2019-2020 学年度高三年级上学期四调考试
数学（理科）试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，下列每小题所给选项只有
一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值
范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出集合 A 集合 B 范围，根据 得到 A 是 B 子集，根据范围大小得到答案.
【详解】
所以
故答案选 A
【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.
2.已知 AB 是抛物线 的一条焦点弦， ，则 AB 中点 C 的横坐标是 ( )
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先设 两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标.
【详解】设 ，C 的横坐标为 ，则 ，
因为 是抛物线 的一条焦点弦，所以 ，
所以 ，故 .
( ){ }| 1 0A x x x= − ≤ ( ){ }| lnB x y x a= = − A B A= a
( ),0−∞ ( ],0−∞ ( )1,+∞ [ )1,+∞
A B A=
( ){ }| 1 0 0 1A x x x x= − ≤ ⇒ ≤ ≤
( ){ }| lnB x y x a x a= = − ⇒ >
A B A A B∩ = ⇒ ⊆
0a <
2 2y x= 4AB =
3
2
1
2
5
2
A B，
( ) ( )1 1 2 2A , B ,x y x y， 0x 1 2
0 2
x xx +=
AB 2 2y x= 1 2 1 2 1 4AB x x p x x= + + = + + =
1 2 3x x+ = 1 2
0
3
2 2
x xx += =故选 B
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即
可求解，属于基础题型.
3.如图，圆柱的轴截面 为正方形， 为弧 的中点，则异面直线 与 所成角
的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
取 的中点 ，连接 则异面直线 与 所成角即为 ，再利用余弦
定理求 得解.
【详解】取 的中点 ，连接
设 则 所以
连接 因为
所以异面直线 与 所成角即为
在 中
故选
ABCD E BC AE BC
3
3
5
5
30
6
6
6
BC H , , EH AH ED， AE BC EAD∠
cos EAD∠
BC H , , 90 ,EH AH EHA∠ =
2,AB = 1, 5,BH HE AH= = = 6,AE =
, 6,ED ED = / / ,BC AD
AE BC ,EAD∠
EAD
6 4 6 6cos ,62 2 6
EAD
+ −∠ = =
× ×
: D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的
理解掌握水平和分析推理计算能力.
4.已知 α、β 都为锐角，且 、 ，则 α﹣β＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.
【详解】因为 α、β 都为锐角，且 、 ，
所以 ， ，
由 ，
且 α、β 都为锐角， 所以
故选：C
【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题.
5.设 ， .若对任意实数 x 都有 ，则满足条件的有序实
数对（a,b）的对数为（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
21
7sinα = 21
14cosβ =
3
π−
3
π
6
π−
6
π
21
7sinα = 21
14cosβ =
2 7cos 7
α = 5 7sin 14
β =
( ) 21 21 2 7 5 7 49 1sin sin cos cos sin 7 14 7 14 98 2
α β α β α β− = − = ⋅ − ⋅ = − = −
6
πα β− = −
a R∈ [0,2 ]b π∈ sin(3 )=sin( )3x ax b
π− +【解析】
试题分析： ， ，
又 ， ，
注意到 ，只有这两组．故选 B．
【考点】三角函数
【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，
确定得到 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合
思想、分类讨论思想等.
【此处有视频，请去附件查看】
6.已知 是双曲线 的一个焦点，点 在 上， 为坐标原点，若 ，
则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设 ，因为 再结合双曲线方程可解出 ，再利用三角形面积公式可求出
结果.
【详解】设点 ，则 ①．
又 ，
②．
由①②得 ，
5sin(3 ) sin(3 2 ) sin(3 )3 3 3x x x
π π ππ− = − + = +
4sin(3 ) sin[ (3 )] sin( 3 )3 3 3x x x
π π ππ− = − − = − + 4( , ) ( 3, )3a b
π= −
[0,2 )b π∈
,a b
F
2 2
: 14 5
x yC - = P C O =OP OF
OPF△
3
2
5
2
7
2
9
2
( )0 0,P x y =OP OF 0y
( )0 0,P x y
2 2
0 0 14 5
x y− =
4 5 3OP OF= = + =
2 2
0 0 9x y∴ + =
2
0
25
9y =即 ，
，
故选 B．
【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．
7.已知等差数列 的公差不为零，其前 项和为 ，若 ， ， 成等比数列，则
（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，得 ，利用等差数列 求和公式，列出方程求得 ，即可求解
的值，得到答案.
【详解】由题意，知 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，
整理得 ，所以 ，解得 ，
所以 ＝ ，
故选 C.
【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前 n 项和公式的应用，
其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前 n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考
查了推理与运算能力，属于基础题.
8.在 中，点 满足 ，过点 的直线与 、 所在的直线分别交于点
、 ，若 ， ，则 的最小值为（ ）
的
0
5
3y =
0
1 1 5 532 2 3 2OPFS OF y∆∴ = = × × =
{ }na n nS 3S 9S 27S 9
3
S
S
=
3 6 9 12
2
9 3 27S S S= × 12d a= 9
3
S
S
3S 9S 27S 2
9 3 27S S S= ×
2
1 9 1 3 1 279( ) 3( ) 27( )
2 2 2
a a a a a a+ + + = ×
2
5 2 143 78 21a a a= × 2
1 1 1( 4 ) ( )( 13 )a d a d a d+ = + + 12d a=
9 1 9 1 3 5
3 2
9( ) 3( ) 9
2 2 3
S a a a a a
S a
+ += ÷ = 1 1
1 1
3( 4 ) 27 93
a d a
a d a
+ = =+
ABC∆ P 3BP PC= P AB AC
M N AM ABλ= ( )0, 0AN ACµ λ µ= > > λ µ+A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 题 意 得 出 ， 再 由 ， ， 可 得 出
，由三点共线得出 ，将代数式 与 相乘，
展开后利用基本不等式可求出 的最小值.
【详解】如下图所示：
，即 ， ，
， ， ， ，
， 、 、 三点共线，则 .
，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值为 ，故选 B.
2 12
+ 3 12
+ 3
2
5
2
1 3
4 4AP AB AC= + AM ABλ= AN ACµ=
1 3
4 4AP AM ANλ µ= + 1 3 14 4λ µ+ = λ µ+ 1 3
4 4λ µ+
λ µ+
3BP PC=
( )3AP AB AC AP− = − 1 3
4 4AP AB AC∴ = +
AM ABλ=
( )0, 0AN ACµ λ µ= > > 1AB AMλ∴ = 1AC ANµ=
1 3
4 4AP AM ANλ µ∴ = + M P N 1 3 14 4λ µ+ =
( ) 1 3 3 3 31 2 1 14 4 4 4 4 4 2
λ µ λ µλ µ λ µ λ µ µ λ µ λ
∴ + = + + = + + ≥ ⋅ + = +
3µ λ= λ µ+ 3 12
+【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解
题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.
9.如图，点 P 在正方体 的面对角线 上运动，则下列四个结论：
三棱锥 的体积不变；
平面 ；
；
平面 平面 ．
其中正确的结论的个数是
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】C
【解析】
分析】
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【详解】 对于 ，由题意知 ，从而 平面 ，
故 BC 上任意一点到平面 的距离均相等，
所以以 P 为顶点，平面 为底面，则三棱锥 的体积不变，故 正确；
对于 ，连接 ， ， 且相等，由于 知： ，
【
1 1 1 1ABCD A B C D− 1BC
① 1A D PC−
1 / /A P② 1ACD
1DP BC⊥③
④ 1PDB ⊥ 1ACD
( )
① 1 1/ /AD BC 1 / /BC 1AD C
1 1AD C
1AD C 1A D PC− ①
② 1A B 1 1AC 1 1 1/ /AC AD ① 1 1/ /AD BC所以 面 ，从而由线面平行的定义可得，故 正确；
对于 ，由于 平面 ，所以 ，
若 ，则 平面 DCP，
，则 P 为中点，与 P 为动点矛盾，故 错误；
对于 ，连接 ，由 且 ，
可得 面 ，从而由面面垂直的判定知，故 正确．
故选 C．
【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、
垂直的判定，要注意使用转化的思想．
10.过三点 ， ， 的圆截直线 所得弦长的最小值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
因为圆心在弦 AC 的中垂线上，所以设圆心 P 坐标为（a，-2），再利用 ，求
得 ，确定圆的方程.又直线过定点 Q，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点 Q 与弦垂
直，然后利用勾股定理可求得弦长.
【详解】解：设圆心坐标 P 为（a,-2），则 r2＝ ，解得
a=1，所以 P（1，-2）.又直线过定点 Q（-2，0），当直线 PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆
内特征三角形可知弦长 ∴直线 被圆截得的弦长
为 ．
故选 B．
11.如图，三棱柱 的高为 6，点 D，E 分别在线段 ， 上，
， E.点 A，D，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，
若底面 的面积为 6，则较大部分的体积为
1 1 / /BAC 1ACD ②
③ DC ⊥ 1 1BCB C 1DC BC⊥
1DP BC⊥ 1BC ⊥
1BC PC⊥ ③
④ 1DB 1DB AC⊥ 1 1DB AD⊥
1DB ⊥ 1ACD ④
(1,3)A (4,2)B (1, 7)C − 2 0x ay+ + =
2 3 4 3 13 2 13
2 2 2r AP BP= +
1a =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 3 2 4 2 2a a− + + = − + +
2 2l=2 r -PQ =2 25-13=4 3 2 0x ay+ + =
4 3
1 1 1ABC A B C− 1 1A C 1B C
1 1 1A C 3DC= 1 1B C 4B=
ABC ( )A. 22 B. 23 C. 26 D. 27
【答案】B
【解析】
【分析】
延长 AD 与 CC1 的交点为 P，连接 PE 与 C1B1 的交点为 N，延长 PE 交 B1B 为 M，与面 ABC
交于点 Q，得到截面为 DNMA，由题意得 A1D＝2DC1，由此能求出较大部分的体积．
【详解】如图，延长 AD 与 的交点为 P，连接 PE 与 的交点为 N，
延长 PE 交 为 M，与面 ABC 交于点 Q，
得到截面为 DNMA，
， ， ，N 分别为 ， 的中点，
下部分体积
．
故选 B．
【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空
间不规则几何体体积的求解方法的培养．
12.设 ,其中 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
1CC 1 1C B
1B B
1 1 1A C 3DC= 1 1B C 4B E= M∴ 1 1C B 1B B
1 1P AQC P DNC M ABQ AQC ABQ DNC
1 1 1 1 1 hV V V V S h h S h S 233 2 3 2 3 2− − −
= − − = × × + − × × − × × = 下
( ) ( )22D 2 2xx a e a a= − + − + + 2.71828e ≈ D
2 3 2 1+ 3 1+【答案】C
【解析】
分析：由 表示两点 与点 的距离，而点 在抛物线
上，抛物线的焦点 ，准线为 ，则 表示 与 的距离和 与准线的
距离的和加上 1，由抛物线的定义可得 表示 与 的距离和加上 1，画出图象，当
三点共线时，可求得最小值.
详解：由题意 ， ，
由 表示两点 与点 的距离，
而点 在抛物线 上，抛物线的焦点 ，准线为 ，
则 表示 与 的距离和 与准线的距离的和加上 1，
由抛物线的定义可得 表示 与 的距离和加上 1，
由图象可知 三点共线时，且 为曲线 的垂线，此时 取得最小值，
即 为切点，设 ，
由 ，可得 ，
设 ，则 递增，且 ，可得切点 ，
即有 ，则 的最小值为 ，故选 C.
点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线
的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，
属于中档试题.
2( ) ( 2 )xx a e a− + − ( , )xC x e ( ,2 )A a a A
2 4y x= (1,0)F 1x = − D A C A
D A C , ,F A C
0a ≥ 2( ) ( 2 ) 2xD x a e a a= − + − + +
2( ) ( 2 )xx a e a− + − ( , )xC x e ( ,2 )A a a
A 2 4y x= (1,0)F 1x = −
D A C A
D A C
, ,F A C QF xy e= D
Q ( , )mm e
0 11
m
me em
− ⋅ = −−
2 1mm e+ =
( ) 2mg m m e= + ( )g m (0) 1g = (0,1)Q
1 1 2FQ += = D 2 1+二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13.已知函数 ，则 ______.
【答案】-4
【解析】
【分析】
先求 ，再求 .
【详解】因为函数 ，
则
.故答案为-4.
【点睛】本题考查了分段函数求值，属于简单题型.
14.已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，且点 A 是椭圆 C 上一点，点 M 的
坐标为 ，若 为 的角平分线，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知：A 在 y 轴左侧， 3，根据椭圆的性质可知：|AF1|+|AF2|＝2a＝10，
即可求得|AF2|的值．
【详解】解：由题意可知：∠F1AM＝∠MAF2，设 A 在 y 轴左侧，
∴ 3，
由|AF1|+|AF2|＝2a＝10，
( ) 2log , 0
4 2 , 0x
x xf x x−
>= − ≤
1
8f f
=
1
8f
1
8f f
( ) 2log , 0
4 2 , 0x
x xf x x−
>= − ≤
2
1 1log 38 8f = = −
( )1 3 48f f f
= − = −
1F 2F
2 2
: 125 9
x yC + =
(2,0) AM 1 2F AF∠ 2AF =
5
2
1 1
2 2
AF F M
AF MF
= =
1 1
2 2
AF F M
AF MF
= =A 在 y 轴右侧时，|AF2| ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查．
15.如图（1），在等腰直角 中，斜边 ，D 为 的中点，将 沿 折叠
得到如图（2）所示的三棱锥 ，若三棱锥 的外接球的半径为 ，则
_________.
图（1） 图（2）
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是 ，以及已有的边的长度和角度关系，分
析即可解决．
【详解】解：球是三棱锥 C﹣A'BD 的外接球，所以球心 O 到各顶点的距离相等，如图．
根据题意，CD⊥平面 A'BD，
取 CD 的中点 E，A'B 的中点 G，连接 CG，DG，
因为 A'D＝BD，CD⊥平面 A'BD，
10 5
4 2
= =
5
2
ABC∆ 4AB = AB ACD∆ CD
C A BD′− C A BD′− 5
A DB′∠ =
2
3
π
5所以 A'和 B 关于平面 CDG 对称，
在平面 CDG 内，作线段 CD 的垂直平分线，则球心 O 在线段 CD 的垂直平分线上，设为图中
的 O 点位置，过
O 作直线 CD 的平行线，交平面 A'BD 于点 F，
则 OF⊥平面 A'BD，且 OF＝DE＝1，
因为 A'F 在平面 A'BD 内，所以 OF⊥A'F，
即三角形 A'OF 为直角三角形，且斜边 OA'＝R ，
∴A'F 2，
所以，BF＝2，
所以四边形 A'DBF 为菱形，
又知 OD＝R，三角形 ODE 为直角三角形，
∴OE 2，
∴三角形 A'DF 为等边三角形，
∴∠A'DF ，
故∠A'DB ，
故填： ．
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档
题．
16.设定义在 D 上的函数 在点 处的切线方程为 ，当 时，
若 在 D 内恒成立，则称 P 点为函数 的“类对称中心点”，则函数
5=
2 2 5 1R OF= − = − =
2 2 5 1R DE= − = − =
3
π=
2
3
π=
2
3
π
( )y h x= 0 0( , ( ))P x h x : ( )l y g x= 0x x≠
0
( ) ( ) 0h x g x
x x
− >− ( )y h x=的“类对称中心点”的坐标是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由求导公式求出函数 f（x）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出 y＝g
（x），设 F（x）＝f（x）﹣g（x），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，
判断出 F（x）的单调性和最值，从而可判断出 的符号，再由“类对称中心点”
的定义确定“类对称中心点”的坐标．
【详解】解：由题意得，f′（x） ，f（x0） （x＞0），
即函数 y＝f（x）的定义域 D＝（0，+∞），
所以函数 y＝f（x）在点 P（x0，f（x0））处的切线方程 l 方程为：
y﹣（ ）＝（ ）（x﹣x0），
则 g（x）＝（ ）（x﹣x0）+（ ），
设 F（x）＝f（x）﹣g（x） lnx﹣[（ ）（x﹣x0）+（ ）]，
则 F（x0）＝0，
所以 F′（x）＝f′x）﹣g′（x） （ ）
当 0＜x0＜e 时，F（x）在（x0， ）上递减，
∴x∈（x0， ）时，F（x）＜F（x0）＝0，此时 ，
2
2( ) ln2
xf x xe
= +
3( , )2e
( ) ( )
0
f x g x
x x
−
−
2
1x
e x
= +
2
0
022
x lnxe
= +
2
0
022
x lnxe
+ 0
2
0
1x
e x
+
0
2
0
1x
e x
+ 2
0
022
x lnxe
+
2
22
x
e
= + 0
2
0
1x
e x
+ 2
0
022
x lnxe
+
2
1x
e x
= + − 0
2
0
1x
e x
+ 0
2
0
1 1x x
e x x
−= + −
( ) ( )0
0 02 2
0 0
1 1 1x x xx x x xe xx x e x
−= − + = − −
2
0
e
x
2
0
e
x
( ) ( )
0
0f x g x
x x
−
− ＜当 x0＞e 时，F（x）在（ ，x0）上递减；
∴x∈（ ，x0）时，F（x）＞F（x0）＝0，此时 ，
∴y＝F（x）在（0，e）∪（e，+∞）上不存在“类对称点”．
若 x0＝e， 0，则 F（x）在（0，+∞）上是增函数，
当 x＞x0 时，F（x）＞F（x0）＝0，当 x＜x0 时，F（x）＜F（x0）＝0，
故 ，
即此时点 P 是 y＝f（x）的“类对称点”，
综上可得，y＝F（x）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标，
又 f（e） ，所以函数 f（x）的“类对称中心点”的坐标是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查
了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题．
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤）
17.在平面四边形 中， ， ， ， .
（1）求 ；
（2）若 E 是 的中点，求 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理进行化简，求出 C；（2）利用向量法求出 CE．
【详解】（1）由题设及余弦定理得： ，
2
0
e
x
2
0
e
x
( ) ( )
0
0f x g x
x x
−
− ＜
( ) 2
2 2
1 1 ( )x x ex ex e e xe
− − − = ＞
( ) ( )
0
0f x g x
x x
−
− ＞
2
2
3
2 2
e lnee
= + = 3
2e
，
3
2e
，
ABCD A C π∠ + ∠ = 1AB = 3BC = 2CD DA= =
C∠
BD CE
60C = 19
2CE =
2 2 2 2 cosBD BC CD BC CD= + − ⋅ 13 12cosC C= −BD2＝AB2+DA2﹣2AB•DAcosA＝5+4cosC，
所以 cosC ，
；
（2）由 ，得
所以 .
【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题．
18. 如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影
为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连结 PE 并延长交 AB 于点 G.
（Ⅰ）证明：G 是 AB 的中点；
（Ⅱ）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面体 PDEF 的体积．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为 .
【解析】
试题分析：证明 由 可得 是 的中点.（Ⅱ）在平面 内，过点
作 的平行线交 于点 ， 即为 在平面 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直
角三角形且 ，可得 在等腰直角三角形 中，可得
四面体 的体积
试题解析：（Ⅰ）因为 在平面 内的正投影为 ，所以
1
2
=
60C∴ =
1 ( )2CE CD CB= + 2 2 21 ( 2 )4CE CD CB CD CB= + + ⋅
1 1 19(4 9 2 2 3 )4 2 4
= + + × × × = 19
2CE =
4
3
.AB PG⊥ PA PB= G AB PAB E
PB PA F F E PAC
6PA = 2, 2 2.= =DE PE EFP 2.= =EF PF
PDEF 1 1 42 2 2 .3 2 3V = × × × × =
P ABC D .AB PD⊥因为 在平面 内的正投影为 ，所以
所以 平面 ，故
又由已知可得， ，从而 是 的中点.
（Ⅱ）在平面 内，过点 作 的平行线交 于点 ， 即为 在平面 内的正
投影.
理由如下：由已知可得 ， ，又 ,所以 ,因此
平面 ，即点 为 在平面 内的正投影.
连结 ，因为 在平面 内的正投影为 ，所以 是正三角形 的中心.
由（Ⅰ）知， 是 的中点，所以 在 上，故
由题设可得 平面 ， 平面 ，所以 ，因此
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 ，可得
在等腰直角三角形 中，可得
所以四面体 的体积
【考点】线面位置关系及几何体体积的计算
【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中
线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键
是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不
大,以中档题为主.
【此处有视频，请去附件查看】
D PAB E .AB DE⊥
AB ⊥ PED .AB PG⊥
PA PB= G AB
PAB E PB PA F F E PAC
PB PA⊥ PB PC⊥ EF PB EF PA EF PC⊥ ⊥，
EF ⊥ PAC F E PAC
CG P ABC D D ABC
G AB D CG 2 .3
=CD CG
PC ⊥ PAB DE ⊥ PAB DE PC
2 1, .3 3
= =PE PG DE PC
6PA = 2, 2 2.= =DE PE
EFP 2.= =EF PF
PDEF 1 1 42 2 2 .3 2 3V = × × × × =19.设椭圆 的右顶点为 A，上顶点为 B．已知椭圆的离心率为 ，
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线 与椭圆交于 ， 两点， 与直线 交于点M，且点 P，M 均
在第四象限．若 的面积是 面积的 2 倍，求 的值．
【答案】（1） ；(2) ．
【解析】
分析：（I）由题意结合几何关系可求得 .则椭圆的方程为 .
（II）设点 P 的坐标为 ，点 M 的坐标为 ，由题意可得 .
易知直线 的方程为 ，由方程组 可得 .由方程组
可得 .结合 ，可得 ，或 .经检验 的值为
.
详解：（I）设椭圆的焦距为 2c，由已知得 ，又由 ，可得 ．由
,从而 ．
所以，椭圆的方程为 ．
（II）设点 P 的坐标为 ，点 M 的坐标为 ，由题意， ，
点 的坐标为 ．由 的面积是 面积的 2 倍，可得 ，
从而 ，即 ．
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 5
3
13AB =
: ( 0)l y kx k= < P Q l AB
BPM△ BPQ k
2 2
19 4
x y+ = 1
2
−
3, 2a b= = 2 2
19 4
x y+ =
( )1 1,x y ( )2 2,x y 2 15x x=
AB 2 3 6x y+ = 2 3 6,
,
x y
y kx
+ =
= 2
6
3 2x k
= +
2 2
1,9 4
,
x y
y kx
+ =
=
1 2
6
9 4
x
k
=
+ 2 15x x= 8
9k = − 1
2k = − k
1
2
−
2
2
5
9
c
a
= 2 2 2a b c= + 2 3a b=
2 2| | 13AB a b= + = 3, 2a b= =
2 2
19 4
x y+ =
1 1( , )x y 2 2( , )x y 2 1 0x x> >
Q 1 1( , )x y− − BPM△ BPQ | |=2| |PM PQ
2 1 1 12[ ( )]x x x x− = − − 2 15x x=易知直线 的方程为 ，由方程组 消去 y，可得 ．由方
程组 消去 ，可得 ．由 ，可得 ，
两边平方，整理得 ，解得 ，或 ．
当 时， ，不合题意，舍去；当 时， ， ，符合题
意．
所以， 的值为 ．
点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦
长、斜率、三角形的面积等问题．
20.如图，四边形 是平行四边形，平面 平面 ， ， ，
， ， ， ，G 为 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
AB 2 3 6x y+ = 2 3 6,
,
x y
y kx
+ =
= 2
6
3 2x k
= +
2 2
1,9 4
,
x y
y kx
+ =
=
y 1 2
6
9 4
x
k
=
+ 2 15x x= 29 4 5(3 2)k k+ = +
218 25 8 0k k+ + = 8
9k = − 1
2k = −
8
9k = − 2 9 0x = − < 1
2k = − 2 12x = 1
12
5x =
k 1
2
−
ABCD AED ⊥ ABCD / /EF AB 2AB =
3DE = 1BC EF= = 6AE = 60BAD °∠ = BC
BED ⊥ AED
EF BED
5
6（1）根据余弦定理求出 BD ，继而得到 BD⊥AD，再根据面面垂直的判定定理即可证明；
（2）先判断出直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角，再根据余
弦定理和解直角三角形即可求出答案．
【详解】（1）证明：在 中， ， ， ，由余弦定理可得
，进而 ，即 ，又∵平面 平面 ，
平面 ，平面 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 .
（2）∵ ，∴直线 与平面 所成的角即为直线 与平面 所形成的角，
过点 A 作 于点 H，连接 ，又平面 平面 ，
由（1）知 平面 ，∴直线 与平面 所成的角为 ，
在 ， ， ， ，由余弦定理得 ，
∴ ，∴ ，在 中， ，
∴直线 与平面 所成角的正弦值 .
【点睛】本题考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算
能力和推理论证能力，属于中档题．
21.设抛物线 的方程为 ，其中常数 ，F 是抛物线 的焦点.
（1）设 A 是点 F 关于顶点 O 的对称点，P 是抛物线 上的动点，求 的最大值；
（2）设 ， ， 是两条互相垂直，且均经过点 F 直线， 与抛物线 交于点 A，B，
与抛物线 交于点 C，D，若点 G 满足 ，求点 G 的轨迹方程.
的
3=
ABD∆ 1AD = 2AB = 60BAD °∠ =
3BD = 90ADB °∠ = BD AD⊥ AED ⊥ ABCD
BD ⊂ ABCD AED ABCD AD= BD ⊥ AED
BD ⊂ BED BED ⊥ AED
/ /EF AB EF BED AB BED
AH DE⊥ BH BED AED ED=
AH ⊥ BED AB BED ABH∠
ADE∆ 1AD = 3DE = 6AE = 2cos 3ADE∠ =
5sin 3ADE∠ = 5
3AH AD= ⋅ Rt AHB∆ 5sin 6
AHABH AB
∠ = =
EF BED 5
6
Γ 2 2y px= 0p > Γ
Γ | |
| |
PA
PF
2p = 1l 2l 1l Γ 2l
Γ 4FG FA FB FC FD= + + + 【答案】（1）最大值为 ；（2）
【解析】
【分析】
（1）求得 A 的坐标，设出过 A 的直线为 y＝k（x ），k＝tanα，联立抛物线方程，运用判
别式为 0，求得倾斜角，可得所求最大值；
（2）求得 F（1，0），设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），设
l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，
结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程．
【详解】（1）A 是点 关于顶点 O 的对称点，可得 ，
设过 A 的直线为 ， ，
联立抛物线方程可得 ，
由直线和抛物线相切可得 ，解得 ，
可取 ，可得切线的倾斜角为 45°，
由抛物线的定义可得 ，而 的最小值为 45°，
的最大值为 ；
（2）由 ，可得 ，设 ， ， ， ，
，
设 ，联立抛物线 ，可得 ，
即有 ， ，
由两直线垂直的条件，可将 k 换为 ，可得 ， ，
点 G 满足 ，可得
，
即为 ， ，
2 2 3y x= −
2
p+
( ,0)2
pF ( ,0)2
pA −
( )2
py k x= + tank α=
2 2
2 2 2( 2 ) 04
k pk x k p p x+ − + =
2 2 4 2( 2 ) 0k p p k p∆ = − − = 1k = ±
1k =
| | 1 1
| | sin(90 ) cos
PA
PF α α°= =− α
| |
| |
PA
PF 2
2 4y x= (1,0)F 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 3 3( , )C x y 4 4( , )D x y
( )G x y,
1 : ( 1)l y k x= − 2 4y x= 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + =
1 2 2
42x x k
+ = + 1 2 1 2
4( ) 2y y k x x k k
+ = + − =
1
k
− 2
3 4 2 4x x k+ = + 3 4 4y y k+ = −
4FG FA FB FC FD= + + +
1 2 3 4 1 2 3 44( 1, ) ( 4, )x y x x x x y y y y− = + + + − + + +
2
1 2 3 4 2
44 4 4x x x x x k k
= + + + = + + 1 2 3 4
44 4y y y y y k k
= + + + = − +可得 ，则 G 的轨迹方程为 .
【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直
线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，
属于中档题．
22.设 ， .已知函数 ， .
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）已知函数 和 的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证： 在 处的导数等于 0；
（ii）若关于 x 不等式 在区间 上恒成立，求 b 的取值范围.
【答案】（I）单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .（II）（i）
见解析.（ii） .
【解析】
试题分析：求导数后因式分解根据 ，得出 ，根据导数的符号判断函数的单调
性，给出单调区间，对 求导，根据函数 和 的图象在公共点（x0，y0）处
有相同的切线，解得 ，根据 的单调性可知 在 上
恒 成 立 ， 关 于 x 的 不 等 式 在 区 间 上 恒 成 立 ， 得 出
，得 ， ，
求出 的范围，得出 的范围.
试题解析：（I）由 ，可得
，
令 ，解得 ，或 .由 ，得 .
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
的
2 2 2
2
1 1( ) 2 3y k k xk k
= − = + − = − 2 3y x= −
,a b∈R | | 1a ≤ 3 2( ) 6 3 ( 4)f x x x a a x b= − − − + ( ) ( )xg x e f x=
( )f x
( )y g x= xy e=
( )f x 0x x=
( ) exg x ≤ 0 0[ 1, 1]x x− +
( , )a−∞ (4 , )a− +∞ ( ,4 )a a−
[ 7,1]−
1a ≤ 4a a< −
( )g x ( )y g x= xy e=
0( ) 0f x′ = ( )f x ( ) ( ) 1f fx a≤ = [ 1, 1]a a− +
( ) exg x ≤ 0 0[ 1, 1]x x− +
3 2( ) 6 3 ( 4) 1f a a a a a a b= − − − + = 3 22 6 1b a a= − + 1 1a− ≤ ≤
( )f a b
( ) ( )3 26 3 4f x x x a a x b= − − − +
( ) ( ) ( ) ( )( )2' 3 12 3 4 3 4f x x x a a x a x a= − − − = − − −
( )' 0f x = x a= 4x a= − 1a ≤ 4a a< −
x ( )'f x ( )f x
x ( ),a−∞ ( ),4a a− ( )4 ,a− +∞所以， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
（II）（i）因为 ，由题意知 ，
所以 ，解得 .
所以， 在 处的导数等于 0.
（ii）因为 ， ，由 ，可得 .
又因为 ， ，故 为 的极大值点，由（I）知 .
另一方面，由于 ，故 ，
由（I）知 在 内单调递增，在 内单调递减，
故当 时， 在 上恒成立，从而 在
上恒成立.
由 ，得 ， .
令 ， ，所以 ，
令 ，解得 （舍去），或 .
因为 ， ， ，故 的值域为 .
所以， 取值范围是 .
【考点】导数的应用
【名师点睛】利用导数工具研究函数是历年高考题中的难点问题，利用导数判断函数的单调
性，求函数的极值或最值，利用导数的几何意义研究曲线的切线方程以及利用导数研究函数
的零点和值域也是常见考法，本题把恒成立问题转化为函数值域问题很巧妙，问题转化为借
的
( )'f x + - +
( )f x
( )f x ( ),a−∞ ( )4 ,a− +∞ ( ),4a a−
( ) ( ) ( )( )' 'xg x e f x f x= + ( )
( )
0
0
0
0'
x
x
g x e
g x e
= =
( )
( ) ( )( )
0 0
0 0
0
0 0'
x x
x x
f x e e
e f x f x e
= + =
( )
( )0
0
1
' 0
f x
f x
= =
( )f x 0x x=
( ) xg x e≤ [ ]0 01, 1x x x∈ − + 0xe > ( ) 1f x ≤
( )0 1f x = ( )0' 0f x = 0x ( )f x 0x a=
1a ≤ 1 4a a+ < −
( )f x ( )1,a a− ( ), 1a a +
0x a= ( ) ( ) 1f x f a≤ = [ ]1, 1a a− + ( ) xg x e≤
[ ]0 01, 1x x− +
( ) ( )3 26 3 4 1f a a a a a a b= − − − + = 3 22 6 1b a a= − + 1 1a− ≤ ≤
( ) 3 22 6 1t x x x= − + [ ]1,1x∈ − ( ) 2' 6 12t x x x= −
( )' 0t x = 2x = 0x =
( )1 7t − = − ( )1 3t = − ( )0 1t = ( )t x [ ]7,1−
b [ ]7,1−助导数研究函数在某区间上的取值范围去解决，方法灵活思维巧妙，匠心独运.
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