇函数，则 的零点的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇函数的特殊性质，当 能取到时， ，再采用数形结合的方式找出交点即
可
【详解】因为函数 是 R 上的奇函数，所以 ，即
，所以 ，结合函数 与 的图象，如图所示，
的零点的个数为 3.
答案选 B
【点睛】本题考查了奇函数的性质，函数零点与方程的转化思想，要求能够画出常见的基础
函数图像，如一次函数、二次函数、指数函数、幂函数、三角函数等
9.已知 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过基本不等式的变形可得 ，再将表达式转化成关于 整体的二次不等式，
x
2019( ) 1 3sinf x x a x= + − − ( )f x
0x = ( )0 0f =
( ) 2019 1 3sinf x x a x= + − − ( )0 1 0f a= − =
1a = ( ) 2019 3sinf x x x= − 2019y x= 3y sinx= ( )f x
, (0, )a b∈ +∞ 2 91 ab a b
+ = + +a b
[ ]1,9 [ ]1,8 [ )8,+∞ [ )9,+∞
2
2
a b ab
+
a b+求出相应范围
【详解】∵ ，∴ ，可得 ，当且仅当 或
时 取 等 号 . ∵ ， ∴ ， 化 为
，解得 ，则 的取值范围是 .
答案选 B
【点睛】本题考查的是根据基本不等式求取值范围问题，代换中一定要注意等号是否成立，
题中将 这一步代换出来至关重要
10.已知正 的边长为 1， 为该三角形内切圆的直径， 在 的三边上运动，
则 的最大值为（ ）．
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 和 ，平方相减得到 ，计算得到答
案.
【详解】正 的边长为 1，内切圆圆心为 ，半径为
为 的中点，则 得到
即
得到
即
两式相减得到： 即
( ), 0,a b∈ +∞
2
2
a b ab
+
( )2
1 4
ab a b+
1
2a b= =
4a b= = 2 91 ab a b
+ = + ( )2
2 9 81ab a b a b
= −+ +
( ) ( )2 9 8 0a b a b+ − + + 1 8a b+ a b+ [ ]1,8
( )2
1 4
ab a b+
ABC△ EF P ABC△
PE PF⋅
1
2
1
3
1
4
2PE PF PO+ = PE P FEF− = 2 1
12PE PF PO= −⋅
ABC△ O 3
6r =
O EF 2PE PF PO+ = ( )2 2
4PE PF PO+ =
2 2 2
2 4PE PF PE PF PO⋅+ + =
PE P FEF− = ( )2 2
PE P FF E− =
2 2 12 3PE PF PE PF⋅+ − =
2 14 4 3PE PF PO= −⋅ 2 1
12PE PF PO= −⋅ 当 为三角形顶点时，有最大值为
故答案选 D
【点睛】本题考查了向量的最值问题，根据 为 的中点得到 是解题的关
键，这是向量中中点问题常用的技巧，需要熟练掌握.
11.方程 的实根个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断函数的定义域，由 得 ，再利用指数函数和对数函数互化的性质，通过整
式加减 ，即 .令 通过判断函数的增减性，
借鉴零点存在定理，可判断实数根的区间
【详解】由 ，解得 ，令 ，所以 ，
两式相加得 ，又函数 单调递增，故 ，则 ，即
.令 ，且 在 上单调递减，又 ，
， 所 以 存 在 唯 一 ， 使 得 . 所 以 方 程
只有唯一实数解。
答案选 B
【点睛】本题考察了指数函数和对数函数互化的性质，函数零点存在定理的迁移应用，整个
解题过程，函数与方程的转化思想贯穿始终，体现了函数与方程的整体性与统一性
12.设首项为 1 的数列 的前 n 项和为 ，且 ，若
，则正整数 m 的最小值为（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
P 1 1 1
3 12 4
− =
O EF 2PE PF PO+ =
( ) ( )6 4log 4 5 log 6 5x x x x+ = −
6 5x x> 0x >
4 5 6x x x+ = 2 5 13 6
x x + =
( ) 2 5
3 6
x x
g x = +
6 5x x> 0x > ( ) ( )6 4log 4 5 log 6 5x x x xt = + = − 4 5 6
6 5 4
x x t
x x t
+ =
− =
4 6 4 6x x t t+ = + 4 6x xy = + x t= 4 5 6x x x+ =
2 5 13 6
x x + =
( ) 2 5
3 6
x x
g x = +
( )g x ( )0,+∞ ( )2 1g >
( )3 1g < ( )0 2,3x ∈ ( )0 1g x =
( ) ( )6 4log 4 5 log 6 5x x x x+ = −
{ }na nS
*
1
1
1, 2 ,
2 1, 2 1,
n
n
n
a n k ka
a n k k
−
−
+ = ∈= + = + ∈
N
N
2020mS >【答案】C
【解析】
【分析】
通过表达式的整体代换，可构造出 ，通过构造数列求出 的表达式，
再通过 求出 的表达式，进而可表示出 ，通过赋值可求出
【 详 解 】 由 题 意 知 ， ， 所 以 ，
， 即 . 又 ， 所 以 数 列
是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，所以 ， ，
所以 ，
，所以 .
当 时， ，又 ，所以 ，故正整数 的最
小值为 17.
故选：C
【点睛】本题主要考查递推数列通项公式的推导及前 项和公式的求解，考察了推导代换能力，
计算能力，难度中等偏上
二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上．
13.若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为_________.
【答案】10
【解析】
分析】
根据线性规划限定条件画出可行域，再通过 平移找出最值即可
【
( )2 1 2 13 2 3k ka a+ −+ = + 2 1ka −
2 2 1 1k ka a −= + 2ka 2kS k
2 2 1 1k ka a −= + 2 1 22 1k ka a+ = + 2 2 1 1k ka a −= +
( )2 1 2 1 2 12 1 1 2 3k k ka a a+ − −= + + = + ( )2 1 2 13 2 3k ka a+ −+ = + 1 3 4a + =
{ }2 1 3ka − + 1
2 1 4 2 3k
ka −
− = ⋅ − 1
2 4 2 2k
ka −= ⋅ −
( ) 2
1 3 2 1
4 1 2
3 2 4 31 2
k
k
kS a a a k k+
−
−
= + +…+ = − = − −−奇
2
2 4 2 2 4 2k
kS a a a k+= + + + = − −偶
3
2 2 8 5k
kS S S k+= + = − −奇 偶
8k = 16 2000 2020S = < 17 1021a = 17 3021 2020S = > m
n
1 0
0
5 0
y
x y
x y
+
−
+ −
3z x y= +
3 0x y+ =【详解】
画出可行域知，当 平移到过点 时， .
则 的最大值为 10
【点睛】本题主要考察了根据线性规划求目标函数的最值问题，相对简单，解题方法一般为
先画出可行域，再将目标函数转化为斜截式，通过判断目标函数值与截距的关系，找出目标
点，求出最值即可
14.已知 为第二象限角，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过通分的方法去掉二次根式，转化成绝对值再进行化简即可
【详解】因为 为第二象限角，所以 ， .
所以 ，
，所以 .
所以答案为：
【点睛】本题考察了三角函数的化简，易错点为去掉二次根式转化为绝对值时符号的判断问
题，此时需要结合三角函数在四个象限的正负值进行判断
15.在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等比数列，且
，则 _________.
: 3 0l x y+ = 5 5,2 2
max 10z =
3z x y= +
α 2
2
1 sin 1cos sin 11 sin tan
+ + + =−
αα αα α
1−
α sin 0α > cos 0α <
( )2
2
1 sin1 sin 1 sincos cos cos 1 sin1 sin cos cos
αα αα α α αα α α
++ += = ⋅ = − −−
2 2
2
1 1sin 1 sin sintan sin
α α αα α+ = ⋅ = 2
2
1 sin 1cos sin 1 11 sin tan
αα αα α
+ + + = −−
1−
ABC△
cos sin= +b a C c A sin =b B
c【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦公式将 b 代换，求出 ，再用 a，b，c 成等比数列表示出 ，
分析 特点，再次采用正弦定理即可求得
【详解】由正弦定理可知， ，易得 ，
，又 a，b，c 成等比数列，所以 ， .
则
【点睛】本题主要考查正弦定理的具体用法，边化角是正弦定理使用中考察频率最高的一种
形式，做题时应优先考虑
16.已知直线 是曲线 的一条切线，则 的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根 据 题 意 ， 求 出 曲 线 的 切 线 方 程 ， 再 根 据 对 应 关 系 表 示 出 和 值 ， 表 示 出
，再采用构造函数求导的方法可求得 的范围
【 详 解 】 设 ， 切 点 为 ， ， 所 以 ，
，所以
令 ， ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递
减
又 ，所以 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查导数切线方程的求法，利用导数来求函数的值域的问题，需熟记曲线
2
2
cos sina C c A= + A b a
c b
=
sinb B
c
( )sin sin sin cos sin cosB A C A C C A= + = + ccos sinA c A=
4A
π= b a
c b
= sin sin 2sin 2
b B a B Ac b
= = =
sin 2
2
b B
c
=
y kx b= + exy = k b+
( ],e−∞
k b
( )0
0e 2xk b x+ = − k b+
( ) exf x = ( )0
0 ,exx ( ) exf x′ = 0exk =
( )0 0
0 0e e 1x xb kx x= − = − ( ) ( )0 0 0
0 0e e 1 e 2x x xk b x x+ = + − = −
( ) ( )e 2xg x x= − ( ) ( ) ( )e 2 e e 1x x xg x x x= − − = −′
( ),1x∈ −∞ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x
( )1 eg = k b+ ( ],e−∞切线方程为
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知等比数列 的公比 ，其前 项和为 ，且 ， ， 的等差中项为 。
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 。
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
（1）通过 ， 的等差中项为 ．求出数列的公比，然后求解数列 的通项公式；
（2）化简 ，利用裂项相消法求解数列的和即可．
【详解】解：（1）因为 ，所以 ，即 。
解得 或 （舍去）。
所以 ， ，
所以 。
（2）因为 ，
所以
。
【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的应用，裂项相消法求数列求和的方法，考查计算
能力，属于基础题．
( )( )0 0 0'y y f x x x− = −
{ }na 0q > n nS 5 62S = 4a 5a 33a
{ }na
( )( )2 2 2
1
log logn
n n
b a a +
= { }nb n nT nT
2n
na = 2
3 2 3
4 2 6 4n
nT n n
+= − + +
4a 5a 33a { }na
2 2 2
1
(log )(log )n
n n
b a a +
=
4 5 36a a a+ = 3 4 2
1 1 16a q a q a q+ = 2 6 0q q+ − =
2q = 3q = −
( )5
1
5 1
1 2
31 621 2
a
S a
−
= = =− 1 2a =
12 2 2n n
na −= ⋅ =
( )( ) ( )2 2 2
1 1 1 1 1
log log 2 2 2n
n n
b a a n n n n+
= = = − + +
1 2n nT b b b= + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 3 2 4 3 5 2 1 1 2n n n n n n
= − + − + − + ⋅⋅⋅ + − + − + − − − + +
2 2
1 1 1 1 1 3 2 3 3 2 312 2 1 2 2 2 3 2 4 2 6 4
n n
n n n n n n
+ + = + − − = − = − + + + + + + 18.已知函数
（1）判断 在 上的奇偶性，并证明；
（2）求不等式 的解集.
【答案】（1）奇函数，证明详见解析；（2） .
【解析】
【分析】
(1)根据奇偶函数的定义，分段判断函数的奇偶性；（2）由（1）知函数 为奇函数，根据
奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，可得函数 的单调性，用函数的单调性将
符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解即可.
【详解】（1）函数 是 上的奇函数.
证明如下：
任取 ，则 ，所以 ,
再任取 ，则 ，所以 .
又当 时，则 ，所以 .
故 是 上的奇函数.
（2）当 时， 是增函数，
所以 是 上的增函数.
又 ， .
所以 ，所以 ，
所以不等式 的解集为 .
【点睛】函数性质综合应用问题的 3 种常见类型及解题策略
4 1, 0,
( ) 0, 0,
1 4 , 0.
x
x
x
f x x
x−
− >
= =
− 0x− < ( )( ) 1 4 4 1 ( )− = − = − − = −x xf x f x
0x < 0x− > ( )( ) 4 1 1 4 ( )− −− = − = − − = −x xf x f x
0x = x 0− = ( ) 0 0 ( )− = = − = −f x f x
( )f x ( , )−∞ +∞
0x > ( ) 4 1= −xf x
( )f x ( , )−∞ +∞
1 12
− = − f (1) 3f =
4
1 log 12
− < x
1 42
< x
( )41 log 3− < f x
1 ,42
(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称
性．
(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所
求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，
然后利用奇偶性和单调性求解．
19.已知函数 .
（1）若 ， ， ，求 的值；
（2）若动直线 与函数 和函数 的图
象分别交于 P，Q 两点，求线段 PQ 长度的最大值，并求出此时 t 的值.
【答案】（1） ；（2）最大值为 ，
【解析】
【分析】
（1）先对 进行化简，求出 ，再根据同角三角函数求出 ，再根据
特点，求出 ，利用和角公式求值即可
（2）先表示出 ，再根据绝对值特点和三角函数的最
值特点，求出对应的 值即可
【详解】（1） ， ，
则 ，又 ，故 ， .
.
.
2( ) sin 4f x x
π = −
1
2 6f
α = tan 5β = ,2 2
π πα ∈ − tan(2 )α β+
[ ]( 0, )x t t π= ∈ ( )f x ( ) 3sin cos4 4g x x x
π π = + +
5 5
19
− 3
2
7
12t p=
( )f x sinα tanα ( )tan 2α β+
tan2α
( ) ( ) 1 sin 22 3PQ f t g t t
π = − = − +
t
( ) 1 1 11 cos 2 sin22 2 2 2f x x x
π = − − = −
1 1 1sin2 2 2 6f
α α = − =
2sin 3
α = ,2 2
π πα ∈ −
5cos 3
α = 2tan
5
α =
2
2tantan2 4 51 tan
αα α= =−
( ) tan2 tan 5 5 5 5tan 2 1 tan2 tan 1 20 19
α βα β α β
++ = = = −− −（2）
由题意可知
当 时， 取到最大值 .
当 取到最大值时， ，又 ，所以 .
【点睛】本题考查同角三角函数的基本求法，三角函数正切值的和角公式，复合三角函数最
值的求法，难度相对简单
20.如图，在平面四边形 ABCD 中， ， ， ，且角 D 与角 B 互补，
.
（1）求 的面积；
（2）求 的周长.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）通过角 D 与角 B 互补，先求出 ，采用正弦定理的面积公式求解 即可
（2）要求 的周长，即求 ，结合余弦定理进行整体求解即可
【详解】（1）在 中，由余弦定理得 .
所以 .
因为角 D 与角 B 互补，
( ) 3 cos22g x x=
( ) ( ) 1 sin 22 3PQ f t g t t
π = − = − +
sin 2 13t
π + = − PQ 3
2
PQ ( )32 23 2t k k Z
π π π+ = + ∈ [ ]0,t π∈ 7
12t
π=
3 1= −AB 3 1= +BC 3CA =
3
2
⋅ = AD CD
ACD
ACD
3 15
4 2 6 3+
cos ABC∠ ACDS
ACD AD CD+
ABC
2 2 2 1cos 2 4
AB BC ACABC AB BC
+ −∠ = = −⋅
15sin 4ABC∠ =所以 ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以 .
（2）在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
【点睛】本题考查解三角形的具体应用，第一问正弦定理求面积，第二问利用余弦定理求周
长，解三角形的核心思想为：将边角关系转化到同一个三角形，利用正弦余弦定理进行求解，
一般是先正弦再余弦
21.设 ，命题 p：函数 在 内单调递增；q：函数
仅在 处有极值.
（1）若命题 q 是真命题，求 a 的取值范围；
（2）若命题 是真命题，求 a 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
(1)函数 仅在 处有极值，则 在 左右两侧导数符号相反，
可得 恒成立，转化为求解二次不等式的恒成立问题；（2）当 p 是真命题时，
利用复合函数“同增异减”研究 的单调性问题，求出相应 a 的范围，又
是真命题，则 至少有一个是真命题，所以取 p 是真命题时 a 的取值集合与
15sin sin 4ADC ABC∠ = ∠ = 1cos cos 4ADC ABC∠ = − ∠ =
3
2AD CD⋅ =
3cos 2AD CD AD CD ADC⋅ = ⋅ ⋅ ∠ = 6AD CD⋅ =
1 3 15sin2 4ACDS AD CD ADC= ⋅ ⋅ ∠ =
ACD 2 2 2 2 cosAC AD CD AD CD ADC= + − ⋅ ∠
2 2 2 2 cos 12AD CD AC AD CD ADC+ = + ⋅ ∠ =
2 6AD CD+ =
ACD 2 6 3AD CD AC+ + = +
a R∈ ( )3log ( 0, 1)= − > ≠ay x ax a a 1 ,02
−
( ) 4 3 21 4 1 14 3 2
+= + +ax x xf x 0x =
( )p q∨ ¬
1 1,2 2
−
1 1| 2 2a a a < − > 或
( )f x 0x = ( )2( ) 4 1′ = + +f x x x ax 0x =
2 4 1 0+ +x ax
( )3log= −ay x ax
( )p q∨ ¬ ,p q¬ q¬是真命题时 a 的取值集合的并集即可.
【详解】（1）由题意知， ，显然 不是方程 的根,
为使 仅在 处有极值，必须 恒成立，即 ，
解不等式，得 ，这时 是唯一极值，
因此满足条件的 a 的取值范围是 .
（2）当 p 是真命题时， 对 恒成立,则 ，记 ，则
当 时，要使得 是增函数，则需有 对 恒成立，所
以 ，与 矛盾；
当 时，要使得 是增函数，则需有 对 恒成立，
所以 ，所以 .
记当 p 是真命题时 a 的取值集合为 A，则 ；
记当 是真命题时 a 的取值集合为 B，则 .
因为 是真命题，
所以 a 的取值范围是 .
【点睛】函数 在 处取得极值是 的充分不必要条件.
22.已知 ，函数 ， .
（1）求 的单调区间
（2）讨论 零点的个数
( )2( ) 4 1′ = + +f x x x ax 0x = 2 4 1 0+ + =x ax
( )f x 0x = 2 4 1 0+ +x ax
( )24 4 1 0∆ = −a
1 1
2 2
− a (0) 1f =
1 1,2 2
= −
3 0x ax− > 1 ,02x ∈ −
1
4a > 3( )g x x ax= −
( ) 2g x 3x a′ = −
1a > ( )3log= −ay x ax ( ) 0g x′
1 ,02x ∈ −
0a 1a >
1 14 a< < ( )3log= −ay x ax ( ) 0g x′
1 ,02x ∈ −
21 33 2 4
⋅ − = a
3 14
或A B a a a
( )f x 0x x= 0'( ) 0f x =
0a > 2( ) ln 1 ( 1)f x x x ax a x= − + + − 1 ln( ) 3 2
xg x x
+= −
( )g x
( )f x【答案】（1）在区间 ， 上是增函数；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先求导，再根据导数正负判断函数增减性
（2）先对 求导，可判断 单调递增，再通过赋值 和 可判断存在实数
，使得 ，再通过讨论在零点处的最小值是小于零还是大于零来进一步
判断 零点个数
【详解】（1） 的定义域为 ，且 ，则
， ,
当 时， ， 是减函数； 当 时， ， 是增
函数
所以 ，所以在 上， ，
所以 在区间 ， 上是增函数.
（2）由题意知 ，
令 ，因为 ，
所以 在 上单调递增.
又 ，
.
所以存在实数 ，使得 .
30, 2
3 ,2
+∞
( )f x ( )f x′ 1
ef
′ ( )ef ′
0
1 ,eex ∈
( )0 0f x′ =
( )f x
( )g x 3 30, ,2 2
∪ +∞
( ) ( )2
3 2 ln
3 2
x xg x
x x
′ +=
−
( ) 3 2 lnh x x x= + ( ) ( )2 1 lnh x x=′ +
10, e
∈ x ( ) 0h x′ < ( )h x 1 ,e
∈ +∞ x ( )' 0h x > ( )h x
( )min
1 23 0e eh x h = = − >
3 30, ,2 2
∪ +∞
( ) 0g x′ >
( )g x 30, 2
3 ,2
+∞
( ) ( )1 ln 2 1 1 ln 2 3f x x a a x x ax a= + − + − = + + −′
( ) 1 ln 2 3k x x ax a= + + − 0a >
( )k x ( )0, ∞+
1 1 1 2 21 ln 3 3 0e e e e ef k a a = = + + − = − ′
0
1 ,eex ∈
( )0 0k x =在 上， ， 是减函数；在 上， ， 是增函数.
所以 的最小值是 ，其中 满足 ，即 ，
所以
①当 ，即 时， 的最小值为 0，此时 有一个零点；
②当 时， ， 没有零点，此时 .
由 的单调性，可得 ；
③当 时， ， 有两个零点
又 ，所以 ，
由 的单调性，可得 .
综上所述，当 时， 没有零点；
当 时， 只有 1 个零点；
当 时， 有 2 个零点.
【点睛】本题主要考察利用导数来判断函数的增减性，利用导数来求解函数的零点个数问题。
第二问中对于导数值为零的点的确定相对计较棘手，若题型中涉及 型复合函数，一般
通过借鉴零点定理来进行判断，常取 来进行判断算。
( )00, x ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0 ,x +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x ( )0f x 0x ( )0 0f x′ = 0 01 ln 2 3 0x ax a+ + − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0ln 1 1 3 1 2 1 1 1 1f x x x ax a x x a ax ax a x x a ax= − + + − = − − − + + − = − + +
0 1x = 1a = ( )f x ( )f x
0
1 1e x< < ( )0 0f x > ( )f x 0
0
1 ln
3 2
xa x
+= −
( )g x 0 1a< <
01 ex< < ( )0 0f x < ( )f x
0a > 0
31 2x< <
( )g x 1a >
0 1a< < ( )f x
1a = ( )f x
1a > ( )f x
lny x=
1, =x e x e
=
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